3.6 公因數(shù)與最大公因數(shù)（學(xué)霸課堂筆記）-2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊同步培優(yōu)講義（蘇教版）

3.6公因數(shù)與最大公因數(shù)第一部分第一部分學(xué)問清單1、2、3和6既是12的因數(shù)，又是18的因數(shù)，它們是12和18的公因數(shù)。8和12的公因數(shù)有1，2，4，其中最大的是4。4就是8和12的最大公因數(shù)。兩個(gè)數(shù)中，假如較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)；假如兩個(gè)數(shù)只有公因數(shù)1，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)就是1，我們也說這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)。幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫作這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)中最大的一個(gè)，叫作這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。其次部分其次部分典型例題例1：把40塊水果糖和35塊巧克力分別平均分給一個(gè)組的同學(xué)，結(jié)果水果糖少2塊，巧克力少1塊。這個(gè)組最多有（

）位同學(xué)。A．5 B．6 C．7 D．8答案：B分析：依據(jù)題意可知，假如水果糖有40＋2＝42塊，巧克力有35＋1＝36塊，正好分完，由此可知，求這個(gè)組最多有幾名同學(xué)，就是求42和36的最大公因數(shù)，最大公因數(shù)：兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，據(jù)此解答。詳解：40＋2＝42（塊）35＋1＝36（塊）42＝2×3×736＝2×3×2×342和36的最大公因數(shù)是2×3＝6；最多有6位同學(xué)。把40塊水果糖和35塊巧克力分別平均分給一個(gè)組的同學(xué)，結(jié)果水果糖少2塊，巧克力少1塊。這個(gè)組最多有6位同學(xué)。故答案為：B例2：4和12的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。答案：412分析：假如兩個(gè)數(shù)中大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)，那么小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。詳解：，12是4的倍數(shù)，所以4和12的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是12。例3：13和26的最大公因數(shù)是26。()答案：×分析：兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積；假如兩個(gè)數(shù)為倍數(shù)關(guān)系，較小的那個(gè)數(shù)為兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)；假如兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)，兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1，據(jù)此解答。詳解：13和26是倍數(shù)關(guān)系，13和26的最大公因數(shù)是13。原題干說法錯(cuò)誤。故答案為：×例4：在18的因數(shù)上畫“”，在30的因數(shù)上畫“”。12345678910111213141516171819202122232425262728293018和30的公因數(shù)有（

），其中最大公因數(shù)是（

）。答案：如圖所示1、2、3、6；6分析：應(yīng)用列乘法算式法分別找到18和30的因數(shù)，18和30公有的因數(shù)就是它們的公因數(shù)，據(jù)此解答。詳解：，，所以18的因數(shù)有1、2、3、6、9、18；如圖在圖上畫出；，，，所以30的因數(shù)有1、2、3、5、6、10、15、30；如圖在圖上畫出；18和30的公因數(shù)有1、2、3、6，其中最大公因數(shù)是6。：基礎(chǔ)過關(guān)練一、選擇題1．從4、5、7、8這四個(gè)數(shù)中選出2個(gè)數(shù)，能組成（

）組公因數(shù)只有1的數(shù)。A．2 B．4 C．5 D．很多2．下列的說法中，正確的有（

）個(gè)。①1420除以40，商是35，余數(shù)是2；②a÷b＝8（a、b都是不為0的自然數(shù)），a和b的最大公因數(shù)是b；③用6個(gè)同樣大的正方體可以擺成從前面、右面和上面看到的外形完全相同的物體。A．1 B．2 C．3 D．43．把一張長12厘米、寬8厘米的長方形紙，剪成同樣大小的正方形，最終沒有剩余。每個(gè)正方形的邊長最大是（

）厘米。A．2 B．4 C．8 D．64．用邊長12厘米的正方形畫紙鋪長方形桌面。下面這些規(guī)格的長方形桌面中，正好能鋪滿且沒有鋪張的是（

）。（單位：厘米。其中“”表示長108厘米、寬80厘米）A． B． C． D．5．東東的臥房長5.6米、寬4.8米，選用下面邊長最大是（

）分米的方磚鋪地不需要切割。A．4 B．6 C．7 D．86．有一塊長方形地，長120米，寬48米，要在它的四周和四角種樹，每相鄰兩棵樹之間的距離相等，最少要種（

