押江蘇南京中考數(shù)學(xué)第16題（幾何與函數(shù)探究）-2022年中考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押題（江蘇南京專用）

押江蘇南京中考數(shù)學(xué)第16題幾何與函數(shù)探究南京中考數(shù)學(xué)的第16題比較難，屬于壓軸題，主要以幾何與函數(shù)的探究為主要考查內(nèi)容。例如：2021年南京中考第16題考查了利用平行四邊形的性質(zhì)求解、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合等知識(shí)點(diǎn)；2020年第16題考查了二次函數(shù)圖象的平移；y=a（xh）2+k的圖象和性質(zhì)；2019年第16題考查了幾何圖形中三角形的邊角關(guān)系探究；2018年第16題考查了圓與四邊形綜合的性質(zhì)與探究。命題側(cè)重對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用，難度通常比較大。解此類題型對(duì)考生的要求比較高，需要考生在熟練掌握函數(shù)與幾何基本知識(shí)基本原理的前提下，運(yùn)用原理定理和數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行探究。1．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)落在上，與交于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)C作CM//交于點(diǎn)M，證明求得，根據(jù)AAS證明可求出CM=1，再由CM//證明△，由相似三角形的性質(zhì)查得結(jié)論．【解析】解：過(guò)點(diǎn)C作CM//交于點(diǎn)M，∵平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形∴，，∴，∴∴∵∴∴∴∠∵∴∵∴∠∵，∴∴∠∴∠在和中，∴∴∵∴△∴∴∴故答案為：．2．（2021·江蘇連云港·中考真題）如圖，是的中線，點(diǎn)F在上，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D．若，則______．【答案】【分析】連接ED，由是的中線，得到，，由，得到，設(shè)，由面積的等量關(guān)系解得，最后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)解得，據(jù)此解題即可．【解析】解：連接ED是的中線，，設(shè)，與是等高三角形，，故答案為：．3．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖（1），△ABC和△A′B′C′是兩個(gè)邊長(zhǎng)不相等的等邊三角形，點(diǎn)B′、C′、B、C都在直線l上，△ABC固定不動(dòng)，將△A′B′C′在直線l上自左向右平移．開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)C′與點(diǎn)B重合，當(dāng)點(diǎn)B′移動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)停止．設(shè)△A′B′C′移動(dòng)的距離為x，兩個(gè)三角形重疊部分的面積為y，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，則△ABC的邊長(zhǎng)是___．【答案】5【分析】在點(diǎn)B'到達(dá)B之前，重疊部分的面積在增大，當(dāng)點(diǎn)B'到達(dá)B點(diǎn)以后，且點(diǎn)C'到達(dá)C以前，重疊部分的面積不變，之后在B'到達(dá)C之前，重疊部分的面積開(kāi)始變小，由此可得出B'C'的長(zhǎng)度為a，BC的長(zhǎng)度為a＋3，再根據(jù)△ABC的面積即可列出關(guān)于a的方程，求出a即可．【解析】解：當(dāng)點(diǎn)B'移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，重疊部分的面積不再變化，根據(jù)圖象可知B'C'＝a，，過(guò)點(diǎn)A'作A'H⊥B'C'，則A'H為△A'B'C'的高，∵△A'B'C'是等邊三角形，∴∠A'B'H＝60°，∴sin60°＝，∴A'H＝，∴，即，解得a＝﹣2（舍）或a＝2，當(dāng)點(diǎn)C'移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，重疊部分的面積開(kāi)始變小，根據(jù)圖像可知BC＝a＋3＝2＋3＝5，∴△ABC的邊長(zhǎng)是5，故答案為5．4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)（可與點(diǎn)A，C重合），將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DP，連接BD，則BD長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_．【答案】9【分析】由旋轉(zhuǎn)知△BPD是頂角為120°的等腰三角形，可求得BD＝BP，當(dāng)BP最大時(shí)，BD取最大值，即點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，BP＝BA最大，求出AB的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．