第24章圓（基礎(chǔ)鞏固）2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

第24章圓（基礎(chǔ)鞏固）一．選擇題（共10小題）1．下列說法正確的是（）A．過平面內(nèi)的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓 B．相等的圓周角所對(duì)的弧相等 C．圓內(nèi)接菱形是正方形 D．平分弦的直徑垂直弦2．如圖，在⊙O中，AB是直徑，，∠AOE＝60°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．45° D．60°3．如圖所示一個(gè)圓柱體容器內(nèi)裝入一些水，截面AB在圓心O下方，若⊙O的直徑為26cm，水面寬AB＝24cm，則水的最大深度為（）A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm4．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A＝120°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．120° D．150°第2題第3題第4題第6題第7題5．下列有關(guān)圓的一些結(jié)論①任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓；②相等的圓心角所對(duì)的弧相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧；④圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)．其中正確的結(jié)論是（）A．① B．② C．③ D．④6．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為6，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM為（）A．4 B． C． D．7．如圖，AB為⊙O的切線，切點(diǎn)為B，連接OB、OA，交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D為優(yōu)弧BC上一點(diǎn)，連接DC、DB，若∠A＝20°，則∠D的大小為（）A．20° B．35° C．25° D．15°8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與AB，BC分別交于點(diǎn)D，E，連接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．π9．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝6，則△PCD的周長(zhǎng)為（）A．8 B．6 C．12 D．1010．如圖，拋物線y＝﹣x2+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是以點(diǎn)C（0，2）為圓心，半徑為1的圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AP的中點(diǎn)，連結(jié)OQ，則線段OQ的最大值是（）A．3 B．2 C．+1 D．二．填空題（共6小題）11．如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為2，圓心坐標(biāo)為（4，0），y軸上有點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)C是⊙A上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，則OP的范圍是．第11題第12題第13題第14題12．如圖，用一個(gè)半徑為10cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升，滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了72°，假設(shè)繩索（粗細(xì)不計(jì)）與滑輪之間沒有滑動(dòng)，則重物上升了cm．13．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E，，則OA＝．14．如圖，在扇形AOB中，半徑OA＝9，將扇形AOB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)是．15．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形．若母線長(zhǎng)l為9cm，圓錐的底面圓的半徑r為3cm，則扇形的圓心角θ為°．16．如圖，在紙上剪下一個(gè)圓形和一個(gè)扇形的紙片，使之恰好能圍成一個(gè)圓錐模型．若圓的半徑為1，扇形的圓心角等于90°，則扇形的半徑是．三．解答題（共9小題）17．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB長(zhǎng)為4，AB＝AC，連接CO并延長(zhǎng)，交邊AB于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且E為弧AB的中點(diǎn)．求：（1）邊BC的長(zhǎng)；（2）⊙O的半徑．18．如圖，已知OA是⊙O的半徑，過OA上一點(diǎn)D作弦BE垂直于OA，連接AB，AE．線段BC為⊙O的直徑，連接AC交BE于點(diǎn)F．（1）求證：∠ABE＝∠C；（2）若AC平分∠OAE，求的值．19．如圖，點(diǎn)A、B、C是⊙O上的三點(diǎn)，且四邊形ABCO是平行四邊形，OD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）如果⊙O的面積為16π，連接BD，求△BAD的面積．20．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，OC＝2．（1）若∠ADC＝60°，求扇形OAC（圖中陰影部分）的面積；（2）若BE＝1，求弦CD的長(zhǎng)．