平面向量數(shù)乘運算的坐標表示、平面向量數(shù)量積的坐標表示

高一數(shù)學《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破系列（人教A版2019必修第二冊）

6.3.4-6.3.5平面向量數(shù)乘運算的坐標表示、平面向量數(shù)量積的坐標表示

【考點梳理】

考點一平面向量數(shù)乘運算的坐標表示

已知a=（x,y）,則府=也工必，即：實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.

考點二平面向量共線的坐標表示

設。=的，力），b=（x2,y2）>其中6x0.,則a,b共線的充要條件是存在實數(shù)兒使。=lb.

如果用坐標表示，可寫為（xi，y“=Xx2,力），當且僅當x“2—乂2月=0時,向量a,饑6M）共線.

注意：向量共線的坐標形式極易寫錯，如寫成X1V1—X2y2=0或X1X2—出力=0都是不對的，因此要理解并熟記這一公

式，可簡記為：縱橫交錯積相減.

考點三：平面向量數(shù)量積的坐標表示

設非零向量a=（xi，力），6=（X2，力），。與b的夾角為

則ab=x1X2+yiy2.

（1）若a=（x,y）,則|0|2=*2+/或"I=、僅2+/.

若表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為（xi，yi）,（x2，/2），則a=9一xi,力一九），|o|=

y]x2—xiy2~yi%.

（2）a_Lb<?iX2+vi/2—0-

ab_______xiX2+y】y2

3C°S/a〃b/y]xl+yly]xi+yi'

技巧：向量夾角問題的方法及注意事項

abX1X24-V1V2

⑴求解方法：由8SR麗=布麗節(jié)直接求出8S&

a-b

⑵注意事項：利用三角函數(shù)值cos。求0的值時，應注意角。的取值范圍是0%的180°.利用cos9=面百判斷2的

值時，要注意cos改0時，有兩種情況：一是J是鈍角，二是B為180°;cos9>0時，也有兩種情況：一是9是銳角，

二是。為0。.

【題型歸納】

題型一：由坐標判斷坐標是否共線問題

1.（2021?全國?高一課時練習）若2=（6,6）,B=（5,7）,"=（2,4）,則下列結(jié)論成立的是（）

A.。二與B共線B.力+1與￡共線

C.2與力，共線D.￡+5與W共線

2.（2021?全國?高一課時練習）已知A（-1,0）,3（3,0），。0,1）,下列點。的坐標中不能使點A、B、C、。構(gòu)成四

邊形的是（）

A.0（2,-1）B.。（4,1）C.。（＜1）D.0（1,2）

3.（2021?江蘇淮安?高一階段練習）若向量￡=（1,2）,6=（2,3）,則與￡+6共線的向量可以是（）

A.（2,1）B.（6,10）

C.（-1,2）D.（-6,10）

題型二：由向量平行（共線）求參數(shù)

4.（2021?全國?高一課時練習）設不，&是兩個不共線的向量，若向量正=-可+?。╧eR）與向量元=務-2曷共線，

則（）

A.k=0B.k=lC.k=2D.k=~

2

5.（2021?全國?高一課時練習）設向量1（T,2）,，=（〃?」），如果向量"2%與平行，那么二I的值為（）

A.—B.—C.-D.一

2222

12

6.（2021?云南?昆明八中高一階段練習）已知a=（〃Ll,-l）,日=（",。,（機＞0,n＞0）,且a/歷,則一+一的最小值是

mn

（）

A.3B.3+20

C.4D.4+2夜

題型三：由坐標解決三點共線問題

7.（2021?上海?高一課時練習）已知4（—3,1）、C（2,3）三點共線，則x的值為（）

A.-7B.-8C.-9D.-10

8.（2021.江蘇?泰興市第三高級中學高一階段練習）已知麗=（-1,cose）,8c=（2,0）,麗=（2,2sina）,若A,B,

。三點共線，則tana=（）

A.—2B.—C.~D.2

22

uutiitiuum

9.（2021?全國?高一課時練習）已知向量。4=（人,12）,08=（4,5）,OC=（-）1,10）,且A,B,C三點共線，則上的

值是（）

A.--B.-C.yD.-

3323

題型四：由坐標解決線段平行和長度問題

10.（2021?遼寧丹東?高一期末）已知向量a=（cosasin。），^=（2,-1）,若列區(qū)，貝ljtan,+；卜（）

A.—3B.—C.—D.3

33

11.（2021?江蘇?星海實驗中學高一期中）已知AA8c的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,若向量機=（a,揚）