【解析】解：∵將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DP，∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∴∠PBD＝30°，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BD于點(diǎn)H，∴BH＝DH，∵cos30°＝＝，∴BH＝BP，∴BD＝BP，∴當(dāng)BP最大時(shí)，BD取最大值，即點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，BP＝BA最大，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝BC＝3，∵cos∠ABC＝，∴，∴AB＝9，∴BD最大值為：BP＝9．故答案為：9．5．（2021·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=4，BC=5，點(diǎn)D、F分別在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于點(diǎn)F，則△AFE面積的最大值是_________．【答案】【分析】連接DF，先根據(jù)相似三角形判定與性質(zhì)證明,得到,進(jìn)而根據(jù)CD=2BD，CF=2AF，得到,根據(jù)△ABC中，AB=4，BC=5，得到當(dāng)AB⊥BC時(shí)，△ABC面積最大，即可求出△AFE面積的最大值．【解析】解：如圖，連接DF，∵CD=2BD，CF=2AF，∴，∵∠C=∠C，∴△CDF∽△CBA，∴,∠CFD=∠CAB，∴DF∥BA，∴△DFE∽△ABE，∴,∴,∵CF=2AF，∴,∴,∵CD=2BD，∴,∴,∵△ABC中，AB=4，BC=5，∴，當(dāng)AB⊥BC時(shí)，△ABC面積最大，為，此時(shí)△AFE面積最大為．故答案為：1．（2022·江蘇南京·一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動(dòng)圓的圓心A沿x軸移動(dòng)，當(dāng)⊙與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_______________．【答案】【分析】當(dāng)⊙A與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則此時(shí)⊙A與直線相切，（需考慮左右兩側(cè)相切的情況）．設(shè)切點(diǎn)為，此時(shí)點(diǎn)同時(shí)在⊙A與直線上，故可以表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作，則此時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)算出長(zhǎng)度，最終得出結(jié)論．【解析】如下圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)作，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)可表示為，∴，．在Rt△OBC中，，又∵的半徑為5，∴．∵，∴，則，∴，∴．∵左右兩側(cè)都有相切的可能，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為．2．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD邊BC和CD上的點(diǎn)，把△CEF沿直線EF折疊得到△GEF，再把△BEG沿直線BG折疊，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在對(duì)角線BD上，若此時(shí)F、G、H三點(diǎn)在同一條直線上，且線段HF與HD也恰好關(guān)于某條直線對(duì)稱，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)線段HF與HD也恰好關(guān)于某條直線對(duì)稱，可得HF=HD，由折疊和同角的余角相等得，然后證明，再利用設(shè)元法即可解決問(wèn)題．【解析】解：∵線段HF與HD也恰好關(guān)于某條直線對(duì)稱，∴HF=HD，∴∠HFD=∠FDH，∴∠BHF=2∠HFD由折疊可知：GF=CF，HG=CE=EG，，∠BHG=∠BEG，∠CEF=∠GEF，∵∠BEG+∠CEF+∠GEF=180°，∴2∠HFD+2∠CEF=180°∴∠HFD+∠CEF=90°，又∵∠CFE+∠CEF=90°∴，又∵HF=HD，∴△DHF是等邊三角形，∴∠CBD=∠CEF=30°，∴，設(shè)GF=CF=x，HF=DF=y，則HG=CE=EG=，HF=HG+GF=GE+CF，即y=x+，∵，∴.3．（2022·江蘇·常州市武進(jìn)區(qū)前黃實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是矩形ABCD對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE交BC所在直線與點(diǎn)F，以DE、EF為邊作矩形DEFG，當(dāng)S矩形DEFG＝時(shí)，則AE長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】或【分析】作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再證明，可求得，則，可推導(dǎo)出，再用含的代數(shù)式表示、，而，推導(dǎo)出，再根據(jù)列方程求出的值即可．【解析】解：如圖1，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，四邊形是矩形，，，，，，四邊形是矩形，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，整理得，解得，，當(dāng)時(shí)，如圖1，當(dāng)時(shí)，如圖2，故答案為：或．

