專題11乘法公式(平方差公式和完全平方公式)壓軸題八種模型全

專題11乘法公式(平方差公式和完全平方公式)壓軸題八種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算】 1【考點(diǎn)二平方差公式與幾何圖形】 2【考點(diǎn)三運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算】 5【考點(diǎn)四求完全平方式中的字母系數(shù)】 6【考點(diǎn)五整式的混合運(yùn)算——化簡求值】 7【考點(diǎn)六通過對完全平方公式變形求值】 9【考點(diǎn)八運(yùn)用完全平方式求代數(shù)式的最值問題】 15【過關(guān)檢測】 18【典型例題】【考點(diǎn)一運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算】例題：（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)橡樹灣校區(qū)七年級期中）下列整式乘法中，能用平方差公式簡便計(jì)算的有（

）（1）（2）（3）（4）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】根據(jù)平方差公式為兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的積，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：能用平方差公式計(jì)算的有；，則能用平方差公式簡便計(jì)算的有個．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川樂山·八年級期末）化簡：【答案】【分析】根據(jù)平方差公式求解即可．【詳解】解：【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式的運(yùn)用．2．（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中x＝1，y＝2；【答案】，15【分析】根據(jù)平方差公式即可進(jìn)行化簡，再代入x，y求值即可．【詳解】解：原式===，當(dāng)時，原式===．【點(diǎn)睛】此題主要考查整式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟知平方差公式的運(yùn)用．【考點(diǎn)二平方差公式與幾何圖形】例題：（2022·江西·撫州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級階段練習(xí)）乘法公式的探究及應(yīng)用．(1)如圖1，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個矩形，如圖2，通過比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到整式乘法公式：；(2)運(yùn)用你所得到的乘法公式，計(jì)算或化簡下列各題：①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．【答案】(1)（a+b）（a﹣b）＝(2)①9996②【分析】（1）根據(jù)圖1與圖2面積相等，則可列出等式即可得出答案；（2）應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．（1）解：大的正方形邊長為a，面積為，小正方形邊長為b，面積為，∵圖1陰影部分的面積為大的正方形面積減去小的正方形面積，∴圖1陰影部分面積＝，圖2陰影部分面積＝（a+b）（a﹣b），∵圖1的陰影部分與圖2面積相等，∴（a+b）（a﹣b）＝，故答案為：（a+b）（a﹣b）＝；（2）①102×98＝（100+2）（100﹣2）＝＝10000﹣4＝9996；②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）＝[（2m﹣3）+n）][（2m﹣3）﹣n]＝＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差的幾何背景的應(yīng)用，根據(jù)題意運(yùn)用平方差公式計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵【變式訓(xùn)練】1．（2022·吉林吉林·八年級期末）（1）如圖1，若大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，則陰影部分的面積是；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2的一個矩形，則它長為；寬為；面積為．（2）由（1）可以得到一個公式：．（3）利用你得到的公式計(jì)算：．【答案】（1），a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）＝（a+b）（a﹣b）；（3）1【分析】（1）由圖形所示，由正方形、長方形的面積公式可得此題結(jié)果；（2）由（1）結(jié)果可得等式＝（a+b）（a﹣b）；（3）由（2）結(jié)論＝（a+b）（a﹣b），可得＝1．【詳解】解：（1）由題意得，圖形中陰影部分的面積是；圖2的長為a+b，寬為a﹣b，其面積（a+b）（a﹣b）；故答案為：，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）結(jié)果可得等式＝（a+b）（a﹣b），故答案為：＝（a+b）（a﹣b）；；（3）由（2）題結(jié)果＝（a+b）（a﹣b），可得【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式幾何背景的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能用不同整式表示出圖形面積，并能運(yùn)用所得結(jié)論進(jìn)行計(jì)算．2．（2022·陜西渭南·七年級期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．(1)【探究】通過觀察比較圖2與圖1中的陰影部分面積，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）(2)【應(yīng)用】請應(yīng)用這個公式完成下列各題：①已知，2m＋n＝4，則2m－n的值為______；②計(jì)算：；(3)【拓展】計(jì)算：．