第一章空間向量與立體幾何知識(shí)歸納與題型突破（13類題型清單）（原卷版）

第一章空間向量與立體幾何知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）知識(shí)點(diǎn)1.空間向量(1)定義：空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量．(2)模(或長(zhǎng)度)：向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：可以用有向線段來直觀的表示向量，如始點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的向量，記為eq\o(AB,\s\up7(→))，模為|eq\o(AB,\s\up7(→))|．②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模為|a|，|b|，|c|，…．知識(shí)點(diǎn)2.幾類特殊的向量(1)零向量：始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量稱為零向量，記作0．(2)單位向量：模等于1的向量稱為單位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量稱為相等向量．(4)相反向量：方向相反，大小相等的向量稱為相反向量．(5)平行向量：方向相同或者相反的兩個(gè)非零向量互相平行，此時(shí)表示這兩個(gè)非零向量的有向線段所在的直線平行或重合．通常規(guī)定零向量與任意向量平行．注意：1.空間向量表示空間內(nèi)具有大小和方向的量,平面向量表示平面內(nèi)具有大小和方向的量,空

間向量是在平面向量基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容,它們的運(yùn)算規(guī)律完全相同,空間向量的

相關(guān)定理及公式與平面向量類似,可以類比學(xué)習(xí);2.在空間中,零向量、單位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相對(duì)應(yīng)的概念完全相同;3.由于向量是由其模和方向確定的,所以解答空間向量有關(guān)概念問題時(shí),通常抓住這兩點(diǎn)來解決;4.零向量是一個(gè)特殊向量,其方向是任意的,且與任何向量共線,這一點(diǎn)說明向量共線不具有傳遞性.知識(shí)點(diǎn)3.空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算名稱運(yùn)算法則特點(diǎn)圖示加法運(yùn)算三角形法則收尾相接收尾連（通過平移）平行四邊形法則起點(diǎn)相同（共起點(diǎn)）（通過平移）減法運(yùn)算平行四邊形法則起點(diǎn)相同連終點(diǎn)，被減向量定指向。數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ的作用：正負(fù)定方向，數(shù)值定模比知識(shí)點(diǎn)4.空間向量的加法和數(shù)乘的運(yùn)算律（1）加法交換律：（2）加法結(jié)合律：（3）數(shù)乘運(yùn)算律：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μv；③λ(a＋b)＝λa＋λb；知識(shí)點(diǎn)5.共線向量及共線向量定理1.共線向量或平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫作共線向量或平行向量.向量a與b平行，記作a//b.規(guī)定，零向量與任意向量共線.2.共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b（a≠0），b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使b=λa.知識(shí)點(diǎn)6.空間向量的線性運(yùn)算的理解類似于平面向量，可以定義空間向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算．圖1圖2(1)如圖1，eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝a－b．(2)如圖2，eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＝eq\o(DB1,\s\up7(→))．即三個(gè)不共面向量的和，等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個(gè)向量有共同始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量．(3)給定一個(gè)實(shí)數(shù)λ與任意一個(gè)空間向量a，則實(shí)數(shù)λ與空間向量a相乘的運(yùn)算稱為數(shù)乘向量，記作λa．其中：①當(dāng)λ≠0且a≠0時(shí)，λa的模為|λ||a|，而且λa的方向：(ⅰ)當(dāng)λ＞0時(shí)，與a的方向相同；(ⅱ)當(dāng)λ＜0時(shí)，與a的方向相反．②當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，λa＝0．知識(shí)點(diǎn)7.空間兩個(gè)向量的夾角夾角定義a,b是空間兩個(gè)向量，過空間任意一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b,∠AOB=θ（0≤θ≤π）叫做向量a,圖示?表示〈a,b〉.范圍[0,π]2.空間兩個(gè)向量的關(guān)系（1）若〈a,b〉=0,則向量a,b方向相同;（2）若〈a,b〉=π,則向量a,b方向相反;（3）若〈a,b〉=π2,則向量a,b互相垂直，記作a⊥知識(shí)點(diǎn)8.空間兩個(gè)向量的數(shù)量積空間向量的數(shù)量積的定義定義已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a||b|cos〈a,b〉

叫做a,b的數(shù)量積,記作

a·b

.即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為0

2.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律a·b=

b·a

結(jié)合律(λa)·b=⑩

λ(a·b)

,λ∈R分配律a·(b+c)=

a·b+a·c

3.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)=1\*GB3①若a,b為非零向量,則a⊥b?