4．（2022·江蘇·無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，其中，與x軸相交于點(diǎn)P．當(dāng)取得最小值時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)，作軸，軸于點(diǎn)，，證明，可得，根據(jù)，此時(shí)等號(hào)成立時(shí)，有，所以，進(jìn)而可得和的值，再設(shè)的解析式為，把，代入得一次函數(shù)解析式，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)，作軸，軸于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，此時(shí)等號(hào)成立時(shí)，有，，，解得，，，，設(shè)的解析式為，把，代入得，，解得，的解析式為，令，則，，的長(zhǎng)為．故答案為：．5．（2022·江蘇無(wú)錫·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C，A分別為x軸、y軸正半軸上的點(diǎn)，以O(shè)A，OC為邊，在第一象限內(nèi)作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，將矩形OABC翻折，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，折痕為MN，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在第四象限，過(guò)M點(diǎn)的反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象恰好過(guò)MN的中點(diǎn)，則k的值為_(kāi)____，點(diǎn)C'的坐標(biāo)為_(kāi)____．【答案】

【分析】連接OB交MN于Q，由折疊的性質(zhì)可得MO=MB，OQ=OB，先證明△BMQ≌△ONQ得到QM=QN，即點(diǎn)Q為OB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H，證明△OHQ∽△OCB，求出，則；過(guò)點(diǎn)作軸于G，可以推出，設(shè)AM=a，則BM=OM=3a，則，解得，得到AB=OC=2，，從而求出，，利用三角形面積法求出，則，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【解析】解：如圖所示，連接OB交MN于Q，由折疊的性質(zhì)可得MO=MB，OQ=OB，∵四邊形OABC是矩形，∴，∴∠MOQ=∠NOQ，∠BMQ=∠ONQ，又∵BQ=OQ，∴△BMQ≌△ONQ（AAS），∴QM=QN，即點(diǎn)Q為OB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H，∴，∴△OHQ∽△OCB，∴，∵四邊形OABC是矩形，∴，∵Q在反比例函數(shù)圖象上，∴；過(guò)點(diǎn)作軸于G，∵點(diǎn)M在反比例函數(shù)圖象上，∴，又∵，∴，設(shè)AM=a，則BM=OM=3a，∴，∴，解得（負(fù)值已經(jīng)舍去），∴AB=OC=2，，∵QM=QG，OQ=BQ，∴四邊形OMBN是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為故答案為：，．6．（2022·江蘇徐州·一模）如圖，一次函數(shù)與反比例數(shù)的圖像交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在以為圓心，半徑為1的上，N是的中點(diǎn)，已知長(zhǎng)的最大值為，則k的值是_______．【答案】【分析】根據(jù)題意得出是的中位線，所以取到最大值時(shí)，也取到最大值，就轉(zhuǎn)化為研究也取到最大值時(shí)的值，根據(jù)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，解出的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可求解．【解析】解：連接，如下圖：在中，分別是的中點(diǎn)，是的中位線，，已知長(zhǎng)的最大值為，此時(shí)的，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最大值：，，，設(shè)，由兩點(diǎn)間的距離公式：，，解得：（取舍），，將代入，解得：，故答案是：．7．