【答案】(1)(2)①3；②(3)5050【分析】（1）將兩個圖中陰影部分面積分別表示出來，建立等式即可；（2）①利用平方差公式得出，代入求值即可；②利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；（3）利用平方差公式將寫成（100+99）×（10099），以此類推，然后化簡求值．（1）圖1中陰影部分面積，圖2中陰影部分面積，所以，得到乘法公式故答案為（2）解：①∵，2m＋n＝4，∴故答案為：3②=（3）=（100+99）×（10099）+（98+97）×（9897）+…+（4+3）×（43）+（2+1）×（21）=199+195+…+7+3=5050．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的應(yīng)用．熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算】例題：（2022·湖南邵陽·七年級期末）計(jì)算：【答案】【分析】首先根據(jù)完全平方公式及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則運(yùn)算，再去括號，最后合并同類項(xiàng)，即可求得．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，解本題的關(guān)鍵在注意去括號時符號的變化．完全平方公式：．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)泰山分校七年級階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中x=1，y=2．【答案】，3．【分析】根據(jù)完全平方公式和平方差公式可以化簡題目中的式子，然后將x、y的值代入化簡后的式子即可解答本題．【詳解】解：，當(dāng)x=1，y=2時，原式．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確整式的化簡求值的方法．2．（2021·湖南·長沙一中岳麓中學(xué)八年級階段練習(xí)）整式化簡：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】(1)首先根據(jù)完全平方公式及平方差公式、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)即可求得結(jié)果；(2)首先根據(jù)平方差公式及完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)完全平方公式及合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行運(yùn)算，即可求得結(jié)果．（1）解：（2）解：【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握和運(yùn)用各運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四求完全平方式中的字母系數(shù)】例題：（2022·廣西·桂林市雁山中學(xué)七年級期中）若是完全平方式，則k的值為____________．【答案】±6【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征計(jì)算即可．【詳解】解：∵是一個完全平方式，∴k＝±23＝±6，故答案為：±6．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江·義烏市賓王中學(xué)七年級期中）若多項(xiàng)式x2﹣4x+m是一個完全平方式，則m的值為_____．【答案】4【分析】先根據(jù)乘積二倍項(xiàng)確定出這兩個數(shù)是x和2，再根據(jù)完全平方公式求解即可．【詳解】解：∵4x=2×(2)x，∴這兩個數(shù)是x和2，∴．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個完全平方式．此題解題的關(guān)鍵是利用乘積項(xiàng)來確定這兩個數(shù)．2．（2022·山東煙臺·八年級期中）關(guān)于的二次三項(xiàng)式是完全平方式，則的值是______________．【答案】2或0##0或2【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征解答即可．【詳解】解：∵關(guān)于的二次三項(xiàng)式是一個完全平方式，∴∴，∴或，故答案為：2或0．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式的知識，屬于?？碱}型，熟知完全平方式的結(jié)構(gòu)特征，是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)五整式的混合運(yùn)算——化簡求值】例題：（2022·遼寧·阜新市第一中學(xué)七年級期中）先化簡，再求值．其中x＝2，y＝1．【答案】x，2【分析】先根據(jù)乘法公式，單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式計(jì)算中括號內(nèi)的整式運(yùn)算，然后根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算法則化簡，最后代值計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)x＝2，y＝﹣1時，原式＝2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的化簡求值，熟知乘法公式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·深圳大學(xué)附屬教育集團(tuán)外國語中學(xué)七年級期中）先化簡再求值：，其中a＝﹣，b＝﹣2．【答案】，3【分析】先計(jì)算括號內(nèi)的乘法，再去括號，然后計(jì)算除法，再把a(bǔ)＝﹣，b＝﹣2代入化簡后的結(jié)果，即可求解．【詳解】解：當(dāng)a＝﹣，b＝﹣2時，原式【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式加減中的化簡求值，熟練掌握整式加減混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江大慶·七年級期末）先化簡，再求值：(1)，其中，；(2)，其中，．