押江蘇南京中考數(shù)學第16題（幾何與函數(shù)探究）-2022年中考數(shù)學臨考題號押題（江蘇南京專用）

押江蘇南京中考數(shù)學第16題幾何與函數(shù)探究南京中考數(shù)學的第16題比較難，屬于壓軸題，主要以幾何與函數(shù)的探究為主要考查內(nèi)容。例如：2021年南京中考第16題考查了利用平行四邊形的性質(zhì)求解、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合等知識點；2020年第16題考查了二次函數(shù)圖象的平移；y=a（xh）2+k的圖象和性質(zhì)；2019年第16題考查了幾何圖形中三角形的邊角關(guān)系探究；2018年第16題考查了圓與四邊形綜合的性質(zhì)與探究。命題側(cè)重對所學知識的理解和運用，難度通常比較大。解此類題型對考生的要求比較高，需要考生在熟練掌握函數(shù)與幾何基本知識基本原理的前提下，運用原理定理和數(shù)學思想和方法進行探究。1．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點落在上，與交于點E，若，則的長為________．【答案】【分析】過點C作CM//交于點M，證明求得，根據(jù)AAS證明可求出CM=1，再由CM//證明△，由相似三角形的性質(zhì)查得結(jié)論．【解析】解：過點C作CM//交于點M，∵平行四邊形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形∴，，∴，∴∴∵∴∴∴∠∵∴∵∴∠∵，∴∴∠∴∠在和中，∴∴∵∴△∴∴∴故答案為：．2．（2021·江蘇連云港·中考真題）如圖，是的中線，點F在上，延長交于點D．若，則______．【答案】【分析】連接ED，由是的中線，得到，，由，得到，設(shè)，由面積的等量關(guān)系解得，最后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)解得，據(jù)此解題即可．【解析】解：連接ED是的中線，，設(shè)，與是等高三角形，，故答案為：．3．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖（1），△ABC和△A′B′C′是兩個邊長不相等的等邊三角形，點B′、C′、B、C都在直線l上，△ABC固定不動，將△A′B′C′在直線l上自左向右平移．開始時，點C′與點B重合，當點B′移動到與點C重合時停止．設(shè)△A′B′C′移動的距離為x，兩個三角形重疊部分的面積為y，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，則△ABC的邊長是___．【答案】5【分析】在點B'到達B之前，重疊部分的面積在增大，當點B'到達B點以后，且點C'到達C以前，重疊部分的面積不變，之后在B'到達C之前，重疊部分的面積開始變小，由此可得出B'C'的長度為a，BC的長度為a＋3，再根據(jù)△ABC的面積即可列出關(guān)于a的方程，求出a即可．【解析】解：當點B'移動到點B時，重疊部分的面積不再變化，根據(jù)圖象可知B'C'＝a，，過點A'作A'H⊥B'C'，則A'H為△A'B'C'的高，∵△A'B'C'是等邊三角形，∴∠A'B'H＝60°，∴sin60°＝，∴A'H＝，∴，即，解得a＝﹣2（舍）或a＝2，當點C'移動到點C時，重疊部分的面積開始變小，根據(jù)圖像可知BC＝a＋3＝2＋3＝5，∴△ABC的邊長是5，故答案為5．4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，點P在邊AC上運動（可與點A，C重合），將線段BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DP，連接BD，則BD長的最大值為__．【答案】9【分析】由旋轉(zhuǎn)知△BPD是頂角為120°的等腰三角形，可求得BD＝BP，當BP最大時，BD取最大值，即點P與點A重合時，BP＝BA最大，求出AB的長即可解決問題．