a·b=0

;=2\*GB3②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=|a||b|；特別的，a·a=|a|2，或|a|=a2=3\*GB3③若θ為a,b的夾角，則cosθ=a=4\*GB3④|a·b|≤|a||b|4.與數(shù)量積有關(guān)的2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)①兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零.②向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足消去律和乘法的結(jié)合律，即ab=ac?b=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立.知識(shí)點(diǎn)9.向量的投影（1）向量在向量上的投影向量①定義：對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量a，b，設(shè)向量OA=a，OB=b，如圖，過點(diǎn)A作AA1⊥0B，垂足為A1.上述由向量a得到向量OA1的變換稱為向量a向向量b投影，向量OA1稱為向量②幾何意義：向量a，b的數(shù)量積就是向量a在向量b上的投影向量與向量b的數(shù)量積，即a·b=OA（2）向量在平面上的投影向量①定義：設(shè)向量m=CD，過C，D分別作平面α的垂線，垂足分別為C1，D1，得向量C1D1.我們將上述由向量m得到向量C1D1的變換稱為向量m向平面②幾何意義：空間向量m，n的數(shù)量積就是向量m在平面α上的投影向量與向量n的數(shù)量積，即m?n=C1知識(shí)點(diǎn)10.共面向量及共面向量定理1.一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫作共面向量.2.如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由兩個(gè)不共線的向量a，b線性表示。知識(shí)點(diǎn)11.空間四點(diǎn)共面的條件已知OA，OB，OC不共面，若OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1，則P，A，B，C四點(diǎn)共面.注意：共面向量不僅包括在同一個(gè)平面內(nèi)的向量，還包括平行于同一平面的向量.（2）空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意三個(gè)向量就不一定共面了.知識(shí)點(diǎn)12.空間向量的基本定理空間向量基本定理如果三個(gè)向量e1，e2，e3不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3基底和基向量如果三個(gè)向量e1，e2，e3不共面，那么空間的每一個(gè)向量都可由向量e1，e2，e3線性表示，我們把{e1，e2，e3}稱為空間的一個(gè)基底，e1，e2，e3叫作基向量.知識(shí)點(diǎn)13.正交基底和單位正交基底正交基底如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量?jī)蓛苫ハ啻怪?，那么這個(gè)基底叫作正交基底單位正交基底當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用{i,j,k}表示推論:設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任意一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得OP=xOA+yOB知識(shí)點(diǎn)14.空間直角坐標(biāo)系1.定義：如圖，在空間選定一點(diǎn)0和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}以0為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫作坐標(biāo)軸，這是我們說建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz。其中點(diǎn)O叫作坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫作坐標(biāo)軸，三條坐標(biāo)軸中的每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別叫作xoy平面、yoz平面和xoz平面。2.右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系。知識(shí)點(diǎn)15.空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)定義：對(duì)于空間任意一點(diǎn)A，作點(diǎn)A在三條坐標(biāo)軸上的射影，即通過點(diǎn)A作三個(gè)平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸和z軸分別交于P，Q，R，點(diǎn)P，Q，R在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x，y，z，我們把有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）叫作A點(diǎn)的坐標(biāo)，記為A（x，y，z）。其中x，y，z分別叫作點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，豎坐標(biāo)。在空間直角坐標(biāo)系Oxyx中，對(duì)于空間任意一個(gè)向量a，根據(jù)空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（a1，a2，a3），使a=a1i＋a2j＋a3x，有序?qū)崝?shù)組（a1，a2，a3）叫作向量a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，記作a=（a1，a2，a3）.知識(shí)點(diǎn)16.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）設(shè)a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），則①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）②ab=（x1x2，y1y2，z1z2）③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R).=4\*GB3④若u，v是兩個(gè)實(shí)數(shù)，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；=5\*GB3⑤a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；=6\*GB3⑥|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))；=7\*GB3⑦當(dāng)a≠0且b≠0時(shí)，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2)))．(2)設(shè)A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則AB=OBOA=（x2x1，y2y1，z2z1）.即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).2.空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示（1）已知空間向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，則a//b?b=λa?x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．