湖北省武漢市江岸區(qū)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期元月調(diào)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE12022~2023學(xué)年度高三元月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗首先求得集合的范圍，再求交集即可得解.〖詳析〗對集合可得，所以，或，所以或，又，所以或，故選：C2.是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗先利用模長公式和復(fù)數(shù)除法計(jì)算，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可知其對應(yīng)的點(diǎn)所在象限.〖詳析〗因?yàn)?，所以，所以，所以的共軛?fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故選：A3.紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái),如圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位:cm）,現(xiàn)在向這個(gè)空石瓢壺中加入（約）的礦泉水后,問石瓢壺內(nèi)水深約（）cmA.2.8 B.2.9 C.3.0 D.3.1〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗取圓臺(tái)的中軸面,補(bǔ)全為一個(gè)三角形,根據(jù)三角形相似,找到加入礦泉水后水面的半徑和水深的關(guān)系,根據(jù)圓臺(tái)體積為,列出等式,解出即可.〖詳析〗解:由題知礦泉水的體積為,將圓臺(tái)的中軸面拿出,補(bǔ)全為一個(gè)三角形如圖所示:加入礦泉水后,記石瓢壺內(nèi)水深為,水平面半徑為,由圖可知,所以有即,解得,由,得,即,解得:,故加入礦泉水后圓臺(tái)的體積為:,解得,所以.故選:C4.已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，，則（）A. B.0 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由且是奇函數(shù)可得是的一個(gè)周期，根據(jù)已知條件利用周期性和奇偶性即可求解.〖詳析〗因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，，且，，即，所以是的一個(gè)周期，所以，故選：B5.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，即可判斷大小.〖詳析〗令，則，顯然當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，又，，即，，即，時(shí)，，故是減函數(shù)，，即，，可得，即.故選：D.6.雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，，經(jīng)過右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交，于，兩點(diǎn).已知、、成等差數(shù)列，且與反向.則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由題意為直角三角形，解出三邊后再由漸近線斜率求離心率〖詳析〗設(shè)，由勾股定理可得：得：，，由倍角公式，解得且，則，即，則離心率．故選:A7.設(shè)和是函數(shù)在區(qū)間上的兩個(gè)不同的值，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗函數(shù)的最小正周期，由題意，是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，分類討論可得到，的表達(dá)式，求得取得最小值時(shí)的值，進(jìn)而可得的值．〖詳析〗由，，得，，則單調(diào)遞增區(qū)間為；由，，得，，則單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的最小正周期，而區(qū)間的區(qū)間長度是該函數(shù)的最小正周期的，若取得最小值，則是單調(diào)區(qū)間或的子集，當(dāng)是單調(diào)遞增區(qū)間的子集時(shí)，則，，則當(dāng)，即，時(shí)，取得最小值，則．當(dāng)是單調(diào)遞減區(qū)間的子集時(shí)，則，，，則當(dāng)，即，時(shí)，取得最小值，則．綜上，．故選：C．8.已知圓錐的底面圓半徑為，圓錐內(nèi)部放有半徑為1的球，球與圓錐的側(cè)面和底面都相切，若，則圓錐體積的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗作出圓錐軸截面截得內(nèi)切球大圓，利用相似形把高用表示，然后求得體積關(guān)于的表達(dá)式，換元后利用勾形函數(shù)單調(diào)性得范圍．〖詳析〗作圓錐的軸截面，如圖，截球得大圓為圓錐軸截面等腰的內(nèi)切圓，圓心在高中，是腰上的切點(diǎn)，，設(shè)圓錐高為，由得，即，，，，令，，，由勾形函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最小值4，又時(shí)，，時(shí)，，因此的最大值是，所以．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正方體，點(diǎn)是上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（）A.直線與所成的角為90° B.直線與所成的角為90°C.直線與所成的角為90° D.直線與平面所成的角為90°〖答案〗AC〖解析〗〖祥解〗以為原點(diǎn)，以邊分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，結(jié)合空間向量與法向量的坐標(biāo)運(yùn)算，逐一判斷，即可得到結(jié)果.〖詳析〗根據(jù)題意，以為原點(diǎn)，以邊分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則即，設(shè)，其中所以對于A，因?yàn)?，，且，即，故正確；對于B，因?yàn)?