南省長沙市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）數(shù)學(xué)試卷 含解析

長沙市一中2025屆高三月考試卷（二）數(shù)學(xué)時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由對數(shù)單調(diào)性解集合中不等式，再求集合交集即可.【詳解】由可得，故，又因為，所以.故選：D2.已知為虛數(shù)單位，，則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)除法運(yùn)算可得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念分析判斷.【詳解】因，則，所以的共軛復(fù)數(shù).故選：A.3.已知曲線在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn)，則實數(shù)（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】先求出切線方程，再將點(diǎn)代入求解.【詳解】解：因為，所以，則，所以在點(diǎn)處的切線方程為，又因為切線與軸相交于點(diǎn)，所以，解得，故選：A4已知向量，，且實數(shù)，若A，B，C三點(diǎn)共線．則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】由三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為兩個向量共線，即共線，由向量共線的坐標(biāo)表示計算．【詳解】，，因為A，B，C三點(diǎn)共線，所以，則，解得或，，.故選：D.5.已知過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與焦點(diǎn)為的拋物線在第一象限交于點(diǎn)，與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入斜率公式求解即得【詳解】因為拋物線，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.因為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo).又焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的斜率為.故選：A.6.已知函數(shù)與直線在第一象限的交點(diǎn)橫坐標(biāo)從小到大依次分別為，則（）A. B.0 C.1 D.【答案】D【解析】【分析】先運(yùn)用輔助角公式將函數(shù)化為，再通過解方程，解出，最后計算即可.【詳解】，設(shè)，若，則，，即或，所以，因此，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是輔助角公式的運(yùn)用，二是換元思想的運(yùn)用.7.定義：為實數(shù)x，y中較小的數(shù)，已知，其中a，b均為正實數(shù)，則h的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用基本不等式得到，比較與的大小即可求出h的最大值【詳解】∵a，b均為正實數(shù)∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立∵當(dāng)即時，，故，當(dāng)時，綜上所述，的最大值為故選：C8.若不等式有且僅有三個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，作出的圖象為，則結(jié)合圖象，要不等式有且僅有三個整數(shù)解，取討論它們的大小，即可得到的范圍.【詳解】設(shè)，，由，得，當(dāng)x∈0,1時，f′x當(dāng)時，f′x<0，當(dāng)時，f′x>0，單調(diào)遞增，且，作出的圖象為，由，x∈0,+∞當(dāng)x∈0,1時，，即，當(dāng)x∈1,+∞時，，即，因為，，所以，而，即，則結(jié)合圖象，要不等式有且僅有三個整數(shù)解，只需即，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：A.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，至少有兩項是符合題目要求，若全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不選得0分）9.記等差數(shù)列的前項和為，公差為，若，，則（）A. B.的最小值為C. D.使的的最小值為11【答案】ABD【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項公式即前項和公式列方程組，即可判斷AC；求出，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可判斷B；解，即可判斷D.【詳解】對于AC，由題意可得，解得，故A正確，C錯誤；對于B，，所以，當(dāng)時，取到最小值，故B正確；對于D，令，即，解得或，因為，所以使的的最小值為11，故D正確.故選：ABD10.若隨機(jī)變量，，則（）A. B.C. D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】對于A，隨機(jī)變量滿足正態(tài)分布，且，故，故A正確；對于B，當(dāng)時，此時，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故單調(diào)遞增，故，即，解得，故D正確.故選：ACD11.如圖，在銳二面角的半平面內(nèi)有一個四邊形，點(diǎn)在上，，，和的面積均為，點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，則（）A.B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為D.