河南省鄭州市2023屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測文科數(shù)學試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1鄭州市2023年高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量預(yù)測文科數(shù)學試題卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗求解集合，進而求出交集.〖詳析〗.故選：A.2.若，則（）A.0 B.1C. D.2〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先根據(jù)將化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式即可求出．〖詳析〗因為，所以．故選：C．〖『點石成金』〗本題主要考查復(fù)數(shù)的模的計算公式的應(yīng)用，屬于容易題．3.設(shè)，則“”是“”的（）.A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合充分性、必要性的定義進行判斷即可.〖詳析〗由且且，故選：A．4.記為等比數(shù)列的前n項和．若，，則（）A.32 B.31 C.63 D.64〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由已知等式解出數(shù)列的首項和公比，利用等比數(shù)列的求和公式計算即可．〖詳析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，解得又，解得，則故選：B5.將2個1和3個0隨機排成一行，則2個1不相鄰的概率為（）A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗列舉出所有可能的結(jié)果，找到2個1不相鄰的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.〖詳析〗2個1和3個0隨機排成一行，基本事件有：，，，，，，，，，，共種；其中2個1不相鄰的有：，，，，，，共種，所以所求概率.故選：C.6.過拋物線的焦點F作直線交拋物線于、兩點，若，則的值為（）A.4 B.6 C.8 D.10〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用拋物線的定義結(jié)合已知計算即可．〖詳析〗拋物線的焦點為，準線方程為由拋物線的定義可得，故選：B7.已知函數(shù)，，下圖可能是下列哪個函數(shù)圖像（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗利用奇偶性和特殊點函數(shù)值的正負進行判斷.〖詳析〗對于，但定義域為，滿足，為偶函數(shù).同理可得：為奇函數(shù).記，則所以且，所以為非奇非偶函數(shù)；同理可證：為非奇非偶函數(shù)；和為奇函數(shù).由圖可知，圖像對應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，且.顯然選項A，B對應(yīng)的函數(shù)都不是奇函數(shù)，故排除；對C:，為奇函數(shù).當時，，故錯誤；對D，，為奇函數(shù).當時，.故正確.故選：D.8.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.若，則函數(shù)在上存在零點B.若，則將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得圖象關(guān)于原點對稱C.若函數(shù)在上取到最大值，則ω的最小值為D.若函數(shù)在上存在兩個最值，則的取值范圍是〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗對于選項A，由的取值范圍求出的取值范圍，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷；對于選項B，由三角函數(shù)圖象的平移規(guī)則得到平移后的〖解析〗式，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可判斷；對于選項C，由已知得，求解即可判斷；對于選項D，要使函數(shù)在上存在兩個最值，則，求解即可判斷.〖詳析〗解：對于A：當時，當時，，則，所以函數(shù)在上不存在零點，故A錯誤；對于B：當時，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，故B錯誤；對于C：因為函數(shù)在上取到最大值，所以，即有，化簡得因為，所以當時，的最小值為，所以C正確；對于D：當時，，要使函數(shù)在上存在兩個最值，則，解得，所以D不正確.故選：C9.設(shè)f（x）是定義城為R的奇函數(shù)，且．若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先求出的周期，利用函數(shù)周期性即可求解.詳析〗由題知，，，則，，變形可得，，的周期為：，，故選：.10.在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可〖詳析〗如圖，連接，，，因為，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，設(shè)正方體的棱長為2，則，，在中，，所以，故選：.11.設(shè)，為雙曲線C：的左、右焦點，Q為雙曲線右支上一點，點P（0，2）．當取最小值時，的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗結(jié)合雙曲線定義數(shù)形結(jié)合判斷取最小值時，三點共線，聯(lián)立直線及雙曲線方程解出Q的坐標為，即可求解的值.〖詳析〗由雙曲線定義得,故如圖示，當三點共線，即Q在M位置時，取最小值，，故方程為，聯(lián)立，解得點Q的坐標為(Q為第一象限上的一點)，故故選：A12.