【答案】(1)原式，當(dāng)，時，原式(2)原式2ab，當(dāng)a=，b=1時，原式1【分析】（1）先算括號內(nèi)的乘法，合并同類項(xiàng)，算除法，最后代入求出即可．（2）首先利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則以及平方差公式對原式進(jìn)行化簡，然后去括號得到最簡式，再將，代入最簡式計(jì)算即可求解．（1）===．當(dāng)，時，原式．（2）==．當(dāng)，時，原式1．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值的應(yīng)用，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式以及平方差公式，正確根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六通過對完全平方公式變形求值】例題：（2021·湖南·衡陽市第十七中學(xué)八年級期中）已知a﹣b＝5，ab＝3，求代數(shù)式的值．【答案】37【分析】利用完全平方公式的變形求解即可．【詳解】解：∵a﹣b＝5，ab＝3，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，熟知完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東·萬杰朝陽學(xué)校七年級階段練習(xí)）已知a+b=5，ab=4，(1)求a2+b2的值(2)求（ab）2的值【答案】(1)17(2)9【分析】（1）直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而得出答案；（2）直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而得出答案．（1）解：∵，，∴，∴，∴；（2）∵，，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了完全平方公式，正確應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．2．（2021·黑龍江·大慶市大同區(qū)同祥學(xué)校七年級期中）閱讀：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．已知a+b＝6，ab＝2，請你根據(jù)上述解題思路求下列各式的值．(1)a2+b2；(2)a2﹣ab+b2．【答案】(1)32(2)30【分析】（1）結(jié)合題意，，代入即可得出答案；（2）由（1）可知，，ab＝2，代入即可得出答案．（1）解：∵a+b＝6，ab＝2，∴；（2）解：由（1）可知，，ab＝2，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，結(jié)合條件對完全平方公式變形是本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)七完全平方公式在幾何中的應(yīng)用】例題：（2021·寧夏·永寧縣回民高級中學(xué)七年級期中）如圖a是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪力均分成園塊小長方形，然后接圖b的形狀拼成一個正方形．(1)圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于多少？(2)求出圖b中陰影部分的面積_______．(3)觀察圖b你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：，，．(4)根據(jù)（3）圖中的等量關(guān)系，解決如下問題：若，，則_______．【答案】(1)mn(2)或(3)(4)29【分析】（1）根據(jù)題意可得圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于長為m，寬為n的長方形的長寬之差，即可求解；（2）根據(jù)圖b中的陰影部分的正方形面積等于大正方形的面積減去4個長方形的面積或圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于mn，即可求解；（3）由（2）寫出等量關(guān)系，即可求解；（4）根據(jù)（3）中的結(jié)論可得，再把，代入，即可求解．（1）解：（1）圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于長為m，寬為n的長方形的長寬之差，即mn；（2）解：圖b中的陰影部分的正方形面積等于大正方形的面積減去4個長方形的面積，即；圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于mn，所有其面積為；故答案為：或（3）解：由（2）得：；（4）解：由（3）得：當(dāng)a+b=7，ab=5時，，故答案為：29【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式與圖形之間的關(guān)系，從幾何的圖形來解釋完全平方公式的意義，解此類題目的關(guān)鍵是正確的分析圖形，找到組成圖形的各個部分，并用面積的兩種求法作為相等關(guān)系列式子．【變式訓(xùn)練】1．（2021·浙江·嵊州市馬寅初初級中學(xué)七年級期中）數(shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了若干個如圖1的三種紙片，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是長為、寬為的長方形，并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．(1)觀察圖2，請你寫出下列三個代數(shù)式：，，之間的等量關(guān)系；(2)若要拼出一個面積為的矩形，則需要號卡片1張，號卡片2張，號卡片________張．(3)根據(jù)（1）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：，，求的值；②已知，求的值．