二面角的大小為【答案】ABD【解析】【分析】先根據(jù)已知條件確定四邊形的幾何特征，得出四邊形是平行四邊形，且、都與垂直，再利用面面平行的性質(zhì)證明，利用為平行四邊形證明，再利用線線角、線面角、二面角定義逐一判斷B、C、D選項即可.【詳解】在四邊形中，設(shè)與相較于點(diǎn)，過向作垂線，垂足為，過向作垂線，垂足為因為和的面積均為，，所以，與中，，，，所以，所以，又因為，所以；在中，，，，在中，同理可證，又因為，所以、分別與、重合，所以四邊形是平行四邊形，且、都與垂直；延長交于，過作的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，連接、，，平面，平面，所以平面，又因為，同理可證平面，又，所以平面平面，又因為平面，又因為平面，所以；因為，，，所以，所以，又因為點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，所以，因為，所以，因為，所以，所以,又，所以四邊形為平行四邊形，所以，即，且，，故A正確；根據(jù)題意，直線與所成的角為，在中，，，，所以，所以，故B正確；鏈接，根據(jù)題意有，直線與平面所成的角為，在中，，，所以，，所以C錯誤；因為平面，平面，所以，，平面，平面，，所以平面，平面，所以，又因為，且二面角為銳二面角，所以二面角的平面角為，在中，，，所以，所以，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于：①先根據(jù)已知條件確定四邊形的幾何特征，得出四邊形是平行四邊形，且、都與垂直；②利用面面平行的性質(zhì)證明.三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.設(shè)雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為，若，則的離心率為_________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)的兩個關(guān)系，再由，求解離心率.【詳解】根據(jù)雙曲線的兩條漸近線的傾斜角為，則，又，所以，所以,故.故答案為：.13.已知正三棱柱中，，動點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，且．若點(diǎn)的軌跡長為，則該正三棱柱的體積為_________．【答案】【解析】【分析】本題涉及到正三棱柱的體積計算以及向量垂直的相關(guān)知識.首先需要根據(jù)向量垂直的條件求出點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)軌跡長求出正三棱柱的棱長，最后根據(jù)棱柱體積公式計算體積.詳解】過作yAC,以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則.設(shè)，，.則，.因為，所以，即.配方得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的四分之一圓.已知點(diǎn)的軌跡長為，因為軌跡是四分之一圓，半圓的弧長公式為（，為半徑）.這里，，解得a=2.正三棱柱的體積公式為（為底面三角形面積，為高）.底面正三角形的邊長，則，高.所以正三棱柱的體積.故答案為：.14.記不超過的最大整數(shù)為．若函數(shù)既有最大值也有最小值，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意取，則，將問題轉(zhuǎn)化在區(qū)間上既有最大值也有最小值，然后分，，，四種情況討論即可求出結(jié)果.詳解】取，則，所以函數(shù)既有最大值也有最小值，即在區(qū)間上既有最大值也有最小值，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，只有最小值，無最大值，不合題意，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，則，此時只有最小值，沒有最大值，不合題意，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，則，此時有最大值為，最小值為，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，只有最大值，無最小值，不合題意，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：通過令，得到，從而將問題轉(zhuǎn)化成在區(qū)間上既有最大值也有最小值來解決.四、解答題（本大題共5個小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.現(xiàn)有一種不斷分裂的細(xì)胞，每個時間周期內(nèi)分裂一次，一個細(xì)胞每次分裂能生成一個或兩個新的細(xì)胞，每次分裂后原細(xì)胞消失．設(shè)每次分裂成一個新細(xì)胞的概率為，分裂成兩個新細(xì)胞的概率為；新細(xì)胞在下一個周期內(nèi)可以繼續(xù)分裂，每個細(xì)胞分裂相互獨(dú)立．設(shè)有一個初始的細(xì)胞，從第一個周期開始分裂．（1）當(dāng)時，求個周期結(jié)束后細(xì)胞數(shù)量為個的概率；（2）設(shè)個周期結(jié)束后，細(xì)胞的數(shù)量為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）個周期結(jié)束后細(xì)胞數(shù)量為個,分以下三種情況，第一個周期分裂為個細(xì)胞，后面兩個周期均保持為個細(xì)胞，第二個周期分裂為個細(xì)胞，后面一個周期保持為個細(xì)胞，前兩個周期都保持為個細(xì)胞，第三個周期分裂為個細(xì)胞，依次計算即可得出結(jié)果；（2）求出的取值及不同取值對應(yīng)的概率，進(jìn)而列出分布列，利用期望公式求出期望.