第4章相似三角形重難點檢測卷

第4章相似三角形重難點檢測卷注意事項：本試卷滿分120分，考試時間120分鐘，試題共24題。答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）若，則的值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)合比性質(zhì)進行計算．【詳解】解：，．故選：A．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)（內(nèi)項之積等于外項之積；合比性質(zhì)；分比性質(zhì)；合分比性質(zhì)；等比性質(zhì)）是解決問題的關鍵．2．（2023秋·浙江金華·九年級校考開學考試）已知兩個相似三角形的相似比是，那么它們的面積比是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，進行求解即可．【詳解】解：∵兩個相似三角形的相似比是，∴它們的面積比為：．故選：C．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，是解題的關鍵．3．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，與位似，位似中心為點O，位似比為，則的比值為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用位似變換的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：∵與位似，位似中心為點O，位似比為，∴，故選：A．【點睛】本題考查位似變換，解題的關鍵是理解位似變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．4．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，在直角坐標系中，與是位似圖形，則它們位似中心的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別連接、、，其所在直線交于點，即可得到答案．【詳解】如圖，分別連接、、，其所在直線交于點則點G為所求的位似中心，故選：C．【點睛】本題考查了確定位似中心，即延長對應點的連線，其交點即為位似中心，熟練掌握知識點是解題的關鍵．5．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，直線，直線a，b，c分別交直線m，n于點A，C，E，B，D，F(xiàn)，若，，，則（

）

A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】由直線，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得，又由，，，即可求得的長即可．【詳解】解：，，，，，，解得：，故選：A．【點睛】此題考查了平行線分線段成比例定理．題目比較簡單，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用．6．（2023秋·浙江·九年級專題練習）據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學者墨子和他的學生做了“小孔成像”實驗，闡釋了光的直線傳播原理．小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過小孔O，物體AB在幕布上形成倒立的實像（點A、B的對應點分別是C、D）．若物體AB的高為，小孔O到物體和實像的水平距離分別為，則實像的高度為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，利用相似三角形對應高的比等于相似比即可求得實像的高度．【詳解】解：由題意得：，∴，∴，∴=（相似三角形對應邊上的高之比等于相似比），∴，∴，∴實像的高度為，故選：C．【點睛】本題是相似三角形的應用，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形對應高的比等于相似比是解題的關鍵．7．（2023春·浙江寧波·九年級?？茧A段練習）如圖，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于兩點，已知點橫坐標為，，當時，的取值范圍是（

）

A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】過點作軸，軸，則，證明，求出點的橫坐標即可．【詳解】解：過點作軸，軸，則，

，，，點橫坐標為，即，，，即的取值范圍是：或，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握各知識點是解決本題的關鍵．8．（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在銳角三角形中，點D、E、F分別是邊、、的中點，從每邊中點分別作其余兩邊的垂線，這六條垂線圍成六邊形，設六邊形的面積為，的面積為S，則（

）

A．3：5 B．2：3 C．1：2 D．1：3【答案】C【分析】過三個中點分別作六邊形邊的平行線，則此六邊形被分割為3個平行四邊形，從而得到六邊形的面積等于三角形面積的2倍，從而問題可解．【詳解】解：過三個中點分別作六邊形邊的平行線，交于點，六邊形被分成平行四邊形，平行四邊形，平行四邊形，、、分別是平行四邊形的對角線，

，，，，，，．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的中位線定理以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，是中檔題，有一定的難度．9．（2023春·浙江寧波·九年級校考階段練習）如圖，在矩形中，點O為對角線上一點，過點O作交，于點E，F(xiàn)，作交，于點G，H，連結，要求出的面積，只需要知道（

）

A．矩形與矩形的面積之積 B．矩形與矩形的面積之商C．矩形與矩形的面積之和 D．矩形與矩形的面積之差【答案】A【分析】設，，，，即，證明，可得，即，從而求得，，即可求解．【詳解】解：設，，，，即，∵四邊形是矩形，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，即，∴，∵，，∴，故選：A【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的面積，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．10．（2023春·浙江溫州·九年級統(tǒng)考階段練習）任意矩形經(jīng)過恰當分割后就可以拼成正方形，如圖，已知矩形，在延長線上取點，使，以為直徑的半圓交延長線于點，在邊上取點，使，過點作于，所得，，四邊形就可以拼成正方形，若，則的值為（）

A．3：5 B．5：7 C．7：10 D．9：13【答案】D【分析】延長，利用已知條件則的延長線經(jīng)過點，設，則，利用正方形的性質(zhì)，勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)求得，，則結論可求．【詳解】解：延長，則的延長線經(jīng)過點，如圖，

