高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)專題7.1數(shù)列的概念與簡單表示專題練習(xí)（學(xué)生版+解析）

專題7.1數(shù)列的概念與簡單表示練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)是1，第2項(xiàng)是2，以后各項(xiàng)由an=an-1+an-2(n>2)給出，則該數(shù)列的第5項(xiàng)等于（）A．6 B．7 C．8 D．92．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法B．a(chǎn)n=an-1，a1=1(n≥2)是遞推公式C．給出數(shù)列的方法只有圖象法、列表法、通項(xiàng)公式法D．a(chǎn)n=2an-1，a1=2(n≥2)是遞推公式3．（2019·綏德中學(xué)高二月考）數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則A． B． C． D．4．（2021·浙江杭州市·杭州高級(jí)中學(xué)高三其他模擬）在數(shù)列中，，，設(shè)其前n項(xiàng)和為，則下列命題正確的是（）A． B．C． D．若，則5．（2021·四川省綿陽南山中學(xué)高一期中）數(shù)列的首項(xiàng)，且，則（）A． B． C． D．6．（2021·河南高二三模（理））分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個(gè)樹形圖.若記圖2中第n行黑圈的個(gè)數(shù)為，則（）A．55 B．58 C．60 D．627．（2021·河南高三其他模擬（文））數(shù)列滿足遞推公式，且，，則（）A．1010 B．2020 C．3030 D．40408.（2019·浙江高考模擬）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，，，若存在正整數(shù)，使得，則（）A． B． C． D．9.（2021·云南曲靖一中高三其他模擬（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則______．10.（山東省單縣第五中學(xué)月考）數(shù)列的通項(xiàng)，試問該數(shù)列有沒有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)；若沒有，說明理由.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））數(shù)列滿足，則的值為（）A． B． C． D．2．（2020·四川涼山·期末（文））德國數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半（即）；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1（即），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1．猜想的數(shù)列形式為：為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列中必存在值為1的項(xiàng)．若，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．43.（2021·遼寧高二月考）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．4．（2021·全國高三其他模擬（理））大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其部分項(xiàng)如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此規(guī)律得到以下結(jié)論正確的是（）A． B．C．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， D．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，5．（2020·四川高一期末（理））已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對任意實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．（2021·四川成都市·樹德中學(xué)高三其他模擬（理））已知數(shù)列，，其中數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為滿足；數(shù)列滿足：，且對任意的?都有：，則數(shù)列的第47項(xiàng)的值為（）A．384 B．47 C．49 D．3767．【多選題】（2021·遼寧高三月考）已知數(shù)列滿足：，是數(shù)列的前項(xiàng)和，，下列命題正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C． D．8．【多選題】（2021·福建省福州第一中學(xué)高三其他模擬）斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案，是自然界最完美的經(jīng)典黃金比例.作圖規(guī)則是在以斐波那契數(shù)為邊的正方形拼成的長方形，然后在正方形里面畫一個(gè)90度的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.它來源于斐波那契數(shù)列，又稱為黃金分割數(shù)列.現(xiàn)將斐波那契數(shù)列記為，，，邊長為斐波那契數(shù)的正方形所對應(yīng)扇形面積記為，則（）A． B．C． D．9．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.10．（2020·湖北宜昌·其他（文））數(shù)列中，，.（1）求，的值；（2）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，，中的一個(gè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，若，求的取值范圍．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·浙江高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．2.（2019·浙江高考真題）設(shè)，數(shù)列中，，,則（）A．當(dāng) B．當(dāng)C．當(dāng) D．當(dāng)3．（2017·全國高考真題（理））（2017新課標(biāo)全國I理科）幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（）A．440B．330C．220D．1104．（2020·全國高考真題（理））0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（）A． B． C． D．5．（2020·全國高考真題（文））數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則______________.6.（2021·全國高考真題）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.專題7.1數(shù)列的概念與簡單表示練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)是1，第2項(xiàng)是2，以后各項(xiàng)由an=an-1+an-2(n>2)給出，則該數(shù)列的第5項(xiàng)等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】利用an=an-1+an-2(n>2)逐項(xiàng)求解即可求得答案.