與〃=（8$45m3）平行，則A=（）

兀e兀一九一2兀

A.-B.-C.-D.—

6323

12.（2018?廣東?仲元中學高一期中）已知￡=（-1,6），下列向量中，與￡反向的單位向量是（）

A.（彳，亭B.（:與C.D?（；,爭

題型五：數(shù)量積和模的向量坐標運算

13.（2021.全國.高一課時練習）已知向量。=（2刈），,=（2,4）,若則忖-/；|=（）

A.75B.5C.275D.4亞

14.（2021?全國?高一課時練習）己知向量2=（1,2）,%（3,1）,貝IJ向量￡+2區(qū)與2展/的夾角的余弦值為（）

Ax/5RV13-2765n而

5136526

15.（2021?吉林?延邊二中高一期中）在AABC中，,豆+川。=?豆-44，AB=4,A32,E,尸為線段BC的三

等分點，則荏./=（）

A.與B.4

題型六：向量垂直的坐標表示問題

16.(2021.全國?高一課時練習)設向量4=(6,1),&=(x,-3),c=(1,-73).若5_L1,則”5與-的夾角為()

A.0°B.30°C.60°D.90°

17.(2021?重慶第二外國語學校高一階段練習)己知x,_yeR,向量a=(x,l),另=(l,y),c=(2,-4),且a_Lc,B//c,則

x+尸()

A.2B.0C.4D.-4

18.(2021?安徽?合肥市第八中學高一期中)已知向量￡=(*/),]=(-"),其中xeR,則“x=2”是“打戶的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要

題型七：向量垂直中的參數(shù)問題

19.(2021?甘肅?嘉峪關市第一中學高一期末)已知向量￡=(3,1),5=(1,0),c=a+kb.^aVc,則后=()

105_10

A.---B.—C.—D.—

3333

20.(2021?江蘇?南京市第一中學高一階段練習)設向量￡=(x,l)石=(l,y),Z=(2,-4),且n2,bHe,則

||?+^|=()

A.V5B.V10C.2加D.10

21.(2021?全國?高一課時練習)“勾3股4弦5”是勾股定理的一個特例.根據(jù)記載，西周時期的數(shù)學家商高曾經(jīng)和周

公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形ABC。中，△ABC滿足“勾

3股4弦5"，且AB=3,E為A。上一點，8ELAC若麗4麗+〃死，貝U的值為()

7D.1

題型八：向量坐標中的夾角計算問題

22.（2021?全國?高一課時練習）已知九R是單位向量，且￡+分=-JI,則向量Z與B夾角的余弦值為（

3x/5-4

8

23.（2021?全國?高一課時練習）已知1=（3,-1）,5=（1,2）,則下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（）

①與在同向共線的單位向量是乎，竽）

②1與5的夾角余弦值為受

5

③向量5在向量5上的投影向量為

A.1個B.2個C.3個D.4個

24.（2021.福建省漳州第一中學高一期中）在“A8C中，AB=AC=2,8c=26，動點P位于直線8c上，當而.而

取得最小值時，向量而與刀夾角的余弦值為（）

「V21

7

【雙基達標】

一、單選題

—>1—>—>

25.（2021?福建省寧化第一中學）在菱形438中，ZABC=120°,AC=郃,BM+-CB=0,DC=ADN'若

AM-AN=29'則”=（）

A.—B.—C.一D.一

8765

26.（2022?全國?）已知平面向量￡,瓦2滿足|4=2忖=日/=4,僅-￡>（C：+6）=-3,則卜的最小值為（）

A.72-1C.6-2D.幣-2

27.（2021?全國?）已知向量1=（2,1）,9=（3,4）,守=（2,2）,若則實數(shù)％的值為（）

28.（2022?全國?）如圖，在平面四邊形ABC。中，AB_LBC,A。J_CE）,NBAD=120。,=A￡>=2.若點E為邊CD上

的動點，則荏?麗的最小值為（）

D

29.（2021,福建省福州格致中學）騎自行車是一種既環(huán)保又健康的運動，如圖是某自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知

