第02講 二次根式的乘除 （知識解讀+達(dá)標(biāo)檢測）（解析版）-A4

第頁第02講二次根式的乘除【題型1二次根式的乘法運算】【題型2二次根式的除法運算】【題型3二次根式的乘除法運算】【題型4最簡二次根式的相關(guān)概念】考點1：二次根式的乘法法則二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變）2.二次根式的乘法法則的推廣，即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項式乘單項式的法則進(jìn)行計算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù)。3.二次根式的乘法法則的逆用（二次根式的乘法法則的逆用實為積的算數(shù)平方根的性質(zhì)）4.二次根式的乘法法則的逆用的推廣【題型1二次根式的乘法運算】【典例1】計算：(1)(2)(3)(4)．【答案】(1)(2)3(3)(4)8【分析】（1）把被開方數(shù)相乘即可，（2）先把被開方數(shù)相乘，再把結(jié)果化成最簡形式即可，（3）把被開方數(shù)相乘即可，（4）先把被開方數(shù)相乘，再把結(jié)果化成最簡形式即可．【詳解】（1）（2）（3）（4）【點睛】本題考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法則是解答此題的關(guān)鍵．【變式1-1】計算的結(jié)果為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查二次根式的乘法運算，根據(jù)二次根式的乘法運算法則即可求出答案．【詳解】解：．故選：D．【變式1-2】計算：(1)；(2)．【答案】(1)4(2)【分析】（1）運用二次根式的乘法公式計算即可．（2）運用完全平方公式，根式的性質(zhì)計算即可．【詳解】（1）．．（2）．【點睛】本題考查了二次根式的乘法公式，完全平方公式，根式的性質(zhì)，熟練掌握公式和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【典例2】計算:(1);(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可．（2）根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可．【詳解】（1）解：；（2）．【點睛】本題考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】計算：．【答案】【分析】把系數(shù)相乘，被開方數(shù)相乘，最后化成最簡二次根式即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法則是解題關(guān)鍵．考點2：二次根式的除法法則1.二次根式的除法法則（二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變）2.二次根式的除法法則的推廣注意：a≥0，b＞0時，a≥0，b＞0時，才有意義；如果被開方數(shù)時帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化成假分?jǐn)?shù)【題型2二次根式的除法運算】【典例3】計算：（1）；

（2）；

（3）；

（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】根據(jù)二次根式的除法法則，（a≥0，b＞0）可得答案．【詳解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的除法法則是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-1】計算：(1)；(2)；(3)（，）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)二次根式的除法計算法則求解即可；（2）根據(jù)二次根式的除法計算法則求解即可；（3）根據(jù)二次根式的除法計算法則求解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【點睛】本題主要考查了二次根式的除法，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】計算：（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；