，，四邊形可以拼成正方形，，，，，．，設，則，．，．四邊形為矩形，，，，，．，，，，，．故選：D．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，圖形的拼接，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形，正方形的性質(zhì)是解題的關鍵．二、填空題（6小題，每小題4分，共24分）11．（2023秋·浙江·九年級專題練習）兩個相似圖形的周長比為，則面積比為．【答案】【分析】由兩個相似圖形，其周長之比為，根據(jù)相似圖形的周長的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似圖形的面積的比等于相似比的平方，即可求得答案．【詳解】解：兩個相似圖形，其周長之比為，其相似比為，其面積比為．故答案為：．【點睛】此題考查了相似圖形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意熟記定理是關鍵．12．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，樂器上的一根弦，兩個端點固定在樂器板面上，支撐點是靠近點的黃金分割點，支撐點是靠近點的黃金分割點，之間的距離為．【答案】【分析】黃金分割點是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比．其比值是一個無理數(shù)，用分數(shù)表示為，由此即可求解．【詳解】解：弦，點是靠近點的黃金分割點，設，則，∴，解方程得，，點是靠近點的黃金分割點，設，則，∴，解方程得，，∴之間的距離為，故答案為：．【點睛】本題主要考查線段成比例，掌握線段成比例，黃金分割點的定義是解題的關鍵．13．（2023·浙江杭州·模擬預測）我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一個問題：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門三十步有木，出西門七百五十步見木，問：邑方幾何？”．其大意是：如圖，一座正方形城池，為北門中點，從點往正北方向走30步到處有一樹木，為西門中點，從點往正西方向走750步到D處正好看到處的樹木，設正方形城池的邊長為x步．根據(jù)題意整理成一元二次方程的一般形式．【答案】【分析】設正方形城池的邊長為步，，根據(jù)比例性質(zhì)列方程即可．【詳解】解：設正方形城池的邊長為步，則，，，，，即，∴．∴．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程和相似三角形的應用，構建三角形相似，利用相似比計算對應的線段長是解題的關鍵．14．（2023·浙江杭州·?？级＃┤鐖D將菱形的沿翻折，使點C落在邊上，連結，，如果，設的面積為，的面積為，則，．

【答案】【分析】三個等腰三角形、、全等，可得，利用求；構造，求出，由求出面積比，利用等高求出，進而得到．【詳解】解：在上取一點G，使，∵四邊形是菱形，∴，，，∵，∴，∴，∴，由翻折得，，∴，∵，∴，∴，由翻折可得DC=DE∵△DAE≌△DFC∴DE=DF∴DC=DF，∴，∴，∴，由得；∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴（負值舍去），∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：，．

【點睛】本題在菱形下考查了頂角為，底角為的等腰三角形的判斷與性質(zhì)，涉及了三角形全等，三角形相似的判定與性質(zhì)，方程思想，關鍵是求出，構造，求出相似比．15．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，數(shù)學活動課上，為測量學校旗桿高度，小藝同學在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小藝的眼晴離地面高度為米，同時量得小藝與鏡子的水平距離為米，鏡子與旗桿的水平距離為米，則旗桿的高度為米．

【答案】【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解即可．【詳解】解：如圖：

∵，，∴，∵，∴，∴即∴，經(jīng)檢驗，是原方程的解，故答案為：8【點睛】本題考查了相似三角形的應用．應用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運用相似三角形對應邊成比例即可解答．16．（2023秋·浙江金華·九年級?？奸_學考試）如圖，在矩形中，，，點在直線上運動，以為直角邊向右作，使得，，連接，則長的最小值為．【答案】【分析】作交于點E，交于點F，首先證明出，進而得到，，設，則，根據(jù)題意表示出，，然后在中利用勾股定理表示出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖所示，作交于點E，交于點F，∵四邊形是矩形∴∴∵∴∴又∵∴∴∵∴，∴設，則∴∵∴四邊形是矩形∴，，∴，∵∴∵∴開口向下∴當時，有最小值∴此時的最小值為．故答案為：．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．三、解答題（8小題，共66分）17．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，在和中，于A，于D，相交于點O，，求證：．

【答案】見解析【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得，再根據(jù)相似三角形的判定即可．【詳解】證明：∵于A，于D，∴，又∵，∴，又∵，∴，,∴，∴．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是本題的關鍵．18．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后，的頂點均在格點上，點C的坐標為．

