19.10兩點(diǎn)的距離公式

19.10兩點(diǎn)的距離公式1.理解并初步掌握兩點(diǎn)的距離公式2.會(huì)用兩點(diǎn)的距離公式解決一些直角坐標(biāo)平面內(nèi)的簡單問題知識(shí)點(diǎn)一兩點(diǎn)的距離公式1.兩點(diǎn)的距離公式如果直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)，,那么兩點(diǎn)的距離.提示平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離與這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān);運(yùn)用直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算時(shí),代入要準(zhǔn)確，無論還是都可以，只是我們習(xí)慣性使用，亦是如此;.2.特殊情況(1)當(dāng)軸時(shí),;所以;(2)當(dāng)軸時(shí),;所以;(3)當(dāng)點(diǎn)A或點(diǎn)B為原點(diǎn)時(shí),因?yàn)槠渲幸粋€(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0),所以即學(xué)即練閱讀與思考，同學(xué)們通過“真閱讀工程”活動(dòng)接觸到很多課外閱讀，其中有一段文章與勾股定理的內(nèi)容相關(guān)：在直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)是，，求M、N兩點(diǎn)之間的距離，可以通過變形為計(jì)算．試根據(jù)以上知識(shí)解決下列問題：

(1)若點(diǎn)，，則，兩點(diǎn)間的距離為______；(2)若點(diǎn)與的距離為10，求m的值；(3)若點(diǎn)，，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷是什么三角形，并說明理由．【答案】(1)(2)5或(3)直角三角形，見解析【分析】（1）根據(jù)題目中兩點(diǎn)間的距離公式，可以求出，兩點(diǎn)間的距離；（2）根據(jù)題目中的距離公式和點(diǎn)與的距離為10，可以列出相應(yīng)的方程，然后求解即可；（3）先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，，，然后根據(jù)勾股定理的逆定理說明理由即可．【詳解】（1）∵，，∴．故答案為：；（2）∵點(diǎn)與的距離為10，∴，兩邊平方得，，解得或，即m的值是5或（3）是直角三角形，理由如下：∵點(diǎn)，，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，∴，則，同理得：，，∵，∴是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離公式、勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的距離，會(huì)用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀．坐標(biāo)平面內(nèi)三角形形狀的判斷方法：在直角坐標(biāo)平面內(nèi),已知三點(diǎn)的坐標(biāo),判斷聯(lián)結(jié)這三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形形狀，一般先由兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算三角形的三邊長,再從三邊之間的關(guān)系來判斷它的形狀,有時(shí)還要結(jié)合勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷.題型一選址問題例1為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖中的所在的直線上建一圖書室，本社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點(diǎn)C和點(diǎn)D處，于A，于B．已知，，，試問：圖書室E應(yīng)該建在距點(diǎn)A多少處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等？

