高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)(新教材新高考)專題11.5離散型隨機(jī)變量的分布列專題練習(xí)（學(xué)生版+解析）

專題11.5離散型隨機(jī)變量的分布列練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某商店購(gòu)進(jìn)一批西瓜，預(yù)計(jì)晴天西瓜暢銷，可獲利1000元；陰天銷路一般，可獲利500元；下雨天西瓜滯銷，會(huì)虧損500元，根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，未來(lái)數(shù)日晴天的概率為0.4，陰天的概率為0.2，下雨的概率為0.4，試寫(xiě)出銷售這批西瓜獲利的分布列．2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，求a的值．X123P0.3a0.53．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）拋一枚均勻的硬幣，設(shè)寫(xiě)出X的分布列．4．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量ξ只能取兩個(gè)值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，寫(xiě)出ξ的分布列.5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下，求k的值．ξ12…nPk2k…2n－1·k6．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下表所示．45678910P0.030.050.070.080.26a0.23（1）求常數(shù)a的值；（2）求．7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）從裝有6個(gè)白球和4個(gè)紅球的口袋中任取1個(gè)球，用X表示取得的白球數(shù)，求X的分布列．8．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知X服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布．（1）求；（2）若，寫(xiě)出Y的分布列．9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）分別判斷下列表格是否可能是隨機(jī)變量X的分布列，并說(shuō)明理由：（1）X0123P0.20.20.20.20.3（2）X012345P0.10.30.40.20.210．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：（1）的分布列；（2）的值．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝1，則隨機(jī)變量ξ的取值對(duì)應(yīng)的概率正確的是（）．A．P(ξ＝0)＝ B．P(ξ＝)＝C．P(ξ＝1)＝ D．P(ξ＝)＝2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：X0123Pab則a2＋b2的最小值為_(kāi)_______．3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）將3個(gè)小球任意地放入4個(gè)大玻璃杯中，一個(gè)杯子中球的最多個(gè)數(shù)記為X，則X的分布列是________.4.（2017課標(biāo)3，理18選）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；5.（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）拋一枚均勻的硬幣2次，設(shè)正面朝上的次數(shù)為X．（1）說(shuō)明表示的是什么事件，并求出；（2）求X的分布列．6．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊訓(xùn)練中，共有5發(fā)子彈，如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡．若已知每次射擊命中的概率均為0.9，求該運(yùn)動(dòng)員這次訓(xùn)練耗用的子彈數(shù)X的分布列．7.（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率.（1）求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；（2）記X為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列.8．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）從集合的所有非空子集中，隨機(jī)地取出一個(gè).（1）求所取出的非空子集中所有元素之和為10的概率；（2）記所取出的非空子集中的元素個(gè)數(shù)為，求的分布列.9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）同時(shí)擲兩個(gè)均勻的骰子，設(shè)所得點(diǎn)數(shù)之和為X．（1）寫(xiě)出X的分布列；（2）求；（3）求“點(diǎn)數(shù)和大于9”的概率．10.（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）某市高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷解答題的網(wǎng)上評(píng)卷采用“雙評(píng)+仲裁”的方式：兩名老師獨(dú)立評(píng)分，稱為一評(píng)和二評(píng)，當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值小于或等于1分時(shí)，取兩者平均分為該題得分；當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值大于1分時(shí)，再由第三位老師評(píng)分，稱之為仲裁，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評(píng)中與之接近的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分；當(dāng)一、二評(píng)分?jǐn)?shù)和仲裁分?jǐn)?shù)差值的絕對(duì)值相同時(shí)，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評(píng)中較高的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分．有的學(xué)生考試中會(huì)做的題目答完后卻得不了滿分，原因多為答題不規(guī)范，比如：語(yǔ)言不規(guī)范、缺少必要文字說(shuō)明、卷面字跡不清、得分要點(diǎn)缺失等等，把這樣的解答稱為“缺憾解答”．該市教育研訓(xùn)部門(mén)通過(guò)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，滿分為12分的題目，這樣的“缺憾解答”，閱卷老師所評(píng)分?jǐn)?shù)及各分?jǐn)?shù)所占比例如表：老師評(píng)分11109分?jǐn)?shù)所占比例將這個(gè)表中的分?jǐn)?shù)所占比例視為老師對(duì)滿分為12分題目的“缺憾解答”所評(píng)分?jǐn)?shù)的概率，且一、二評(píng)與仲裁三位老師評(píng)分互不影響．