第十六章 二次根式能力提升測試卷（解析版）-A4

第頁第十六章二次根式能力提升測試卷（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）單項選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．已知n是正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是（）A．0 B．2 C．3 D．7【答案】D【解答】解：∵，且是整數(shù)，∴7n是個完全平方數(shù)，（完全平方數(shù)是能表示成一個整式的平方的數(shù)）∴n的最小值是7．故選：D．2．下列二次根式的運算正確的是（）A． B． C．D．【答案】D【解答】解：不是同類二次根式，不能合并，故A不符合題意；，故B不符合題意；，故C不符合題意；，運算正確，故D符合題意．故選：D．3．實數(shù)a，b表示的點在數(shù)軸上的位置如圖，則將化簡的結(jié)果是（）A．4 B．2a C．2b D．2a﹣2b【答案】A【解答】解：由數(shù)軸知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，a＜b，∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＜0．∴＝|a+2|+|b﹣2|+|a﹣b|＝a+2+2﹣b+b﹣a＝4．故選：A．4．在一個正方形的內(nèi)部按照如圖方式放置大小不同的兩個小正方形，其中較大的正方形面積為12，重疊部分的面積為3，空白部分的面積為2﹣6，則較小的正方形面積為（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【解答】解：∵觀察可知，兩個空白部分的長相等，寬也相等，∴重疊部分也為正方形，∵空白部分的面積為2﹣6，∴一個空白長方形面積＝，∵大正方形面積為12，重疊部分面積為3，∴大正方形邊長＝，重疊部分邊長＝，∴空白部分的長＝，設(shè)空白部分寬為x，可得：，解得：x＝，∴小正方形的邊長＝空白部分的寬+陰影部分邊長＝，∴小正方形面積＝＝10，故選：B．5．已知1＜a＜3，那么化簡代數(shù)式﹣的結(jié)果是（）A．5﹣2a B．2a﹣5 C．﹣3 D．3【答案】B【解答】解：∵1＜a＜3，∴a﹣1＞0，a﹣3＜0，∴﹣＝|a﹣1|﹣|a﹣4|＝a﹣1+a﹣4＝2a﹣5，故選：B．6．已知a滿足|2018﹣a|+＝a，則a﹣20182＝（）A．0 B．1 C．2018 D．2019【答案】D【解答】解：根據(jù)題意得：a﹣2019≥0，∴a≥2019，∴原式可變形為：a﹣2018+＝a，∴＝2018，∴a﹣2019＝20182，∴a﹣20182＝2019．故選：D．設(shè)則與s最接近的整數(shù)是（）A．2009 B．2006 C．2007 D．2008【答案】A【解答】解：∵n為任意的正整數(shù)，∴＝＝＝＝1+，∴s＝（1+）+（1+）+（1+）+…+（1+）＝2008+（+++…+＝2008+（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（）＝2009﹣．因此與s最接近的整數(shù)是2009．故選：A．8．計算式子（﹣2）2021（+2）2020的結(jié)果是（）A．﹣1 B．﹣2 C．2﹣ D．1【答案】B【解答】解：（﹣2）2021（+2）2020＝[（﹣2）×（+2）]2020×（﹣2）＝（﹣1）2020×（﹣2）＝1×（﹣2）＝﹣2，故選：B．9．我們規(guī)定：對于任意的正數(shù)m，n的運算“Φ”為當m＜n時，mΦn＝2；當m≥n時，mΦn＝2，其他運算符號意義不變，按上述規(guī)定，計算（3Φ2）﹣（8Φ12）的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵當m≥n時，，∴，∵當m＜n時，，∴，∴．故選：B．10．若，則x+y的值為（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【答案】D【解答】解：∵，而≥0，（y+2）2≥0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，解得x＝1，y＝﹣2，∴x+y＝1﹣2＝﹣1，故選：D．填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分．）11．計算：（+2）（﹣2）＝3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝（）2﹣22＝7﹣4＝3，故答案為：3．12．計算﹣的結(jié)果為．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：﹣＝2﹣＝．故答案為：．13．如圖，在長方形內(nèi)有兩個相鄰的正方形A，B，正方形A的面積為2，正方形B的面積為4，則圖中陰影部分的面積是．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)兩個正方形A，B的邊長是x、y（x＜y），則x2＝2，y2＝4，x＝，y＝2，則陰影部分的面積是（y﹣x）x＝（2﹣）×＝2﹣2，故答案為：2﹣2．