）棵樹。A．7 B．14 C．18 D．247．一根細(xì)木棒長24cm，另一根細(xì)木棒長32cm，分別將它們截成同樣長的小段。假如要求截的小棒盡可能長，且都沒有剩余，一共可以截成（

）段。A．3 B．4 C．7 D．14二、填空題8．求出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)，并說說你發(fā)覺了什么。(1)6和30()

48和24()

20和60()

25和75()我發(fā)覺：較小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)時(shí)，它們的最大公因數(shù)是()。(2)7和9()

12和13()

31和46()

25和16()我發(fā)覺：兩個(gè)數(shù)只有公因數(shù)1時(shí)，它們的最大公因數(shù)是()。9．找出下面每組數(shù)的公因數(shù)。4和6()

9和12()50和60()

64和80()10．想一想，填一填。24的因數(shù)：54的因數(shù)：（1）既是24的因數(shù)，又是54的因數(shù)的有（

），這些因數(shù)是24和54的公因數(shù)。（2）24和54的公因數(shù)中最大的是（

），這個(gè)數(shù)是24和54的（

）。11．甲數(shù)＝a×b，乙數(shù)＝a×c（a、b、c為不同的質(zhì)數(shù)），甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。12．一個(gè)兩位數(shù)“2”是3和4的公倍數(shù)，里的數(shù)是()，這個(gè)兩位數(shù)與18的最大公因數(shù)是()。三、推斷題13．13和17沒有公因數(shù)，只有公倍數(shù)。()14．兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是12，這兩個(gè)數(shù)可能是8和12。()15．假如3a＝b，a和b的最大公因數(shù)是a。()16．把一張長是18厘米、寬是12厘米的長方形裁成同樣大的正方形，假如要求紙沒有剩余，裁出的正方形邊長最大是6厘米。()17．兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)肯定是這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)的倍數(shù)。()18．兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)肯定多于這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)的個(gè)數(shù)。()：培優(yōu)提升練四、計(jì)算題19．求下列各數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。18和24

8和9

65和13五、解答題20．2023年4月8日郟縣姚莊櫻花節(jié)半程馬拉松賽在姚莊鄉(xiāng)開賽。右下圖是賽道的一部分，賽道在B處拐彎，依據(jù)賽會(huì)要求需要在路的一邊支配志愿者，志愿者之間的距離必需相等，而且ABC三處必需支配志愿者。這段賽道至少要支配多少名志愿者？請先算一算，并用“●”表示出志愿者的大致位置。

21．體育老師買來60瓶可樂和72瓶礦泉水，把它們分別平均分給了幾個(gè)訓(xùn)練小組，正好全部分完。請你算一算最多有幾個(gè)訓(xùn)練小組？每個(gè)小組分得兩種飲料各多少瓶？22．“六一”兒童節(jié)期間，李老師要將一根長24分米的黃彩帶和一根長42分米的紅彩帶，剪成同樣長的整分米數(shù)的短彩帶，且沒有剩余。（1）每根短彩帶最長是多少分米？（2）一共可以剪成幾根這樣的短彩帶？23．把一張長18厘米、寬12厘米的長方形紙裁剪成大小相同的正方形，要求正方形盡可能大且紙沒有剩余。一共可以剪多少個(gè)這樣的正方形？24．兩根電線，第一根長56米，其次根長48米，要把它們剪成同樣長的小段，而且不能有剩余，每小段最長是多少米？一共能剪成幾段？25．五（4）班同學(xué)為慶?！傲弧眱和?jié)，需要用彩帶裝飾花籃。假如把下邊的兩根彩帶剪成同樣長的短彩帶且沒有剩余，每根短彩帶最長是多少厘米？一共可以剪成這樣的短彩帶多少根？