【小問1詳解】由題意可知，當(dāng)時，個周期結(jié)束后細(xì)胞數(shù)量為個,則設(shè)第個周期分裂為個細(xì)胞，之后一直保持為個細(xì)胞，第一個周期分裂為個細(xì)胞，后面兩個周期均保持為個細(xì)胞，故,第二個周期分裂為個細(xì)胞，后面一個周期保持為個細(xì)胞，故,前兩個周期都保持為個細(xì)胞，第三個周期分裂為個細(xì)胞，故，綜上可知，.【小問2詳解】個周期結(jié)束后，的取值可能為,其中,，，，所以分布列為.16.如圖，是半球的直徑，是底面半圓弧上的兩個三等分點(diǎn)，是半球面上一點(diǎn)，且．（1）證明：平面：（2）若點(diǎn)在底面圓內(nèi)的射影恰在上，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，可證為的中點(diǎn)且，可得，又，由線面垂直的判定可證；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法可求解.【小問1詳解】連接，因為是底面半圓弧上的兩個三等分點(diǎn)，所以有，又因為，所以都為正三角形，所以，四邊形是菱形，記與的交點(diǎn)為，為和的中點(diǎn)，因為，所以三角形為正三角形，所以，所以，因為是半球面上一點(diǎn)，是半球的直徑，所以，因為，平面，所以平面．【小問2詳解】因為點(diǎn)在底面圓內(nèi)的射影恰在上，由（1）知為的中點(diǎn)，為正三角形，所以，所以底面，因為四邊形是菱形，所以，即兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，取，則，設(shè)直線與平面的所成角為，所以，故直線與平面所成角的正弦值為．17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的極值；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍．【答案】（1）極小值為，無極大值.（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)可求函數(shù)的極值.（2）求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就、、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，故，因為在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在處取極小值且極小值為，無極大值.【小問2詳解】，設(shè)，則，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，故在上，即在上f′x<0即故在上，不合題意，舍.當(dāng)，此時在0,+∞上恒成立，同理可得在0,+∞上恒成立，不合題意，舍；綜上，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時還需要對導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)研究其符號特征，處理此類問題時注意利用范圍端點(diǎn)的性質(zhì)來確定如何分類.18.已知雙曲線的焦距為4，離心率為分別為的左?右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)都在上.（1）求的方程；（2）若，求直線的方程；（3）若且，求四個點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)結(jié)合題意可得結(jié)果；（2）設(shè)出直線的方程，直曲聯(lián)立表示出韋達(dá)定理，再結(jié)合得到，解出，即可求出直線方程；（3）結(jié)合已知作出圖象，設(shè)出直線和的方程，由弦長公式表示出弦長，再求出直線與間的距離進(jìn)而求出，最后求導(dǎo)分析其單調(diào)性再求出取值范圍即可；【小問1詳解】由題意可得，解得，故曲線的方程為，【小問2詳解】根據(jù)題意知直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，得，都在右支上，由，消去可得，易知，其中恒成立，，代入，消元得，所以，解得，滿足，所以直線的方程為，小問3詳解】Ax1,y1,Bx2,y2，，則分別在兩支上，且都在的上方或的下方，不妨設(shè)都在的上方，又，則在第二象限，在第一象限，如圖所示，延長交雙曲線與點(diǎn)，延遲交雙曲線于點(diǎn)，由對稱性可知四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍，由題設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由第（2）問易得，因為，所以，兩條直線與間的距離，所以，令，，所以，設(shè)，則，在上恒為減函數(shù)，所以在上恒為增函數(shù)，當(dāng)時即，取得最小值為12，所以當(dāng)且，則四個點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）本題第二問給出向量關(guān)系讓求直線方程時，常用直曲聯(lián)立，表示出韋達(dá)定理，再根據(jù)向量關(guān)系求出參數(shù)即可；（2）本題第三問再求四邊形面積的取值范圍時，先由弦長公式表示出一條邊，再由兩平行線間距離公式表示出高，最后再求導(dǎo)分析.19.已知數(shù)列滿足：，，，當(dāng)時，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）當(dāng)時，求證：；（3）求解方程：．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）令，即可得到，結(jié)合等差數(shù)列的定義求出an的通項公式；（2）依題意等價于證明，利用二項式定理證明即可；（3）由（2）可知，先證明，，即可得到當(dāng)時，從而得到時方程不成立，再列出，，，，時方程是否成立，即可得解.【小問1詳解】