3.空間向量坐標(biāo)的應(yīng)用(1)點(diǎn)P(x，y，z)到坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0,0)的距離OP＝eq\r(x2＋y2＋z2)．(2)任意兩點(diǎn)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)間的距離P1P2＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．知識(shí)點(diǎn)17.平面的法向量1.平面的法線與平面垂直的直線叫作平面的法線。由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，我們可以考慮用平面的垂線的方向來刻畫平面的“方向”。2.平面的法向量：如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，那么稱向量n垂直于平面α，記作n⊥α，此時(shí)，我們把向量n叫作平面α的法向量.注意：平面α的一個(gè)法向量垂直于平面α內(nèi)的所有向量.（2）一個(gè)平面的法向量有無限多個(gè)，它們相互平行.3.平面法向量的性質(zhì)（1）如果直線垂直于平面α，則直線l的任意一個(gè)方向都是平面α的一個(gè)法向量.（2）如果n是平面α的一個(gè)法向量，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ≠0，空間向量λn也是平面α的一個(gè)法向量，而且平面α的任意兩個(gè)法向量都平行（3）如果n為平面α的一個(gè)法向量，A為平面α上一個(gè)已知的點(diǎn)，則對(duì)于平面α上任意一點(diǎn)B，向量AB一定與向量n垂直，即AB?n=0，從而可知平面α的位置可由n和A唯一確定.知識(shí)點(diǎn)18.直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系1.如果v是直線I的一個(gè)方向向量，n是平面α的一個(gè)法向量（1）n//v（2）n2.如果n1是平面α1的一個(gè)法向量，n2是平面α2的一個(gè)法向量：（1）n1⊥n2?α（2）n1//n2?α1//α2,或α3三垂線定理及其逆定理（1）射影已知空間中的平面α以及點(diǎn)A，過點(diǎn)A作α的垂線，設(shè)I與α相交于點(diǎn)A，則A'就是點(diǎn)A在平面α內(nèi)的射影（稱為投影）．空間中，圖形F上，在平面內(nèi)的所有點(diǎn)，所組成的集合F'稱為圖形F在平面α內(nèi)的射影。（2）三垂線定理如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線垂直。（3）三垂線定理的逆定理如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直則它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直.知識(shí)點(diǎn)19.異面直線所成的角向量求法：若兩異面直線l1,l2所成角為θ，它們的方向向量分別為u1,u22.范圍：（0,π2]知識(shí)點(diǎn)20.直線與平面的夾角1.直線與平面垂直：直線與平面的夾角為90°.2.直線與平面平行或在平面內(nèi)：直線與平面的夾角為0°.3.斜線和平面所成的角：斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）注：1.線線角、線面角的關(guān)系式：如圖，AB⊥α，則圖形θ，θ2.最小角定理：斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角.4.用空間向量求直線與平面的夾角1.定義：設(shè)直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，直線與平面所成的角為θ，u與n的角為φ，則有sinθ=cosφ=u2.范圍：[0,π2]知識(shí)點(diǎn)21．二面角的概念(1)半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面．棱為l，兩個(gè)面分別為α，β的二面角的面，記作α-l-β，若A∈α，B∈β，則二面角也可以記作A-l-B，二面角的范圍為[0，π]．(3)二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱上任取一點(diǎn)O，以O(shè)為垂足，分別在兩半平面內(nèi)分別作射線OA⊥l，OB⊥l，則∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角．（4）用空間向量求二面角的大小定義：如果n1，n2分別是平面α1，α2的一個(gè)法向量，設(shè)α1與α2所成角的大小為θ．則θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sinθ＝sin〈n1，n2〉．條件平面α，β的法向量分別為u，v，α，β所構(gòu)成的二面角的大小為θ，〈u，v〉＝φ?qǐng)D形關(guān)系θ＝φθ＝π－φ計(jì)算cosθ＝cosφcosθ＝－cosφ知識(shí)點(diǎn)22.兩點(diǎn)間的距離1.兩點(diǎn)間距離A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），|AB|=(2用向量表示兩點(diǎn)間距離AB=(x1?x2,y知識(shí)點(diǎn)23.點(diǎn)到直線的距離定義：若P為直線l外一點(diǎn)，A是l上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)P和直線l所確定的平面內(nèi)，取一個(gè)與直線l垂直的向量n，則點(diǎn)P到直線l的距離為d==|PQ|=設(shè)e是直線l的方向向量，則點(diǎn)P到直線l的距離為d=|AP|sin<AP,e>知識(shí)點(diǎn)24.點(diǎn)到平面的距離定義：若P是平面α外一點(diǎn)，PQ⊥α，垂足為Q，A為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)n為平面α的法向量，點(diǎn)P到平面α的距離d=|AP知識(shí)點(diǎn)25.相互平行的直線與平面之間1.定義：當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離稱為這條直線與這個(gè)平面之間的距離，2.公式：如果直線l與平面α平行，n是平面α的一個(gè)法向量，A、B分別是l上和α內(nèi)的點(diǎn)，則直線l與平面α之間的距離為d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．知識(shí)點(diǎn)26.相互平行的平面與平面之間的距離1.定義：當(dāng)平面與平面平行時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離稱為這兩個(gè)平行平面之間的距離．2.公垂線段：一般地，與兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，稱為這兩個(gè)平面的公垂線，公垂線夾在平行平面間的部分，稱為這兩個(gè)平面的公垂線段．顯然，兩個(gè)平行平面之間的距離也等于它們的公垂線段的長(zhǎng).3.公式：如果平面α與平面β平行，n是平面β的一個(gè)法向量，A和B分別是平面α和平面β內(nèi)的點(diǎn)，則平面α和平面β之間的距離為d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．題型1空間向量的有關(guān)概念理解例題：【多選】（2324高二下·云南保山·開學(xué)考試）下列關(guān)于空間向量的命題中，不正確的是（

