2023-2024學年河南省周口市高三八校聯(lián)考數(shù)學試題(四)_第1頁
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2022-2023學年河南省周口市高三八校聯(lián)考數(shù)學試題(四)注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°,則雙曲線C的方程不可能為()A. B. C. D.2.已知雙曲線的左、右頂點分別為,點是雙曲線上與不重合的動點,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C.4 D.23.中國鐵路總公司相關負責人表示,到2018年底,全國鐵路營業(yè)里程達到13.1萬公里,其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里,超過世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程(單位:萬公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著B.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程與年價正相關C.2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程數(shù)依次成等差數(shù)列4.已知,滿足,且的最大值是最小值的4倍,則的值是()A.4 B. C. D.5.已知復數(shù),則的虛部為()A.-1 B. C.1 D.6.已知函數(shù),若對于任意的,函數(shù)在內(nèi)都有兩個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.7.給出下列四個命題:①若“且”為假命題,則﹑均為假命題;②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角;③若命題,,則命題,;④設集合,,則“”是“”的必要條件;其中正確命題的個數(shù)是()A. B. C. D.8.已知集合,集合,則A. B.或C. D.9.已知四棱錐,底面ABCD是邊長為1的正方形,,平面平面ABCD,當點C到平面ABE的距離最大時,該四棱錐的體積為()A. B. C. D.110.已知是虛數(shù)單位,則復數(shù)()A. B. C.2 D.11.中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來,構件的凸出部分叫榫頭,凹進部分叫卯眼,圖中木構件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體,則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是A. B. C. D.12.設過定點的直線與橢圓:交于不同的兩點,,若原點在以為直徑的圓的外部,則直線的斜率的取值范圍為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知直線與圓心為的圓相交于兩點,且,則實數(shù)的值為_________.14.函數(shù)在區(qū)間(-∞,1)上遞增,則實數(shù)a的取值范圍是____15.若函數(shù),則__________;__________.16.已知拋物線的焦點為,斜率為2的直線與的交點為,若,則直線的方程為___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某公司打算引進一臺設備使用一年,現(xiàn)有甲、乙兩種設備可供選擇.甲設備每臺10000元,乙設備每臺9000元.此外設備使用期間還需維修,對于每臺設備,一年間三次及三次以內(nèi)免費維修,三次以外的維修費用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計了曾使用過的甲、乙各50臺設備在一年間的維修次數(shù),得到下面的頻數(shù)分布表,以這兩種設備分別在50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)23456甲設備5103050乙設備05151515(1)設甲、乙兩種設備每臺購買和一年間維修的花費總額分別為和,求和的分布列;(2)若以數(shù)學期望為決策依據(jù),希望設備購買和一年間維修的花費總額盡量低,且維修次數(shù)盡量少,則需要購買哪種設備?請說明理由.18.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,底面是矩形,,,分別是,的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)設,求三棱錐的體積.19.(12分)如圖,已知四邊形的直角梯形,∥BC,,,,為線段的中點,平面,,為線段上一點(不與端點重合).(1)若,(ⅰ)求證:PC∥平面;(ⅱ)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值;(2)否存在實數(shù)滿足,使得直線與平面所成的角的正弦值為,若存在,確定的值,若不存在,請說明理由.20.(12分)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設數(shù)列的前項和為,證明:.21.(12分)設為實數(shù),已知函數(shù),.(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(2)設為實數(shù),若不等式對任意的及任意的恒成立,求的取值范圍;(3)若函數(shù)(,)有兩個相異的零點,求的取值范圍.22.(10分)近年空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多,大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸.呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關,在某醫(yī)院隨機的對入院人進行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:患心肺疾病不患心肺疾病合計男女合計已知在全部人中隨機抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率為.(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有的把握認為患心肺疾病與性別有關?請說明你的理由;(2)已知在不患心肺疾病的位男性中,有位從事的是戶外作業(yè)的工作.為了指導市民盡可能地減少因霧霾天氣對身體的傷害,現(xiàn)從不患心肺疾病的位男性中,選出人進行問卷調(diào)查,求所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的概率.下面的臨界值表供參考:(參考公式,其中)

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

判斷出已知條件中雙曲線的漸近線方程,求得四個選項中雙曲線的漸近線方程,由此確定選項.【詳解】兩條漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與軸的夾角時要分為兩種情況.依題意,雙曲漸近線與軸的夾角為30°或60°,雙曲線的漸近線方程為或.A選項漸近線為,B選項漸近線為,C選項漸近線為,D選項漸近線為.所以雙曲線的方程不可能為.故選:C【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程,屬于基礎題.2.D【解析】

