2023-2024學(xué)年北京一六一中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷和答案

高中PAGE1高中2023北京一六一中高一（上）期中數(shù)學(xué)本試卷共2頁，共150分.考試時長120分鐘A卷本卷滿分：100分一、選擇題：本大題共10道小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求，把正確答案涂寫在答題卡上相應(yīng)的位置.1.集合可化簡為（）A. B. C. D.2.已知命題，則（）A.，且是真命題 B.，且是真命題C.，且是假命題 D.，且是假命題3.設(shè)，且，則（）A. B. C. D.4.已知集合，，.則的子集共有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個5.已知正數(shù)、滿足，則有（）A.最小值 B.最小值 C.最大值 D.最大值6.下列函數(shù)中，在函數(shù)定義域內(nèi)，既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.7.函數(shù)的零點個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.38.已知，記，，則與的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.不確定9.荀子曰：“故不積跬步，無以至千里：不積小流，無以成江海.”這句來自先秦時期的名言闡述了做事情不一點一點積累，就永遠(yuǎn)無法達(dá)成目標(biāo)的哲理.由此可得，“積跬步”是“至千里”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共6道小題，每小題4分，共24分.把答案填在答題紙中相應(yīng)的橫線上.11.方程組的解集為__________.12.函數(shù)的最大值為__________.13.已知函數(shù)，則__________.14.已知關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根的平方和為7,則__________15.某班共42人，其中20人喜愛籃球運(yùn)動，25人喜愛乒乓球運(yùn)動，12人對這兩項運(yùn)動都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動但不喜愛乒乓球運(yùn)動的人數(shù)為__________.16.若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.三、解答題，本大題共3小題，共36分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.設(shè)全集，集合，，若，求實數(shù)的取值范圍.18.欲修建一個容積為8立方米，深為2米的長方體無蓋水池，如果池底造價是120元平方米，池壁的造價是80元平方米（1）求水池的總造價y元與池底寬x米之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）該水池池底寬多少米時，可使水池的總造價最低？最低造價是多少？19.函數(shù)（1）判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)．B卷本卷滿分：50分四、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答紙中相應(yīng)的橫線上.20.不等式的解集為A，若，則實數(shù)的取值范圍是__________.21.函數(shù)的值域是________________.22.已知為定義在上的函數(shù)，，且為奇函數(shù)，則__________.23.寫出一個同時滿足下列條件①②③的函數(shù)__________．①為偶函數(shù)；②的最大值為；③不是二次函數(shù)．24.函數(shù)，給出下列四個結(jié)論①的值域是；②任意且，都有；③任意且，都有；④規(guī)定，其中，則．其中，所有正確結(jié)論的序號是______________．五、解答題：本大題共3小題，共30分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.25.若二次函數(shù)對任意實數(shù)都滿足，最小值為，且.（1）求的解析式；（2）若在區(qū)間上，的圖象恒在的上方，求實數(shù)的取值范圍.26.已知函數(shù)．（1）的值；（2）記，畫出函數(shù)的圖象，寫出其單調(diào)遞減區(qū)間（無需證明）；（3）若實數(shù)滿足，則稱為的二階不動點，求的二階不動點的個數(shù)．27.已知集合，對于集合的非空子集，若中存在三個互不相同的元素，使得均屬于，則稱集合是集合的“期待子集”.（1）試判斷集合是否為集合的“期待子集”；（直接寫出答案，不必說明理由）（2）如果一個集合中含有三個元素，同時滿足①，②，③為偶數(shù).那么稱該集合具有性質(zhì).對于集合的非空子集，證明：集合是集合的“期待子集”的充要條件是集合具有性質(zhì).