21．如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓上一點(diǎn)，過C的直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，AE⊥DE于E，AC平分∠EAB．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若BD＝3，CD＝5，求AB．22．如圖，在△ABC中，AB＝BC，AB為⊙O的直徑，AC與⊙O相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，CB延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F．（1）求證：DE為⊙O的切線；（2）若BE＝1，BF＝2，求AD的長(zhǎng)．23．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）若AB＝10，AD＝6，求DE的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，直接寫出CD的長(zhǎng)為．24．如圖，AB是⊙O的直徑，E，C是⊙O上兩點(diǎn)，且，連接AE，AC．過點(diǎn)C作CD⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）判定直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）連接BE和OC交于點(diǎn)F，若AB＝4，∠BAC＝30°，①求證：四邊形DEFC是矩形；②求圖中陰影部分的面積．25．如圖（1），BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A、D在⊙O上，DB∥OA，BC＝10，AC＝6．（1）求證：BA平分∠DBC；（2）求DB的長(zhǎng)；（3）如圖（2），E是半圓CB的中點(diǎn)，連接AE，求AE的長(zhǎng)．第24章圓（基礎(chǔ)鞏固）一．選擇題（共10小題）1．下列說法正確的是（）A．過平面內(nèi)的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓 B．相等的圓周角所對(duì)的弧相等 C．圓內(nèi)接菱形是正方形 D．平分弦的直徑垂直弦【答案】C【解答】解：A、平面內(nèi)，不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，故該選項(xiàng)不符合題意；B、在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，故該選項(xiàng)不符合題意；C、圓內(nèi)接菱形是正方形，故該選項(xiàng)符合題意；D、平分弦（弦不是直徑）的直徑垂直弦，故該選項(xiàng)不符合題意．2．如圖，在⊙O中，AB是直徑，，∠AOE＝60°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．45° D．60°【答案】B3．如圖所示一個(gè)圓柱體容器內(nèi)裝入一些水，截面AB在圓心O下方，若⊙O的直徑為26cm，水面寬AB＝24cm，則水的最大深度為（）A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm【答案】C【解答】解：連接OB，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，如圖所示：∵AB＝24cm，∴BD＝AB＝12（cm），∵⊙O的直徑為26cm，∴OB＝OC＝13（cm），在Rt△OBD中，OD＝＝＝5（cm），∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），即水的最大深度為8cm，4．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A＝120°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．120° D．150°【答案】C5．下列有關(guān)圓的一些結(jié)論①任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓；②相等的圓心角所對(duì)的弧相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的??；④圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)．其中正確的結(jié)論是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解答】解：①不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故①表述不正確；①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故②表述不正確；②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故③表述不正確；⑤圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，故④表述正確．6．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為6，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM為（）A．4 B． C． D．【答案】B【解答】解：連接OB、OC，如圖所示：則∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴BC＝OB＝6，∵OM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝3，∴OM＝＝3，7．如圖，AB為⊙O的切線，切點(diǎn)為B，連接OB、OA，交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D為優(yōu)弧BC上一點(diǎn)，連接DC、DB，若∠A＝20°，則∠D的大小為（）A．