14．如果有意義，那么字母x的取值范圍是x≥﹣5且x≠1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意得，x+5≥0，x﹣1≠0，解得，x≥﹣5且x≠1，故答案為：x≥﹣5且x≠1．15．已知x，y為實數(shù)，且y＝﹣+4，則+＝5．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：依題意得：，解得x＝9，所以y＝4故+＝3+2＝5．故答案為：5．16．小明在某次投籃中剛好把球打到籃板的點D處后進球．已知小明與籃板底的距離BC＝米，眼睛與地面的距離AB＝1.7米，眼睛與籃板的點D的距離AD＝2.5米，則點D到地面的距離CD是2.2米．【答案】2.2．【解答】解：如圖，過點A作AE⊥CD，則CE＝AB＝1.7，，AD＝2.5，Rt△ADE中，，∴CD＝CE+ED＝1.7+0.5＝2.2．故答案為：2.2．三、解答題（本題共6小題，共52分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（8分）計算：（1）；（2）．【答案】（1）2；（2）．【解答】（1）原式＝＝2；（2）原式＝＝＝．（6分）先化簡，再求值：已知，求的值．【答案】﹣2﹣2．【解答】解：∵，∴，∴．19．（8分）已知a＝，b＝．（1）求a+b的值；（2）求a2﹣3ab+b2．【答案】（1）2；（2）7．【解答】解：a＝＝＝+，b＝＝＝，（1）a+b＝++＝2；（2）∵ab＝（+）（﹣）＝3﹣2＝1，∴a2﹣3ab+b2＝（a+b）2﹣5ab＝（2）2﹣5＝12﹣5＝7．20．（10分）如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，那么該如何計算它的面積呢？我國南宋數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中給出了如下公式：S＝（秦九韶公式）；古希腰數(shù)學家海倫在其所著的《度量論》中給出了如下公式：S＝（海倫公式），其中．秦九韶公式和海倫公式都解決了由三角形的三邊長直接求三角形面積的問題，它們雖然形式不同，但完全等價，請使用這兩個公式解決下面的問題：（1）如果一個三角形的三邊長依次為，，，那么它的面積為；（2）如圖，在△ABC中，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15．①△ABC的面積為；②作AD⊥BC于點D，求CD的長．【答案】（1）；（2）①84；②9．【解答】解：（1）∵三角形的三邊長依次為，，，∴a＝，b＝，c＝．∴秦九韶公式求解S＝＝＝＝．又p＝，∴p﹣a＝﹣＝，p﹣b＝，p﹣c＝．∴S2＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）＝×××＝[（+）2﹣（）2][（）2﹣（﹣）2]＝（2+8）（2﹣8）＝（168﹣64）＝．∴S＝．（2）①∵AB＝13，BC＝14，AC＝15，∴＝＝21，∴海倫公式求解S＝＝＝84；秦九韶公式求解S＝＝＝＝＝84．②∵AD⊥BC，BC＝14，∴×14×AD＝84．∴AD＝12．又∵AC＝15，∠ADC＝90°，∴CD＝＝＝9．21．（10分）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理，因為的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：∵，即，∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．請解答：（1）如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求的值；（2）已知：，其中x是整數(shù)，且0＜y＜1，求x﹣y的相反數(shù)．【解答】解：（1）∵＜＜，＜＜，∴3＜＜4，5＜＜6，∴的小數(shù)部分為a＝﹣3，的整數(shù)部分為b＝5，∴＝﹣3+5﹣＝2；（2）∵＜＜，∴1＜＜2，∴13＜12+＜14，即13＜x+y＜14，∵x是整數(shù)，且0＜y＜1，∴x＝13，y＝12+﹣13＝﹣1，則x﹣y＝13﹣（﹣1）＝14﹣，那么x﹣y的相反數(shù)為﹣14．22．（10分）小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫出另一個式子的平方，如3+2．善于思考的小明進行了以下探索：設(shè)a+b（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當a、b、m、n均為正整數(shù)，若a+b，用含m、n的式子分別表示a、b，得a＝，b＝；（2）若a+4，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值．（3）化簡．【答案】（1）m2+3n2，2mn；（2）a的值為13或7；（3）1+．【解答】解：（1）仿照小明的方法，將（m+n）2展開，得：m2+3n2+