（6）（7）

（8）；【答案】（1）；（2）；（3）；（4）（5）；（6）；（7）；（8）4【分析】根據(jù)二次根式的乘除運算法則進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）=．【點睛】本題考查了二次根式的乘除法運算，掌握乘除法的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）【分析】分別利用二次根式的除法法則以及二次根式的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【點睛】本題考查了二次根式的除法運算，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的除法法則以及二次根式的性質(zhì)．【題型3二次根式的乘除法運算】【典例4】計算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的乘除混合運算，根據(jù)二次根式的乘除運算法則進(jìn)行計算即可求解．【詳解】解：【變式4-1】計算：【答案】【分析】本題考查二次根式的乘除法．根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解：．【變式4-2】計算：．【答案】【分析】本題考查二次根式的混合運算．利用運算法則計算即可．【詳解】解：，，，，．【變式4-3】計算：【答案】24【分析】根據(jù)二次根式的乘除混合運算法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解：，．【點睛】本題考查二次根式的乘除混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．考點3：最簡二次根式最簡二次根式的概念被開方數(shù)不含分母被開方數(shù)中不含能開方開得盡得因數(shù)或因式化簡二次根式的一般方法方法舉例將被開方數(shù)中能開得盡得因數(shù)或因式進(jìn)行開方化去根號下的分母若被開方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，先將被開方數(shù)化成假分?jǐn)?shù)若被開方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)若被開方數(shù)時分式，先將分式分母化成能轉(zhuǎn)化為平方的形式，再進(jìn)行開方運算(a＞0，b＞0，c＞0）被開方數(shù)時多項式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：當(dāng)分母含有根式時，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號。【題型4最簡二次根式】【典例5】下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義即二次根式化簡后，被開方數(shù)不含分母，并且被開方數(shù)中所有因式的冪的指數(shù)小于2，判斷即可．本題考查了最簡二次根式，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】A.，不符合題意；B.，不符合題意；C.，不符合題意；D.符合題意；故選D．【變式5-1】下列根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查最簡二次根式．“被開方數(shù)不含分母或被開方數(shù)不含開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式即為最簡二次根式”，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：含有c3可以開方，則A不符合題意；符合最簡二次根式的定義，則B符合題意；，則C不符合題意；中被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式，則D不符合題意；故選：B．【變式5-2】下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了最簡二次根式的判定．最簡二次根式是指被開方數(shù)不能化簡的二次根式．據(jù)此判定即可．【詳解】解：A、，可化簡，原式不是最簡二次根式；B、，可化簡，原式不是最簡二次根式；C、，可化簡，原式不是最簡二次根式；D、不可化簡，原式是最簡二次根式，符合題意．故選：D．【變式5-3】將化成最簡二次根式的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了最簡二次根式，如果一個二次根式符合下列兩個條件：被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，那么，這個根式叫做最簡二次根式，根據(jù)最簡二次根式的定義化簡即可得到答案．【詳解】解：將化成最簡二次根式的結(jié)果為，故選：A．一、單選題1．下列根式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)最簡二次根式：“被開方數(shù)不含開方開的盡的因數(shù)或因式，不含分母”，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，不符合題意；B、，不符合題意；C、，是最簡二次根式，符合題意；D、，不符合題意；故選C．2．下列計算正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的混合運算，冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的除法，利用冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的除法法則，二次根式的加法，乘法法則進(jìn)行計算，逐一判斷即可解答，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、與不能合并，故C不符合題意；D、，故D符合題意；故選：D．3．一個長方形，面積為，一邊長為，那么這條邊的鄰邊長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了二次根式的應(yīng)用，用長方形的面積除以一邊的長即可求得另一邊的長，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的除法法則．【詳解】解：由題意得：，故選：．4．計算的結(jié)果是（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了二次根式的乘法運算．直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案．【詳解】解：．故選：A．5．若，，則用含a，b的式子表示是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用二次根式的乘法和性質(zhì)變形得出答案．【詳解】解：，，．故選：D．【點睛】此題主要考查了二次根式的乘法和性質(zhì)，正確將二次根式變形是解題關(guān)鍵．6．下列計算正確的有（

）①②③④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)判斷，即可得到答案．【詳解】解：，即①計算錯誤，②計算正確；，即③計算正確，④原計算錯誤；則正確的個數(shù)為2個，故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題7．化簡：；．【答案】【分析】本題考查了二次根式的化簡，根據(jù)二次根式乘法和除法法則進(jìn)行化簡即可．【詳解】解：，，故答案為：，．8．將化成最簡二次根式為．【答案】【分析】本題考查的是最簡二次根式，熟練運用二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．直接利用二次根式性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：．故答案為：．9．矩形的長和寬分別是和，則矩形的面積是．【答案】【分析】根據(jù)矩形的面積=長×寬即可得出結(jié)果．【詳解】解：矩形面積．故答案為：．【點睛】本題主要考查的是矩形面積公式以及二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法是解題的關(guān)鍵．10．計算：．【答案】2【分析】本題考查了二次根式的運算，根據(jù)二次根式的乘除運算法則計算即可．【詳解】解：．故答案為：2．11．若為正整數(shù)，則滿足條件的的最小正整數(shù)值為．【答案】5【分析】先將已知二次根式化簡，然后根據(jù)題意找出最小被開方數(shù)即可得到結(jié)果．【詳解】解：，且結(jié)果為正整數(shù)，是某數(shù)的平方，又，是根號內(nèi)滿足條件的最小被開方數(shù)，為正整數(shù)，當(dāng)時滿足題意．故答案為：．【點睛】本題考查二次根式的化簡，首先知道被開方數(shù)為平方數(shù)的時候開方的結(jié)果才是正整數(shù)．將本題先化簡再探討是解決本題的關(guān)鍵．12．若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分為b，則，．【答案】1/【分析】首先根據(jù)無理數(shù)的估算得到，然后求出a和b的值，然后利用二次根式的運算法則化簡即可求出．【詳解】∵∴∵的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分為b，∴，∴．故答案為：1，．【點睛】此題考查了無理數(shù)的估算，二次根式的運算，平方差公式等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．13．計算的值為．【答案】/【分析】根據(jù)冪的運算公式：，的逆用，，進(jìn)行計算，即可求解．【詳解】解：原式；故答案：．【點睛】本題考查了二次根式運算，平方差公式，積的乘方公式逆用，同底數(shù)冪的乘法公式逆用，會利用公式進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．三、解答題14．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式和二次根式運算法則求解即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查了二次根式的運算、平方差公式等知識，熟練掌握相關(guān)運算法則和運算公式是解題的關(guān)鍵．15．計算：．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的乘除法法則計算即可．【詳解】解：原式【點睛】本題考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．16．計算：．【