）A．長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量B．平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量C．若，則D．兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同鞏固訓(xùn)練1．【多選】（2324高二上·重慶·期中）下列命題中，是真命題的為（

）A．設(shè)，是兩個(gè)空間向量，則B．若空間向量，滿足，則C．若空間向量，，滿足，，則D．在正方體中，必有2．（2324高二下·甘肅慶陽·期中）下列命題是真命題的是（

）A．空間向量就是空間中的一條有向線段B．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等C．任一向量與它的相反向量不相等D．向量與向量的長(zhǎng)度相等3．（2324高二上·福建泉州·期中）在正方體中，與向量相反的向量是（

）A． B． C． D．4．（2324高二上·山西臨汾·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，以長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中．

(1)單位向量共有多少個(gè)？(2)試寫出與相等的所有向量．(3)試寫出的相反向量．題型2空間向量的線性運(yùn)算例題：（2122高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知四面體，是的中點(diǎn)，連接，則＝（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2324高二下·甘肅·期中）在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．3．【多選】（2324高二下·甘肅白銀·期中）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．題型3空間向量的線性表示例題：（2324高二下·江蘇徐州·期中）在四棱柱中，，，則（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2324高二上·四川涼山·期中）在平行六面體中，，點(diǎn)P在線段上，且，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．2．（2324高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．3．（2324高二上·湖北武漢·期中）如圖，空間四邊形中，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則以下向量表示正確的是（

）A． B．C． D．4．（2016高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD的中點(diǎn)，若,,，則用基底表示向量為（

）

A． B．C． D．題型4空間向量的基本定理及應(yīng)用例題：【多選】（2324高二上·陜西寶雞·期中）給出下列命題，其中正確的有（

）A．空間任意三個(gè)向量都可以作為一組基底B．已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底C．、、、是空間四點(diǎn)，若、、不能構(gòu)成空間的一組基底，則、、、共面D．已知是空間向量的一組基底，則也是空間向量的一組基底鞏固訓(xùn)練1．【多選】（2324高二下·甘肅蘭州·期中）已知空間向量，，不共面，則以下每組向量能做基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（2324高二下·甘肅·期中）在四棱錐中，底面是平行四邊形，為的中點(diǎn)，若，，則用基底表示向量為（

）A． B．C． D．3．（2122高二上·江蘇常州·期中）如圖，在空間四邊形中，是的重心，若，則.4．（2324高二下·上海浦東新·期中）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，分別是，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則.題型5空間向量的共線問題例題：（2223高二下·江蘇·課后作業(yè)）若空間非零向量不共線，則使與共線的k的值為.鞏固訓(xùn)練1．（2023高一·全國(guó)·單元測(cè)試）設(shè)是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知，，，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為．2．（2324高二上·北京·期中）已知是空間兩個(gè)不共線的向量，，那么必有（

）A．共線 B．共線C．共面 D．不共面3．（2324高二上·吉林延邊·期中）已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則a，b的值分別是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，24．【多選】（2324高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，為空間內(nèi)一點(diǎn)，若，其中，，則（

）A．若，則點(diǎn)在棱上 B．若，則點(diǎn)在線段上C．若，為棱的中點(diǎn) D．若，則點(diǎn)在線段上題型6空間向量的共面問題例題：（2324高二下·江蘇宿遷·期中）下列命題正確的是（