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，AD=3，E為對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AB上，且滿足．連接AE，記△AEF的S面積為S1，△BCE的面積為S2，若，則a的取值范圍是________．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，作EG⊥BC于點(diǎn)G，證明△BHE∽△BAD，得到，根據(jù)得到，可證明△EHF∽△EGC，可得CE⊥EF，設(shè)EH=x，表示出S1和S2，得到，分別得到EH最大和最小時(shí)的情況，可得對(duì)應(yīng)EH值，代入可得a的取值范圍．【解析】解：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，作EG⊥BC于點(diǎn)G，則四邊形HEGB為矩形，∵HE∥AD，∴△BHE∽△BAD，∴，又，∴，∵∠EHF=∠EGC=90°，∴△EHF∽△EGC，∴∠HEF=∠GEC，∴∠HEG=∠FEC=90°，即CE⊥EF，設(shè)EH=x，∵，∴HB=EG=，CG=BCBG=6x，，∴HF=，BF=BHHF=，AF=ABBF=，∴===，==4x，∴，∵點(diǎn)F在AB上，∴當(dāng)F與B重合時(shí)，EH最小，此時(shí)EH=，當(dāng)E與D重合時(shí)，EH最大，此時(shí)EH=AD=3，∴，故答案為：．18．（2022·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，B（﹣8，0），CB與y軸交于點(diǎn)D，，點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，且x軸平分∠ABC，則k的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】作y軸的垂線，構(gòu)造相似三角形，利用BD=4CD和B（8，0）可以求出C的橫坐標(biāo)，再利用三角形相似，設(shè)未知數(shù)，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，列出方程，求出待定未知數(shù)，從而確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而確定k的值．【解析】解：過(guò)C作CE⊥y軸，垂足為E，∵B（8，0），∴OB=8，∵∠CED=∠BOD=90°，∠CDE=∠BDO∴△CDE∽△BDO，∵BD=4CD，∴，∴CE=2；

又∵x軸平分∠CBA，BO⊥AD，∴AO=OD，∵∠CAB=90°，∴∠OBD=∠DCE=∠CAE，∴△CAE∽△DBO，∴，

設(shè)DE=n，則AO=OD=4n，AE=9n，∴，解得，，∴，故答案為：．（限時(shí)：30分鐘）1．（2022·河南許昌·一模）如圖1，在正方形中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖像，則圖像上最低點(diǎn)Q的坐標(biāo)是______．【答案】【分析】連接，由B、D關(guān)于對(duì)稱，推出，得出，得出當(dāng)D、P、E共線時(shí)，的值最小，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，分別求出的最小值和的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．【解析】解：如圖，連接，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，∴，∴，∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，∵正方形是軸對(duì)稱圖形，關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)B和點(diǎn)D是一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴點(diǎn)B、D關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，．當(dāng)D、P、E共線時(shí)，的值最小，如下圖：在中，，∴的最小值為，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，∵，∴∵，∴，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)Q的為，結(jié)合圖2可知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，，解得：，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．2．（2022·山東濟(jì)寧·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形與正方形是以為位似中心的位似圖形，且位似比為，點(diǎn)，，在x軸上，延長(zhǎng)交射線與點(diǎn)，以為邊作正方形；延長(zhǎng)，交射線與點(diǎn)，以為邊作正方形；…按照這樣的規(guī)律繼續(xù)作下去，若，則正方形的面積為_(kāi)______．