圖中的圓A（前輪），圓￡）（后輪）的半徑均為G，AABE、△BEC、AECD均是邊長為4的等邊三角形.設點尸為

后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，配.行的最大值為（）

A.48B.36C.72D.60

【高分突破】

一：單選題

30.（2021?北京石景山。如圖所示，邊長為1的正方形ABCD的頂點分別在x軸，），軸正半軸上移動，則而.玄

的最大值是（）

B.1+72

31.（2021?寧夏?青銅峽市高級中學（理））若點4（-2,宇）、B（0,y）、C（2,5）共線，則y的值等于（

32.（2022?全國?）己知AABC是邊長為3的等邊三角形，點。在邊BC上，且滿足|麗|=2|麗點戶在AABC邊上

及其內(nèi)部運動，則而?麗的最大值為（）

33.（2021?全國?（文））在矩形ABC。中，AB=4,AD=^3,點P在CD上,而=3定，點Q在BP上，AQAB=14,

則方?麗=（）

A.6B.8C.10D.12

34.（2021.北京市第二十二中學）已知向量B在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量。，5的夾角為（）

C.90°D.135°

35.（2021?河北邢臺?）已知向量方=（-2,1）,b=（l,t）,則下列說法不正確的是（）

A.若?！?，貝打的值為B.若|￡+昨|￡-向，貝"的值為2

C.|￡+引的最小值為1D.若￡與B的夾角為鈍角，則r的取值范圍是t<2

36.（2021.重慶市江津中學校）若鼻,最是夾角為60'的兩個單位向量，則￡=21+1與萬=-3冢+24■的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

37.（2021.河南?）已知向量2=（1,3）,5=（2,T）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.（a+b\llaB.卜+國=5

Q-rr

C.向量入坂的夾角為邛D.5在￡方向上的投影是亞

4

38.（2021?廣西桂林?（理））已知〃、b、。為“6。的三個內(nèi)角A、B、C的對邊，向量送=（6,-1）,n=（tanA,l）,

若而J,3，且acos8+hcosA=csinC,則角A、8的大小分別為（）

.71「24兀

A-鎮(zhèn)TB-T）?

C.3D.-

3633

39.（2021?河北巨鹿中學）已知向量0=（3,9）,ft=（lj）,且4與B的夾角為銳角，則實數(shù)女的取值范圍是（）

A.B.（-^,3）

C.D.(--,3)U(3.+°°)

40.(2021?黑龍江大慶(理))已知向量2=(1,6),U(w,l),下列說法正確的是()

A.Vme[0,+oo),￡與B的夾角不小于B.V/ne[0,+oo),^2a-y/3t^>y/l

C.3〃€(T?,0),使得(〃+即/BD.3/HS(^?,0),使得

二、多選題

41.（2021?浙江?杭州市富陽區(qū)場口中學）已知四邊形ABC。是邊長為2的正方形，戶為平面A8C。內(nèi)一點，則

（麗+麗）?（同+?。ǎ?/p>

A.最小值為TB.最大值為T

C.無最小值D.無最大值

42.（2021?吉林?梅河口市第五中學）若向量3=（石,3）,B=（〃,G）,下列結(jié)論正確的是（）

A.若同向，則〃=1

（nc

B.與￡垂直的單位向量一定是-半弓

C.若另在2上的投影向量為3"（"是與向量￡同向的單位向量），則〃=3

D,若2與石所成角為銳角，則”的取值范圍是〃>-3

43.（2021?湖北?）己知Z=（3,-l）,U（l,-2）,則下列說法正確的有（）

A.￡在B方向上的投影為右B.與公同向的單位向量是［嚕,-雪）

C.D.￡與坂平行

44.（2021.廣東?仲元中學）已知向量：=（2,1）,S=（-3,l）,則（）

A.￡與的夾角余弦值為半

B.{a+b^Ha

C.向量￡在向量B上的投影向量的模為畫

2

D.若"=乎，一2^,貝

45.（2021?全國全國?）已知向量2=（-3,2）,1=（2,1）,c=（A,-l）,2wR,則（）

A.若（4+2?_LC,則a=4

B.若￡=歷+￡,貝?。?+，=-6

C.|￡+〃母的最小值為平

D.若向量￡+5與向量M+"的夾角為銳角，則2的取值范圍是（田，-1）

三、填空題

46.（2021?四川?綿陽中學（理））已知同=1,向量7滿足,一同=分石，當向量而，G夾角最大時，卜卜

47.（2021?全國?）設向量￡石的夾角為。，且￡=（5,5）,25-￡=（-1,1）,則cosd=.

48.（2021?河北保定?）已知向量2=（41）,5=（-3,5）,且。與坂的夾角為銳角，則2的取值范圍是.