【解析】解：∵將線段BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DP，∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∴∠PBD＝30°，過點P作PH⊥BD于點H，∴BH＝DH，∵cos30°＝＝，∴BH＝BP，∴BD＝BP，∴當BP最大時，BD取最大值，即點P與點A重合時，BP＝BA最大，過點A作AG⊥BC于點G，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝BC＝3，∵cos∠ABC＝，∴，∴AB＝9，∴BD最大值為：BP＝9．故答案為：9．5．（2021·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=4，BC=5，點D、F分別在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于點F，則△AFE面積的最大值是_________．【答案】【分析】連接DF，先根據(jù)相似三角形判定與性質(zhì)證明,得到,進而根據(jù)CD=2BD，CF=2AF，得到,根據(jù)△ABC中，AB=4，BC=5，得到當AB⊥BC時，△ABC面積最大，即可求出△AFE面積的最大值．【解析】解：如圖，連接DF，∵CD=2BD，CF=2AF，∴，∵∠C=∠C，∴△CDF∽△CBA，∴,∠CFD=∠CAB，∴DF∥BA，∴△DFE∽△ABE，∴,∴,∵CF=2AF，∴,∴,∵CD=2BD，∴,∴,∵△ABC中，AB=4，BC=5，∴，當AB⊥BC時，△ABC面積最大，為，此時△AFE面積最大為．故答案為：1．（2022·江蘇南京·一模）如圖，在直角坐標系中，以5為半徑的動圓的圓心A沿x軸移動，當⊙與直線只有一個公共點時，點A的坐標為________________．【答案】【分析】當⊙A與直線只有一個公共點時，則此時⊙A與直線相切，（需考慮左右兩側(cè)相切的情況）．設(shè)切點為，此時點同時在⊙A與直線上，故可以表示出點的坐標，過點作，則此時，利用相似三角形的性質(zhì)算出長度，最終得出結(jié)論．【解析】如下圖所示，連接，過點作，此時點坐標可表示為，∴，．在Rt△OBC中，，又∵的半徑為5，∴．∵，∴，則，∴，∴．∵左右兩側(cè)都有相切的可能，∴A點的坐標為．2．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，點E、F分別是矩形ABCD邊BC和CD上的點，把△CEF沿直線EF折疊得到△GEF，再把△BEG沿直線BG折疊，點E的對應(yīng)點H恰好落在對角線BD上，若此時F、G、H三點在同一條直線上，且線段HF與HD也恰好關(guān)于某條直線對稱，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)線段HF與HD也恰好關(guān)于某條直線對稱，可得HF=HD，由折疊和同角的余角相等得，然后證明，再利用設(shè)元法即可解決問題．【解析】解：∵線段HF與HD也恰好關(guān)于某條直線對稱，∴HF=HD，∴∠HFD=∠FDH，∴∠BHF=2∠HFD由折疊可知：GF=CF，HG=CE=EG，，∠BHG=∠BEG，∠CEF=∠GEF，∵∠BEG+∠CEF+∠GEF=180°，∴2∠HFD+2∠CEF=180°∴∠HFD+∠CEF=90°，又∵∠CFE+∠CEF=90°∴，又∵HF=HD，∴△DHF是等邊三角形，∴∠CBD=∠CEF=30°，∴，設(shè)GF=CF=x，HF=DF=y，則HG=CE=EG=，HF=HG+GF=GE+CF，即y=x+，∵，∴.3．（2022·江蘇·常州市武進區(qū)前黃實驗學校一模）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是矩形ABCD對角線AC上的動點，連接DE，過點E作EF⊥DE交BC所在直線與點F，以DE、EF為邊作矩形DEFG，當S矩形DEFG＝時，則AE長為_____．