【答案】(1)；(2)3；(3)①ab的值為7；②x2020=±3【分析】（1）用兩種方法表示拼成的大正方形的面積，即可得出，，三者的關(guān)系；（2）計(jì)算（a+2b）（a+b）的結(jié)果為，因此需要A號卡片1張，B號卡片2張，C號卡片3張；（3）①根據(jù)題（1）公式計(jì)算即可；②令a=x2020，從而得到a+1=x2019，a1=x2021，代入計(jì)算即可．（1）大正方形的面積可以表示為：，或表示為：；因此有；（2）∵，∴需要A號卡片1張，B號卡片2張，C號卡片3張，故答案為：3；（3）①∵，∴25=11+2ab,∴ab=7，即ab的值為7；②令a=x2020，∴x2019=[x（20201）]=x2020+1=a+1，x2021=[x（2020+1）]=x20201=a1，∵，∴，解得．∴，∴x2020=±3．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的意義和應(yīng)用，用不同的方法表示面積是得出等量關(guān)系的關(guān)鍵．2．（2022·河南·鄭州外國語學(xué)校經(jīng)開校區(qū)七年級階段練習(xí)）一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．(1)自主探究：如果用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積，從而發(fā)現(xiàn)一個等量關(guān)系是_____．(2)知識運(yùn)用：若x﹣y=5，xy=6，則=_____．(3)知識遷移：設(shè)A=，B=x+2y﹣3，化簡的結(jié)果．(4)知識延伸：若，代數(shù)式（2021﹣m）（m﹣2022）=_____．【答案】(1)(2)49(3)(4)－4【分析】（1）陰影部分是邊長為的正方形，根據(jù)正方形的面積公式可得面積為，陰影部分也可以看作邊長為的大正方形面積減去4個長為，寬為的長方形的面積，即為，于是可得等式；（2）由（1）得，代入計(jì)算即可；（3）化簡結(jié)果為，再代入計(jì)算即可；（4）設(shè)，，則，，由可求出的值，即可得出答案．（1）解：圖2中的陰影部分是邊長為的正方形，因此面積為，圖2的陰影部分也可以看作邊長為的大正方形面積減去4個長為，寬為的長方形的面積，即為，所以有：，故答案為：；（2）由（1）得，當(dāng)，，則，故答案為：49；（3），，原式；（4）設(shè)，，則，，，，，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式變形是解決問題的前提．【考點(diǎn)八運(yùn)用完全平方式求代數(shù)式的最值問題】例題：（2022·河北承德·八年級期末）閱讀下面的材料并解答后面的問題：在學(xué)了整式的乘法公式后，小明問：能求出的最小值嗎？如果能，其最小值是多少？小麗：能．求解過程如下：因?yàn)?，因?yàn)?，所以，即的最小值?．問題：(1)小麗的求解過程正確嗎？(2)你能否求出的最小值？如果能，寫出你的求解過程；(3)求的最大值．【答案】(1)小麗的求解過程正確；(2)的最小值為，過程見解析(3)的最大值為【分析】（1）將式子的一部分利用完全平方公式，寫成平方加上一個數(shù)的形式，根據(jù)平方的非負(fù)性即可求解；（2）根據(jù)（1）的方法即可求解；（3）根據(jù)（1）的方法即可求解．（1）小麗的求解過程正確；（2）我能出的最小值為，，，的最小值為；（3）解：∵，∴的最大值為7．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式，平方的非負(fù)性，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·陜西省西咸新區(qū)秦漢中學(xué)七年級階段練習(xí)）我們知道，所以代數(shù)式的最小值為學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用來求一些多項(xiàng)式的最小值．例如，求的最小值問題．解：，又，，的最小值為．請應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：(1)探究：____________；(2)求的最小值．(3)比較代數(shù)式：與的大?。敬鸢浮?1)2；1(2)2(3)【分析】（1）根據(jù)完全平方式的特征求解．（2）利用完全平方公式變形，再求最值．（3）作差后利用完全平方公式變形，再比較大?。?）解：﹣4x+5＝﹣4x+4+1＝．故答案為：﹣2，1．（2）2+4x＝2（+2x+1﹣1）＝，∵≥0，∴≥﹣2，∴當(dāng)x+1＝0即x＝﹣1時，原式有最小值＝0﹣2＝﹣2．即的最小值是﹣2．（3）－＝﹣2x+1+1＝，∵≥0，∴+1＞0，∴＞2x﹣3．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，正確變形，充分利用平方的非負(fù)性是求解本題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·靖江市實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級期中）上數(shù)學(xué)課時，王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運(yùn)用后，要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識解答：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣2時，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴當(dāng)（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題(1)知識再現(xiàn)：當(dāng)x＝____時，代數(shù)式的最小值是_____；(2)知識運(yùn)用：若，當(dāng)x＝____時，y有最____值（填“大”或“小”），這個值是____；(3)知識拓展：若，求y+2x的最小值．【答案】(1)－3，－21；(2)3，大，6；(3)【分析】（1）利用完全平方公式對代數(shù)式變形，然后根據(jù)偶次方的非負(fù)性可得答案；（2）利用完全平方公式對變形，然后根據(jù)可得答案；（3）移項(xiàng)可得，利用完全平方公式對變形，然后根據(jù)偶次方的非負(fù)性可得答案．