20° B．35° C．25° D．15°【答案】B8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與AB，BC分別交于點(diǎn)D，E，連接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．π【答案】A【解答】解：連接OE，OD，∵AC為⊙O的直徑，∴∠AEC＝90°，∵AB＝AC，∴BE＝CE，即點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OE是△ABC的中位線，∴OE∥AB，∴S△AOD＝S△AED，∴S陰影＝S扇形OAD，∵∠AEC＝90°，∴∠AEB＝90°，∵∠BED＝45°，∴∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°，∴，∴9．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝6，則△PCD的周長(zhǎng)為（）A．8 B．6 C．12 D．10【答案】C【解答】解：∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，即△PCD的周長(zhǎng)為12，10．如圖，拋物線y＝﹣x2+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是以點(diǎn)C（0，2）為圓心，半徑為1的圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AP的中點(diǎn)，連結(jié)OQ，則線段OQ的最大值是（）A．3 B．2 C．+1 D．【答案】D【解答】解：如圖，連結(jié)BP，∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)y＝0時(shí)，，解得：，∴，即，∵Q是AP上的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，∴OQ為△ABP中位線，即，∴當(dāng)B、C、P共線時(shí)BP最大，即OQ最大，在直角△COB，，又∵P在⊙C上，且半徑為1，∴BP＝BC+CP＝4+1＝5，∴．二．填空題（共6小題）11．如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為2，圓心坐標(biāo)為（4，0），y軸上有點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)C是⊙A上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，則OP的范圍是≤OP≤．【答案】≤OP≤．【解答】解：如圖，在y軸上取點(diǎn)B'（0，﹣3），連接B'C，B'A，∵點(diǎn)B（0，3），B'（0，﹣3），點(diǎn)A（4，0），∴OB＝OB'＝3，OA＝4，∴B'A＝＝＝5，∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴BP＝PC，∵OB＝OB'，BP＝PC，∴B'C＝2OP，當(dāng)點(diǎn)C在線段B'A上時(shí)，B'C的長(zhǎng)度最小值＝5﹣2＝3，當(dāng)點(diǎn)C在線段B'A的延長(zhǎng)線上時(shí)，B'C的長(zhǎng)度最大值＝5+2＝7，∴≤OP≤，12．如圖，用一個(gè)半徑為10cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升，滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了72°，假設(shè)繩索（粗細(xì)不計(jì)）與滑輪之間沒有滑動(dòng)，則重物上升了4πcm．【答案】4π．【解答】解：重物上升的高度為：（cm）故答案為：4π．13．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E，，則OA＝10．【答案】10．【解答】解：連接OC，設(shè)OC＝OA＝r，則OE＝r﹣4，∵，∴CD＝16，∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴CE＝DE，在Rt△OCE中，根據(jù)勾股定理得，82+（r﹣4）2＝r2，解得r＝10，即OA的長(zhǎng)為10．14．如圖，在扇形AOB中，半徑OA＝9，將扇形AOB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)是3π+9．【答案】3π+9．【解答】解：如圖，連接OD，由折疊可知BD＝OB，∵OD＝OB，∴OD＝OB＝BD，∴△OBD為等邊三角形，∴∠BOD＝60°，BD＝OB＝OA＝9，∵弧BD的長(zhǎng)為，∴陰影部分的周長(zhǎng)為：3π+9．15．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形．若母線長(zhǎng)l為9cm，圓錐的底面圓的半徑r為3cm，則扇形的圓心角θ為120°．【答案】120．【解答】解：設(shè)扇形的圓心角θ為n°，根據(jù)題意得2π×3＝，解得n＝120，即扇形的圓心角θ為120°．16．如圖，在紙上剪下一個(gè)圓形和一個(gè)扇形的紙片，使之恰好能圍成一個(gè)圓錐模型．若圓的半徑為1，扇形的圓心角等于90°，則扇形的半徑是4．【答案】4．【解答】解：設(shè)扇形的半徑是r，則＝2π×1，解得：r＝4，∴扇形的半徑是4．三．解答題（共9小題）17．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB長(zhǎng)為4，AB＝AC，連接CO并延長(zhǎng)，交邊AB于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且E為弧AB的中點(diǎn)．求：（1）邊BC的長(zhǎng)；（2）⊙O的半徑．【答案】（1）4；（2）．