設,,,根據(jù)可得①,再根據(jù)又②,由①②可得,化簡可得,即可求出離心率.【詳解】解:設,,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故選:D.【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),考查了斜率的計算,離心率的求法,屬于基礎題和易錯題.3.D【解析】

由折線圖逐項分析即可求解【詳解】選項,顯然正確;對于,,選項正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯.故選:D【點睛】本題考查統(tǒng)計的知識,考查數(shù)據(jù)處理能力和應用意識,是基礎題4.D【解析】試題分析:先畫出可行域如圖:由,得,由,得,當直線過點時,目標函數(shù)取得最大值,最大值為3;當直線過點時,目標函數(shù)取得最小值,最小值為3a;由條件得,所以,故選D.考點:線性規(guī)劃.5.A【解析】

分子分母同乘分母的共軛復數(shù)即可.【詳解】,故的虛部為.故選:A.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,考查學生運算能力,是一道容易題.6.D【解析】

將原題等價轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)都有兩個不同的根,先求導,可判斷時,,是增函數(shù);當時,,是減函數(shù).因此,再令,求導得,結(jié)合韋達定理可知,要滿足題意,只能是存在零點,使得在有解,通過導數(shù)可判斷當時,在上是增函數(shù);當時,在上是減函數(shù);則應滿足,再結(jié)合,構造函數(shù),求導即可求解;【詳解】函數(shù)在內(nèi)都有兩個不同的零點,等價于方程在內(nèi)都有兩個不同的根.,所以當時,,是增函數(shù);當時,,是減函數(shù).因此.設,,若在無解,則在上是單調(diào)函數(shù),不合題意;所以在有解,且易知只能有一個解.設其解為,當時,在上是增函數(shù);當時,在上是減函數(shù).因為,方程在內(nèi)有兩個不同的根,所以,且.由,即,解得.由,即,所以.因為,所以,代入,得.設,,所以在上是增函數(shù),而,由可得,得.由在上是增函數(shù),得.綜上所述,故選:D.【點睛】本題考查由函數(shù)零點個數(shù)求解參數(shù)取值范圍問題,構造函數(shù)法,導數(shù)法研究函數(shù)增減性與最值關系,轉(zhuǎn)化與化歸能力,屬于難題7.B【解析】

①利用真假表來判斷,②考慮內(nèi)角為,③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷,④利用集合間的包含關系判斷.【詳解】若“且”為假命題,則﹑中至少有一個是假命題,故①錯誤;當內(nèi)角為時,不是象限角,故②錯誤;由特稱命題的否定是全稱命題知③正確;因為,所以,所以“”是“”的必要條件,故④正確.故選:B.【點睛】本題考查命題真假的問題,涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識,是一道基礎題.8.C【解析】

由可得,解得或,所以或,又,所以,故選C.9.B【解析】

過點E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因為平面ABE,所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.設,將表示成關于的函數(shù),再求函數(shù)的最值,即可得答案.【詳解】過點E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因為平面平面ABCD,所以平面ABCD,所以.因為底面ABCD是邊長為1的正方形,,所以.因為平面ABE,所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE,所以點H到平面ABE的距離,即為H到EF的距離.不妨設,則,.因為,所以,所以,當時,等號成立.此時EH與ED重合,所以,.故選:B.【點睛】本題考查空間中點到面的距離的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力和運算求解能力,求解時注意輔助線及面面垂直的應用.10.A【解析】

根據(jù)復數(shù)的基本運算求解即可.【詳解】.故選:A【點睛】本題主要考查了復數(shù)的基本運算,屬于基礎題.11.A【解析】

詳解:由題意知,題干中所給的是榫頭,是凸出的幾何體,求得是卯眼的俯視圖,卯眼是凹進去的,即俯視圖中應有一不可見的長方形,且俯視圖應為對稱圖形故俯視圖為故選A.點睛:本題主要考查空間幾何體的三視圖,考查學生的空間想象能力,屬于基礎題。12.D【解析】

設直線:,,,由原點在以為直徑的圓的外部,可得,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達定理,即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件,故可設直線:,,,由,得,,解得或,,,,,,解得,直線的斜率的取值范圍為.故選:D.【點睛】本題解題關鍵是掌握橢圓的基礎知識和圓錐曲線與直線交點問題時,通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過韋達定理建立起目標的關系式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.0或6【解析】

計算得到圓心,半徑,根據(jù)得到,利用圓心到直線的距離公式解得答案.【詳解】,即,圓心,半徑.,故圓心到直線的距離為,即,故或.故答案為:或.【點睛】本題考查了根據(jù)直線和圓的位置關系求參數(shù),意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力。14.【解析】

根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)型函數(shù)的定義域列不等式組,解不等式求得的取值范圍.【詳解】由二次函數(shù)的性質(zhì)和復合函數(shù)的單調(diào)性可得解得.故答案為:【點睛】本小題主要考查根據(jù)對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,屬于基礎題.15.01【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式,代入即可求解.【詳解】函數(shù),所以,.故答案為:0;1.【點睛】本題考查了分段函數(shù)求值的簡單應用,屬于基礎題.16.【解析】

設直線l的方程為,,聯(lián)立直線l與拋物線C的方程,得到A,B點橫坐標的關系式,代入到中,解出t的值,即可求得直線l的方程【詳解】設直線.由題設得,故,由題設可得.