參考答案一、選擇題：本大題共10道小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求，把正確答案涂寫在答題卡上相應(yīng)的位置.1.【答案】C【分析】根據(jù)集合的概念直接求解.【詳解】由，解得或，又因為，所以，所以集合可化簡為.故選：C2.【答案】A【分析】根據(jù)含有一個量詞的否定，求出，然后判斷命題的真假即可.【詳解】根據(jù)含有一個量詞的否定，，則,因為當(dāng)時，，所以是真命題，故選：A.3.【答案】C【分析】逐一判斷，對A取，，可得結(jié)果；對B取，可得結(jié)果；對C利用不等式的性質(zhì)判斷即可；對D取可判斷.【詳解】解：A.取，，則不成立；B.取，，則不成立；C.∵，∴，正確；D.取，∵，∴，因此不成立.故選：C.4.【答案】D【分析】根據(jù)題意表示集合，然后寫出其所有子集即可得到答案.【詳解】因為集合，，所以，所以集合的子集為，共四個.故選：D5.【答案】C【分析】利用基本不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】∵正數(shù)、滿足，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即有最大值，故選：C.【點睛】本題主要考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性判斷即可.【詳解】對于A，定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以為奇函數(shù)，又因為在上為增函數(shù)，所以B正確；對于C，定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以為奇函數(shù)，又因為在定義域內(nèi)不單調(diào)，故以C錯誤；對于D，定義域，，所以所以為偶函數(shù)，故D錯誤，故選：B.7.【答案】B【分析】根據(jù)零點的定義求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，令，即，解得，所以函數(shù)的零點個數(shù)是1個，故選:B.8.【答案】A【分析】根據(jù)作差法比大小求解即可.【詳解】因為，，所以，因為，所以，所以，即.故選：A9.【答案】B【分析】根據(jù)充分條件和必要條件定義判斷即可.【詳解】荀子的名言表明積跬步未必能至千里，但要至千里必須積跬步，故“積跬步”是“至千里”的必要不充分條件.故選：B.10.【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】要使函數(shù)在上單調(diào)遞減，則有，解得，故選:C.二、填空題：本大題共6道小題，每小題4分，共24分.把答案填在答題紙中相應(yīng)的橫線上.11.【答案】【分析】根據(jù)題意解方程組即可得到答案.【詳解】將代入，得，得或，方程組的解為和，所以方程組的解集為.故答案為：12.【答案】【分析】由，可得，即可得出結(jié)論.【詳解】解：，，，所以函數(shù)，的最大值為.故答案為：13.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值.【詳解】由題可得，，故答案為:.14.【答案】-1【分析】本題考查的是韋達(dá)定理的用法，，再進(jìn)行求解【詳解】設(shè)原方程的兩個根為對于方程有：，，，將m=-1代入原方程得：，經(jīng)檢驗方程有解，將代入原方程得：，方程無解，舍去，所以【點睛】韋達(dá)定理求解方程時要注意方程可能無解情況，計算出的答案需進(jìn)行驗證15.【答案】5【分析】根據(jù)集合的韋恩圖即可求解.【詳解】設(shè)集合表示：喜愛籃球運(yùn)動的學(xué)生，集合表示：喜愛乒乓球運(yùn)動的學(xué)生，整個班級學(xué)生為集合,則由題可知，的元素個數(shù)為20，的元素個數(shù)為25，則的元素個數(shù)為12，所以的元素個數(shù)為，所以的元素個數(shù)為，所以喜愛籃球運(yùn)動但不喜愛乒乓球運(yùn)動的人數(shù)為人，故答案為:5.16.【答案】【分析】求出函數(shù)的最小值，求解即可.【詳解】因為關(guān)于的不等式恒成立，所以，記，當(dāng)時，，當(dāng)時，有最小值為2；當(dāng)時，，為常數(shù)函數(shù)2；當(dāng)時，，當(dāng)時，有最小值為2；綜上所述：的最小值為2，所以.故答案為：.三、解答題，本大題共3小題，共36分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.【答案】【分析】利用一元二次不等式的解法求得集合，再利用一元一次不等式解得，進(jìn)而根據(jù)包含關(guān)系求解.【詳解】由可得，，解得，所以,則因為所以由解得，所以，因為，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.18.【答案】（1）（2）水池池底寬2米時，可使水池的總造價最低，最低造價為1760元，【分析】（1）由寬表示出池底長后得側(cè)面積，從而得總造價的函數(shù)式；（2）由基本不等式得最小值．【小問1詳解】解：由題意池底長為米，所以（元）；所以．【小問2詳解】由（1），當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以水池池底寬2米時，可使水池的總造價最低，最低造價為1760元，19.【答案】（1）是奇函數(shù)，證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域，再根據(jù)奇偶性的定義作出判斷；（2）直接用定義證明函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，是奇函數(shù)．（2）設(shè)，，且,則，，，，，即故在內(nèi)是增函數(shù)．考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶的判斷.