，則，即與不垂直，故錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，，則，即，故正確；對于D，因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則所以平面的一個(gè)法向量為且，因?yàn)椋磁c不共線，故錯(cuò)誤.故選:AC10.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)的積，且，，則下列選項(xiàng)中成立的是（）A.對任意正整數(shù)， B.C.數(shù)列一定是等比數(shù)列 D.〖答案〗ABC〖解析〗〖祥解〗設(shè)公比為，首項(xiàng)為，依題意可得，，即可得到，從而判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可判斷BD，再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式及等比數(shù)列的定義判斷C，最后根據(jù)等比中項(xiàng)及作差法判斷A.〖詳析〗解：設(shè)公比為，首項(xiàng)為，因?yàn)椋?，又，所以，所以，所以?shù)列是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列且，所以數(shù)列單調(diào)遞減，則，故B正確，D錯(cuò)誤；所以，則，，則，則，所以，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故C正確；因?yàn)椋?，即，故A正確；故選：ABC11.設(shè)函數(shù)，若在〖0，2π〗有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則（）A.在（0，2π）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn) B.在（0，2π）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)C.在（0，）單調(diào)遞增 D.的取值范圍是〖，）〖答案〗AD〖解析〗〖祥解〗由求得的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得的范圍，判斷D，利用正弦函數(shù)的極大值、極小值判斷ABC．〖詳析〗，時(shí)，，在〖0，2π〗有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則，，D正確；此時(shí)，，時(shí)，取得極大值，A正確；，，即時(shí)，時(shí)，均取得極小值，B錯(cuò)；時(shí)，，，則，因此在上不遞增，C錯(cuò)．故選：AD．12.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.在上單調(diào)遞減B.恰有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值C.當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)實(shí)數(shù)解D.當(dāng)時(shí)，有一個(gè)實(shí)數(shù)解〖答案〗AB〖解析〗〖祥解〗按絕對值的定義分類討論去掉絕對值稱號(hào)后，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性、極值，在確定方程的根的個(gè)數(shù)時(shí)，注意函數(shù)值的變化趨勢．〖詳析〗時(shí)，，，時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A正確；時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，由上討論知是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，B正確；，，時(shí)，，所以時(shí)，無實(shí)數(shù)解，C錯(cuò)誤；時(shí)，，由以上討論知，有3個(gè)實(shí)數(shù)解，所以有3個(gè)實(shí)數(shù)解，D錯(cuò)誤．故選：AB．〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)問題，可利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性、極值，從而確定函數(shù)的變化趨勢，然后結(jié)合函數(shù)圖象，把根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中，的系數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)乘積形式分別求出、對應(yīng)系數(shù)，然后相乘即可得的系數(shù).〖詳析〗由中對應(yīng)系數(shù)為，由中對應(yīng)系數(shù)為，所以的系數(shù)為.故〖答案〗為：14.已知正八邊形的邊長為2，是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則的最大值為______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗不妨設(shè)，對作幾何解釋即可求解.〖詳析〗如圖：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，即是求正八邊形邊上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離，顯然當(dāng)P點(diǎn)與E或F點(diǎn)重合時(shí)最大，連接AF，過H，G分別作AF的垂線，垂足為N，M，則和都是等腰直角三角形，，在中，為鈍角，，顯然E和F點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，；故〖答案〗為：.15.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)位于第一象限），與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，過拋物線上點(diǎn)的直線與拋物線相切，且與直線平行，則的面積是______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、拋物線定義、平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.