已知一個(gè)同學(xué)的某道滿分為12分題目的解答屬于“缺憾解答”．（1）求該同學(xué)這個(gè)題目需要仲裁的概率；（2）求該同學(xué)這個(gè)題目得分X的分布列．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·湖南·高考真題）端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤(pán)中裝有6個(gè)粽子，其中肉粽1個(gè)，蛋黃粽2個(gè)，豆沙粽3個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個(gè).（1）用表示取到的豆沙粽的個(gè)數(shù)，求的分布列；（2）求選取的2個(gè)中至少有1個(gè)豆沙粽的概率.2.（2019年高考北京卷理選）改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；（2）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列；（3）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由．3.（2018年理數(shù)天津卷選）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.4.（2017山東，理18選）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率.（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列.5．（2017北京，理17選）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列.6．（2017·天津高考真題（理））從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．（）設(shè)表示一輛車(chē)從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和均值．（）若有輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地，求這輛車(chē)共遇到個(gè)紅燈的概率．專題11.5離散型隨機(jī)變量的分布列練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某商店購(gòu)進(jìn)一批西瓜，預(yù)計(jì)晴天西瓜暢銷，可獲利1000元；陰天銷路一般，可獲利500元；下雨天西瓜滯銷，會(huì)虧損500元，根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，未來(lái)數(shù)日晴天的概率為0.4，陰天的概率為0.2，下雨的概率為0.4，試寫(xiě)出銷售這批西瓜獲利的分布列．【答案】答案見(jiàn)解析．【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)列表格．【詳解】用表示獲利，則的取值分別是1000，500，－500，分布列如下表：1000500－5000.40.20.42．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，求a的值．X123P0.3a0.5【答案】0.2【分析】由分布列中所有概率和為1計(jì)算．【詳解】由題意，解得3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）拋一枚均勻的硬幣，設(shè)寫(xiě)出X的分布列．【答案】答案見(jiàn)解析．【分析】的值分別為，1，求出概率后得分布列．【詳解】拋一枚均勻的硬幣，有兩種可能，正面向上或反面向上，兩種情況的可能性相同，或，，分布列如下：014．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量ξ只能取兩個(gè)值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，寫(xiě)出ξ的分布列.【答案】答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)概率之和為1可求出.【詳解】由題意及分布列滿足的條件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，所以，故.所以ξ的分布列為ξ01P5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下，求k的值．ξ12…nPk2k…2n－1·k【答案】【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量ξ的概率性質(zhì)即可求解參數(shù)．【詳解】因?yàn)?＝k＋2k＋…＋2n－1k＝k(1＋2＋…＋2n－1)＝k·＝(2n－1)k，所以．6．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下表所示．45678910P0.030.050.070.080.26a0.23（1）求常數(shù)a的值；（2）求．【答案】（1）0.28（2）0.85【分析】（1）由分布列中所有概率和為1計(jì)算；（2）計(jì)算即可．（1）由題意，解得；（2）＝．7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）從裝有6個(gè)白球和4個(gè)紅球的口袋中任取1個(gè)球，用X表示取得的白球數(shù)，求X的分布列．【答案】答案見(jiàn)解析．【分析】確定的可能值，計(jì)算出概率后得分布列．【詳解】的所有可能值是0，1．，，所以的分布列如下：018．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知X服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布．（1）求；（2）若，寫(xiě)出Y的分布列．【答案】（1）0.7（2）答案見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布的概念求解；（2）求出的可能值，寫(xiě)出分布列即可．（1）．（2）時(shí)，，時(shí)，，所以的分布列為：130.70.39．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）分別判斷下列表格是否可能是隨機(jī)變量X的分布列，并說(shuō)明理由：（1）X0123P0.20.20.20.20.3（2）X012345P0.10.30.40.20.2【答案】（1）不是，理由見(jiàn)解析．（2）不是，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)分布列中所有概率和為1說(shuō)明；（2）由概率的范圍說(shuō)明．（1）由于，因此此表格不是隨機(jī)變量的分布列（2）表格中事件的概率是，這是不可能的，概率在范圍內(nèi)．因此此表格不是隨機(jī)變量的分布列．10．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：（1）的分布列；（2）的值．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；（2）0.7.