2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算學(xué)案含解析新人教A版選修2-11

PAGE3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.駕馭空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義及運(yùn)算律．2.理解向量共線、向量共面的定義．3.駕馭共線向量定理和共面對量定理，會證明空間三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面.提升邏輯推理發(fā)展直觀想象授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第54頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點(diǎn)一空間向量的數(shù)乘運(yùn)算eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P86－87，思索并完成以下問題)平面對量的數(shù)乘運(yùn)算是什么？滿意哪些運(yùn)算律？提示：(1)實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積仍是一個向量．(2)|λa|＝|λ||a|.(3)λa的方向．當(dāng)λ>0時，λa的方向與a方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反．(4)數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律λ(μa)＝(λμ)a；λ(a＋b)＝λa＋λb.學(xué)問梳理空間向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)定義：實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍舊是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．(2)向量a與λa的關(guān)系λ的范圍方向關(guān)系模的關(guān)系λ>0方向相同λa的模是a的模的|λ|倍λ＝0λa＝0，其方向是隨意的λ<0方向相反(3)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算律若λ，μ是實(shí)數(shù)，a，b是空間向量，則有①安排律：λ(a＋b)＝λa＋λb；(λ＋μ)a＝λa＋μa；②結(jié)合律：λ(μa)＝(λμ)a.學(xué)問點(diǎn)二共線向量與共面對量eq\a\vs4\al(思索并完成以下問題)(1)在學(xué)習(xí)平面對量時，共線向量是怎樣定義的？如何規(guī)定0與任何向量的關(guān)系？提示：方向相同或相反的兩向量稱為共線向量；0與任何向量是共線向量．(2)對空間隨意兩個向量a與b，假如a＝λb，a與b有什么位置關(guān)系？反過來，a與b有什么位置關(guān)系時，a＝λb?提示：類似于平面對量共線的充要條件，對空間隨意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb(b≠0)．(3)對空間隨意兩個不共線的向量a，b，假如p＝xa＋yb，那么向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系？反過來，向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系時，p＝xa＋yb?提示：假如兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.學(xué)問梳理共線向量與共面對量共線(平行)向量共面對量定義表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于同一平面的向量叫做共面對量充要條件對于空間隨意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使a＝λb若兩個向量a，b不共線，則向量p與a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb推論假如l為經(jīng)過點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線，那么對于空間任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①，其中a叫做直線l的方向向量，如圖所示．若在l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，則①式可化為eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))如圖，空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))或?qū)臻g隨意一點(diǎn)O來說，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))[自我檢測]1．已知空間四邊形ABCD，M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，連接AM，AG，MG，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))等于()A.eq\o(AG,\s\up6(→)) B.eq\o(CG,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))答案：A2．滿意下列條件，能說明空間不重合的A，B，C三點(diǎn)共線的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) D．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|答案：C3．對于空間的隨意三個向量a，b,2a－bA．共面對量B．共線向量C．不共面對量D．既不共線也不共面的向量答案：A授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第55頁探究一空間向量的數(shù)乘運(yùn)算[教材P89練習(xí)2]如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上底面A′C′和側(cè)面CD′的中心．求下列各式中x，y的值：(1)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝x(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))；(2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))；(3)eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AA′,\s\up6(→)).解析：(1)在正方體中，eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))，∴x＝1.(2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)A′C′＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))∴x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2).(3)eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC′,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DD′,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2).[例1]已知ABCD為正方形，P是ABCD所在平面外的一點(diǎn)，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中點(diǎn)，求下列各式中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).[解析](1)如圖所示，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))，由向量加法的平行四邊形法則可得eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))，∴eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→)).∴x＝－eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2).(2)∵eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋2eq\o(QO,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋2(eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→)))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋2eq\o(PO,\s\up6(→))－2eq\o(PQ,\s\up6(→)).∴x＝2，y＝－2.方法技巧1.