2024-2025學年高中數(shù)學第一章常用邏輯用語1.4邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”學案含解析北師大版選修2-1

PAGE4邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”授課提示：對應學生用書第8頁一、用邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成新命題1．用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)兩個命題p和q，構(gòu)成一個新命題“p且q”．2．用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)兩個命題p和q，構(gòu)成一個新命題“p或q”．3．一般地，對命題p加以否定，就得到一個新命題，記作綈p，讀作“非p”．二、含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假pq綈pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假[疑難提示]命題的否定和否命題的區(qū)分命題的否定是干脆對命題的結(jié)論進行否定，而否命題是對“若p，則q”形式命題的條件和結(jié)論分別否定后得到的新命題，如命題“若x>1，則x3>1”的否定為“若x>1，則x3≤1”，而它的否命題為“若x≤1，則x3≤1”．[想一想]1．命題“p且q”，“p或q”的否定是什么？提示：“p且q”的否定是“綈p或綈q”，“p或q”的否定是“綈p且綈q”．[練一練]2．若p、q是兩個簡潔命題，且“p或q”的否定是真命題，則必有()A．p真q真 B．p假q假C．p真q假 D．p假q真解析：“p或q”的否定“綈p且綈q”為真，則綈p和綈q均為真，從而p、q均為假．答案：B授課提示：對應學生用書第9頁探究一用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)新命題[典例1]分別寫出由下列命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命題：(1)p：等比數(shù)列的公比可以是負數(shù)，q：等比數(shù)列可以是等差數(shù)列；(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有兩個相等的實數(shù)根，q：方程x2＋2x＋1＝0的兩根的肯定值相等；(3)p：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，q：三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角．[解析](1)“p或q”：等比數(shù)列的公比可以是負數(shù)或等比數(shù)列可以是等差數(shù)列；“p且q”：等比數(shù)列的公比可以是負數(shù)且等比數(shù)列可以是等差數(shù)列；“非p”：等比數(shù)列的公比不行以是負數(shù)．(2)“p或q”：方程x2＋2x＋1＝0有兩個相等的實數(shù)根或該方程的兩根的肯定值相等；“p且q”：方程x2＋2x＋1＝0有兩個相等的實數(shù)根且該方程的兩根的肯定值相等；“非p”：方程x2＋2x＋1＝0沒有兩個相等的實數(shù)根．(3)“p或q”：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和或大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角；“p且q”：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和且大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角；“非p”：三角形的外角不等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．在解題過程中，不但要留意，從結(jié)構(gòu)上組成“p或q”，“p且q”與“非p”形式的復合命題，同時還應從字面上對語句的表達加以適當?shù)卣{(diào)整．1．在一次射擊競賽中，甲、乙兩位運動員各射擊一次，設命題p：“甲的成果超過9環(huán)”，命題q：“乙的成果超過8環(huán)”，則命題“p或(綈q)”表示()A．甲的成果超過9環(huán)或乙的成果超過8環(huán)B．甲的成果超過9環(huán)或乙的成果沒有超過8環(huán)C．甲的成果超過9環(huán)且乙的成果超過8環(huán)D．甲的成果超過9環(huán)且乙的成果沒有超過8環(huán)解析：綈q表示乙的成果沒有超過8環(huán)，所以命題“p或(綈q)”表示甲的成果超過9環(huán)或乙的成果沒有超過8環(huán)，故選 B.答案：B2．在一次模擬射擊嬉戲中，小李連續(xù)射擊了兩次，設命題p1：“第一次射擊中靶”，命題p2：“其次次射擊中靶”，試用p1，p2及邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”表示下列命題：(1)兩次射擊均中靶；(2)兩次射擊均未中靶；(3)兩次射擊恰好有一次中靶；(4)兩次射擊至少有一次中靶．解析：(1)因為“兩次射擊均中靶”的意思是“第一次中靶”，“其次次中靶”同時發(fā)生了，所以需用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”，應為：“p1且p2”；(2)“兩次射擊均未中靶”說明“第一次射擊中靶”這件事情沒有發(fā)生，也就是綈p1發(fā)生了，且“其次次射擊中靶”這件事情也沒有發(fā)生，也就是綈p2發(fā)生了，并且是綈p1與綈p2同時發(fā)生的，故用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)應為：“綈p1且綈p2”(3)“兩次射擊恰好有一次中靶”有可能是“第一次中靶而其次次未中”，即“p1且綈p2”；也有可能是“第一次未中，而其次次射中”即“綈p1且p2”；從而原命題用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)應為：“p1且綈p2或綈p1且p(4)“兩次射擊至少有一次中靶”即“第一次射中”或“其次次射中”應為“p1或p2”探究二復合命題的否定[典例2]寫出下列命題的否定．