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2023年下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測試卷高二數(shù)學(xué)(時量:120分鐘總分:150分考試形式:閉卷)一、單選題(本大題共8小題,共40分.在每小題列出的選項中,選出符合題目的一項)1.已知直線的方程為,則該直線的傾斜角為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的直線方程,求出直線的斜率,進(jìn)而求出傾斜角.【詳解】直線的斜率,所以該直線的傾斜角為.故選:B2.“”是“2,,8成等比數(shù)列”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列求出m,再結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】2,,8成等比數(shù)列,等價于,所以“”是“2,,8成等比數(shù)列”的充分不必要條件.故選:A3.已知等差數(shù)列中,,則數(shù)列的前8項和等于()A.42 B.50 C.72 D.90【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】根據(jù)題意,等差數(shù)列中,,則.故選:C4.如圖,在平行六面體中,為中點,則用向量可表示向量為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合空間向量的線性運算求解.【詳解】由題意可得:.故選:B.5.已知直線的方向向量是,平面的法向量是,則與的位置關(guān)系是()A. B.C.與相交但不垂直 D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件,利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷即得.【詳解】由直線的方向向量是,平面的法向量是,得,即,所以或.故選:D6.作圓上一點處的切線,直線與直線平行,則直線與的距離為()A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】判斷點在圓上,求出直線的斜率,確定出切線的斜率,求出的方程,得出,根據(jù)直線與直線平行,利用平行線的距離公式求出與的距離即可.【詳解】將點代入圓的方程:,所以點在圓上,因為:圓心,所以直線的斜率:,所以:切線的斜率為:,的方程為:,即:,又因為:直線與直線平行,所以:.所以:直線與直線的距離:,故A項正確.故選:A.7.已知點是拋物線上的一個動點,則點到點的距離與到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件,確定點與拋物線的位置關(guān)系,再借助拋物線定義求解即得.【詳解】拋物線中,當(dāng)時,,則點在拋物線外,拋物線的焦點,準(zhǔn)線,過作直線的垂線,垂足為,連接,則,于是,當(dāng)且僅當(dāng)點是線段與拋物線的交點時取等號,所以點到點的距離與到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為.故選:C8.直線交橢圓于兩點,為橢圓上異于的點,,的斜率分別為,且,則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出點的坐標(biāo),結(jié)合橢圓方程及斜率坐標(biāo)公式,利用離心率公式求解即可.【詳解】設(shè)點,則根據(jù)橢圓的對稱性知點,顯然,由與,相減得,整理得,而,于是,所以,所以該橢圓的離心率為.故選:A【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握圓錐曲線的點差法,從而得解.二、多選題(本大題共4小題,共20分.在每小題有多項符合題目要求)9.已知雙曲線,則下列關(guān)于雙曲線的結(jié)論正確的是()A.實軸長為6 B.焦距為5C.離心率為 D.焦點到漸近線的距離為4【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意,結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì),逐項判定,即可求解.【詳解】由雙曲線,可得,則,可得雙曲線的實軸長為,焦距為,離心率為,所以A正確,B、C不正確;又由雙曲線的漸近線方程為,即,且焦點,不妨設(shè)右焦點,漸近線為,則焦點到漸近線的距離為,所以D正確.故選:AD.10.在平面上,動點與兩定點滿足(且),則的軌跡是個圓,這個圓稱作為阿波羅尼斯圓.已知動點與兩定點滿足,記的軌跡為圓.則下列結(jié)論正確的是()A.圓方程為:B.過點作圓的切線,則切線長是C.過點作圓的切線,則切線方程為D.直線與圓相交于兩點,則最小值是【答案】ABD【解析】【分析】利用距離關(guān)系列式求解方程判斷A,利用切線長定理求解判斷B,利用切線性質(zhì)求出斜率,代入點斜式即可求出切線方程判斷C,先求出直線恒過定點,再利用幾何性質(zhì)結(jié)合弦長公式求解判斷D.