已知且且且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性后可得的大小.〖詳析〗因為，故，同理，令，則，當時，，當時，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，因為，故，即，而，故，同理，，，因為，故，所以.故選：D．〖『點石成金』〗思路『點石成金』：導(dǎo)數(shù)背景下的大小比較問題，應(yīng)根據(jù)代數(shù)式的特征合理構(gòu)建函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，此類問題，代數(shù)式變形很關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若兩個非零向量，滿足，則與的夾角為______．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗由向量和與差的模相等可確定向量、相互垂直，且得到，最后運用向量夾角公式求解即可.〖詳析〗設(shè)向量與的夾角為，因為，則，變形得，所以且，則，故，又，則.故〖答案〗為:.14.設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗作出圖象，由數(shù)形結(jié)合結(jié)合函數(shù)單調(diào)性列不等式求解即可.〖詳析〗函數(shù)圖象如圖所示，滿足可得或.解得.故〖答案〗為：.15.已知圓柱的兩個底面的圓周在體積為的球O的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗先求出球的半徑，根據(jù)條件列出圓柱底面半徑和母線的關(guān)系式，即可得到側(cè)面積表達式，然后用重要不等式即可求解．〖詳析〗解：設(shè)球的半徑為，圓柱的底面半徑為，母線為，則由題意知，，解得．又圓柱的兩個底面的圓周在體積為的球的球面上，則圓柱的兩個底面圓的圓心關(guān)于球心對稱，且．則圓柱的側(cè)面積，，因為，當且僅當，即，時，等號成立．所以，．故〖答案〗為：．16.“外觀數(shù)列”是一類有趣的數(shù)列，該數(shù)列由正整數(shù)構(gòu)成，后一項是前一項的“外觀描述”．例如：取第一項為1，將其外觀描述為“1個1”，則第二項為11；將描述為“2個1”，則第三項為21；將21描述為“1個2，1個1”，則第四項為1211；將1211描述為“1個1，1個2，2個1”，則第五項為111221，…，這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來描述，給定首項即可依次推出數(shù)列后面的項．則對于外觀數(shù)列，下列說法正確的有______．①若，則從開始出現(xiàn)數(shù)字2；②若（，2，3，…，9），則的最后一個數(shù)字均為k；③不可能為等差數(shù)列或等比數(shù)列；④若，則均不包含數(shù)字4．〖答案〗②④〖解析〗〖祥解〗對①，由外觀數(shù)列定義列舉判斷；對②，由外觀數(shù)列定義判斷；對③，取反例，如；對④，由反證法，結(jié)合外觀數(shù)列定義判斷.〖詳析〗對①，，①錯；對②，由外觀數(shù)列的定義，每次都是從左到右描述，故一開始的k（，2，3，…，9）始終在最右邊，即最后一個數(shù)字，②對；對③，取，則，此時既為等差數(shù)列，也為等比數(shù)列，③錯；對④，，設(shè)數(shù)列首次出現(xiàn)數(shù)字4，則必出現(xiàn)了4個連續(xù)的相同數(shù)字m（，2，3，…，9），而的描述必包含“1個m，1個m”，與的描述矛盾，故均不包含數(shù)字4，④對.故選：②④三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.自主創(chuàng)新是我國經(jīng)濟發(fā)展的核心動力，科技自立自強已被賦予國家發(fā)展戰(zhàn)略支點的功能．目前實現(xiàn)科技自立自強我們?nèi)悦媾R巨大挑戰(zhàn)，越來越多的企業(yè)主動謀劃、加快發(fā)展，推動我國科技創(chuàng)新邁上新臺階．某企業(yè)擬對某芯片進行科技升級，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技升級投入x（億元）與科技升級直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：序號1234567x234681013y13223142505658根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：；模型②：．（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①、②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型；（2）根據(jù)（1）選擇的模型，預(yù)測對芯片科技升級的投入為17億元時的直接收益．回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，）〖答案〗（1）模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)，回歸模型②的擬合效果更好（2）72.93億元〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)相關(guān)指數(shù)公式，結(jié)合不等式性質(zhì)，可得〖答案〗；（2）根據(jù)（1）選的模型，代入數(shù)據(jù)，可得〖答案〗.〖小問1詳析〗由表格中的數(shù)據(jù)，182.4＞79.2，∴，∴模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)，∴回歸模型②的擬合效果更好〖小問2詳析〗當x＝17億時，科技升級直接收益的預(yù)測值為：．18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，⊥，，，，點E為棱PC的中點．（1）證明：平面⊥平面PCD；（2）求四棱錐的體積；〖答案〗（1）證明見〖解析〗；（2）1.