【答案】【分析】設(shè)圖書室E應(yīng)建在距A點(diǎn)x千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等，則千米；由勾股定理建立方程即可求解．【詳解】解：設(shè)圖書室E應(yīng)建在距A點(diǎn)x千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等，則千米；∵，，∴，，∵，∴，即，解得：，答：圖書室E應(yīng)建在距A點(diǎn)千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理解直角三角形，建立方程解方程，是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三1如圖，筆直公路上、兩點(diǎn)相距千米，、為兩居民區(qū)，于，于，已知千米，千米，現(xiàn)要在公路段上建一超市，使、兩居民區(qū)到的距離相等，則超市應(yīng)建在離處多遠(yuǎn)處．【答案】千米【分析】設(shè)千米，則千米，利用勾股定理求出兩個(gè)直角三角形的斜邊長，再利用兩個(gè)三角形的斜邊相等求出的長即可．【詳解】設(shè)千米，則千米，因?yàn)?，所以，解得：千米，?jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，故超市應(yīng)建在離處千米處．【點(diǎn)睛】考查根據(jù)勾股定理確定相應(yīng)長度，利用兩直角三角形斜邊相等是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三2如圖，有兩條互相垂直的公路，A廠離公路的距離為2千米，離公路的距離為5千米；B廠離公路的距離為11千米，離公路的距離為4千米；現(xiàn)在要在公路上建造一倉庫P，使A廠到P倉庫的距離與B廠到P倉庫的距離相等，求倉庫P的位置．【答案】倉庫P在公路上，且在公路的右側(cè)，離公路的距離為6千米處.【分析】以直線建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題述可得A廠，B廠所在點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)倉庫P所在點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0)，根據(jù)“A廠到P倉庫的距離與B廠到P倉庫的距離相等”列出方程，求解，根據(jù)方程的解可得出倉庫P的位置．【詳解】解：為兩條互相垂直的公路，以建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖，根據(jù)題意可知,設(shè)P(x,0)，則整理得：，解得．故倉庫P在公路上，且在公路的右側(cè)，離公路的距離為6千米處．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)之間的距離公式．能建立合適的直角坐標(biāo)系，并根據(jù)“A廠到P倉庫的距離與B廠到P倉庫的距離相等”列出方程是解決此題的關(guān)鍵．舉一反三3列方程解應(yīng)用題：如圖，鎮(zhèn)在鎮(zhèn)的正西方向，兩鎮(zhèn)相距18千米，某公司位于鎮(zhèn)的正南4千米處，從鎮(zhèn)到公司的公路，途徑、兩鎮(zhèn)之間的處，如要使鎮(zhèn)到處，再到公司的總路程為20千米，那么處距離鎮(zhèn)多少千米？【答案】15【分析】根據(jù)題意設(shè)AD=xkm，則BD=(18x)km，DC=(20x)km，進(jìn)而利用勾股定理即可解答．【詳解】解：設(shè)AD=xkm，則BD=(18x)km，DC=(20x)km，由題意可得：，解得：x=15，答：D處距離A鎮(zhèn)15千米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，表示出BD，CD的距離．一、單選題1．如圖鐵路上A，B兩點(diǎn)相距40千米，C，D為兩村莊，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分別為A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個(gè)煤棧E，使得C，D兩村到煤棧的距離相等，那么煤棧E應(yīng)距A點(diǎn)（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．無法確定【答案】B【分析】設(shè)AE＝xkm，則BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，則，解方程即可．【詳解】解：設(shè)AE＝xkm，則BE＝（40﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D兩村到煤棧的距離相等，∴，∴，∴，解得：x＝16，則煤棧E應(yīng)距A點(diǎn)16km．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意得到是解題的關(guān)鍵．2．如圖，高速公路上有、兩點(diǎn)相距，、為兩村莊，已知，，于，于，現(xiàn)要在上建一個(gè)服務(wù)站，使得、兩村莊到站的距離相等，則的長是（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)出的長為，再由勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，由勾股定理得：在中，，在中，，由題意可知：，所以：，解得：．所以，應(yīng)建在距點(diǎn)處．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系第一象限有一點(diǎn)P，其橫坐標(biāo)為3，在x軸上有一點(diǎn)A（﹣1，0）．已知PA兩點(diǎn)間的距離為，則P的縱坐標(biāo)為（）A．2 B．﹣2 C． D．1【答案】A【分析】設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y，則P（3，y），PA=，又PA兩點(diǎn)間的距離為2，依此為等量關(guān)系列出方程求出y的值，即求出了點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】解：設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y（y＞0），則P（3，y），依題意得=2，解得y=2（舍去負(fù)值）．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于利用兩點(diǎn)間的距離公式，用y表示出PA的值，找出等量關(guān)系，列出方程求解．平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)間的距離公式：如果A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1）、B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x2，y2），那么AB=．4．如圖，高速公路上有,兩點(diǎn)相距，,為兩村莊，已知，．于，于，現(xiàn)要在上建一個(gè)服務(wù)站，使得,兩村莊到站的距離相等，則的長是．