【詳解】對于A,由題意點,,因為,所以,即,所以動點M的軌跡圓C的方程為,正確;對于B,由選項A知圓心,半徑,設(shè)切點為D,所以,則,因為,所以,即過點作圓的切線,則切線長是,正確;對于C,因為,所以點在圓上,因為,所以過點的切線斜率為,所以切線方程為,即,錯誤;對于D,由,可得,聯(lián)立,解得,即該直線恒過定點,因為,所以點在圓內(nèi),由圖知,當(dāng)軸時,有最小值是,正確.故選:ABD11.如圖所示,在棱長為1的正方體中,分別為的中點,則()A.直線與所成的角為B.直線與平面所成的角為C.直線與平面平行D.平面截正方體所得的截面面積為【答案】AC【解析】【分析】為直線與所成的角,計算得到A正確,為直線與平面所成的角,,B錯誤,平面∥平面,C正確,梯形為平面截正方體所得的截面,計算得到錯誤,得到答案.【詳解】對選項A:如圖1所示,連接,,,,則,,,故是平行四邊形,故,即,為直線與所成的角,為等邊三角形,故,正確;對選項B:如圖2所示,為中點,連接,,,故為平行四邊形,故,平面,則為直線與平面所成的角,,故,錯誤;對選項C:如圖3所示,為中點,連接,,,,則,,故為平行四邊形,故,平面,平面,故∥平面,同理可得∥平面,,故平面∥平面,平面,故直線與平面平行,正確;對選項D:如圖4所示,連接,,,則,,,故為平行四邊形,故,則,則梯形為平面截正方體所得的截面,,,,等腰梯形的高為,,錯誤;故選:AC12.關(guān)于函數(shù),下列判斷正確的是()A.是的極大值點B.函數(shù)有且只有1個零點C.對不等式在上恒成立D.對任意兩個正實數(shù),且,若,則【答案】BC【解析】【分析】對于A,直接對函數(shù)求導(dǎo)研究即可;對于B,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),利用單調(diào)性來判斷即可;對于C,將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,構(gòu)造函數(shù),求其最大值即可;對于D,將問題轉(zhuǎn)化為證明,,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最值可得答案.【詳解】對于A,,,令,得,當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,為的極小值點,A錯誤;對于B,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,又,所以函數(shù)有且只有1個零點,B正確;對于C,若在上恒成立,得在上恒成立,則令,則,令,,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,,即,在上單調(diào)遞減,故函數(shù),則,C正確;對于D,令,,則在上單調(diào)遞減,則,即,,,結(jié)合A選項可得,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,即對任意兩個正實數(shù),且,若,則,D錯誤.故選:BC.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題難點在選項D,將問題轉(zhuǎn)化為證明,是關(guān)鍵,然后構(gòu)造出函數(shù)來解決問題.三、填空題(本大題共4小題,共20分)13.已知空間向量,則______.【答案】【解析】【分析】利用空間向量坐標(biāo)運算求解即得.【詳解】空間向量,所以.故答案為:14.已知直線的傾斜角,直線,則的斜率為__.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)直線的傾斜角,直線,求出的傾斜角,再根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系求出的斜率.【詳解】解:∵直線的傾斜角,直線,∴的傾斜角為,∴的斜率為,故答案為:.15.在數(shù)列中,,則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義可知數(shù)列為首項為1公差為1的等差數(shù)列,結(jié)合通項公式求出,進(jìn)而利用裂項相消法求和即可.【詳解】由得,又,則數(shù)列為首項為1,公差為1的等差數(shù)列,所以,得,所以,所以.故答案為:16.已知實數(shù),滿足,則代數(shù)式的最大值為______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)方程判斷點的軌跡方程,再將其轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程,代入所求式,利用正弦型函數(shù)的有界性求解即得.【詳解】因?qū)崝?shù),滿足,,故可知點的軌跡是以為兩焦點的橢圓,軌跡方程為:,故可設(shè)該橢圓的參數(shù)方程為:(為參數(shù))則,故當(dāng)時,取得最大值為故答案為:【點睛】關(guān)鍵點點睛:根據(jù)兩變量滿足的方程,求解關(guān)于兩變量解析式的范圍或最值的題型,關(guān)鍵在于對方程的理解,如果滿足熟知的點的軌跡,則可以利用定義得出軌跡方程,再通過參數(shù)方程求出,將其轉(zhuǎn)化為單變量問題求解.四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.