【答案】【分析】已知正方形與正方形是以為位似中心的位似圖形，A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，可先證明△OA1B1∽△OA2B2，求出正方形A1B1C1A2的邊長(zhǎng)1=20，正方形A2B2C2A3的邊長(zhǎng)為21=2；同理可證明△OA2B2∽△OA3B3，求出正方形A3B3C3A4的邊長(zhǎng)為4=22......由此可歸納出規(guī)律：正方形AnBnCnDn+1的邊長(zhǎng)為2n－1．在正方形A2021B2021C2021A2022中，n=2021，將n的值代入2n－1即可求出該正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)正方形面積公式，即可求出該正方形的面積．【解析】解：∵正方形與正方形是以為位似中心的位似圖形，且位似比為，∴，∵A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，∴，∴△OA1B1∽△OA2B2，∴，∵，∴，∴，∴正方形A1B1C1A2的邊長(zhǎng)1=20，∵△OA1B1∽△OA2B2，∴，∴，∴正方形A2B2C2A3的邊長(zhǎng)為21=2；同理可證△OA2B2∽△OA3B3，∴，∵四邊形A2B2C2A3是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴正方形A3B3C3A4的邊長(zhǎng)為4=22，綜上，可歸納出規(guī)律：正方形AnBnCnDn+1的邊長(zhǎng)為2n－1．∴正方形A2021B2021C2021A2022的邊長(zhǎng)為：，∴正方形A2021B2021C2021A2022的面積為：．故答案為：．3．（2022·四川廣元·一模）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，D，E是AC，BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD＝CE，AE，BD交于點(diǎn)F，連接CF，則CF長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】由AD＝CE，可知點(diǎn)F的路徑是一段弧，即當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，CF長(zhǎng)度的最小，即點(diǎn)F為△ABC的中心，過(guò)B作于，過(guò)A點(diǎn)作交于點(diǎn)，則可知，由△ABC是等邊三角形，BC＝2，得，進(jìn)而可知，則CF長(zhǎng)度的最小值是．【解析】解：∵AD＝CE，∴點(diǎn)F的路徑是一段弧，∴當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，CF長(zhǎng)度的最小，即點(diǎn)F為△ABC的中心，過(guò)B作于，過(guò)A點(diǎn)作交于點(diǎn)，∴，∵△ABC是等邊三角形，BC＝2，∴，∴．∴CF長(zhǎng)度的最小值是．故答案為：．4．（2022·遼寧葫蘆島·二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與A，C重合），連接交于點(diǎn)F，線段繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．下列結(jié)論：①；②；③若四邊形的面積是正方形面積的一半，則的長(zhǎng)為；④．其中正確的是_________．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②④【分析】過(guò)E作EM⊥BC，EN⊥CD，可證△BEM≌△FEN得BE=EF，故①正確；可證四邊形BEFG是正方形得∠EBG=90°，BE=BG，可證∠ABE=∠CBG，進(jìn)而得到△ABE≌△CBG，所以∠BAE=∠BCG，得∠BCA+∠BCG=90°，即∠ACG=90°，可證②正確；由可求BE=，過(guò)E作EH⊥AB，則∠AEH=180°∠BAC∠AHE=45°，知AH=HE，設(shè)AH=HE=x，則BH=4x，由，得到AH=HE=2，從而得到，知③錯(cuò)誤；由②可知，△ABE≌△CBG，所以AE=CG，而CG+CE=AE+CE=AC可求，④正確．【解析】解：過(guò)E作EM⊥BC，EN⊥CD∵四邊形ABCD是正方形，AC平分∠BCD∴EM=EN∵∠EMC=∠MCN=∠ENC=90°∴∠MEN=90°∵EF⊥BE∴∠BEM+∠MEF=∠FEN+∠MEF=90°∴∠BEM=∠FEN∵∠EMB=∠ENF=90°，EM=EN∴△BEM≌△FEN∴BE=EF故①正確；∵∠BEF=∠EFG=90°，EF=FG，BE=EF∴BE=FG，BE∥FG∴四邊形BEFG是平行四邊形∵∠BEF=90°，BE=EF∴四邊形BEFG是正方形∴∠EBG=90°，BE=BG∵∠ABC=90°∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBG=90°∴∠ABE=∠CBG又∵AB=BC，BE=BG∴△ABE≌△CBG∴∠BAE=∠BCG∵∠BAE+∠BCA=90°∴∠BCA+∠BCG=90°，即∠ACG=90°故②正確；∵∴∴BE=過(guò)E作EH⊥AB∵四邊形ABCD是正方形∴∠BAC=45°∵∠AHE=90°∴∠AEH=180°∠BAC∠AHE=45°∴AH=HE設(shè)AH=HE=x，則BH=4x∵∴解得∴AH=HE=2∴故③錯(cuò)誤；由②可知，△ABE≌△CBG∴AE=CG∴CG+CE=AE+CE=AC∵∠ACB=45°∴AC=∴CG+CE=故④正確，所以答案為：①②④．5．