新教材同步備課2024春高中數(shù)學第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.2第2課時線面垂直的性質(zhì)與空間距離課件新人教A版必修第二冊

第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.2直線與平面垂直第2課時線面垂直的性質(zhì)與空間距離學習任務1．理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理．(數(shù)學抽象、邏輯推理)2．理解空間距離相關(guān)定義并會求相應的距離．(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)必備知識·情境導學探新知01如圖，是我們比較熟悉的廣場中的路燈．問題：(1)燈桿與水平面有什么樣的位置關(guān)系？(2)燈桿與燈桿之間有什么樣的位置關(guān)系？(3)由此你能得出什么結(jié)論？

知識點1直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線____符號語言圖形語言

平行a∥b思考在長方體ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直線與平面ABCD位置關(guān)系如何？這兩條直線又有什么樣的位置關(guān)系？[提示]

棱AA′，BB′所在直線都與平面ABCD垂直；這兩條直線互相平行．知識點2空間距離1．過一點作____于已知平面的直線，則該點與____間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，____________叫做這個點到該平面的距離．2．一條直線與一個平面平行時，這條直線上________到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．3．如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的________到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．垂直垂足垂線段的長度任意一點任意一點如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，則直線AB到平面A1B1C1D1的距離為______；平面ADD1A1與平面BCC1B1之間的距離為________．24關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1線面垂直性質(zhì)定理的應用類型2空間中的距離問題類型3直線與平面垂直關(guān)系的綜合應用類型1線面垂直性質(zhì)定理的應用【例1】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1．[證明]

因為四邊形ADD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D．又因為CD⊥平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．因為A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．反思領(lǐng)悟

證明線線平行常用的方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點．(2)利用三線平行公理：證兩線同時平行于第三條直線．(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直．(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．[跟進訓練]1．如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l.[證明]

因為EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因為EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由線面垂直的性質(zhì)定理，得a∥l.類型2空間中的距離問題【例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3,求點D到平面PBC的距離．

[解]

法一(幾何法)：因為AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.于是點D到平面PBC的距離可轉(zhuǎn)化為點A到平面PBC的距離．如圖，在平面PAB內(nèi)作AH⊥PB交PB于點H.因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，而AH?平面PAB，所以BC⊥AH.

反思領(lǐng)悟

空間中距離的轉(zhuǎn)化(1)利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距離、面面距離的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的另一點到平面的距離．(2)利用中點轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點條件，將一個點到平面的距離，借助中點(等分點)，轉(zhuǎn)化為另一點到平面的距離．(3)通過換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴展(分割)，以方便求底面積和高．[跟進訓練]2．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1．(1)證明：直線BC1∥平面D1AC；[解]

證明：∵ABCD-A1B1C1D1為長方體，∴AB∥C1D1，AB＝C1D1，∴四邊形ABC1D1為平行四邊形，∴BC1∥AD1，顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1∥平面D1AC.(2)求直線BC1到平面D1AC的距離．

類型3直線與平面垂直關(guān)系的綜合應用【例3】如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，求證：PB⊥EF.[證明]

因為PA⊥平面ABC，BC在平面ABC上，所以PA⊥BC.又AB是圓O的直徑，所以AC⊥BC.又AC，PA在平面PAC中交于A，所以BC⊥平面PAC.又AF?平面PAC，所以BC⊥AF.因為AF⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C，所以AF⊥平面PBC.又PB?平面PBC，所以AF⊥PB.又AE⊥PB，AF，AE在平面AEF中交于A，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF.反思領(lǐng)悟

關(guān)于線面垂直判定、性質(zhì)的應用(1)分析已知的垂直關(guān)系，得出能夠推出的線線、線面垂直，即挖掘已知條件，以方便后續(xù)證明．(2)證明垂直關(guān)系時往往需要逆向思維，如要證明直線a垂直于平面α內(nèi)直線b，可以考慮證明直線b垂直于直線a所在的平面β.(3)掌握線線、線面垂直的相互轉(zhuǎn)化．[跟進訓練]3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2．(1)求證：CD⊥平面PAC；

(2)在棱PC上是否存在點H，使得AH⊥平面PCD？若存在，確定點H的位置；若不存在，說明理由．

學習效果·課堂評估夯基礎(chǔ)0312341．已知直線a，b，平面α，且a⊥α，下列條件中，能推出a∥b的是(

)A．b∥α

B．b?α

C．b⊥α

D．b∩α＝A√1234√2．(多選)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列結(jié)論中正確的是(

)A．PB⊥BC

B．PD⊥CDC．PD⊥BD

D．PA⊥BD

√√12343．線段AB在平面α的同側(cè)，A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點到α的距離為________．44

[如圖，設AB的中點為M，分別過A，M，B向α作垂線，垂足分別為A1，M1，B1，則由線面垂直的性質(zhì)可知，AA1∥MM1∥BB1，四邊形AA1B1B為直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1為其中位線，∴MM1＝4．]12344．已知四邊形ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，當平行四邊形ABCD滿足條件_______________________________________時，有PC⊥BD(填上你認為正確的一個