矩形ABCD的兩條對角線相交于點,AB邊所在直線的方程為,點在AD邊所在直線上.(1)求AD邊所在直線的方程;(2)求矩形ABCD外接圓E的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)直線垂直得到直線AD的斜率,進(jìn)而利用點斜式寫出AD邊所在直線的方程;(2)求出點坐標(biāo),且外接圓圓心為,從而寫出矩形外接圓的方程.【小問1詳解】因為AB邊所在直線的方程為,且AD與AB垂直,所以直線AD的斜率為-3又因為點在直線AD上,所以AD邊所在直線的方程為,即;小問2詳解】由,解得:,故點A坐標(biāo)為,因為矩形ABCD兩條對角線的交點為,所以點M為矩形ABCD外接圓圓心.又因為,從而矩形ABCD外接圓E的方程為.18.如圖,在正四棱柱中,,,點是的中點.(1)求異面直線與所成角的余弦值;(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1).(2).【解析】【詳解】分析:(1)直接建立空間直角坐標(biāo)系,求出,D,M四點的坐標(biāo)寫出對于的向量坐標(biāo),然后根據(jù)向量的夾角公式求解即可;(2)先根據(jù)坐標(biāo)系求出平面的法向量,然后寫出向量,在根據(jù)向量夾角公式即可求解.詳解:在正四棱柱中,以為原點,、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.因為,,,所以,,所以,所以異面直線與所成角的余弦值為.(2),設(shè)平面的一個法向量為.則,得,取,得,,故平面的一個法向量為.于是,所以直線與平面所成角的正弦值為.點睛:考查線線角,線面角對于好建空間坐標(biāo)系立體幾何題則首選向量做法,直接根據(jù)向量求解解題思路會比較簡單,但要注意坐標(biāo)的準(zhǔn)確性和向量夾角公式的熟悉,屬于基礎(chǔ)題.19.綜合應(yīng)用拋物線和雙曲線的光學(xué)性質(zhì),可以設(shè)計制造反射式天文望遠(yuǎn)鏡.這種望遠(yuǎn)鏡的特點是,鏡筒可以很短而觀察天體運動又很清楚.例如,某天文儀器廠設(shè)計制造的一種鏡筒長為2m的反射式望遠(yuǎn)鏡,其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖(中心截口示意圖)所示.其中,一個反射鏡弧所在的曲線為拋物線,另一個反射鏡弧所在的曲線為雙曲線的一個分支.已知,是雙曲線的兩個焦點,其中同時又是拋物線的焦點,試根據(jù)圖示尺寸(單位mm),分別求拋物線和雙曲線的方程.【答案】雙曲線方程為,拋物線方程為【解析】【分析】根據(jù)題意,對于雙曲線,有,求出,,可得雙曲線的方程;求出拋物線的頂點的橫坐標(biāo),可得拋物線的方程.【詳解】解:對于雙曲線,有,,,,雙曲線的方程為;拋物線的頂點的橫坐標(biāo)是,拋物線的方程為.20.已知等比數(shù)列的前項和為,且,,成等差數(shù)列.(1)求的值及數(shù)列的通項公式;(2)若求數(shù)列的前項和【答案】(1),,;(2)【解析】【分析】(1)由等差數(shù)列的中項性質(zhì)和數(shù)列的遞推式,等比數(shù)列的通項公式,可得所求;(2)求得,運用數(shù)列的錯位相減法,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,可得所求和.【小問1詳解】,,成等差數(shù)列,,即,當(dāng)時,,即,當(dāng)時,,是等比數(shù)列,,則,得,數(shù)列的通項公式為,;【小問2詳解】,則前項和,,兩式相減可得,化簡可得.21.如圖,正三角形與菱形所在的平面互相垂直,,,是的中點.(1)求點到平面的距離;(2)已知點在線段上,且直線與平面所成的角為,求出的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)連接,證明出、、兩兩垂直,然后以點為坐標(biāo)原點,、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法可求得點到平面的距離;(2)設(shè),,求出向量的坐標(biāo),利用空間向量法可得出關(guān)于的等式,結(jié)合可求出的值,即可求出的值.【小問1詳解】解:連接,∵,是的中點,∴,∵平面平面,平面平面,平面,∴平面,又平面,∴,菱形中,,所以是正三角形,∴.∴、、兩兩垂直.以點為坐標(biāo)原點,、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,,設(shè)是平面的一個法向量,則,令,得,設(shè)點到平面的距離為,則,所以,點到平面的距離為.【小問2詳解】解:由題意可知,平面的一個法向量為,,,設(shè),,則,∵直線與平面所成的角為,,整理可得,解得,所以,.22.已知函數(shù).(1)若在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù),求a的取值范圍;(2)求證:當(dāng)且時,.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為恒成立,分
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