【點晴】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷和單調(diào)性的證明，考查了奇偶性的定義和單調(diào)性的定義，屬于基礎(chǔ)題；證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號；⑤下結(jié)論．奇偶函數(shù)相同點是定義域都關(guān)于原點對稱，不同點是奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，且滿足；偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，且滿足.B卷本卷滿分：50分四、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答紙中相應(yīng)的橫線上.20.【答案】【分析】根據(jù)，得到，求出答案.【詳解】由題意得，解得，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：21.【答案】【分析】由題意令，進(jìn)而可得，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】函數(shù)，令，則，則，所以當(dāng)即時，取得最小值，最小值為，因而的值域為.故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)值域的求解，考查了換元法的應(yīng)用及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.22.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義，結(jié)合直接求解.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，代入，得，所以.故答案為：23.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)奇偶性、最值和二次函數(shù)定義直接填寫即可.【詳解】由①知：，又，不是二次函數(shù)，滿足條件①②③的一個函數(shù)為：.故答案為：（答案不唯一）.24.【答案】①②④【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，結(jié)合分式型函數(shù)的性質(zhì)、代入法逐一判斷即可；【詳解】①：當(dāng)時，，當(dāng)時，該函數(shù)單調(diào)遞增，所以有，當(dāng)時，因為，所以，因此當(dāng)時，；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以有，，所以有，所以的值域是，故①正確；②：不妨設(shè)，由，所以該函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，由①可知：該函數(shù)在時，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，所以該函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，符合題意，故②正確；③：當(dāng)任意且時，令，，，顯然，因此不成立，故③不正確；④：當(dāng)時，，，，，，于是有，因此，故④正確，故答案為：①②④【點睛】關(guān)鍵點睛：利用分式型函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.五、解答題：本大題共3小題，共30分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.25.【答案】（1）（2）【分析】（1）據(jù)題意設(shè)二次函數(shù)的頂點式，用待定系數(shù)法求解析式；（2）將問題轉(zhuǎn)化成恒成立問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成求最值問題，即可求解.【小問1詳解】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)的對稱軸為，又因為最小值為，故可設(shè)二次函數(shù)的解析式為，又因為，所以，解得，所以.【小問2詳解】由題意可知：的圖象在區(qū)間上恒在的上方，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，所以在上恒成立，又，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為.26.【答案】（1）（2）作圖見解析，單調(diào)遞減區(qū)間為，（3）函數(shù)有3個二階不動點【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)求值問題即可；（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)轉(zhuǎn)換再分段作圖即可；（3）由二階不動點定義結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)分析可得.【小問1詳解】因為，所以，所以．【小問2詳解】，函數(shù)的圖象如圖所示：所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．【小問3詳解】當(dāng)時，，所以，由，解得或，所以函數(shù)在上有唯一的二階不動點．當(dāng)時，，所以，由，解得，所以函數(shù)在上有唯一的二階不動點．當(dāng)時，，所以，由，解得或，所以函數(shù)在上有唯一的二階不動點．綜上所述，函數(shù)有3個二階不動點.27.【答案】（1）是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)所給定義判斷即可.（2）先證明必要性，再證明充分性，結(jié)合所給“期待子集”的定義及性質(zhì)的定義證明即可；【小問1詳解】因為，對于集合，令，解得，顯然，，所以是集合的“期待子集”；對于集合，