49.（2021?全國?）己知笳=（-1,-6）,場=（3,0）,點P在g［延長線上，且|兩|=［匾則加的坐標為,

四、解答題

50.（2020?廣東?東莞五中）已知半圓圓心為。，直徑A8=4,C為半圓弧上靠近點A的三等分點，若尸為半徑OC

上的動點，以。點為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示.

—.3—?1—.

⑵若*產(chǎn)一嚴‘求⑸與而夾角的大小;

（3）試確定點P的位置，使用.所取得最小值，并求此最小值.

51.(2021?北京景山學校遠洋分校)已知向量2=(1,2),向量1=(-3,2).

(I)求w和w；

(II)求(24+6〉(〃-石)；

(III)當％為何值時，向量￡+心與向量13很平行？并說明它們是同向還是反向.

__2__1Q__

52.(2021?安徽?蚌埠二中)已知kA8c中，A(-2,5),8(1,1),OC=-OA+—OB.

(1)求cosZABC：

(2)求-ABC的面積.

53.(2021?江蘇?金陵中學)設向量。=(3cosa,sina),5=(sin0,3cos/7),c=(cosp,-3sinP).

(1)若值與5-右垂直，求tan(a+0的值；

(2)求|方-的最小值.

【答案詳解】

1.C

解：2—2=(4,2),0^4x7-5x2=18*0,所以。，與坂不共線；

^+c=(7,ll),因為7*6—6x11=—24聲0,所以二1與￡不共線;

行一"=(3,3),因為3x6—6x3=0,所以￡與力，共線；

Z+B=(ll,13),因為11X4—2X13=18/0,所以￡+5與之不共線.

故選：C.

2.D

【詳解】

因為A(-l,0),8(3,0),C(0,l),顯然三點不共線,

y

2，%

De/

、、、、、義、、、/DB

、、、、/z

__1______|_____???.匕???1a

-4-3-212/3B4*

j、一z

-1-、、“'

Da

如圖在坐標系中可得選項ABC能構(gòu)成四邊形，

當0(1,2)時，而=(1/),苞=(2,2)=2祝，即此時A、C、。共線，不能使點A、B、C、。構(gòu)成四邊形.

故選：D

3.B

【詳解】

由已知￡+1=(3,5),只有(6,10)=2(3,5),即只有(6,10)與2+5平行.

故選：B.

4.D

【詳解】

因為不，&是兩個不共線的向量，且向量正=-耳+陶(&eR)與向量為=弓-2耳共線,

所以五=2幾即/+蝎=>(&_%),

f—1=—221

所以，，，解得

[k=/i2

故選：D

5.D

【詳解】

解：a+2b=(-1+26，4),2a-b=(—2—加,3),

所以(-1+2〃?)x3-4(-2-/n)=O,/./n=--.

2

所以b=-1x(—Q)+2=三.

故選：D

6.B

【詳解】

根據(jù)向量平行的坐標表示，//區(qū)時，”=?.?.〃7+〃=1

—11

—I—=—I—(/%+〃)=3H-----1----->3+2V2

mn\tnn)mn

當且僅當“=冽，即〃z=1,〃=2-&時取等號，所以選項B正確.

mn

故選：B.

7.B

【詳解】

解：因為4(—3,1)、B(x-l).C(2,3)

所以衣=(5,2),CB=(x-2,-4),因為A(-3,1)、B(x-1),C(2,3)三點共線,所以蔗〃而，即2(x—2)=Tx5,

解得x=-8

故選：B

8.A

【詳解】

由題意得麗=/+①=(4,2sina),AB=(-l,coscr),

又A,B,。三點共線，所以而〃而，即4cosa-2sina-(-l)=0,即sina=-2cosa,所以tana=-2.

故選：A.

9.A

【詳解】

AB=OB-OA=（4-k,-l）,AC=OC-OA=（-2k,-2）.

因為A,B,C三點共線，所以通，正共線，

所以—2x（4—%）=—7x（—2Z）,解得女=一：.

故選：A

10.C

【詳解】

因為:〃。所以一cos9=2sine,易知8S6W0,所以tan6=-g,所以tantan6+11

—=------------=—

4)1-tan3

故選：C.

11.B

解：因為向量機=（〃,，0）與〃=（cosA,sinB）平行，

所以asinB=GbcosA,

由正弦定理得，sinAsinB=百sin3cos4,

因為8w（0,萬），所以sinBwO,

所以sinA=石cosA,

因為cosAwO,

所以tanA=\/3,

因為Ae（O,;r）,所以4=三，

故選：B

12.B

因為與2反向，所以舍去A,C,D

因為（g,-手）的模為1,

故選：B.