1．C分析：先確定一個(gè)數(shù)，依次寫出選出2個(gè)數(shù)的全部狀況，如圖，找到全部的搭配結(jié)果，再確定公因數(shù)只有1的有幾組即可。詳解：4和5、4和7、4和8、5和7、5和8、7和84和5的公因數(shù)只有1；4和7的公因數(shù)只有1；4和8的公因數(shù)除了1還有2、4；5和7的公因數(shù)只有1；5和8的公因數(shù)只有1；7和8的公因數(shù)只有1。能組成5組公因數(shù)只有1的數(shù)。故答案為：C2．B分析：運(yùn)用1420除以40得到的商與余數(shù)是不是35和2，由此進(jìn)行推斷即可。②依據(jù)因數(shù)、倍數(shù)的意義，假如a÷b＝8（a，b都是不為0的自然數(shù)），a叫做b的倍數(shù)，b叫做a的因數(shù)，a和b的最大公因數(shù)是b；據(jù)此推斷；6個(gè)相同的小正方體擺兩層，下行層擺4個(gè)，分兩行，每行2個(gè)，從上面看4個(gè)正方體的面積呈“田”字，再把另外兩個(gè)放在“田”字的兩個(gè)對角上，這樣不論從前面、右面、上面看到的外形都是相同的，即4個(gè)正方形，呈“田”字；據(jù)此推斷。詳解：1420÷40＝35……20，所以題干的說法是錯(cuò)誤的。②a÷b＝8（a、b是不為0的自然數(shù)），可知a和b是倍數(shù)關(guān)系，所以a和b的最大公因數(shù)是b，最小公倍數(shù)的a，a和b的最大公因數(shù)是b，所以原題說法正確；如圖用6個(gè)同樣大小的正方體可以擺成如圖的外形，從前面、右面和上面看到的圖形完全相同的外形都是4個(gè)正方形，呈“田”字；原題說法正確；綜上所述，這三個(gè)說法中正確的有2個(gè)；故答案為：B點(diǎn)睛：此題主要考查的學(xué)問點(diǎn)比較多，依據(jù)各自的意義和解答方法解答即可。3．B分析：求每個(gè)正方形邊長最大，就是求12和8的最大公因數(shù)；依據(jù)求最大公因數(shù)的方法：兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，據(jù)此解答。詳解：12＝2×2×38＝2×2×212和8的最大公因數(shù)是2×2＝4正方形邊長最大是4厘米。把一張長12厘米、寬8厘米的長方形紙，剪成同樣大小的正方形，最終沒有剩余。每個(gè)正方形的邊長最大是4厘米。故答案為：B點(diǎn)睛：嫻熟把握求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)的方法是解答本題的關(guān)鍵。4．C分析：用邊長12厘米的正方形畫紙鋪長方形桌面，正好能鋪滿且沒有鋪張，那么正方形邊長12厘米是長方形長和寬的公因數(shù)，據(jù)此解答。詳解：A．108和80的最大公因數(shù)是4，12不是108和80的公因數(shù)，不符合題意；B．90和60的最大公因數(shù)是30，30的因數(shù)有1、2、3、5、6、10、15、30，12不是90和60的公因數(shù)，不符合題意；C．120和72的最大公因數(shù)是24，24是12的倍數(shù)，所以12是120和72的公因數(shù)，符合題意；D．90和72的最大公因數(shù)是18，18的因數(shù)有1、2、3、6、9、18，12不是90和72的公因數(shù)，不符合題意。故答案為：C點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是理解要使正方形畫紙正好能鋪滿且沒有鋪張，也就是正方形畫紙的邊長是長方形桌面長和寬的公因數(shù)，據(jù)此作出推斷。5．D分析：先把臥房的長和寬單位化成分米，再找出長和寬的公因數(shù)，即方磚的邊長，然后從其中找出與選項(xiàng)相符的即可。詳解：5.6米＝56分米4.8米＝48分米56＝2×2×2×748＝2×2×2×2×356和48的公因數(shù)：2，4，8。