類型一反比例k的幾何意義之求k

類型一、反比例”k”的幾何意義之求k【解惑】從反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）圖象上任一點P，向x軸和y軸作垂線，以點P及點P的兩個垂足和坐標(biāo)原點為頂點的矩形的面積等于常數(shù)，以點P及點P的一個垂足和坐標(biāo)原點為頂點的三角形的面積等于【融會貫通】1．如圖，直線與x軸交于點A，與函數(shù)的圖象交于點B，軸于點C，平移直線，使其過點C，且與函數(shù)的圖象交于D，若，則k的值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【詳解】解：過點D作軸于點E，由直線可知，設(shè)∴，，∴，由題意可知，∴，即，∴，，∴∴點D的坐標(biāo)為∵點B、點D在反比例函數(shù)上，∴,解得：或(舍)∴2．如圖，反比例函數(shù)的圖像上有兩點，反比例函數(shù)的圖像上有兩點，且軸于點，軸于點，，，，則（）A．4 B． C． D．6【答案】B【詳解】解：連接，如下圖，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，，∵，∴①，∵，∴②，由①②兩式解得，則．3．如圖，直線AB與雙曲線在第一象限交于點A，與雙曲線在第二象限交于點B，與y軸交于點C，若，且的面積為8，則k的值為______．【答案】【詳解】解：如圖：分別過點A、B作軸，軸，垂足分別為點E、F，設(shè)點，點，則，，，，，，得，，，點C在y軸上，，，，得，解得，【知不足】1．如圖，的邊在x軸上，若過點A的反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過邊的中點D，且，則k的值是（

）A．12 B．24 C．28 D．32【答案】C【詳解】解：過點、分別作，，垂足為、，由圖像可知：，在中，，∴，是的中點，∴，，四邊形是平行四邊形，，，點、在反比例函數(shù)的圖象上，，，，設(shè)點，，，在中，令，則，∴，，即，，，，，解得，2．如圖，直線與x軸相交于點B，點A是直線上一點，過點A，B分別作x軸、y'軸的平行線交于點C，點C恰在反比例函數(shù)的圖象上，若點A的橫坐標(biāo)為點B橫坐標(biāo)的一半，則k的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：對于一次函數(shù)，令，則，解得：，∵點A的橫坐標(biāo)為點B橫坐標(biāo)的一半，∴點A的橫坐標(biāo)為把代入，解得，∴，∵過點A，B分別作x軸、y'軸的平行線交于點C，∴，∴，∵，∴，3．如圖，點A、B在反比例函數(shù)的圖象上，過點A、B作x軸的垂線，垂足分別是M、N，射線交x軸于點C，若，四邊形的面積是4，則k的值為_____．【答案】【詳解】解∶設(shè)，則，點A、B在反比例函數(shù)的圖象上，，，，，解得，4．如圖，兩個邊長分別為的正方形連在一起，三點在同一直線上，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過小正方形右下頂點．若，則的值是_____．【答案】4【詳解】解：連接，設(shè)點坐標(biāo)為，則，和都是等腰直角三角形，，，，即，，，，．【一覽眾山小】1．如圖，將一塊含角的三角板AOB按如圖所示擺放在平面直角坐標(biāo)系中，，，的面積為4，BO與x軸的夾角為，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，則k的值為（