【答案】或【分析】作于點，交于點，設(shè)，先根據(jù)勾股定理求出的長，再證明，可求得，則，可推導(dǎo)出，再用含的代數(shù)式表示、，而，推導(dǎo)出，再根據(jù)列方程求出的值即可．【解析】解：如圖1，作于點，交于點，設(shè)，四邊形是矩形，，，，，，四邊形是矩形，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，整理得，解得，，當時，如圖1，當時，如圖2，故答案為：或．

4．（2022·江蘇·無錫市天一實驗學校一模）如圖，在平面直角坐標系中，，其中，與x軸相交于點P．當取得最小值時，的長為__________．【答案】【分析】過點，作軸，軸于點，，證明，可得，根據(jù)，此時等號成立時，有，所以，進而可得和的值，再設(shè)的解析式為，把，代入得一次函數(shù)解析式，進而可以解決問題．【解析】解：如圖，過點，作軸，軸于點，，，，，，，，，，，，，，，，，，，此時等號成立時，有，，，解得，，，，設(shè)的解析式為，把，代入得，，解得，的解析式為，令，則，，的長為．故答案為：．5．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，在平面直角坐標系中，C，A分別為x軸、y軸正半軸上的點，以O(shè)A，OC為邊，在第一象限內(nèi)作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，將矩形OABC翻折，使點B與原點O重合，折痕為MN，點C的對應(yīng)點C'落在第四象限，過M點的反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象恰好過MN的中點，則k的值為_____，點C'的坐標為_____．【答案】

【分析】連接OB交MN于Q，由折疊的性質(zhì)可得MO=MB，OQ=OB，先證明△BMQ≌△ONQ得到QM=QN，即點Q為OB的中點，過點Q作QH⊥x軸于H，證明△OHQ∽△OCB，求出，則；過點作軸于G，可以推出，設(shè)AM=a，則BM=OM=3a，則，解得，得到AB=OC=2，，從而求出，，利用三角形面積法求出，則，即點C的坐標為．【解析】解：如圖所示，連接OB交MN于Q，由折疊的性質(zhì)可得MO=MB，OQ=OB，∵四邊形OABC是矩形，∴，∴∠MOQ=∠NOQ，∠BMQ=∠ONQ，又∵BQ=OQ，∴△BMQ≌△ONQ（AAS），∴QM=QN，即點Q為OB的中點，過點Q作QH⊥x軸于H，∴，∴△OHQ∽△OCB，∴，∵四邊形OABC是矩形，∴，∵Q在反比例函數(shù)圖象上，∴；過點作軸于G，∵點M在反比例函數(shù)圖象上，∴，又∵，∴，設(shè)AM=a，則BM=OM=3a，∴，∴，解得（負值已經(jīng)舍去），∴AB=OC=2，，∵QM=QG，OQ=BQ，∴四邊形OMBN是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴點C的坐標為故答案為：，．6．（2022·江蘇徐州·一模）如圖，一次函數(shù)與反比例數(shù)的圖像交于A，B兩點，點M在以為圓心，半徑為1的上，N是的中點，已知長的最大值為，則k的值是_______．【答案】【分析】根據(jù)題意得出是的中位線，所以取到最大值時，也取到最大值，就轉(zhuǎn)化為研究也取到最大值時的值，根據(jù)三點共線時，取得最大值，解出的坐標代入反比例函數(shù)即可求解．【解析】解：連接，如下圖：在中，分別是的中點，是的中位線，，已知長的最大值為，此時的，顯然當三點共線時，取到最大值：，，，設(shè)，由兩點間的距離公式：，，解得：（取舍），，將代入，解得：，故答案是：．7．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，AD=3，E為對角線BD上的動點，點F在邊AB上，且滿足．連接AE，記△AEF的S面積為S1，△BCE的面積為S2，若，則a的取值范圍是________．