A．4 B．5 C．6 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意設(shè)出的長為，再由勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)km，則，在中，，在中，，由題意可知：，∴，解得：．所以，=．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，根據(jù)題意構(gòu)造方程，是本題的關(guān)鍵．二、填空題5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且，寫出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】，，，【分析】本題考查了勾股定理與兩點(diǎn)間距離公式，需要分類討論：①當(dāng)點(diǎn)C位于x軸上時(shí)，根據(jù)線段間的和差關(guān)系即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)C在y軸上時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式和勾股定理構(gòu)成方程式，解答即可【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)C位于x軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，0），則，解得x=4或x=4；②當(dāng)點(diǎn)C在y軸上時(shí)，由勾股定理得，解得y=±3綜上所述，滿足條件的所有點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,0）（4,0）（0,3）（0，3）【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)間距離公式和勾股定理6．若A(8，4)和點(diǎn)B(5，)間的距離是5，則＝．【答案】8或0【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式解答即可.【詳解】根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式得（85）2+（k4）2=52，解得k=8或0，故答案為：8或0.【點(diǎn)睛】此題考查直角坐標(biāo)系中點(diǎn)與點(diǎn)間距離的計(jì)算公式，勾股定理，正確掌握計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.7．已知點(diǎn)A、B都在軸上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)A(3，0)，AB=6，則點(diǎn)Ｂ的坐標(biāo)為．【答案】(3，0)或(9，0)【分析】數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離即是兩點(diǎn)間橫坐標(biāo)之間的距離，據(jù)此解題即可．【詳解】xB=3或9故答案為：3或9【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．三、解答題8．“三農(nóng)”問題是關(guān)系國計(jì)民生的根本問題，實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是建設(shè)美麗中國的關(guān)鍵舉措．如圖，公路上A、B兩點(diǎn)相距，C、D為兩村莊，于A，于B，已知，現(xiàn)在要在公路上建一個(gè)土特產(chǎn)品市場E，使得C、D兩村莊到市場E的距離相等．(1)求市場E應(yīng)建在距A多少千米處？(2)此時(shí)的形狀是三角形，請直接寫出答案，無需證明．【答案】(1)20(2)等腰直角【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用；（1）由得C、D兩村莊到市場E的距離相等，可得，根據(jù)勾股定理列方程計(jì)算即可；（2）證明即可判斷為等腰直角三角形．【詳解】（1）設(shè)，則，∵于A，于B，已知，∴，，∵C、D兩村莊到市場E的距離相等，∴，∴，解得，即∴市場應(yīng)建在距千米處；（2）∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形．故答案為：等腰直角．9．愛思考的明明同學(xué)用下面的方法測量出家門前池塘兩端A、B兩點(diǎn)的距離．他是這樣做的：選定一個(gè)點(diǎn)P，連接，在上取一點(diǎn)C，恰好有，，，，他立即確定池塘兩端A、B兩點(diǎn)的距離為．明明同學(xué)測量的結(jié)果正確嗎？為什么？

【答案】明明同學(xué)測量的結(jié)果正確，理由見解析．【分析】由勾股定理的逆定理證出是直角三角形，，得出，再由勾股定理求出即可．【詳解】明明同學(xué)測量的結(jié)果正確．理由如下：∵，，，，∴，，，∴，∴是直角三角形，，∴，∴．故明明同學(xué)測量的結(jié)果正確.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的綜合運(yùn)用；熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．10．【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．【知識(shí)運(yùn)用】(1)如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），，，垂足分別為A、B，千米，千米，則兩個(gè)村莊的距離為米．(2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，現(xiàn)要在上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得，請用尺規(guī)作圖在圖中作出P點(diǎn)的位置并求出的距離．(3)【知識(shí)遷移】借助上面的思考過程與幾何模型，則代數(shù)式（其中）最小值為．【答案】(1)；(2)P點(diǎn)的位置見解析，的距離為16千米；(3)15．【分析】（1）連接，作于點(diǎn)E，根據(jù)，得到，，由平行線間的距離處處相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD兩地之間的距離；（2）連接，作的垂直平分線交于P，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，點(diǎn)P即為所求；設(shè)千米，則千米，分別在和中，利用勾股定理表示出和，然后根據(jù)建立方程，解方程即可；（3）如圖3，，，，，，設(shè)，則，然后根據(jù)軸對稱求最短路線的方法求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，