新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運(yùn)算6.2.4向量的數(shù)量積第1課時(shí)向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)課件新人教A版必修第二冊(cè)

第六章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運(yùn)算6.2.4向量的數(shù)量積第1課時(shí)向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解向量的數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握向量的數(shù)量積的定義及投影向量．(數(shù)學(xué)抽象)3．會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知01大力士拉車，沿著繩子方向上的力為F，車的位移是s，力和位移的夾角為θ．問題：該大力士所做的功是多少？

非零0≤θ≤π同向反向垂直思考1．如何作出向量a與b的夾角？[提示]

2．平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)_____向量a與b，它們的夾角為θ，把數(shù)量_________叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝_________．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_．非零|a||b|cosθ|a||b|cosθ0思考2．把“a·b”寫成“ab”或“a×b”可以嗎，為什么？[提示]

不可以，數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的乘法，在書寫時(shí)，一定要嚴(yán)格，必須寫成“a·b”的形式．

知識(shí)點(diǎn)2向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ．(2)a⊥b?______＝0．(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝______；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝_______．特別地，a·a＝_______或|a|＝________．(4)|a·b|___|a||b|．a(chǎn)·b|a||b|－|a||b||a|2

≤思考4．若a·b＝0，則a⊥b一定成立嗎？[提示]

不一定，也可能a＝0或b＝0．思考5．a(chǎn)·b的符號(hào)與兩向量的夾角有何關(guān)系？[提示]

a·b<0，由a·b＝|a||b|cosθ可知，兩向量的夾角是鈍角或180°．而a·b>0時(shí)，由a·b＝|a||b|cosθ可知，兩向量的夾角是銳角或0°．

√2．若向量a，b的夾角為60°，則向量a與－b的夾角為______．120°3．已知|a|＝5，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則向量b在a方向上的投影向量為______．

關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1定義法求向量的夾角類型2平面向量的數(shù)量積運(yùn)算類型3投影向量類型1定義法求向量的夾角【例1】已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？

反思領(lǐng)悟

求兩個(gè)向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合，作兩個(gè)向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出．

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

定義法求平面向量的數(shù)量積(1)求模：即分別求|a|和|b|．(2)求夾角：尤其注意向量a與b的方向．(3)求數(shù)量積：即a·b＝___________．|a||b|cosθ[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知|a|＝6，|b|＝5，分別求下列情況下a與b的數(shù)量積：(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為60°．

類型3投影向量【例3】已知|a|＝3，|b|＝1，向量a與向量b的夾角為120°，求：(1)向量a在向量b上的投影向量；(2)向量b在向量a上的投影向量．

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

投影向量的求法方法一：用幾何法作出恰當(dāng)?shù)拇咕€，直接得到投影向量．方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量為____________．

[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量．

學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)03

√

]2．已知|a|＝3，|b|＝6，當(dāng)a∥b時(shí)，a·b＝(

)A．18 B．－18C．±18 D．0√C

[當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角為0°，所以a·b＝|a||b|cos0°＝3×6×1＝18；若a與b反向，則它們的夾角為180°，所以a·b＝|a|·|b|cos180°＝3×6×(－1)＝－18．故選C．]

3．設(shè)|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，則a與b的夾角為______．

a回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．向量夾角的范圍是多少？[提示]

[0，π]．2．如何求兩個(gè)向量的數(shù)量積？對(duì)于向量a，b，如何求它們的夾角θ？

3．如何求向量b在a方向上的投影向量？如何求向量a在b方向上的投影向量？[提示]

b在a方向上的投影向量為|b|e1cosθ，a在b方向上的投影向量為|a|e2cosθ(θ為a與b的夾角，e1為a方向的單位向量，e2為b方向的單位向量)．4．設(shè)a與