【答案】【分析】過點E作EH⊥AB于點H，作EG⊥BC于點G，證明△BHE∽△BAD，得到，根據(jù)得到，可證明△EHF∽△EGC，可得CE⊥EF，設(shè)EH=x，表示出S1和S2，得到，分別得到EH最大和最小時的情況，可得對應(yīng)EH值，代入可得a的取值范圍．【解析】解：過點E作EH⊥AB于點H，作EG⊥BC于點G，則四邊形HEGB為矩形，∵HE∥AD，∴△BHE∽△BAD，∴，又，∴，∵∠EHF=∠EGC=90°，∴△EHF∽△EGC，∴∠HEF=∠GEC，∴∠HEG=∠FEC=90°，即CE⊥EF，設(shè)EH=x，∵，∴HB=EG=，CG=BCBG=6x，，∴HF=，BF=BHHF=，AF=ABBF=，∴===，==4x，∴，∵點F在AB上，∴當F與B重合時，EH最小，此時EH=，當E與D重合時，EH最大，此時EH=AD=3，∴，故答案為：．18．（2022·江蘇揚州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，B（﹣8，0），CB與y軸交于點D，，點C在反比例函數(shù)的圖象上，且x軸平分∠ABC，則k的值為______．【答案】【分析】作y軸的垂線，構(gòu)造相似三角形，利用BD=4CD和B（8，0）可以求出C的橫坐標，再利用三角形相似，設(shè)未知數(shù)，由相似三角形對應(yīng)邊成比例，列出方程，求出待定未知數(shù)，從而確定點C的坐標，進而確定k的值．【解析】解：過C作CE⊥y軸，垂足為E，∵B（8，0），∴OB=8，∵∠CED=∠BOD=90°，∠CDE=∠BDO∴△CDE∽△BDO，∵BD=4CD，∴，∴CE=2；

又∵x軸平分∠CBA，BO⊥AD，∴AO=OD，∵∠CAB=90°，∴∠OBD=∠DCE=∠CAE，∴△CAE∽△DBO，∴，

設(shè)DE=n，則AO=OD=4n，AE=9n，∴，解得，，∴，故答案為：．（限時：30分鐘）1．（2022·河南許昌·一模）如圖1，在正方形中，點E是邊的中點，點P是對角線上一動點，設(shè)，，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖像，則圖像上最低點Q的坐標是______．【答案】【分析】連接，由B、D關(guān)于對稱，推出，得出，得出當D、P、E共線時，的值最小，設(shè)正方形的邊長為，則，，分別求出的最小值和的長即可解決問題．【解析】解：如圖，連接，設(shè)正方形ABCD的邊長為，∴，∴，∵點E是邊的中點，∴，∵正方形是軸對稱圖形，關(guān)于對稱，點B和點D是一組對應(yīng)點，∴點B、D關(guān)于對稱，∴，∴，．當D、P、E共線時，的值最小，如下圖：在中，，∴的最小值為，∴點Q的縱坐標為，∵，∴∵，∴，∴點Q的橫坐標為，∴點Q的為，結(jié)合圖2可知，當點P與點C重合時，，解得：，∴點Q的坐標為．2．（2022·山東濟寧·一模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形與正方形是以為位似中心的位似圖形，且位似比為，點，，在x軸上，延長交射線與點，以為邊作正方形；延長，交射線與點，以為邊作正方形；…按照這樣的規(guī)律繼續(xù)作下去，若，則正方形的面積為_______．【答案】【分析】已知正方形與正方形是以為位似中心的位似圖形，A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，可先證明△OA1B1∽△OA2B2，求出正方形A1B1C1A2的邊長1=20，正方形A2B2C2A3的邊長為21=2；同理可證明△OA2B2∽△OA3B3，求出正方形A3B3C3A4的邊長為4=22......由此可歸納出規(guī)律：正方形AnBnCnDn+1的邊長為2n－1．在正方形A2021B2021C2021A2022中，n=2021，將n的值代入2n－1即可求出該正方形的邊長，根據(jù)正方形面積公式，即可求出該正方形的面積．