【解答】解：（1）∵E點(diǎn)為的中點(diǎn)，CE為直徑，∴CE⊥AB，∴AD＝BD，即CD垂直平分AB，∴CB＝CA＝4；（2）連接OB，如圖，∵AB＝BC＝AC，∴△ABC為等邊三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，∴∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，BD＝AB＝2，∴OD＝BD＝，∴OB＝2OD＝，即⊙O的半徑為．18．如圖，已知OA是⊙O的半徑，過OA上一點(diǎn)D作弦BE垂直于OA，連接AB，AE．線段BC為⊙O的直徑，連接AC交BE于點(diǎn)F．（1）求證：∠ABE＝∠C；（2）若AC平分∠OAE，求的值．【解答】（1）證明：∵OA⊥BE，∴，∴∠ABE＝∠C；（2）解：∵AC平分∠OAE，∴∠OAC＝∠EAC，∵∠EAC＝∠EBC，∴∠OAC＝∠EBC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C，∴∠EBC＝∠C，∴BF＝CF，由（1）∠ABE＝∠C，∴∠ABE＝∠C＝∠EBC，∵BC為直徑，∴∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠C+∠EBC＝90°，∴∠ABE＝30°，∴AF＝，∴AF＝，即．19．如圖，點(diǎn)A、B、C是⊙O上的三點(diǎn)，且四邊形ABCO是平行四邊形，OD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）如果⊙O的面積為16π，連接BD，求△BAD的面積．【答案】（1）15°（2）8﹣4．【解答】解；（1）延長(zhǎng)CO交⊙O于E，∵四邊形ABCO是平行四邊形，OC＝OA，∴四邊形ABCO是菱形，∴BC＝AB，∴＝，∵AB∥CE，∴＝，∴度數(shù)＝60°，∵OD⊥OC，∴OD⊥AB，∴度數(shù)＝度數(shù)＝30°，∴∠BAD＝15°．（2）∵⊙O的面積為16π，∴⊙O的半徑是4，∴AB＝OA＝4，BF＝AF＝2，∵OF2＝OA2﹣AF2，∴OF2＝42﹣22，∴OF＝2，∴DF＝4﹣2，∴△ABD的面積為：AB?DF＝×4×（4﹣2）＝8﹣4．20．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，OC＝2．（1）若∠ADC＝60°，求扇形OAC（圖中陰影部分）的面積；（2）若BE＝1，求弦CD的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）∵∠ADC＝60°，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×60°＝120°，∴；（2）OB＝OC＝2，BE＝1，∴OE＝OB﹣BE＝2﹣1＝1，又∵AB⊥CD，在Rt△OCE中，利用勾股定理，可得，∴．21．如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓上一點(diǎn)，過C的直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，AE⊥DE于E，AC平分∠EAB．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若BD＝3，CD＝5，求AB．【解答】（1）證明：連接OC，則OC＝OA，∴∠OCA＝∠BAC，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC＝∠BAC，∴∠OCA＝∠EAC，∴OC∥AE，∵AE⊥DE，∴∠OCD＝∠E＝90°，∵OC是⊙O的半徑，且DE⊥OC，∴DE是⊙O的切線．（2）解：∵BD＝3，CD＝5，∴OD＝OB+3，∵∠OCD＝90°，∴OC2+CD2＝OD2，且OC＝OB，OB2+52＝（OB+3）2，解得OB＝，∴AB＝2OB＝2×＝，∴AB的長(zhǎng)是．22．如圖，在△ABC中，AB＝BC，AB為⊙O的直徑，AC與⊙O相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，CB延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F．（1）求證：DE為⊙O的切線；（2）若BE＝1，BF＝2，求AD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：如圖，過點(diǎn)O作OH⊥AF于點(diǎn)H，則∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，∴四邊形ODEH是矩形，∴OD＝EH，OH＝DE，∵OF＝OB，∴BH＝FH＝1，∴OD＝EH＝EH＝2，∴AB＝2OD＝4，OH＝＝，∴DE＝OH＝，∴BD＝＝2，∴AD＝＝＝2．23．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）若AB＝10，AD＝6，求DE的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，直接寫出CD的長(zhǎng)為6．【答案】（1）證明見解答過程；（2）；（3）6．【解答】（1）證明：連接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BE，∵BE⊥DE，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半徑，∴DE與⊙O相切；（2）解：過D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，DH⊥AB，∴DH＝DE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AB＝10，AD＝6，∴BD＝＝＝8，∵AB?DH＝AD?AB，∴DH＝＝，∴DE＝DH＝；（3）解：∵BD平分∠ABC，∴＝，∴CD＝AD＝6，24．如圖，AB是⊙O的直徑，E，C是⊙O上兩點(diǎn)，且，連接AE，AC．過點(diǎn)C作CD⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）判定直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）連接BE和OC交于點(diǎn)F，若AB＝4，∠BAC＝30°，①求證：四邊形