【分析】(1)先由分布列的性質(zhì)解出，然后按步驟寫(xiě)出分布列即可；（2）根據(jù)（1）中的分布列可計(jì)算出答案.【詳解】由分布列的性質(zhì)知，，解得．（1）由題意可知，，，，，，所以的分布列為：13579P0.20.10.10.30.3（2）.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝1，則隨機(jī)變量ξ的取值對(duì)應(yīng)的概率正確的是（）．A．P(ξ＝0)＝ B．P(ξ＝)＝C．P(ξ＝1)＝ D．P(ξ＝)＝【答案】ABC【分析】根據(jù)題設(shè)，結(jié)合正方體的性質(zhì)求兩條棱相交、平行、異面的可能情況數(shù)，再寫(xiě)出對(duì)應(yīng)ξ＝0、ξ＝1、ξ＝的情況數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法求它們的概率值即可.【詳解】由題設(shè)，ξ的可能取值為0，1，．若兩條棱相交，交點(diǎn)必在正方體的頂點(diǎn)處，過(guò)任意一個(gè)頂點(diǎn)的棱有3條，則P(ξ＝0)＝＝，若兩條棱平行，它們的距離為1或，而距離為的共有6對(duì)，∴P(ξ＝)＝＝，故P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，ξ分布列如下：ξ01P故選：ABC2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：X0123Pab則a2＋b2的最小值為_(kāi)_______．【答案】【分析】首先根據(jù)分布列的性質(zhì)得到，再利用基本不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】由分布列的性質(zhì)，知，即.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故答案為：3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）將3個(gè)小球任意地放入4個(gè)大玻璃杯中，一個(gè)杯子中球的最多個(gè)數(shù)記為X，則X的分布列是________.【答案】X123P【分析】將3個(gè)小球任意地放入4個(gè)玻璃杯中，杯子中球的個(gè)數(shù)最多為3個(gè)，那么對(duì)于各種情況下的概率值進(jìn)行計(jì)算得到分布列．【詳解】由題意知X的可能取值為1，2，3；；故答案為：X123P4.（2017課標(biāo)3，理18選）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；【答案】(1)見(jiàn)解析.【解析】（1）由題意知，所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，，.因此的分布列為0.20.40.45.（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）拋一枚均勻的硬幣2次，設(shè)正面朝上的次數(shù)為X．（1）說(shuō)明表示的是什么事件，并求出；（2）求X的分布列．【答案】（1）事件見(jiàn)解析，；（2）分布列見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)表示的意義確定事件，并計(jì)算概率．（2）的可能值為0，1，2，求出各概率后得分布列．（1）表示正面向上的次數(shù)為1的事件，．（2）的可能值為0，1，2，則，，的分布列如下：0126．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊訓(xùn)練中，共有5發(fā)子彈，如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡．若已知每次射擊命中的概率均為0.9，求該運(yùn)動(dòng)員這次訓(xùn)練耗用的子彈數(shù)X的分布列．【答案】答案見(jiàn)詳解.【分析】X的可能取值為，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出耗用的子彈數(shù)X的分布列.【詳解】根據(jù)題意，，，，，.X的分布列為：7.（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率.（1）求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；（2）記X為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）由古典概型概率公式與互斥事件的概率公式求解即可；（2）求出X的可能取值，再用古典概型概率公式與互斥事件的概率公式求出概率，即可求解【詳解】（1）記“當(dāng)天商品銷售量為0件”為事件A，“當(dāng)天商品銷售量為1件”為事件B，“當(dāng)天商店不進(jìn)貨”為事件C，則；（2）由題意知，X的可能取值為2，3.P(X＝2)＝P(當(dāng)天商品銷售量為1件)＝；P(X＝3)＝P(當(dāng)天商品銷售量為0件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為2件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為3件)＝，故X的分布列為：X23P8．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）從集合的所有非空子集中，隨機(jī)地取出一個(gè).（1）求所取出的非空子集中所有元素之和為10的概率；（2）記所取出的非空子集中的元素個(gè)數(shù)為，求的分布列.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）計(jì)算基本事件總數(shù)和滿足條件的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式即得解；（2）的所有可能取值為1，2，3，4，5，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列即可.【詳解】（1）記“所取出的非空子集中所有元素之和為10”為事件.基本事件總數(shù)，事件包含的基本事件有，，，共3個(gè)，故.（2）依題意，的所有可能取值為1，2，3，4，5.，，，，.故的分布列為123459．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）同時(shí)擲兩個(gè)均勻的骰子，設(shè)所得點(diǎn)數(shù)之和為X．（1）寫(xiě)出X的分布列；（2）求；（3）求“點(diǎn)數(shù)和大于9”的概率．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）．【分析】（1）的可能值為，分別計(jì)算出概率后可得分布列；（2）由可得；（3）由可得．（1）由題意的可能值依次為，兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和列表如下（第一行是一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)，第一列是另一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)，其他格子中為兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)和，共36個(gè)：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表可得，，，，，，的分布列如下：23456789101112（2）；（3）．