【解析】解：∵正方形與正方形是以為位似中心的位似圖形，且位似比為，∴，∵A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，∴，∴△OA1B1∽△OA2B2，∴，∵，∴，∴，∴正方形A1B1C1A2的邊長1=20，∵△OA1B1∽△OA2B2，∴，∴，∴正方形A2B2C2A3的邊長為21=2；同理可證△OA2B2∽△OA3B3，∴，∵四邊形A2B2C2A3是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴正方形A3B3C3A4的邊長為4=22，綜上，可歸納出規(guī)律：正方形AnBnCnDn+1的邊長為2n－1．∴正方形A2021B2021C2021A2022的邊長為：，∴正方形A2021B2021C2021A2022的面積為：．故答案為：．3．（2022·四川廣元·一模）如圖，等邊三角形ABC的邊長為2，D，E是AC，BC上兩個動點，且AD＝CE，AE，BD交于點F，連接CF，則CF長度的最小值為______．【答案】【分析】由AD＝CE，可知點F的路徑是一段弧，即當點D運動到AC的中點時，CF長度的最小，即點F為△ABC的中心，過B作于，過A點作交于點，則可知，由△ABC是等邊三角形，BC＝2，得，進而可知，則CF長度的最小值是．【解析】解：∵AD＝CE，∴點F的路徑是一段弧，∴當點D運動到AC的中點時，CF長度的最小，即點F為△ABC的中心，過B作于，過A點作交于點，∴，∵△ABC是等邊三角形，BC＝2，∴，∴．∴CF長度的最小值是．故答案為：．4．（2022·遼寧葫蘆島·二模）如圖，正方形的邊長為4，點E是對角線上的動點（點E不與A，C重合），連接交于點F，線段繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．下列結(jié)論：①；②；③若四邊形的面積是正方形面積的一半，則的長為；④．其中正確的是_________．（填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】①②④【分析】過E作EM⊥BC，EN⊥CD，可證△BEM≌△FEN得BE=EF，故①正確；可證四邊形BEFG是正方形得∠EBG=90°，BE=BG，可證∠ABE=∠CBG，進而得到△ABE≌△CBG，所以∠BAE=∠BCG，得∠BCA+∠BCG=90°，即∠ACG=90°，可證②正確；由可求BE=，過E作EH⊥AB，則∠AEH=180°∠BAC∠AHE=45°，知AH=HE，設(shè)AH=HE=x，則BH=4x，由，得到AH=HE=2，從而得到，知③錯誤；由②可知，△ABE≌△CBG，所以AE=CG，而CG+CE=AE+CE=AC可求，④正確．【解析】解：過E作EM⊥BC，EN⊥CD∵四邊形ABCD是正方形，AC平分∠BCD∴EM=EN∵∠EMC=∠MCN=∠ENC=90°∴∠MEN=90°∵EF⊥BE∴∠BEM+∠MEF=∠FEN+∠MEF=90°∴∠BEM=∠FEN∵∠EMB=∠ENF=90°，EM=EN∴△BEM≌△FEN∴BE=EF故①正確；∵∠BEF=∠EFG=90°，EF=FG，BE=EF∴BE=FG，BE∥FG∴四邊形BEFG是平行四邊形∵∠BEF=90°，BE=EF∴四邊形BEFG是正方形∴∠EBG=90°，BE=BG∵∠ABC=90°∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBG=90°∴∠ABE=∠CBG又∵AB=BC，BE=BG∴△ABE≌△CBG∴∠BAE=∠BCG∵∠BAE+∠BCA=90°∴∠BCA+∠BCG=90°，即∠ACG=90°故②正確；∵∴∴BE=過E作EH⊥AB∵四邊形ABCD是正方形∴∠BAC=45°∵∠AHE=90°∴∠AEH=180°∠BAC∠AHE=45°∴AH=HE設(shè)AH=HE=x，則BH=4x∵∴解得∴AH=HE=2∴故③錯誤；由②可知，△ABE≌△CBG∴AE=CG∴CG+CE=AE+CE=AC∵∠ACB=45°∴AC=∴CG+CE=故④正確，所以答案為：①②④．