小明的臥房長5.6米、寬4.8米，選用邊長8分米的正方形磚鋪地不需要切割。故答案為：D點(diǎn)睛：本題主要考查怎么求兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)，因此把握求兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)的方法是解答本題的關(guān)鍵。6．B分析：求最少要種多少棵樹，就是先求這兩個(gè)樹之間的距離，也就是求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)的方法：兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積；據(jù)此求出120和48的最大公因數(shù)；要在它的四周和四角種樹，封閉圖形種樹相當(dāng)于一端植樹，一端不植樹，即間距數(shù)＝棵數(shù)；用長方形的周長÷兩棵樹的間距，據(jù)此解答。詳解：120＝2×2×2×3×548＝2×2×2×2×3120和48的最大公因數(shù)是2×2×2×3＝24兩棵樹的間距是24米。（120＋48）×2÷24＝168×2÷24＝336÷24＝14（棵）有一塊長方形地，長120米，寬48米，要在它的四周和四角種樹，每相鄰兩棵樹之間的距離相等，最少要種14棵樹。故答案為：B點(diǎn)睛：本題考查求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)方法以及植樹問題，把握植樹問題的幾種狀況是解題的關(guān)鍵。7．C分析：依據(jù)題意，要把兩根木棒截成同樣長的小段，截的小棒盡可能長，且都沒有剩余，則小棒的長度是24和32的最大公因數(shù)，求出最大公因數(shù)后，再分別用24和32除以這個(gè)最大公因數(shù)，求出每根木棒截成的段數(shù)，最終把段數(shù)加起來即可。把兩個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，全部共有的質(zhì)因數(shù)（公有質(zhì)因數(shù)）相乘的積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。詳解：24＝2×2×2×332＝2×2×2×2×224和32的最大公因數(shù)是2×2×2＝8，則每段長8cm。24÷8＋32÷8＝3＋4＝7（段）則一共可以截成7段。故答案為：C點(diǎn)睛：本題考查最大公因數(shù)的應(yīng)用。明確最長小棒的長度是24和32的最大公因數(shù)是解題的關(guān)鍵。8．(1)6242025較小數(shù)(2)11111分析：（1）用質(zhì)因數(shù)分解法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)時(shí)，先把這兩個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，則全部共有的質(zhì)因數(shù)（公有質(zhì)因數(shù)）相乘的積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。這幾組數(shù)中，較小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)，那么它們的最大公因數(shù)是其中的那個(gè)較小數(shù)。（2）兩個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)即是它們的最大公因數(shù)。這幾組數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1。詳解：（1）6＝2×330＝2×3×5則6和30的最大公因數(shù)是2×3＝6；48＝2×2×2×2×324＝2×2×2×3則48和24的最大公因數(shù)是2×2×2×3＝24；20＝2×2×560＝2×2×3×5