【詳解】解析：∵a1=1，a2=2，an=an-1+an-2(n>2)，∴a3=a2+a1=2+1=3，a4=a3+a2=3+2=5，a5=a4+a3=5+3=8.答案：C.2．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法B．a(chǎn)n=an-1，a1=1(n≥2)是遞推公式C．給出數(shù)列的方法只有圖象法、列表法、通項(xiàng)公式法D．a(chǎn)n=2an-1，a1=2(n≥2)是遞推公式【答案】C【解析】根據(jù)數(shù)列的概念及遞推公式的概念逐項(xiàng)排除答案，得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)遞推公式和數(shù)列的第一項(xiàng)，我們也可以確定數(shù)列，故A正確；an=an-1(n≥2)與an=2an-1(n≥2)，這兩個(gè)關(guān)系式雖然比較特殊，但都表示的是數(shù)列中的任意項(xiàng)與它的前后項(xiàng)間的關(guān)系，且都已知a1，所以都是遞推公式.故B,D正確；通過圖象、列表、通項(xiàng)公式我們可以確定一個(gè)數(shù)列，但是還可以有其他形式，比如列舉法，故C錯(cuò)誤；故選：C.3．（2019·綏德中學(xué)高二月考）數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性可，同理得，可知周期為4，．4．（2021·浙江杭州市·杭州高級(jí)中學(xué)高三其他模擬）在數(shù)列中，，，設(shè)其前n項(xiàng)和為，則下列命題正確的是（）A． B．C． D．若，則【答案】D【解析】依題意可得，設(shè)，即可判斷A，利用特殊值法判斷B、C，由，可得遞增，根據(jù)即可證明D；【詳解】解：由得，設(shè)，則，故A錯(cuò)．取，知B錯(cuò)，時(shí)，數(shù)列不滿足，知C錯(cuò)．對于D，由，知遞增，所以，知D正確；故選：D5．（2021·四川省綿陽南山中學(xué)高一期中）數(shù)列的首項(xiàng)，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先根據(jù)遞推公式列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再找出數(shù)列的周期性，即可得解；【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，，，，，，所以?shù)列是以為周期的周期數(shù)列，所以故選：A6．（2021·河南高二三模（理））分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個(gè)樹形圖.若記圖2中第n行黑圈的個(gè)數(shù)為，則（）A．55 B．58 C．60 D．62【答案】A【解析】表示第n行中的黑圈個(gè)數(shù)，設(shè)表示第n行中的白圈個(gè)數(shù)，由題意可得，根據(jù)初始值，由此遞推，不難得出所求.【詳解】已知表示第n行中的黑圈個(gè)數(shù)，設(shè)表示第n行中的白圈個(gè)數(shù)，則由于每個(gè)白圈產(chǎn)生下一行的一白一黑兩個(gè)圈，一個(gè)黑圈產(chǎn)生下一行的一個(gè)白圈2個(gè)黑圈，∴，又∵;;;;;,故選：A.7．（2021·河南高三其他模擬（文））數(shù)列滿足遞推公式，且，，則（）A．1010 B．2020 C．3030 D．4040【答案】B【解析】已知條件可化為左右兩端同乘以有，即，，…，，通過累加求和，計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】左右兩端同乘以有，從而，，…，，將以上式子累加得．由得．令，有．故選：B.8.（2019·浙江高考模擬）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，，，若存在正整數(shù)，使得，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，則有，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，得，同理有，又因?yàn)?，故，所?故選D.9.（2021·云南曲靖一中高三其他模擬（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則______．【答案】4【解析】歸納出數(shù)列的周期，求出一個(gè)周期的和，即得解.【詳解】由題得，，，,,,所以數(shù)列的周期為6，，，所以.故答案為：410.（山東省單縣第五中學(xué)月考）數(shù)列的通項(xiàng)，試問該數(shù)列有沒有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)；若沒有，說明理由.【答案】最大項(xiàng)為【解析】設(shè)是該數(shù)列的最大項(xiàng)，則∴解得∵，∴，∴最大項(xiàng)為練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））數(shù)列滿足，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知條件計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用裂項(xiàng)求和法求出結(jié)果，注意的情況進(jìn)行分類討論.【詳解】，取，相減，，則推出當(dāng)時(shí)，原式故選：A2．（2020·四川涼山·期末（文））德國數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半（即）；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1（即），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1．猜想的數(shù)列形式為：為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列中必存在值為1的項(xiàng)．若，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，，，，，故選：B3.（2021·遼寧高二月考）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)數(shù)列是遞增數(shù)列得出不等式組，最后通過計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以，解得，即.故選：C.4．（2021·全國高三其他模擬（理））大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其部分項(xiàng)如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此規(guī)律得到以下結(jié)論正確的是（）A． B．C．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， D．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，【答案】B【解析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列的具體值即可判斷出各個(gè)選項(xiàng)．【詳解】解：其部分項(xiàng)如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，所以，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．故選：B．5．（2020·四川高一期末（理））已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對任意實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由和與通項(xiàng)的關(guān)系先求出，進(jìn)而求出，，再用裂項(xiàng)相消求出即可獲解.【詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由題意得，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，也滿足，所以故故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為