）A．3 B． C．6 D．9【答案】C【詳解】過作軸交于點∵將一塊含角的三角板AOB按如圖所示擺放∴∵∴解得∵BO與x軸的夾角為∴∴在中，∴，則可將代入中，，解得2．兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P在的圖象上，軸于點C，交的圖象于點A，軸于點D，交的圖象于點B，當(dāng)點P在的圖象上運動時，以下結(jié)論：①與的面積相等；②四邊形的面積不會發(fā)生變化；③與始終相等；④當(dāng)點是的中點時，點一定是的中點．其中，正確的結(jié)論有（）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：∵點均在反比例函數(shù)的圖象上，且軸，軸，∴，，∴，結(jié)論①正確；∵點在反比例函數(shù)的圖象上，且軸，軸，∴，∴，即四邊形的面積不會發(fā)生變化，結(jié)論②正確；設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，，，與的關(guān)系無法確定，結(jié)論③錯誤；如圖，連接，點是的中點，，，，，即，，∴點一定是的中點，結(jié)論④正確；綜上，正確的結(jié)論有3個，3．如圖，點A在雙曲線上，點B在雙曲線上，點A在點B的左側(cè)，軸，點C，D在x軸上，若四邊形ABCD為面積是9的矩形，則k的值為______．【答案】13【詳解】解：延長交y軸于點E，則軸，∵點A在反比例函數(shù)上，∴四邊形的面積是4，∵點B在反比例函數(shù)上，∴四邊形的面積是，∵四邊形的面積是9，∴，∵反比例函數(shù)在第一象限，∴．4．如圖，已知直角三角形中，，將繞點旋轉(zhuǎn)至的位置，且在中點，在反比例函數(shù)上，則的值_____．【答案】【詳解】解：連接，作軸于點，由題意知，是中點，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，在反比例函數(shù)上，．5．如圖，在中，，軸，垂足為A．反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點C，交于點D．已知，．(1)若，求k的值；(2)連接，若，求的長．【答案】(1)12(2)【詳解】（1）作，垂足為E，，，．點E的縱坐標(biāo)為3，則點C的縱坐標(biāo)為3，在Rt中，，，，，，，，點C的橫坐標(biāo)為，∴點C的坐標(biāo)為：，把點代入反比例函數(shù)中得：，解得．（2）設(shè)A點的坐標(biāo)為，，，，點D的坐標(biāo)分別為：．由（1）可知，點C的坐標(biāo)為，點C，D都在反比例函數(shù)的圖像上，，，，解得，C點的坐標(biāo)為：，．【溫故為師】1．如圖，等腰直角三角形中，點A，B分別在x軸，y軸上，直角頂點C落在反比例函的圖象上，的中點D落在y軸上，若，則______．【答案】4【詳解】過點作軸，交軸于，于，則，，∵是的等腰直角三角形，∴，，則，∴，∴，∴，則，可設(shè)，則，∵的中點落在軸上，則，∴，即，∴，，，由得，，解得：，即∴，2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，放置一個等腰紙片，，邊與軸重合，點坐標(biāo)為，若反比例函數(shù)與邊交于點，與邊交于點．（1）當(dāng)點為中點時，反比例函數(shù)的表達(dá)式為______；（2）將如圖放置的紙片的沿過點的直線翻折，當(dāng)點落到中點時，______；（3）若雙曲線與折線、所圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界）有2個橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點，則的取值范圍是______．【答案】

【詳解】（1）作于點F，∵點坐標(biāo)為，，∴．∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．（2）如圖，折線，點B落在上點處．由（1）可知，，∴，∵點坐標(biāo)為，是的中點，∴，設(shè)直線的解析式為，把點A和點B的坐標(biāo)代入得，解得，∴，設(shè)，∵，∴，解得，∴，∴，∴．（3）∵點坐標(biāo)為，，∴若雙曲線與折線、所圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界）有2個橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點，則這兩個點一定是點A和點，把代入得，把代入得，∴．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線、分別與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點、，若的面積為3，則___________．【答案】4【詳解】解：作軸于，軸于，如圖，解方程組得或，則，，解方程組得或，則，，，而，，．4．如圖，已知A是y軸負(fù)半軸上一點，點B在反比例函數(shù)的圖像上，交x軸于點C，，，的面積為，則_______．【答案】【詳解】解：過點B作軸于點D，如圖所示．∵，∴，，∴．，又∵，∴，∴，∴，∴．5．如圖，點A是反比例函數(shù)（x＞0）圖象上的一個動點，過點A作軸于點B，點C是反比例函數(shù)圖象上不與點A重合的點，以為邊作菱形，過點D作軸于點F，交反比例函數(shù)的圖象于點E．(1)已知當(dāng)時，菱形面積為20，則此時點C的橫坐標(biāo)是，點D的橫坐標(biāo)是，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點A在（1）中的反比例函數(shù)圖象上運動，當(dāng)菱形面積是48時，求的值．【答案】(1)3，8：y=(2)【詳解】（1）解：過點C作于點T，∴菱形面積，∴，在中，，∴，∴點C的橫坐標(biāo)為3，點D的橫坐標(biāo)為，設(shè)點C的坐標(biāo)為，則點A的坐標(biāo)為，∴，解得：，∴，，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：，，（2）解：設(shè)點，過點C作軸于點N，交于點M，∵菱形面積是48，∴，∴，∴點C的縱坐標(biāo)為，∴，∴點D的坐標(biāo)為，∴點E的坐標(biāo)為，∴，∴．6．如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點、．過點A分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為點M、N．連接．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)若四邊形的面積記作，的面積記作，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點、，