數(shù)學(xué)教案：空間中的平行關(guān)系直線與平面平行

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7（)，\s\do5（整體設(shè)計）)教學(xué)分析教材首先歸納了直線與平面的位置關(guān)系,通過實際操作歸納出了直線與平面平行的判定定理，給出了性質(zhì)定理并加以證明．值得注意的是判定定理不需證明，只需要歸納出即可．三維目標1．掌握直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，提高學(xué)生的歸納能力和抽象思維能力．2．利用判定定理和性質(zhì)定理解決有關(guān)問題，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．重點難點教學(xué)重點:歸納判定定理和兩個定理的應(yīng)用．教學(xué)難點：性質(zhì)定理的證明．課時安排1課時eq\o（\s\up7(）,\s\do5(教學(xué)過程）)導(dǎo)入新課設(shè)計1.(情境導(dǎo)入）將一本書平放在桌面上，翻動書的封面，封面邊緣AB所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關(guān)系？設(shè)計2.（實例導(dǎo)入）平衡木是女子競技體操的一個項目，它需要在高1.2米、寬10公分的木板上完成各種跳步、轉(zhuǎn)體、平衡、舞蹈及技巧空翻動作．運動員必須具備很好的控制身體的能力、準確的動作技術(shù)及勇敢果斷的意志品質(zhì)．我國平衡木一直處于世界一流水平，2000年劉璇摘取奧運平衡木金牌．你知道如何在平衡木上保持平衡嗎？推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究）)eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題)）(1）我們知道，如果一條直線和一個平面有兩個公共點，那么這條直線就在這個平面內(nèi)(如下圖）．在空間中,一條直線和一個平面的位置關(guān)系,除了直線在平面內(nèi),還有幾種情況？(2)若平面外一條直線平行平面內(nèi)一條直線，探究平面外的直線與平面的位置關(guān)系．(3）用三種語言描述直線與平面平行的判定定理．（4)直線與平面平行有什么性質(zhì)?討論結(jié)果：（1）直線a和平面α只有一個公共點A，叫做直線與平面相交，這個公共點A叫做直線與平面的交點(如下圖(1）），并記作a∩α＝A。直線a與平面α沒有公共點，叫做直線與平面平行．并記作a∥α(如下圖(2)）．(1)(2)從以上分析可知,如果直線不在平面內(nèi)，還有兩種情況，即平行和相交．因此,除了直線在平面內(nèi)直線與平面的位置關(guān)系不是平行就是相交．（2）直線a在平面α外,是不是能夠判定a∥α呢?不能！直線a在平面α外包含兩種情形：一是a與α相交，二是a與α平行,因此，由直線a在平面α外，不能斷定a∥α。若平面外一條直線平行平面內(nèi)一條直線，那么平面外的直線與平面的位置關(guān)系可能相交嗎？既然不可能相交，則該直線與平面平行．(3）直線與平面平行的判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行．符號語言為：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（aα，bα，a∥b))a∥α.圖形語言為：如下圖．（4)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行．已知：l∥α,lβ,α∩β＝m(如下圖)．求證：l∥m。證明：因為l∥α，所以l和α沒有公共點．又因為m在α內(nèi)，所以l和m也沒有公共點．因為l和m都在平面β內(nèi),且沒有公共點,所以l∥m。在空間中，經(jīng)常應(yīng)用這條定理,由“線、面平行”去判斷“線、線平行”．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例)）思路1例1已知：空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點（如下圖)．求證：EF∥平面BCD。證明：連結(jié)BD.在△ABD中,因為E，F(xiàn)分別是AB,AD的中點，所以EF∥BD.又因為BD平面BCD，EF平面BCD，所以EF∥平面BCD。例2求證：如果過一個平面內(nèi)一點的直線平行于與該平面平行的一條直線，則這條直線在這個平面內(nèi)．已知：l∥α，點P∈α，P∈m，m∥l(如下圖)．求證：mα.證明：設(shè)l與P確定的平面為β，且α∩β＝m′，則l∥m′。又知l∥m，m∩m′＝P,由平行公理可知，m與m′重合．所以mα。變式訓(xùn)練如下圖，在△ABC所在平面外有一點P，M、N分別是PC和AC上的點,過MN作平面平行于BC，畫出這個平面與其他各面的交線，并說明畫法．畫法：過點N在面ABC內(nèi)作NE∥BC交AB于E，過點M在面PBC內(nèi)作MF∥BC交PB于F，連結(jié)EF，則平面MNEF為所求,其中MN、NE、EF、MF分別為平面MNEF與各面的交線．