13.B

【詳解】

由向量。二（2,m），b=（2,4）,a.Lh

A2X2+4XAW=0,所以6=一1,

:.a=(2,-1),a-b=(0,-5),即卜”同=5.

故選：B

14.D

【詳解】

2),5=(3,1).?.￡+2石=(7,4),2力=(-1,3),

,(￡+2萬).(2力)=7x(—1)+4x3=5忖+2q=獷+不=病,12力卜^-1)2+32=V10

...C小+2碗-%禺晝=5_5屈

底乂回一59—26,

故選：D.

15.C

【詳解】

△A8C中，|通+前|=|麗

AB2+2AB'AC+AC2=AB-2AB'AC+AC'

?'-AB-AC=O,

??AB-LAC，

建立如圖所示的平面直角坐標系,

由E,F為BC邊的三等分點,

2844

則A(0,0),B(0,4),C(2,0),E(-,”，F(xiàn)(-,

3333

?——/28、_/44

??AE=(—，]),AF=(~

.__~r^248440

33339

故選：C

16.D

【分析】

根據(jù)題意，513求出x的值，即可得5的坐標，進而可得5的坐標，即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意，設方與不的夾角為。，

B=(X,-3),C=b1c

則5l=x+3石=0,解得x=-36，

貝防=卜36-3),a-b=(443,4),

lj1iJ(a-^).c=(4>/3,4)-(l,-^)=4A/3-4x/3=0,

所以卜-5)，工，

故6=90°,

故選：D.

17.B

【分析】

根據(jù)￡1.23/無，利用向量坐標運算求解.

【詳解】

因為向量。=(》,1),至=(1,”?=(2,-4),且〃_1<:,坂〃。，

所以向量2x_4=0,2y+4=0,

解得x=2,y=-2,

所以x+y=0,

故選：B

18.A

【分析】

根據(jù)￡=(x,l),b=(-x,4)，由打人求得x，再利用充分、必要條件的定義判斷.

【詳解】

已知”=(x,l),b=(-x,4),

若a_LB,貝1l-x2+4=0，

解得x=—2或x=2,

所以“x=2”是“￡，廠的充分不必要條件，

故選：A

19.A

【分析】

依題意首先求出"的坐標，再根據(jù)得到7"=o,即可得到方程，解得即可;

【詳解】

解：因為￡=(3,1),^=(1,0),c=a+kb^所以c=〃+防=(3』)+Z(l,O)=(3+攵,1),因為￡1.3所以

々?c=3(3+攵)+1x1=0,解得k=一日,

故選：A

20.B

【分析】

先由3，人bHc，列方程求出x,y,從而可求出d+B的坐標，進而可求出歸+6

【詳解】

解：因為bIIcy

所以x+y=0,lx(-4)=yx2,則x=2,y=-2,

所以￡=(2,1),B=(1,_2),

則IZ+年用+㈠尸=Vio,

故選：B.

21.B

【分析】

_____9

建立平面直角坐標系，進而利用向量的坐標表示，設有值=(兄3),由急.礪=0可得”=1,再由麗=2赤+

利用坐標表示建立方程組求解即可.

【詳解】

解：由題意建立如圖所示直角坐標系

因為AB=3,BC=4,則8(0,0),A(0,3),C(4,0),

麗=(0,3),AC=(4,-3),設麗=(a,3),

因為BE_LAC,

_,_9

所以AC-8E=4。-9=0，解得

4

__a

由麗k=/1屁+〃/，得(0,3)=2(13)+〃(4,-3),

所以9卜一+"=八°'解得義一，

.3/1-3〃=3,〃=一五，

7

所以2+A=—■，

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了向量的坐標運算及向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.

22.A

【分析】

根據(jù)平面向量夾角坐標公式求解即可.

【詳解】

由題意可知，卜+=“-+2a,b+。一=1+2x1x1.cos匕）+1=（萬）+l=］，

則解得cos（a,B）=-|

故選：A

23.C

【分析】

根據(jù)單位向量、向量夾角的余弦值、投影以及向量垂直的定義逐個驗證即可.