（1）解：，∵，∴時，代數(shù)式的值最小，最小值為－21，即當(dāng)x＝－3時，代數(shù)式可取最小值－21，故答案為：－3，－21；（2），∵，∴當(dāng)時，代數(shù)式的值最大，最大值為6，即當(dāng)x＝3時，y有最大值6．故答案為：3，大，6；（3）∵，∴，∵，，∴當(dāng)時，的值最小，最小值為，即當(dāng)x＝時，y+2x的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了偶次方的非負(fù)性，完全平方公式的應(yīng)用，靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行變形是解答本題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023秋·上海浦東新·七年級?？计谥校┫铝械仁街?，能成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可作出判斷．【詳解】解：A、

，故選項(xiàng)錯誤；B、，故選項(xiàng)錯誤；C、，故選項(xiàng)正確；D、，故選項(xiàng)錯誤．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式和平方差公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知：，，則（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】把所求式子變形為，再整體代入即可．【詳解】解：∵，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用平方差公式公式，熟練掌握平方差公式的變形是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·河北邯鄲·八年級校考階段練習(xí)）已知，，則的值為（

）A．5 B．25 C．37 D．6【答案】B【分析】利用完全平方公式進(jìn)行變形計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式，．4．（2022秋·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）已知是完全平方式，則m的值（）A．4 B．9 C．16 D．【答案】B【分析】根據(jù)完全平方公式，即可求解．【詳解】解：∵是完全平方式，且∴，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的特征是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級校考期中）如圖是四張全等的矩形紙片拼成的圖形，利用圖中陰影部分面積的不同表示方法，可以寫出關(guān)于a、b的恒等式，下列各式正確的為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】從圖中可以得出，大正方形的邊長為，大正方形的面積就為，4個矩形完全相同，且長為a，寬為b，則4個矩形的面積為，中間的正方形的邊長為，面積等于，大正方形面積減去4個矩形的面積就等于中間陰影部分的面積．【詳解】解：∵四周部分都是全等的矩形，且長為a，寬為b，∴四個矩形的面積為，∵大正方形的邊長為，∴大正方形面積為，∴中間小正方形的面積為，而中間小正方形的面積也可表示為：，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式幾何意義，利用正方形面積和矩形的面積的計(jì)算方法解決問題．二、填空題6．（2022春·陜西西安·七年級?？计谥校┗啠篲___．【答案】##【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式化簡，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．7．（2021春·甘肅蘭州·八年級蘭州市第五十六中學(xué)?？计谥校┤簦瑒t___．【答案】660【分析】利用完全平方公式展開，即可代入計(jì)算．【詳解】解：，∵，∴．故答案為：660．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，代數(shù)式求值，解題關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式，通過對公式的變形，達(dá)到靈活使用公式的目的．8．（2023春·七年級課時練習(xí)）若，那么的值為__．【答案】1【分析】利用完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算乘方和乘法，然后合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡，最后利用整體思想代入求值．【詳解】解：，當(dāng)時，原式，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，靈活應(yīng)用整體思想代入求值，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．9．（2022秋·吉林長春·八年級校考期末）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式是完全平方式，則k的值為_______．【答案】9或【分析】根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立關(guān)于k的方程，求解即可．【詳解】解：∵多項(xiàng)式是完全平方式，∴或∴或，解得或，故答案為：9或．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，正確理解完全平方公式有和與差兩種形式是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·北京密云·八年級統(tǒng)考期末）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（其中a>b）（如圖①），把余下的部分拼成一個長方形（如圖②），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證的乘法公式是_______________________．