故選：A.6．（2021·四川成都市·樹德中學(xué)高三其他模擬（理））已知數(shù)列，，其中數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為滿足；數(shù)列滿足：，且對任意的?都有：，則數(shù)列的第47項(xiàng)的值為（）A．384 B．47 C．49 D．376【答案】A【解析】根據(jù)，分別取不同的n值，求得，并根據(jù)，求得；取得，，從而利用累加法求得，從而求得結(jié)果.【詳解】時(shí)，，解得，時(shí)，，得，時(shí)，，得，從而有，，時(shí)，，得，時(shí)，，得，則，，又，故，取得，，則故，則，故數(shù)列的第47項(xiàng)為故選：A7．【多選題】（2021·遼寧高三月考）已知數(shù)列滿足：，是數(shù)列的前項(xiàng)和，，下列命題正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C． D．【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A.設(shè),求出其導(dǎo)函數(shù)得出其單調(diào)性，可得，，設(shè)，求出其導(dǎo)函數(shù)，得出其單調(diào)性，可得，從而可判斷A；選項(xiàng)B.設(shè),求出其導(dǎo)數(shù)，借助于選項(xiàng)A中構(gòu)造的函數(shù)結(jié)論，可得其單調(diào)性，從而可判斷;選項(xiàng)C.由可判斷；選項(xiàng)：由選項(xiàng)B數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，由選項(xiàng)A中得到的結(jié)論可得，從而可判斷.【詳解】由題意，則設(shè)，則所以在上的單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時(shí)，可得，即設(shè)，所以在上的單調(diào)遞增，所以取，可得，即所以，所以選項(xiàng)A正確.設(shè)，則由上在上恒成立，則所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)B正確.由，所以，所以選項(xiàng)C不正確.由數(shù)列是遞增數(shù)列，所以由上，則，所以所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD8．【多選題】（2021·福建省福州第一中學(xué)高三其他模擬）斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案，是自然界最完美的經(jīng)典黃金比例.作圖規(guī)則是在以斐波那契數(shù)為邊的正方形拼成的長方形，然后在正方形里面畫一個(gè)90度的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.它來源于斐波那契數(shù)列，又稱為黃金分割數(shù)列.現(xiàn)將斐波那契數(shù)列記為，，，邊長為斐波那契數(shù)的正方形所對應(yīng)扇形面積記為，則（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式可判斷選項(xiàng)A，再根據(jù)累加法計(jì)算判斷選項(xiàng)B，根據(jù)扇形的面積公式判斷選項(xiàng)C，再次應(yīng)用累加法及遞推公式判斷選項(xiàng)D.【詳解】由遞推公式，可得，，所以，A選項(xiàng)正確；又由遞推公式可得，，，類似的有，累加得，故錯(cuò)誤，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由題可知扇形面積，故，故錯(cuò)誤，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，，，，類似的有，累加得，又，所以，所以正確，D選項(xiàng)正確；故選：AD.9．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意可得當(dāng)時(shí)與已知條件兩式相減，即可得，再檢驗(yàn)是否滿足即可.（2）由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，由不等式分離出，轉(zhuǎn)化為最值問題，再利用基本不等式求最值即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以兩式相減可得：所以，當(dāng)時(shí)，滿足，所以，（2），由可得：，所以，令，只需.，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.10．（2020·湖北宜昌·其他（文））數(shù)列中，，.（1）求，的值；（2）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，，中的一個(gè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，若，求的取值范圍．【答案】（1），（2），且是正整數(shù)【解析】（1）∵，∴∴（2）由數(shù)列的通項(xiàng)公式是，，中的一個(gè)，和得數(shù)列的通項(xiàng)公式是由可得∴∴∵，∴即由，得，解得或∵是正整數(shù)，∴所求的取值范圍為，且是正整數(shù)練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·浙江高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到，從而得解．【詳解】因?yàn)?，所以，．由，即根?jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即．故選：A．2.（2019·浙江高考真題）設(shè)，數(shù)列中，，,則（）A．當(dāng) B．當(dāng)C．當(dāng) D．當(dāng)【答案】A【解析】對于B，令0，得λ，取，∴，∴當(dāng)b時(shí)，a10＜10，故B錯(cuò)誤；對于C，令x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a1＝2，∴a2＝2，…，an＝2＜10，∴當(dāng)b＝﹣2時(shí)，a10＜10，故C錯(cuò)誤；對于D，令x2﹣λ﹣4＝0，得，取，∴，…，10，∴當(dāng)b＝﹣4時(shí)，a10＜10，故D錯(cuò)誤；對于A，，，，an+1﹣an＞0，{an}遞增，當(dāng)n≥4時(shí)，an1，∴，∴（）6，∴a1010．故A正確．故選：A．3．（2017·全國高考真題（理））（2017新課標(biāo)全國I理科）幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)