新高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題19幾何體中與球有關(guān)的切、接問題專題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題19幾何體中與球有關(guān)的切、接問題球的截面的性質(zhì)(1)球的任何截面是圓面；(2)球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面；(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為r＝eq\r(R2－d2)幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.一、題型選講題型一、幾何體的外接球解決多面體的外接球問題，關(guān)鍵是確定球心的位置，方法是先選擇多面體中的一面，確定此面外接圓的圓心，再過圓心作垂直此面的垂線，則球心一定在此垂線上，最后根據(jù)其他頂點(diǎn)確定球心的準(zhǔn)確位置．對(duì)于特殊的多面體還可采用補(bǔ)成正方體或長方體的方法找到球心位置．例1、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為A． B． C． D．例2、【2020年高考天津】若棱長為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．例3、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）已知邊長為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，以為折痕進(jìn)行折疊，使折后的，則過，，，四點(diǎn)的球的表面積為（）A． B． C． D．例4、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球體積為（）A． B． C． D．例5、（2020屆山東省德州市高三上期末）中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個(gè)陽馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，，若鱉臑的外接球的體積為，則陽馬的外接球的表面積等于______.題型二、幾何體的內(nèi)切球求解多面體的內(nèi)切球的問題，一般是將多面體分割為以球心為頂點(diǎn)，多面體的各面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑．例6、【2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．例7、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長為1的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的表面積為__________；若該六面體內(nèi)有一小球，則小球的最大體積為___________．二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知正三棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為6，則該正三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．2、【2020年高考全國II卷理數(shù)】已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16，則O到平面ABC的距離為A． B． C．1 D．3、【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B．C． D．4、【2018年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B．C． D．5、【2020年新高考全國Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．6、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知三棱錐，平面ABC，，，，直線SB和平面ABC所成的角大小為.若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為________.7、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）如圖，在三棱錐P-ABC中，，，則PA與平面ABC所成角的大小為________；三棱錐P-ABC外接球的表面積是________.8、（2020屆山東省煙臺(tái)市高三上期末）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，，，，，則：（1）球的表面積為__________；（2）若是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作球的截面，則截面面積的最小值是__________．9、（2020屆山東省濱州市高三上期末）在四面體中，，且，，，則該四面體體積的最大值為________，該四面體外接球的表面積為________.10、（2020屆山東省濟(jì)寧市高三上期末）下圖是兩個(gè)腰長均為的等腰直角三角形拼成的一個(gè)四邊形，現(xiàn)將四邊形沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的體積為__________．專題19幾何體中與球有關(guān)的切、接問題球的截面的性質(zhì)(1)球的任何截面是圓面；(2)球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面；(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為r＝eq\r(R2－d2)幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.一、題型選講題型一、幾何體的外接球解決多面體的外接球問題，關(guān)鍵是確定球心的位置，方法是先選擇多面體中的一面，確定此面外接圓的圓心，再過圓心作垂直此面的垂線，則球心一定在此垂線上，最后根據(jù)其他頂點(diǎn)確定球心的準(zhǔn)確位置．對(duì)于特殊的多面體還可采用補(bǔ)成正方體或長方體的方法找到球心位置．例1、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，為等邊三角形，由正弦定理可得，，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，，球的表面積.故選：A.本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.例2、【2020年高考天津】若棱長為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】這個(gè)球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半，即，所以，這個(gè)球的表面積為.故選：C．本題考查正方體的外接球的表面積的求法，求出外接球的半徑是本題的解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.求多面體的外接球的面積和體積問題，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交，可過兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心.