）A．若是空間任意四點(diǎn)，則有B．若表示向量的有向線段所在的直線為異面直線，則向量一定不共面C．若共線，則表示向量與的有向線段所在直線平行D．對(duì)空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)、、，若（其中、、），則、、、四點(diǎn)共面鞏固訓(xùn)練1．【多選】（2324高二上·河南開封·期中）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（2223高二上·浙江杭州·期末）對(duì)于空間一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)，且有，則（

）A．四點(diǎn)共面 B．四點(diǎn)共面C．四點(diǎn)共面 D．五點(diǎn)共面3．（1920高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知是不共面向量，，，，若，、三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)．4．（2324高二上·四川成都·期中）已知向量，，，若，，共面，則（

）A．4 B．2 C．3 D．15．（2324高二上·江蘇鹽城·期末）已知點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點(diǎn)，若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．4題型7空間向量的數(shù)量積問題例題：（2223高二上·湖南懷化·期末）如圖，各棱長(zhǎng)都為的四面體中，，則向量（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2324高二下·江蘇常州·期中）若，則（

）A．10 B．8 C． D．2．（2021高二下·四川涼山·期中）對(duì)于任意空間向量，，，下列說法正確的是（

）A．若且，則 B．C．若，且，則 D．3．【多選】（2324高二上·貴州銅仁·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．4．（2023高二·全國(guó)·專題練習(xí)）四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為.5．（2324高二上·山東德州·階段練習(xí)）已知，則與夾角的余弦值為.6．（2324高二下·江蘇連云港·期中）已知平行六面體中，，，，則（

）A． B． C． D．7．（2324高二上·天津南開·期中）已知向量，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是．8．（2324高二下·江蘇宿遷·期中）已知空間單位向量，，兩兩垂直，則（

）A． B． C．3 D．69．（2324高二下·江蘇淮安·期中）平行六面體中，，，，，則（

）A． B． C． D．題型8空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算例題：（2122高二上·山西忻州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)、，C為線段AB上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．鞏固訓(xùn)練1．【多選】（2324高二下·甘肅蘭州·期中）已知四邊形是平行四邊形，，，，則（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)是 B．C． D．四邊形的面積是2．（2223高二上·河南鄭州·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，，點(diǎn)滿足.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示）；(2)若，求的值．3．（2324高二上·上?！て谥校┤鐖D所示，以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為．題型9空間向量的對(duì)稱問題例題：【多選】（2324高二上·河北石家莊·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，以下結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B．點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為C．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是D．點(diǎn)到平面的距離為1鞏固訓(xùn)練1．（2324高二下·甘肅慶陽·期中）已知點(diǎn)，求：(1)點(diǎn)A在平面、x軸上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)A關(guān)于平面、x軸、原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).2．（2324高二上·安徽合肥·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（2324高二上·上海徐匯·期中）已知，則的中點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是4．（2324高二上·寧夏銀川·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B．點(diǎn)P在x軸上的射影點(diǎn)的坐標(biāo)為C．點(diǎn)P關(guān)于Oyz平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為D．點(diǎn)P在Oyz平面上的射影點(diǎn)的坐標(biāo)為題型10利用空間向量證明平行垂直例題：（2324高二下·江蘇徐州·期中）在正方體中，下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2324高二下·安徽亳州·期中）已知，分別是平面的法向量，若，則．2．（2122高二上·廣東湛江·期中）如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，過A點(diǎn)的截面分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，且，．下列結(jié)論正確的是（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．①平面；②平面；③平面；④若，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G在同一球面上；⑤若，則四棱錐的體積為．3．（2021高二上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面.4．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)中，，平面，，，，且D為中點(diǎn).求證：平面；5．（2324高二上·安徽宿州·期中）如圖所示，三棱柱中，分別是上的點(diǎn)，且，．用空間向量解決如下問題：

(1)若，證明：；(2)證明：平面．6．（2324高二上·浙江·期中）已知正三棱臺(tái)中，，，、分別為、的中點(diǎn).

(1)求該正三棱臺(tái)的表面積；(2)求證：平面題型11利用空間向量計(jì)算空間角例題：（2324高二下·江蘇淮安·期中）已知三棱錐中和所在平面互相垂直，求(1)與所成角的余弦值；(2)與平面所成角的正弦值；(3)直線上是否存在點(diǎn)使得二面角為，若存在求出BP的長(zhǎng)，不存在說明理由.鞏固訓(xùn)練1．（2324高二上·天津南開·期中）如圖，平行六面體中，．(1)證明：；(2)求的長(zhǎng)；(3)求直線與AC所成角的余弦值．2．（2324高三上·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