〖詳析〗由題意可知：，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，即，于是有，因?yàn)檫^拋物線上點(diǎn)的直線與拋物線相切，且與直線平行，所以過的切線方程為，代入方程中，得，直線的方程為，代入代入方程中，得，設(shè)，所以有，，由點(diǎn)到直線的距離為過的切線與直線的距離，即，因此的面積是，故〖答案〗為：〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：利用拋物線的定義，結(jié)合一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵.16.對任意正實(shí)數(shù)，記函數(shù)在上的最小值為，函數(shù)在上的最大值為，若，則的所有可能值______.〖答案〗或〖解析〗〖祥解〗根據(jù)和函數(shù)圖像，對a分類討論求解即可.〖詳析〗和圖像如圖：當(dāng)時(shí)，，，，；當(dāng)時(shí)，；故〖答案〗為：或.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知中，，，的對邊，，成等比數(shù)列，，延長至點(diǎn)，使.求：（1）的大小；（2）的取值范圍.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和，，化簡得，又，則，利用兩角和公式即可得解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，，故為等邊三角形，設(shè)的邊長為，，結(jié)合的范圍即可得解.〖小問1詳析〗.①又，則②故或（舍去）.又，從而，.〖小問2詳析〗由（1）結(jié)論，①+②得則，故為等邊三角形.設(shè)的邊長為.則.故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.故的取值范圍是.18.在數(shù)列，中，，對任意，，等差數(shù)列及正整數(shù)滿足，，且.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）令，求前項(xiàng)和.〖答案〗（1），（2）．〖解析〗〖祥解〗（1）數(shù)列的遞推關(guān)系變形得數(shù)列是等比數(shù)列，從而可得其通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的已知式用裂項(xiàng)相消法求和得公差，從而易得其通項(xiàng)公式；（2）求出，根據(jù)絕對值的定義分類討論求和．〖小問1詳析〗由題意知，因?yàn)椋?因?yàn)椋?，所以，所以，即，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.設(shè)數(shù)列公差為，則，∴，.〖小問2詳析〗因?yàn)?，所以所以?dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和.所以．19.袋中有大小形狀完全相同的3個(gè)白球，2個(gè)黃球，1個(gè)紅球.現(xiàn)從袋中有放回的取球，每次隨機(jī)取一個(gè)，直到紅球出現(xiàn)3次，則停止取球，用表示取球停止時(shí)取球的次數(shù).（1）求和；（2）設(shè)，求數(shù)學(xué)期望.〖答案〗（1）；，（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)條件，結(jié)合概率的計(jì)算公式，代入計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)條件，分別求得與，然后由期望的計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.〖小問1詳析〗，當(dāng)次才停止時(shí)，必有第次取出的是紅球，前中有2次取出紅球，次取出的是其它顏色球.所以，.〖小問2詳析〗當(dāng)時(shí)，有，4，故當(dāng)時(shí)，有，故于是可得.20.在如圖所示的多面體中，四邊形為正方形，A，，，四點(diǎn)共面，且和均為等腰直角三角形，.平面平面，.（1）求多面體體積；（2）若點(diǎn)在直線上，求與平面所成角的最大值.〖答案〗（1）4（2）〖解析〗〖祥解〗（1）多面體分成兩個(gè)四棱錐和，然后由體積公式計(jì)算（注意找到棱錐的高）；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求出線面的正弦值，利用函數(shù)性質(zhì)得最大值．〖小問1詳析〗在四邊形中，∵和均為等腰直角三角形，且，∴，∴，∵四邊形為正方形，∴，又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，同理平面，取中點(diǎn)，連接，則，，又同理可得平面，；〖小問2詳析〗如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，設(shè)與平面所成角為，又，∴，要使最大，，∴（時(shí)等號(hào)成立），∴，即與平面所成角的最大值為．21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系，已知，分別：左，右焦點(diǎn).設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（1）若為長軸的三等分點(diǎn)，求橢圓方程；（2）直線（不與軸重合）過點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)，延長，與橢圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率存在且分別為，，請將表示成關(guān)于的函數(shù)，即，求的值域.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用的位置以及即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，，，，由，，三點(diǎn)共線可得，聯(lián)立橢圓與直線可得坐標(biāo)，然后利用斜率公式進(jìn)行求解即可小問1詳析〗因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，故，因?yàn)闉殚L軸的三等分點(diǎn)，所以即，所以，解得，所以，所以橢圓方程為〖小問2詳析〗設(shè)點(diǎn)，，，，，，則，，由于，，三點(diǎn)共線，則，直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程可得：，化簡有：，由韋達(dá)定理可知：，，同理，，，從而，由于，則.綜上：，且值域?yàn)?〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22.若函數(shù).（1）若恒