2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章概率統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第三節(jié)幾何概型課時(shí)規(guī)范練文含解析北師大版

PAGE第九章概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第三節(jié)幾何概型課時(shí)規(guī)范練A組——基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練1．某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少須要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.eq\f(7,10) B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(3,10)解析：記“至少須要等待15秒才出現(xiàn)綠燈”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(25,40)＝eq\f(5,8).答案：B2．(2024·武漢武昌區(qū)調(diào)研)在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事務(wù)“l(fā)og0.5(4x－3)≥0”發(fā)生的概率為 A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：因?yàn)閘og0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即eq\f(3,4)<x≤1，所以所求概率P＝eq\f(1－\f(3,4),1－0)＝eq\f(1,4)，故選D.答案：D3．在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到正方體各面的距離都不小于1的概率為 A.eq\f(1,27) B.eq\f(26,27)C.eq\f(8,27) D.eq\f(1,8)解析：正方體中到各面的距離都不小于1的點(diǎn)的集合是一個(gè)中心與原正方體中心重合，且棱長(zhǎng)為1的正方體，該正方體的體積是V1＝13＝1，而原正方體的體積為V＝33＝27，故所求的概率P＝eq\f(V1,V)＝eq\f(1,27).答案：A4．已知事務(wù)“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則eq\f(AD,AB)＝ ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(7),4)解析：由已知，點(diǎn)P的分界點(diǎn)恰好是邊CD的四等分點(diǎn)，由勾股定理可得AB2＝(eq\f(3,4)AB)2＋AD2，解得(eq\f(AD,AB))2＝eq\f(7,16)，即eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4)，故選D.答案：D5．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則cosπx的值介于eq\f(\r(2),2)與eq\f(\r(3),2)之間的概率為 ()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析：區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))的長(zhǎng)度為1，滿(mǎn)意cos(πx)的值介于eq\f(\r(2),2)與eq\f(\r(3),2)之間的x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－\f(1,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,4)))，區(qū)間長(zhǎng)度為eq\f(1,6)，由幾何概型概率公式得P＝eq\f(\f(1,6),1)＝eq\f(1,6).答案：D6．如圖，正三角形ABC內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正三角形的中心成中心對(duì)稱(chēng)．在正三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3)π,18) D.eq\f(2\r(3)π,9)解析：設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為a，則圓的半徑為eq\f(\r(3)a,6)，正三角形的面積為eq\f(\r(3),4)a2，圓的面積為eq\f(πa2,12).由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半．由幾何概型概率的計(jì)算公式得，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是eq\f(\f(1,2)·\f(πa2,12),\f(\r(3),4)a2)＝eq\f(\r(3)π,18).故選C.答案：C7．在棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到正方體8個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率為 ()A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,6)C.eq\f(π,6) D．1－eq\f(π,6)解析：符合條件的點(diǎn)P落在棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)，且以正方體的每一個(gè)頂點(diǎn)為球心，半徑為1的eq\f(1,8)球體外；依據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得，P＝eq\f(23－8×\f(1,8)×π×\f(4,3)×13,23)＝1－eq\f(π,6).答案：D8．已知O，A，B三地在同一水平面內(nèi)，A地在O地正東方向2km處，B地在O地正北方向2km處，某測(cè)繪隊(duì)員在A(yíng)，B之間的直線(xiàn)馬路上任選一點(diǎn)C作為測(cè)繪點(diǎn)，用測(cè)繪儀進(jìn)行測(cè)繪，O地為一磁場(chǎng)，距離其不超過(guò)eq\r(3)km的范圍內(nèi)會(huì)對(duì)測(cè)繪儀等電子儀器形成干擾，使測(cè)量結(jié)果不精確，則該測(cè)繪隊(duì)員能夠得到精確數(shù)據(jù)的概率是 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C．1－eq\f(\r(3),2) D．1－eq\f(\r(2),2)解析：在等腰直角三角形OAB中，以O(shè)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓截AB所得的線(xiàn)段長(zhǎng)為2，而|AB|＝2eq\r(2)，故該測(cè)繪隊(duì)員能夠得到精確數(shù)據(jù)的概率是1－eq\f(2,2\r(2))＝1－eq\f(\r(2),2)，故選D.答案：D9．在區(qū)間[－2，4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿(mǎn)意|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________．解析：由幾何概型知eq\f(5,6)＝eq\f(m－（－2）,6)，解得m＝3.答案：310．利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的勻稱(chēng)隨機(jī)數(shù)a，則事務(wù)“3a－1>0解析：由題意知0≤a≤1，事務(wù)“3a－1>0”發(fā)生時(shí)，a>eq\f(1,3)且a≤1，取區(qū)間長(zhǎng)度為測(cè)度，由幾何概型的概率公式得其概率P＝eq\f(1－\f(1,3),1)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)B組——素養(yǎng)提升練11．(2024·洛陽(yáng)統(tǒng)考)在區(qū)間(0，2)內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則滿(mǎn)意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥0，,x－a≤0))的點(diǎn)(x，y)構(gòu)成區(qū)域的面積大于1的概率是 ()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)解析：作出約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥0，,x－a≤0))表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則陰影部分的面積S＝eq\f(1,2)×a×2a＝a2＞1，∴1＜a＜2，依據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得所求概率為eq\f(2－1,2－0)＝eq\f(1,2).答案：C12．(2024·湖北五校聯(lián)考)已知定義在區(qū)間[－3，3]上的函數(shù)f(x)＝2x＋m滿(mǎn)意f(2)＝6，在[－3，3]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則使得f(x)的值不小于4的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：∵f(2)＝6，∴22＋m＝6，解得m＝2.由f(x)≥4，得2x＋2≥4，∴x≥1，而x∈[－3，3]，故依據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，得f(x)的值不小于4的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：B13.如圖所示，A是圓上肯定點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn)A′，連接AA′，得到一條弦，則此弦的長(zhǎng)度小于或等于半徑長(zhǎng)度的概率為 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：當(dāng)AA′的長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度時(shí)，∠AOA′＝eq\f(π,3)，A′點(diǎn)在A(yíng)點(diǎn)左右都可取得，故由幾何概型的概率計(jì)算公式得P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3).答案：C14．已知正棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC的概率是 ()A.eq\f(3,4) B.eq\f(7,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：由題意知，當(dāng)點(diǎn)P在三棱錐的中截面以下時(shí)，滿(mǎn)意VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC，故使得VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC的概率P＝eq\f(大三棱錐的體積－小三棱錐的體積,大三棱錐的體積)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(7,8).答案：B15．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)的概率為 ()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD及其內(nèi)部．要使函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)，則必需有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分．故所求概率P＝eq\f(S陰影,S正方形)＝