〖解析〗〖祥解〗（1）作出輔助線，由線面垂直得到線線垂直，由勾股定理得到各邊長，得到和，從而得到線面垂直，證明面面垂直；（2）求出四棱錐的體積，進而由E為棱PC的中點得到四棱錐的體積.〖小問1詳析〗∵在四棱錐中，底面，平面ABCD，∴PA⊥AB，∵，，∴，，且，過點B作BM⊥CD于點M，連接AE，則，，由勾股定理得：，故PB=BC，又點為棱的中點，，由勾股定理得，∵△PAC為直角三角形，E為PC的中點，∴，∵，∴由得，又，故，又，所以平面⊥平面；〖小問2詳析〗四邊形ABCD的面積為，故，∵點為棱的中點，∴.19.在△ABC中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，且．（1）求角的大?。唬?）若是邊上一點，且，若，求△ABC面積的最大值．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由正弦定理邊化角，可得，結(jié)合以及三角恒等變換可得，求得〖答案〗；（2）根據(jù)平面向量共線定理可得，因為，，平方后得，結(jié)合基本不等式求出，再利用三角形面積公式求得〖答案〗．〖小問1詳析〗解：因為，所以，又因為，所以，而，所以，即，又因為，所以，故，解得．〖小問2詳析〗解：如圖，因為，，由，所以，，解得，當且僅當時取“=”，所以的面積為，當且僅當時，的面積有最大值為．20.已知函數(shù)．（1）若，求c的取值范圍；（2）設(shè)時，討論函數(shù)的單調(diào)性．〖答案〗（1）；（2）函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間.〖解析〗〖祥解〗（1）由題意知，用導(dǎo)數(shù)求的最大值即可；（2）對求導(dǎo)得，設(shè)，再用導(dǎo)數(shù)的正負，確定的正負，從而知的單調(diào)性.〖小問1詳析〗等價于．設(shè)，則．當時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．故，所以，即，所以的取值范圍是；〖小問2詳析〗且，因此，設(shè)，則有，當時，，所以，單調(diào)遞減，因此有，即，所以單調(diào)遞減；當時，，所以，單調(diào)遞增，因此有，即，所以單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間.21.已知橢圓C：的離心率為，直線過橢圓C的兩個頂點，且原點O到直線的距離為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）當過點P（0，2）的動直線l與橢圓C相交于兩個不同點A，B時，求的取值范圍．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)離心率得到，設(shè)直線方程為，根據(jù)點到直線的距離得到，得到橢圓方程.（2）設(shè)，得到，代入橢圓方程化簡得到，根據(jù)得到，得到〖答案〗.〖小問1詳析〗，，所以，不妨設(shè)直線的方程為，，即，所以原點O到直線的距離為，解得，所以，故橢圓C的標準方程為．〖小問2詳析〗設(shè)、，設(shè)，即整理得到，于是，故，得，即，，又，得，又，故上，且，所以（二）選考題，共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所寫的第一題計分．22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）已知點，若直線與曲線交于A，兩點，求的值．〖答案〗（1）C：，直線l：（2）〖解析〗〖祥解〗（1）用消參數(shù)法化參數(shù)方程為普通方程，由公式化極坐標方程為直角坐標方程；（2）化直線方程為點的標準參數(shù)方程，代入拋物線方程利用參數(shù)幾何意義結(jié)合韋達定理求解．〖小問1詳析〗曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），所以，所以即曲線C的普通方程為．直線l的極坐標方程為，則，轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為．〖小問2詳析〗直線l過點，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）令點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為，，由代入，得，則，，即t1、t2為負，故．23已知．（