5．（2022·四川宜賓·一模）如圖，線段OA分別交反比例函數(shù)y1＝（x＞0），y2＝（x＞0）的圖象于點A，B，過點B作CD⊥x軸于點D，交反比例函數(shù)y1＝（x＞0）的圖象于點C，若OB＝2AB，則△OBD與△ABC的面積之比為_____．【答案】【分析】根據(jù)題意，用含k1、k2的式子表示各點，從而表示△OBD與△ABC的面積之比，最終得到比值；【解析】解：過點A作AE⊥OD于E點，∵CD⊥x軸于點D，∴BD∥AC，OB＝2AB，∴，，∵反比例函數(shù)y1＝（x＞0），y2＝（x＞0）的圖分別經(jīng)過點A，B，∴S△OBD＝k1，S△OAE＝k2，∴k1：k2＝4：9，設(shè)點B的縱坐標為2m，則點B坐標為（，2m），點A坐標為（，3m），∴點C的橫坐標為，縱坐標為，∴，∴，故答案為：8：5．6．（2022·廣東佛山·一模）如圖是一張矩形紙片ABCD，點M是對角線AC的中點，點E在BC邊上，把沿直線DE折疊，使點C落在對角線AC上的點F處，連接DF，EF．若，則_________．【答案】18°【分析】連接，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半可得和為等腰三角形，，；由折疊可知，可得；由，，，可得，進而得到；利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，可得；最后在中，利用三角形的內(nèi)角和定理列出方程，結(jié)論可得．【解析】解：連接，如圖：∵四邊形是矩形，．∵M是的中點，，，．∵與DC關(guān)于DE對稱，，．∵MF=AB，，，．．∵∠DFC=∠FDM+∠FMD，．∵∠DMC=∠FAD+∠ADM，．設(shè)，則，．∵∠DMC+∠MCD+∠MDC=180°，．．故答案為：18°．7．（2022·云南·一模）正方形ABCD的邊長為8，點E在BC邊上，且CE＝2，點P是正方形邊上的一個動點，連接PB交AE于點F，若PB＝AE，則PF的長為_____．【答案】5或5.2【分析】當點P在BC上，AE＞BP，當點P在AB上，AE＞BP，當點P在CD上，如圖，根據(jù)PB=AE，可證Rt△ABE≌Rt△BCP（HL），可證BP⊥AE，根據(jù)勾股定理可求，根據(jù)三角形面積可求，可求PF=BPBF；當點P在AD上，如圖，可證Rt△ABE≌Rt△BAP（HL），再證AF=PF=BF=EF，根據(jù)AE=BP=10cm，可求PF=BP=×10=5．【解析】解：當點P在BC上，AE＞BP，當點P在AB上，AE＞BP，不合題意；當點P在CD上，如下圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=AD=CD=8，在Rt△ABE和Rt△BCP中，∴Rt△ABE≌Rt△BCP（HL），∴∠EAB=∠PBC，∵∠EAB+∠AEB=90°，∴∠PBC+∠AEB=90°，∴∠BFE=180°∠PBC∠AEB=90°，∴BP⊥AE，∵EC=2，∴BE=BCEC=82=6，∴，∴，∴，∴PF=BPBF=AEBF=104.8=5.2；當點P在AD上，如下圖，在Rt△ABE和Rt△BAP中，∴Rt△ABE≌Rt△BAP（HL），∴BE=AP，∠AEB=∠BPA，∠EAB=∠PBA，∴AF=BF，∵ADBC，∴∠PAF=∠FEB=∠APF，∴AF=PF=BF=EF，∵AE=BP=10，∴PF=BP=×10=5，∴PF的長為5或5.2，故答案為：5或5.2．8．（2022·黑龍江·一模）在矩形ABCD中，，E為AD的中點，點F在射線AB上，，過點E作于點G，EF平分，則AB的長為__________．【答案】1【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形設(shè)，證明，得到，再證明，得到，，再證明，利用相似的性質(zhì)即可求出AB．【解析】解：如圖，連接EC，設(shè)，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=4