例3、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）已知邊長為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，以為折痕進(jìn)行折疊，使折后的，則過，，，四點(diǎn)的球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】邊長為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，以為折痕進(jìn)行折疊，使折后的，構(gòu)成以D為頂點(diǎn)的三棱錐，且三條側(cè)棱互相垂直，可構(gòu)造以其為長寬高的長方體，其對(duì)角線即為球的直徑，三條棱長分別為1,1，，所以，球面積，故選C.例4、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，而平面平面，平面平面，所以平面，四棱錐的體積是，，所以邊長，，設(shè)，，，，，.故選：A.例5、（2020屆山東省德州市高三上期末）中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個(gè)陽馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，，若鱉臑的外接球的體積為，則陽馬的外接球的表面積等于______.【答案】【解析】四邊形是正方形，，即，且，，所以，的外接圓半徑為，設(shè)鱉臑的外接球的半徑，則，解得.平面，，可得，.正方形的外接圓直徑為，，平面，所以，陽馬的外接球半徑，因此，陽馬的外接球的表面積為.故答案為：.題型二、幾何體的內(nèi)切球求解多面體的內(nèi)切球的問題，一般是將多面體分割為以球心為頂點(diǎn)，多面體的各面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑．例6、【2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【答案】【解析】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長等于球的直徑.例7、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長為1的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的表面積為__________；若該六面體內(nèi)有一小球，則小球的最大體積為___________．【答案】【解析】（1）因?yàn)?，所以該六面體的表面積為.（2）由圖形的對(duì)稱性得，小球的體積要達(dá)到最大，即球與六個(gè)面都相切時(shí)，每個(gè)三角形面積是，六面體體積是正四面體的2倍，所以六面體體積是.由于圖像的對(duì)稱性，內(nèi)部的小球要是體積最大，就是球要和六個(gè)面相切，連接球心和五個(gè)頂點(diǎn)，把六面體分成了六個(gè)三棱錐，設(shè)球的半徑為，所以，所以球的體積.故答案為：；.二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知正三棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為6，則該正三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，因?yàn)檎忮F的側(cè)棱長為，底面邊長為6，則，所以三棱錐的高,又由球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，在直角三角形中，，又由，即，解得，所以球的表面積為，故選D.2、【2020年高考全國II卷理數(shù)】已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16，則O到平面ABC的距離為A． B． C．1 D．【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長為，是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離.故選：C．本題考查球的相關(guān)問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面.3、【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B．C． D．【答案】D【解析】解法一：為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為，的中點(diǎn)，，，又，平面，∴平面，，為正方體的一部分，，即，故選D．解法二：設(shè)，分別為的中點(diǎn)，，且，為邊長為2的等邊三角形，，又，，中，由余弦定理可得，作于，，為的中點(diǎn)，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.本題主要考查學(xué)生的空間想象能力，補(bǔ)體法解決外接球問題．可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長，進(jìn)而補(bǔ)體成正方體解決．4、【2018年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)點(diǎn)M為三角形ABC的重心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在平面上的射影為時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，，，,點(diǎn)M為三角形ABC的重心，，中，有，，，故選B.5、【2020年新高考全國Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．【答案】.【解析】如圖：取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，因?yàn)?0°，直四棱柱的棱長均為2，所以△為等邊三角形，所以，，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因?yàn)?，所以?cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)，則，因?yàn)榍虻陌霃綖?，，所以，所以?cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，因?yàn)?，所以?cè)面與球面的交線是扇形的弧，因?yàn)?，所以，所以根?jù)弧長公式可得.故答案為：.6、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知三棱錐，平面ABC，，，，直線SB和平面ABC所成的角大小為.若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為________.【答案】【解析】如圖：平面，則為直線SB和平面所成的角，即在中：，如圖，設(shè)為三棱錐外接球的球心，G為外接圓圓心，連結(jié)，則必有面在，，則其外接圓半徑，又，所以三棱錐外接球半徑為該球的表面積為,故答案為：.7、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）如圖，在三棱錐P-ABC中，，，則PA與平面ABC所成角的大小為________；三棱錐P-ABC外接球的表面積是________.【答案】【解析】如圖，作平行四邊形，連接，由，則平行四邊形是矩形．由，，，∴平面，而平面，∴，同理可得，又，∴平面．，是PA與平面ABC所成角．由得，又，∴．∴PA與平面ABC所成角是．由知的中點(diǎn)到的距離相等，是三棱錐P-ABC外接