證明：如下圖，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（BC面MNEF,NE面MNEF,BC∥NE））BC∥平面MNEF.所以BC∥平面MNEF.點評:“見中點，找中點”是證明線線平行常用方法，而證明線面平行往往轉(zhuǎn)化為證明線線平行．思路2例3設(shè)P，Q是邊長為a的正方體AC1的面AA1D1D,面A1B1C1D1的中心，如下圖，(1)證明PQ∥平面AA1B1B；(2）求線段PQ的長．(1)證法一：取AA1,A1B1的中點M，N，如下圖，連結(jié)MN，NQ,MP，∵MP∥AD，MP＝eq\f（1，2）AD，NQ∥A1D1，NQ＝eq\f(1,2）A1D1，∴MP∥ND且MP＝ND。∴四邊形PQNM為平行四邊形．∴PQ∥MN。∵MN面AA1B1B，PQ面AA1B1B，∴PQ∥面AA1B1B.證法二：連結(jié)AD1,AB1，在△AB1D1中，顯然P，Q分別是AD1，D1B1的中點,∴PQ∥AB1,且PQ＝eq\f（1,2）AB1.∵PQ面AA1B1B，AB1面AA1B1B,∴PQ∥面AA1B1B.（2)解：方法一：PQ＝MN＝eq\r(A1M2＋A1N2)＝eq\f(\r(2）,2）a。方法二：PQ＝eq\f（1,2）AB1＝eq\f（\r（2），2)a.變式訓(xùn)練如下圖,正方體ABCD—A1B1C1D1中,E在AB1上,F在BD上，且B1E＝BF.求證：EF∥平面BB1C1C。證明：連結(jié)AF并延長交BC于M，連結(jié)B1M?！逜D∥BC，∴△AFD∽△MFB?！鄀q\f(AF,FM)＝eq\f（DF,BF)。又∵BD＝B1A，B1E＝BF，∴DF＝AE?！鄀q\f(AF，F(xiàn)M)＝eq\f(AE,B1E）.∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C?！郋F∥平面BB1C1C.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練））1．已知四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，M為PC的中點，求證:PA∥平面MBD。證明：如下圖，連結(jié)AC、BD交于O點，連結(jié)MO，∵O為AC的中點，M為PC的中點,∴MO為△PAC的中位線．∴PA∥MO?！逷A平面MBD，MO平面MBD，∴PA∥平面MBD。2.如下圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是A1A，D1C的中點．求證:MN∥平面ABCD.分析:取CD的中點E，轉(zhuǎn)化為證明線線平行MN∥AE.證明：取CD的中點記為E，連結(jié)NE，AE.如下圖．由N，E分別為CD1與CD的中點，可得NE∥D1D且NE＝eq\f（1，2)D1D，又AM∥D1D且AM＝eq\f（1,2)D1D,所以AM∥EN且AM＝EN，即四邊形AMNE為平行四邊形，所以MN∥AE，又AE面ABCD，MN面ABCD，所以MN∥面ABCD.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升）)如下圖，已知ABCD和ACEF所在的平面相交于AC，M是線段EF的中點．求證：AM∥平面BDE.

證明:設(shè)AC∩BD＝O,連結(jié)OE，∵O、M分別是AC、EF的中點,四邊形ACEF是平行四邊形，∴四邊形AOEM是平行四邊形．∴AM∥OE.∵OE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié))）證明平行的策略是轉(zhuǎn)化,即證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明線線平行．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（作業(yè)））本節(jié)練習(xí)B3，4題．eq\o（\s\up7(）,\s\do5(設(shè)計感想））線面關(guān)系是線線關(guān)系和面面關(guān)系的橋梁和紐帶，線面平行的判定是高考考查的重點，多年來,高考立體幾何第一問往往考查線面平行的判定．本節(jié)不僅選用了大量的傳統(tǒng)經(jīng)典題目，而且還選取了近幾年的高考題目．學(xué)生通過這些優(yōu)秀題目的訓(xùn)練，不僅可以熟練掌握線面平行的判定，而且將大大增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心．eq\o（\s\up7(),\s\do5（備課資料)）備選習(xí)題下列命題中正確的個數(shù)是(）①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α②若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行④若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點A．0B．1C．2D．3解析：如