對向量進(jìn)行分解或?qū)ο蛄勘磉_(dá)式進(jìn)行化簡時，要精確運(yùn)用空間向量加法、減法的運(yùn)算法則，要熟識數(shù)乘向量運(yùn)算的幾何意義，同時還要留意將相關(guān)向量向選定的向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化．2．在△ABC中，若D為BC邊的中點(diǎn)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，這一結(jié)論可視為向量形式的中點(diǎn)公式，應(yīng)用特別廣泛，應(yīng)嫻熟駕馭．跟蹤探究1.如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)．(1)化簡：eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))；(2)設(shè)E是棱DD1上的點(diǎn)，且eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))，若eq\o(EO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，試求實(shí)數(shù)x，y，z的值．解析：(1)eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→)).(2)eq\o(EO,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－eq\f(2,3).探究二空間共線向量定理及其應(yīng)用[教材P99習(xí)題3.1B組2題改編]如圖，已知空間四邊形OABC中，OA＝OB，CA＝CB，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是OA，OB，BC，CA的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．證明：∵E，F(xiàn)，G，H分別為OA，OB，BC，CA的中點(diǎn)，∴eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→)).∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝2eq\o(OF,\s\up6(→))－2eq\o(OE,\s\up6(→))＝2(eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→)))＝2eq\o(EF,\s\up6(→))，∴AB∥EF，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(EF,\s\up6(→))|.同理HG∥AB，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(HG,\s\up6(→))|，∴四邊形EFGH是平行四邊形．[例2]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，點(diǎn)F在對角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→)).求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．[證明]設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.因為eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(A1F,\s\up6(→))－eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c)).又eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up6(→)).因為eq\o(EF,\s\up6(→))與eq\o(EB,\s\up6(→))有公共點(diǎn)E，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．方法技巧1.本題利用向量的共線證明白線線平行，解題時應(yīng)留意向量共線與兩直線平行的區(qū)分．2．推斷或證明兩向量a，b(b≠0)共線，就是找尋實(shí)數(shù)λ，使a＝λb成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡或用同一組向量表達(dá)．跟蹤探究2.如圖所示，已知四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，推斷eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))是否共線．解析：∵M(jìn)，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).又eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，∴2eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→)).∴eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))共線．探究三空間共面對量定理及其應(yīng)用[閱讀教材P88例1]如圖，已知平行四邊形ABCD，過平面AC外一點(diǎn)O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，并且使eq\f(OE,OA)＝eq\f(OF,OB)＝eq\f(OG,OC)＝eq\f(OH,OD)＝k，求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．題型：空間四點(diǎn)共面的判定方法步驟：(1)由數(shù)乘運(yùn)算表示出向量eq\o(OE,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→)).(2)由向量減法運(yùn)算得出eq\o(EG,\s\up6(→)).(3)由eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))的關(guān)系得出eq\o(EG,\s\up6(→))、eq\o(EF,\s\up6(→))、eq\o(EH,\s\up6(→))的關(guān)系，從而判定E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．[例3]已知A，B，C三點(diǎn)不共線，平面ABC外的一點(diǎn)M滿意eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→)).(1)推斷eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三個向量是否共面；(2)推斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)．[解析](1)因為eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→))，所以6eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以3eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(OM,\s\up6(→))＝(2eq\o(OM,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，因此3eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)).故向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，三個向量又有公共點(diǎn)M，故M，A，B，C共面，即點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)．方法技巧1.證明空間三個向量共面，常用如下方法：(1)設(shè)法證明其中一個向量可以表示成另兩個向量的線性組合，即若a＝xb＋yc，則向量a，b，c共面；(2)找尋平面α，證明這些向量與平面α平行．2．對空間四點(diǎn)P，M，A，B可通過證明下列結(jié)論成立來證明四點(diǎn)共面：(1)eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(2)對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(3)eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))，或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．跟蹤探究3.已知A，B，M三點(diǎn)不共線，對于平面ABM外的隨意一點(diǎn)O，確定在下列條件下，點(diǎn)P是否與A，B，M肯定共面．(1)eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))；(2)eq\o(OP,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)).解析：(1)∵eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))為共面對量，∴P與A，B，M共面．(2)eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋(eq\o(OA,\s\up6(