（2022·四川宜賓·一模）如圖，線段OA分別交反比例函數(shù)y1＝（x＞0），y2＝（x＞0）的圖象于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作CD⊥x軸于點(diǎn)D，交反比例函數(shù)y1＝（x＞0）的圖象于點(diǎn)C，若OB＝2AB，則△OBD與△ABC的面積之比為_(kāi)____．【答案】【分析】根據(jù)題意，用含k1、k2的式子表示各點(diǎn)，從而表示△OBD與△ABC的面積之比，最終得到比值；【解析】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OD于E點(diǎn)，∵CD⊥x軸于點(diǎn)D，∴BD∥AC，OB＝2AB，∴，，∵反比例函數(shù)y1＝（x＞0），y2＝（x＞0）的圖分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，∴S△OBD＝k1，S△OAE＝k2，∴k1：k2＝4：9，設(shè)點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2m，則點(diǎn)B坐標(biāo)為（，2m），點(diǎn)A坐標(biāo)為（，3m），∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，∴，∴，故答案為：8：5．6．（2022·廣東佛山·一模）如圖是一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，把沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，連接DF，EF．若，則_________．【答案】18°【分析】連接，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半可得和為等腰三角形，，；由折疊可知，可得；由，，，可得，進(jìn)而得到；利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得；最后在中，利用三角形的內(nèi)角和定理列出方程，結(jié)論可得．【解析】解：連接，如圖：∵四邊形是矩形，．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，，，．∵與DC關(guān)于DE對(duì)稱，，．∵M(jìn)F=AB，，，．．∵∠DFC=∠FDM+∠FMD，．∵∠DMC=∠FAD+∠ADM，．設(shè)，則，．∵∠DMC+∠MCD+∠MDC=180°，．．故答案為：18°．7．（2022·云南·一模）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E在BC邊上，且CE＝2，點(diǎn)P是正方形邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB交AE于點(diǎn)F，若PB＝AE，則PF的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】5或5.2【分析】當(dāng)點(diǎn)P在BC上，AE＞BP，當(dāng)點(diǎn)P在AB上，AE＞BP，當(dāng)點(diǎn)P在CD上，如圖，根據(jù)PB=AE，可證Rt△ABE≌Rt△BCP（HL），可證BP⊥AE，根據(jù)勾股定理可求，根據(jù)三角形面積可求，可求PF=BPBF；當(dāng)點(diǎn)P在AD上，如圖，可證Rt△ABE≌Rt△BAP（HL），再證AF=PF=BF=EF，根據(jù)AE=BP=10cm，可求PF=BP=×10=5．【解析】解：當(dāng)點(diǎn)P在BC上，AE＞BP，當(dāng)點(diǎn)P在AB上，AE＞BP，不合題意；當(dāng)點(diǎn)P在CD上，如下圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=AD=CD=8，在Rt△ABE和Rt△BCP中，∴Rt△ABE≌Rt△BCP（HL），∴∠EAB=∠PBC，∵∠EAB+∠AEB=90°，∴∠PBC+∠AEB=90°，∴∠BFE=180°∠PBC∠AEB=90°，∴BP⊥AE，∵EC=2，∴BE=BCEC=82=6，∴，∴，∴，∴PF=BPBF=AEBF=104.8=5.2；當(dāng)點(diǎn)P在AD上，如下圖，在Rt△ABE和Rt△BAP中，∴Rt△ABE≌Rt△BAP（HL），∴BE=AP，∠AEB=∠BPA，∠EAB=∠PBA，∴AF=BF，∵ADBC，∴∠PAF=∠FEB=∠APF，∴AF=PF=BF=EF，∵AE=BP=10，∴PF=BP=×10=5，∴PF的長(zhǎng)為5或5.2，故答案為：5或5.2．8．（2022·黑龍江·一模）在矩形ABCD中，，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在射線AB上，，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，EF平分，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】1【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形設(shè)，證明，得到，再證明，得到，，再證明，利用相似的性質(zhì)即可求出AB．【解析】解：如圖，連接EC，設(shè)，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=4