(1)p：100既能被4整除，又能被5整除；(2)p：三條直線兩兩相交；(3)p：一元二次方程至多有兩個解．[解析](1)非p：100不能被4整除或不能被5整除．(2)非p：三條直線中至少有兩條直線不相交．(3)非p：一元二次方程至少有三個解．命題“p且q”的否定為“綈p或綈q”，命題“p或q”的否定為“綈p且綈q”．3．寫出下列命題的否定：(1)p：函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸有唯一交點；(2)q：若x＝3或x＝4，則x2－7x＋12＝0.解析：(1)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸沒有交點或至少有兩個交點．(2)若x＝3或x＝4，則x2－7x＋12≠0.4．p：若函數(shù)f(x)＝msinx的最大值是5，則m＝－5，寫出下列命題：(1)非p；(2)p的否命題．解析：(1)非p：若函數(shù)f(x)＝msinx的最大值是5，則m≠－5.(2)若函數(shù)f(x)＝msinx的最大值不是5，則m≠－5.探究三復合命題真值表的應用eq\x(\a\al(復合命題真,值表的應用))—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(正用),—\x(逆用),—\x(推斷簡潔命題與復合命題),—\x(求變量的取值范圍),—\x(求參數(shù)的取值范圍)))5．分別指出由下列命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”“非p”形式的復合命題，并推斷其真假．(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；(2)p：1是奇數(shù)，q：1是質(zhì)數(shù)；(3)p：0∈?，q：0∈{x|x2－3x－5<0}；(4)p：5≤5，q：27不是質(zhì)數(shù)；(5)p：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4<x<2}，q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|x<－4或x>2}．解析：(1)p或q：4∈{2,3}或2∈{2,3}，p且q：4∈{2,3}且2∈{2,3}，非p：4?{2,3}．因為p假q真，所以“p或q”為真，“p且q”為假，“非p”為真．(2)p或q：1是奇數(shù)或是質(zhì)數(shù)，p且q：1是奇數(shù)且是質(zhì)數(shù)，非p：1不是奇數(shù)．因為p真q假，所以“p或q”為真，“p且q”為假，“非p”為假．(3)p或q：0∈?或0∈{x|x2－3x－5<0}，p且q：0∈?且0∈{x|x2－3x－5<0}，非p：0??.因為p假q真，所以“p或q”為真，“p且q”為假，“非p”為真．(4)p或q：5≤5或27不是質(zhì)數(shù)，p且q：5≤5且27不是質(zhì)數(shù)，非p：5>5.因為p為5<5或5＝5，而5＝5為真，故p為真，又q也為真，所以“p或q”為真，“p且q”為真，“非p”為假．(5)p或q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4<x<2}或是{x|x<－4或x>2}，p且q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4<x<2}且{x|x<－4或x>2}，非p：不等式x2＋2x－8<0的解集不是{x|－4<x<2}．因為p真q假，所以“p或q”為真，“p且q”為假，“非p”為假．6．推斷下列命題是否為復合命題，若是，請指出它們的構(gòu)成形式及構(gòu)成它們的簡潔命題．(1)李明是運動員兼教練員；(2)x＝1是方程x2＝1的根；(3)不等式|x＋1|≤0沒有實數(shù)解；(4)1是合數(shù)或是素數(shù)．解析：(1)這個命題是“p且q”的形式，其中p：李明是運動員，q：李明是教練員．(2)此命題不是復合命題，是簡潔命題．(3)這個命題是“非p”形式的命題，其中p：不等式|x＋1|≤0有實數(shù)解．(4)這個命題是“p或q”的形式，其中p：1是合數(shù)；q：1是素數(shù)．7．已知命題p：關于x的方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解，命題q：只有一個實數(shù)x0滿意不等式xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2a≤0.若p或q是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．解析：由2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝eq\f(a,2)或x＝－a，∴當p為真命題時，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2，即－2≤a≤2.∵只有一個實數(shù)x0滿意xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2a≤0，即拋物線y＝x2＋2ax＋2a與x軸只有一個交點，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2，∴當q為真命題時，a＝0或a＝2.∵p或q為假命題，∴p，q均為假命題，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－2或a>2,a≠0且a≠2))，∴a<－2或a>2，∴實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－2)∪(2，＋∞)．含量詞命題的復合命題[典例](本題滿分12分)已知命題p：“對隨意x>0，x＋eq\f(1,x)＋1≥a”；命題q：“方程x2－ax＋2a＝0有兩個不等實根”．若p且q為假命題，p或q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍.[解析]命題p為真命題時，a≤3，命題q為真命題時，a＜0或a＞8.4分因為“p且q