(1)以O為位似中心在第二象限作位似比為變換，得到對應的，畫出，并寫出的坐標；(2)以原點O為旋轉(zhuǎn)中心，畫出把順時針旋轉(zhuǎn)的圖形，并寫出的坐標．【答案】(1)見解析；的坐標為(2)見解析；的坐標為【分析】（1）根據(jù)位似變換的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）如圖所示：，即為所求，C1的坐標為；（2）如圖所示：，即為所求，C2的坐標為．

【點睛】此題考查位似變換與旋轉(zhuǎn)變換作圖．解題關鍵在于掌握找關鍵點的對應點．19．（2023春·浙江·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，中，D、E分別是、上的點，且，．

(1)求證：；(2)若，求的長度【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）由，，得出，，即可證明；（2）由，得出，，進而得出，得出，，證明，再利用相似三角形的性質(zhì)，即可求出的長度．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決問題的關鍵．20．（2023秋·浙江·九年級專題練習）西安大雁塔作為現(xiàn)存最早、規(guī)模最大的唐代四方樓閣式磚塔，它是佛塔這種古印度佛寺的建筑形式隨佛教傳入中原地區(qū)，并融入華夏文化的典型物證，凝聚了中國古代勞動人民智慧結晶的標志性建筑．小明同學想利用所學數(shù)學知識來測量大雁塔的高度，如圖，小明在點B處放置一個平面鏡，站在A處恰好能從平面鏡中看到塔的頂端D，此時測得小明到鏡面距離為2米，已知平面鏡到塔底部中心的距離為86米，小明眼睛到地面距離為1.5米，已知，，點A、B、C在一條水平線上．請你幫小明計算出大雁塔的高度．（平面鏡的大小忽略不計）

【答案】64.5米【分析】根據(jù)題意可得，，因此，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：由題意得：，∵，，∴，∴，∴，∴，∴米，∴長安塔的高度為64.5米．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．21．（2023·浙江·九年級專題練習）在邊長為1的正方形中，點E在邊上（不與點A，D重合），射線與射線交于點F．

(1)若，求的長．(2)求證：．(3)以點B為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點G．若，求的長．【答案】(1)1(2)見解析(3)【分析】（1）由正方形得到，從而，由相似三角形的性質(zhì)可求解；（2）由正方形得到，，進而，因此，可得，變形即可得到結論；（3）設，則，，在中利用勾股定理構造方程即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是邊長為1的正方形，∴，，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵在正方形中，，，∴，∴，∴，∴；（3）解：由題意的作圖可得，設，則，，∵，∴在中，，即，解得，∴．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．22．（2023春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)（，k為常數(shù)，）的圖象經(jīng)過正方形的頂點B，點A的坐標是．點D在線段上，點E在射線上，以，為邊的平行四邊形的頂點F恰好在該反比例函數(shù)的圖象上．

(1)求k的值；(2)若點D的坐標是，求點E的坐標；(3)如圖2，當點E在的延長線上時，連接，若，，求點D的坐標．【答案】(1)1(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出即可解答；（2）過點F作軸于點G，先證明，即可求得的長度，代入反比例函數(shù)中即可解答；（3）過點F作軸于點G，證明，，三個三角形全等，即可求出點F的坐標，代入反比例函數(shù)中即可解答．【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，點A的坐標是，∴，即點B的坐標是，代入反比例函數(shù)得；（2）解：過點F作軸于點G，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，當時，，解得，∴，∴，即點E的坐標；

（3）解：過點F作軸于點G，在和中，，∴，同理可得，則，，設，則，代入反比例函數(shù)得，解得或（舍去），∴，即．

【點睛】本題考查了求反比例函數(shù)解析式及反比例函數(shù)與正方形的綜合，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數(shù)與正方形在圖形上的聯(lián)系．23．（2023春·浙江金華·八年級義烏市繡湖中學教育集團校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，，點E在線段上，點E為的中點．(1)求證：；(2)若F，G分別是的中點；①求證：是等腰三角形；②當時，求線段的長度．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)及已知條件可得是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解即可；（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和三角形中位線的性質(zhì)得出，再由平行四邊形的性質(zhì)進行求解進；②先證明四邊形是平行四邊形，是等腰三角形，設，則，在中，由勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴．（2）①證明：∵是等腰三角形，E是中點，∴，∴，∵G為中點，∴，∵E、F分別是的中點，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴是等腰三角形．②解：由題意知，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵是等腰三角形，∴是等腰三角形，∴，∴，設，則，在中，由勾股定理得，，即，解得或（不合題意，舍去），∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，