【答案】a2b2=（a+b）（ab）【分析】第一個圖形中陰影部分的面積計(jì)算方法是邊長是a的正方形的面積減去邊長是b的小正方形的面積，等于a2b2；第二個圖形陰影部分是一個長是（a+b），寬是（ab）的長方形，面積是（a+b）（ab）；這兩個圖形的陰影部分的面積相等．【詳解】解：陰影部分的面積=（a+b）（ab）=a2b2；因而可以驗(yàn)證的乘法公式是（a+b）（ab）=a2b2，故答案為：a2b2=（a+b）（ab）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式的幾何表示，運(yùn)用不同方法表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023秋·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式去括號，進(jìn)而合并同類項(xiàng)得出答案即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式和整式的混合運(yùn)算，熟練掌握平方差公式以及完全平方公式是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·廣東廣州·八年級校考期末）計(jì)算：【答案】【分析】利用完全平方公式，平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：原式===．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)，正確計(jì)算．13．（2022秋·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】原式去括號、合并同類項(xiàng)即可化簡原式，再將x、y的值代入計(jì)算可得．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算－化簡求值，掌握整式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則是關(guān)鍵．14．（2022秋·河南鶴壁·八年級?？计谥校┫然啠偾笾?，其中，，．【答案】，【分析】先根據(jù)完全平方公式，平方差公式，多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，再將，代入計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)，時，原式．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，涉及完全平方公式，平方差公式，多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是正確化簡．15．（2022春·甘肅蘭州·七年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：已知，求代數(shù)式的值．【答案】，【分析】先利用完全平方公式與平方差公式以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行乘法運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)得到化簡的結(jié)果，再由可得，整體代入求值即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴原式．【點(diǎn)睛】本題考查的是整式的乘法運(yùn)算中的化簡求值，熟練的利用乘法公式進(jìn)行化簡，再整體代入求值是解本題的關(guān)鍵．16．（2021春·山東青島·七年級?？计谥校┙獯痤}：(1)．(2)．(3)．(4)．(5)先化簡，再求值，其中，．【答案】(1)(2)0(3)(4)(5)；【分析】（1）分別利用同底數(shù)冪的乘法、除法及積的乘方計(jì)算后，再合并同類項(xiàng)即可；（2）把用平方差公式展開，再化簡即可；（3）用多項(xiàng)式乘法展開再合并同類項(xiàng)即可；（4）先用平方差公式，再用完全平方公式展開即可；（5）先用平方差公式、完全平方公式及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式展開并合并同類項(xiàng)，最后計(jì)算多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式即可，再把字母的值代入化簡后的式子中求值即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；當(dāng)，時，原式．【點(diǎn)睛】本題是整式混合運(yùn)算的綜合應(yīng)用，考查了冪的混合運(yùn)算，整式乘法與除法，乘法公式等知識，掌握這些知識并熟練進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．17．（2023秋·廣東云浮·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，若大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，則陰影部分的面積是________；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2的一個長方形，則它的長為________；寬為________；面積為________．（2）由（1）可以得到一個公式：________．（3）利用你得到的公式計(jì)算：．【答案】（1），，，；（2）；（3）4【分析】（1）利用正方形的面積公式，圖1陰影部分的面積為大正方形的面積－小正方形的面積，圖2長方形的長為，寬為，利用長方形的面積公式可得結(jié)論；（2）由（1）建立等量關(guān)系即可；（3）根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得：圖1陰影部分的面積為：，圖2長方形的長為：，圖2長方形的寬為：，面積為：，故答案為：，，，；（2）由（1）可得：，故答案為：；（3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式的推導(dǎo)，利用面積建立等量關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．18．（2022秋·廣西南寧·八年級?？计谥校╅喿x材料：完全平方公式是．選取二次三項(xiàng)式中兩項(xiàng)，配成完全平方式