由可得,

則,從而,得,所以l的方程為,故答案為:【點睛】本題主要考查了直線的方程,拋物線的定義,拋物線的簡單幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關系,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)分布列見解析,分布列見解析;(2)甲設備,理由見解析【解析】

(1)的可能取值為10000,11000,12000,的可能取值為9000,10000,11000,12000,計算概率得到分布列;(2)計算期望,得到,設甲、乙兩設備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為,,計算分布列,計算數(shù)學期望得到答案.【詳解】(1)的可能取值為10000,11000,12000,,因此的分布如下100001100012000的可能取值為9000,10000,11000,12000,,,因此的分布列為如下9000100001100012000(2)設甲、乙兩設備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為,的可能取值為2,3,4,5,,,則的分布列為2345的可能取值為3,4,5,6,,,則的分布列為3456由于,,因此需購買甲設備【點睛】本題考查了數(shù)學期望和分布列,意在考查學生的計算能力和應用能力.18.(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)取中點,連,,根據(jù)平行四邊形,可得,進而證得平面平面,利用面面垂直的性質(zhì),得平面,又由,即可得到平面.(Ⅱ)根據(jù)三棱錐的體積公式,利用等積法,即可求解.【詳解】(Ⅰ)取中點,連,,由,可得,可得是平行四邊形,則,又平面,∴平面平面,∵平面,平面,∴平面平面,∵,是中點,則,而平面平面,而,∴平面.(Ⅱ)根據(jù)三棱錐的體積公式,得.【點睛】本題主要考查了空間中線面位置關系的判定與證明,以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積,其中解答中熟記線面位置關系的判定定理和性質(zhì)定理,以及合理利用“等體積法”求解是解答的關鍵,著重考查了推理與論證能力,屬于基礎題.19.(1)(ⅰ)證明見解析(ⅱ)(2)存在,【解析】

(1)(i)連接交于點,連接,,依題意易證四邊形為平行四邊形,從而有,,由此能證明PC∥平面(ii)推導出,以為原點建立空間直角坐標系,利用向量法求解;(2)設,求出平面的法向量,利用向量法求解.【詳解】(1)(ⅰ)證明:連接交于點,連接,,因為為線段的中點,所以,因為,所以因為∥所以四邊形為平行四邊形.所以又因為,所以又因為平面,平面,所以平面.(ⅱ)解:如圖,在平行四邊形中因為,,所以以為原點建立空間直角坐標系則,,,所以,,,平面的法向量為設平面的法向量為,則,即,取,得,設平面和平面所成的銳二面角為,則所以銳二面角的余弦值為(2)設所以,,設平面的法向量為,則,取,得,因為直線與平面所成的角的正弦值為,所以解得所以存在滿足,使得直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】此題二查線面平行的證明,考查銳二面角的余弦值的求法,考查滿足線面角的正弦值的點是否存在的判斷與求法,考查空間中線線,線面,面面的位置關系等知識,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.20.(1)(2)證明見解析【解析】

(1),①當時,,②兩式相減即得數(shù)列的通項公式;(2)先求出,再利用裂項相消法求和證明.【詳解】(1)解:,①當時,.當時,,②由①-②,得,因為符合上式,所以.(2)證明:因為,所以.【點睛】本題主要考查數(shù)列通項的求法,考查數(shù)列求和,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.21.(1)函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為.(2)(3)【解析】

(1)據(jù)導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關系即可求出;(2)分離參數(shù),可得對任意的及任意的恒成立,構造函數(shù),利用導數(shù)求出函數(shù)的最值即可求出的范圍;(3)先求導,再分類討論,根據(jù)導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性以及最值得關系即可求出的范圍【詳解】解:(1)當時,因為,當時,;當時,.所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為.(2)由,得,由于,所以對任意的及任意的恒成立,由于,所以,所以對任意的恒成立,設,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以.(3)由,得,其中.①若時,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)至多有一個零點,不合題意;②若時,令,得.由第(2)小題,知:當時,,所以,所以,所以當時,函數(shù)的值域為.所以,存在,使得,即,①且當時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增

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