10.（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）某市高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷解答題的網(wǎng)上評(píng)卷采用“雙評(píng)+仲裁”的方式：兩名老師獨(dú)立評(píng)分，稱為一評(píng)和二評(píng)，當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值小于或等于1分時(shí)，取兩者平均分為該題得分；當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值大于1分時(shí)，再由第三位老師評(píng)分，稱之為仲裁，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評(píng)中與之接近的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分；當(dāng)一、二評(píng)分?jǐn)?shù)和仲裁分?jǐn)?shù)差值的絕對(duì)值相同時(shí)，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評(píng)中較高的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分．有的學(xué)生考試中會(huì)做的題目答完后卻得不了滿分，原因多為答題不規(guī)范，比如：語(yǔ)言不規(guī)范、缺少必要文字說(shuō)明、卷面字跡不清、得分要點(diǎn)缺失等等，把這樣的解答稱為“缺憾解答”．該市教育研訓(xùn)部門(mén)通過(guò)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，滿分為12分的題目，這樣的“缺憾解答”，閱卷老師所評(píng)分?jǐn)?shù)及各分?jǐn)?shù)所占比例如表：老師評(píng)分11109分?jǐn)?shù)所占比例將這個(gè)表中的分?jǐn)?shù)所占比例視為老師對(duì)滿分為12分題目的“缺憾解答”所評(píng)分?jǐn)?shù)的概率，且一、二評(píng)與仲裁三位老師評(píng)分互不影響．已知一個(gè)同學(xué)的某道滿分為12分題目的解答屬于“缺憾解答”．（1）求該同學(xué)這個(gè)題目需要仲裁的概率；（2）求該同學(xué)這個(gè)題目得分X的分布列．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析.【分析】（1）記表示事件："該同學(xué)這個(gè)解答題需要仲裁"，設(shè)—評(píng)、二評(píng)所打分?jǐn)?shù)分別為由題設(shè)知事件的所有可能情況有：或由此能求出該同學(xué)這個(gè)題目需要仲裁的概率；（2）隨機(jī)事件的可能取值為分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列.【詳解】（1）設(shè)事件A表示“該同學(xué)這個(gè)題目需要仲裁”，一評(píng)、二評(píng)所打分?jǐn)?shù)分別為x，y，由題意知事件A的所有可能情況有或，∴．（2）隨機(jī)事件X的取值范圍為，設(shè)仲裁所打分?jǐn)?shù)為z，則，，，，，∴X的分布列為：X99.51010.511P練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·湖南·高考真題）端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤(pán)中裝有6個(gè)粽子，其中肉粽1個(gè)，蛋黃粽2個(gè)，豆沙粽3個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個(gè).（1）用表示取到的豆沙粽的個(gè)數(shù)，求的分布列；（2）求選取的2個(gè)中至少有1個(gè)豆沙粽的概率.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）首先求隨機(jī)變量，再利用古典概型求概率；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求概率.【詳解】（1）由條件可知，，，，所以的分布列，如下表，（2）選取的2個(gè)中至少有1個(gè)豆沙粽的對(duì)立事件是一個(gè)都沒(méi)有，則選取的2個(gè)中至少有1個(gè)豆沙粽的概率.2.（2019年高考北京卷理選）改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；（2）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列；（3）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列見(jiàn)解析，E（X）=1；（3）見(jiàn)解析．【解析】（1）由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人，僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25人，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人．故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100?30?25?5=40人．所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為．（2）X的所有可能值為0，1，2．記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”．由題設(shè)知，事件C，D相互獨(dú)立，且．所以，，．所以X的分布列為X012P0.240.520.24（3）記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”．假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒(méi)有變化，則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得．答案示例1：可以認(rèn)為有變化．理由如下：P（E）比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生．一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化，所以可以認(rèn)為有變化．答案示例2：無(wú)法確定有沒(méi)有變化．理由如下：事件E是隨機(jī)事件，P（E）比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無(wú)法確定有沒(méi)有變化．3.（2018年理數(shù)天津卷選）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.【答案】（Ⅰ）從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見(jiàn)解析；（ii）67【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0