則20和60的最大公因數(shù)是2×2×5＝20；25＝5×575＝3×5×5

則25和75的最大公因數(shù)是5×5＝25。通過觀看可以發(fā)覺：較小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)時(shí)，它們的最大公因數(shù)是較小數(shù)。（2）7的因數(shù)有：1、7；9的因數(shù)有：1、3、9；則7和9的最大公因數(shù)是1。12的因數(shù)有：1、2、3、4、6、12；13的因數(shù)有：1、13；則12和13的最大公因數(shù)是1。31的因數(shù)有：1、31；46的因數(shù)有：1、2、23、46；則31和46的最大公因數(shù)是1。25的因數(shù)有：1、5、25；16的因數(shù)有：1、2、4、8、16；

則25和16的最大公因數(shù)是1。通過分析可得：兩個(gè)數(shù)只有公因數(shù)1時(shí)，它們的最大公因數(shù)是1。9．1、21、31、2、5、101、2、4、8、16分析：一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最小的是1，最大的是它本身．兩個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，由此解答。詳解：4＝2×26＝2×34和6的公因數(shù)有1、2。9＝1×9＝3×312＝1×12＝2×6＝3×49和12的公因數(shù)有：1、3。50＝1×50＝2×25＝5×1060＝1×60＝2×30＝3×20＝4×15＝5×12＝6×1050和60的公因數(shù)有：1、2、5、10。64＝1×64＝2×32＝4×16＝8×880＝1×80＝2×40＝4×40＝5×16＝8×1064和80的公因數(shù)有：1、2、4、8、16。10．填表見詳解（1）1、2、3、6（2）6；最大公因數(shù)分析：可以用列乘法算式找因數(shù)，依據(jù)從小到大的挨次，一組一組地寫出全部積是24和54的乘法算式，乘法算式中的兩個(gè)因數(shù)就是24和54的因數(shù)。（1）依據(jù)24和54各自的因數(shù)，從中找出24和54公有的因數(shù)，即它們的公因數(shù)。（2）由（1）可得出24和54的公因數(shù)中最大的數(shù)，這個(gè)數(shù)就是24和54的最大公因數(shù)。詳解：24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×654＝1×54＝2×27＝3×18＝6×9填表如下：24的因數(shù)：1、2、3、4、6、8、12、2454的因數(shù)：1、2、3、6、9、18、27、54（1）既是24的因數(shù)，又是54的因數(shù)的有1、2、3、6，這些因數(shù)是24和54的公因數(shù)。（2）24和54的公因數(shù)中最大的是6，這個(gè)數(shù)是24和54的最大公因數(shù)。11．a(chǎn)abc分析：兩個(gè)數(shù)的全部公有質(zhì)因數(shù)相乘的積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)；兩個(gè)數(shù)的全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)連乘的積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，據(jù)此解答。詳解：甲數(shù)＝a×b，乙數(shù)＝a×c，所以甲乙兩數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)是a，甲數(shù)獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)是b，乙數(shù)獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)是c，所以甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是a，最小公倍數(shù)是abc。12．46分析：首先依據(jù)同時(shí)是3和4的倍數(shù)的特征，個(gè)位上必需是偶數(shù)，且個(gè)位和十位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，由此確定個(gè)位上是幾，再依據(jù)求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法解答。詳解：依據(jù)同時(shí)是3和4的倍數(shù)的特征，個(gè)位上必需是偶數(shù)，且個(gè)位和十位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，由此確定個(gè)位上是4；24＝2×2×2×318＝2×3×3所以24和18的最大公因數(shù)是2×3＝6。13．×分析：依據(jù)互質(zhì)數(shù)的特征可知，13和17是互質(zhì)數(shù)，它們的公因數(shù)只有1，不是沒有公因數(shù)；除0外，任意兩個(gè)自然數(shù)都有很多個(gè)公倍數(shù)，據(jù)此推斷。詳解：13的因數(shù)：1，13。17的因數(shù)：1，17。13和17的公因數(shù)只有1，而不是沒有公因數(shù)，所以原題說法錯(cuò)誤；故答案為：×14．×分析：最大公因數(shù)是兩個(gè)數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積，最小公倍數(shù)是兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)的乘積，據(jù)此可設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是4x，4y，x和y互質(zhì)，且4xy＝12，據(jù)此求出xy的積，進(jìn)而推出x和y的值，最終推出這兩個(gè)數(shù)。據(jù)此解答。詳解：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是4x，4y，4xy＝12解：4xy÷4＝12÷4xy＝33＝1×31×4＝43×4＝12兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是12，這兩個(gè)數(shù)是4和12。原題干說法錯(cuò)誤。故答案為：×點(diǎn)睛：本題考查了最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的生疏和應(yīng)用。15．√分析：求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)假如兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1；假如兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，則這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是其中較小的數(shù)；假如兩個(gè)數(shù)既不互質(zhì)，也不是倍數(shù)關(guān)系，則先把兩個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是兩個(gè)數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積；據(jù)此解答。詳解：由于3a＝bb是a的3倍，所以b和a是倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公因數(shù)是其中較小的數(shù)，也就是a。原題干說法正確。故答案為：√點(diǎn)睛：本題考查了求最大公因數(shù)的方法。16．√分析：依據(jù)題意，裁出的正方形邊長最大是18和12的最大公因數(shù)。據(jù)此解題。詳解：18＝2×3×312＝3×2×22×3＝6所以，裁出的正方形邊長最大是6厘米。故答案為：√點(diǎn)睛：本題考查了最大公因數(shù)。求最大公因數(shù)時(shí)，先將兩個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再將兩數(shù)共有的質(zhì)因數(shù)相乘即可。17．√分析：依據(jù)公因數(shù)和最小公倍數(shù)的意義可知，兩個(gè)數(shù)的公有的因數(shù)，叫做兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)，最小公倍數(shù)是兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)的乘積，可以舉例證明。詳解：最小公倍數(shù)是兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)的乘積，例如：4的因數(shù)有1、2、4；6的因數(shù)有：1、2、3、6；4和6的公因數(shù)有1和2。4＝2×2，6＝2×3，4和6的最小公倍數(shù)是2×2×3＝12。由以上可知：12是l和2的倍數(shù)。所以兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)肯定是這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)的倍數(shù)的說法是正確的。故答案為：√點(diǎn)睛：本題主要考查最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的意義。18．√分析：兩個(gè)數(shù)公有因數(shù)叫做這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)；兩個(gè)數(shù)公有倍數(shù)叫做這兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的；據(jù)此解答。詳解：例如：2和62和6的公因數(shù)有：1，2；2和6的公倍數(shù)有：6，12，18，24…2和6的公倍數(shù)有很多個(gè)，而它們的公因數(shù)只有2個(gè)，所以兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)肯定多于這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)的個(gè)數(shù)。原題說法正確。故答案為：√點(diǎn)睛：把握公因數(shù)、公倍數(shù)的定義以及特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵。19．（1）最大公因數(shù)6，最小公倍數(shù)72；（2）最大公因數(shù)1，最小公倍數(shù)72；（3）最大公因數(shù)13，最小公倍數(shù)65分析：用質(zhì)因數(shù)分解法可以求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。全部共有的質(zhì)因數(shù)（公有質(zhì)因數(shù)）相乘的積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)；全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。成倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，其中的較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù)，較大數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)；假如兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，則它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積。詳解：（1）18＝2×3×324＝2×2×2×3則18和24的最大公因數(shù)是2×3＝6，最小公倍數(shù)是2×3×3×2×2＝72。（2）8和9是互質(zhì)數(shù)，則它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是8×9＝72。（3）65是13的倍數(shù)，則65和13的最大公因數(shù)是13，最小公倍數(shù)是65。20．8名；見詳解分析：依據(jù)題意可知，AB長120米，BC長90米，在路的一邊支配志愿者，志愿者之間的距離必需相等，求出每相鄰的兩個(gè)志愿者之間的距離最長是多少米，就是求120和90的最大公因數(shù)，最大公因數(shù)是兩個(gè)數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積，也就是30米，然后用（120＋90）÷30求出志愿者之間的總間隔數(shù)，由于ABC三處必需支配志愿者所以總間隔數(shù)＋1即可求出至少要支配多少名志愿者。詳解：120＝2×2×2×3×590＝2×3×3×5120和90的最大公因數(shù)是2×3×5＝30（120＋90）÷30＝210÷30＝7（名）7＋1＝8（名）答：這段賽道至少要支配8名志愿者。如圖：

點(diǎn)睛：本題主要考查了求最大公因數(shù)的方法，嫻熟把握相應(yīng)的方法是解答本題的關(guān)鍵。21．訓(xùn)練小組：12個(gè)；可樂：5瓶；礦泉水：6瓶分析：求出60和72的最大公因數(shù)，即為有幾個(gè)訓(xùn)練小組；分別用可樂和礦泉水的瓶數(shù)除以最大公因數(shù)，即可求出兩種飲料各多少瓶。詳解：60＝2×2×3×572＝2×2×2×3×360和72的最大公因數(shù)是2×2×3＝12。60÷12＝5（瓶）72÷12＝6（瓶）答：最多有12個(gè)訓(xùn)練小組；每個(gè)小組分得可樂5瓶；礦泉水6瓶。點(diǎn)睛：兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是兩個(gè)數(shù)的公