【詳解】

b(石2石)/

解：Hi=，故①正確；

搟I55)

ab1V2

R=麗=而^=而‘故②錯誤；

向量五在向量8上的投影向量為同,cos(a@g=得x號,2當=(d)'故③正確;

(l-1515=(3-：)xl+(-l_|Jx2=0,故④正確；

故選:C.

24.D

【分析】

日時,

以8c的中點為坐標原點建立平面直角坐標系，設P(?,0),ae[-6,6]，結(jié)合向量的坐標運算得出當a=

Q.而取得最小值，再由數(shù)量積運算得出向量而與而夾角的余弦值.

【詳解】

以3c的中點為坐標原點建立如下圖所示的平面直角坐標系

A=(0,l),B(-G,0),C(G,0),設尸(4,0),4€[-0，石]

■.■AP=(a,-l),PB=(a+>/3,0

:.APPB=a2+yf3a^a+^"當…正時，麗?麗取得最小值為

J424

此時網(wǎng)［圖+1等

3

?3"，孫網(wǎng)舄二-4_V21

也下一7

22

故選：D

25.D

【分析】

作出圖形，建立如圖所示的平面直角坐標系,設N(x,y),得到M是8C的中點，根據(jù)已知求出—1),再根據(jù)

2

AM-AN=29即得解?

【詳解】

作出圖形，建立如圖所示的平面直角坐標系,設N(x,y),因為AC=2?ZABC=120BO=1,

TITT->—>

因為8M+5cB=0,所以8^=58。,即M是8C的中點,

所以4(-若,0),M(坐,1),0(0,-1),C(石,0),

22

所以4力=(|6,；),慶=(6,1)=2屈=〃%〉+1),由題知；IwO.

yFx1TT31

故N(J——1),.-.AM-AN=-+4=29,:.A=-.

AAA.5

故選：D

26.D

【分析】

根據(jù)已知條件可得W=4,同=2,(詞設方=￡=(2,0),OB=h=(2,2yf3),鴕=；伍封，可得點C(x,y)

的軌跡為圓，由圓的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

因為忖=2忖=a/=4,所以W=4,1d=2,

熊［=￡《，因為0?癡)4加，所以,@后，

設OA=o=(2,0),OB=B=(2,2>A),OC=c=(x,y),

c-4Z=(x-2,y),c4-^=(x4-2,2x/3+y),

所以e-2)(c+今=(x-2)(x+2)+乂26+y)=-3,

即x?+(y+G)=4,

所以點C(.y)在以M(0,-G)為圓心，半徑r=2的圓上，

|1￡卜"(二2)2+/表示圓一+(y+6丫=4上的點(x,y)與定點4(2,0)的距離,

所以,一0的最小值為|M4|-r=^(0-2)2+(-73-0)2-2=療-2,

故選：D.

27.C

【分析】

先求出22-5=(1,-2),再解方程以2-(-2)或=0即得解.

【詳解】

由題得22-5=(4,2)-(3,4)=(1,-2),

因為(22-5)佗，

所以lx2_(_2)x%=0,.?M=_l.

故選：c

28.D

【分析】

以。為原點，以C4所在的直線為x軸，以。C所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，求出各點坐標，設灰0,加）,

用數(shù)量積的坐標表示求出數(shù)量積，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得最小值.

【詳解】

如圖所示，以。為原點，以。A所在的直線為x軸，以。C所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖，

過點8做切V_Lx軸，過點B做軸，

VABYBC,ADVCD,ZBAD=120°,AB=AD=2,

，AN=ABcos60。=1,BN=ABsin600=y/3

￡W=2+1=3,:.BM=3,VGW=MBtan30°=6

：.DC=DM+MC=2^,AA（2,0）,8（3,V3）,C（0,2⑹，設E（0,/n）,

二AE=（-2,m）,BE=（一3,〃？-G）.0w機42拒；

AE-BE=6+m2--/im=+6--=m-^-+—,當=■時.

I2J4I4J42

取得最小值為421.

4

故選：D.

29.D

【分析】

以點A為坐標原點，AD所在直線為無軸建立平面直角坐標系，設點P（8+Gcos9,6sin。），利用平面向量數(shù)量積

的坐標運算以及輔助角公式可求得正.赤的最大值.

【詳解】

以點A為坐標原點，AO所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如下圖所示:

因為zMBE、ABEC、AECZ)均是邊長為4的等邊三角形，

則A(0,0)、B(2,2月)、C(6,26)、0(8,0),設點P(8+6cos&百sin。)，

貝I」衣=僅,2百)，AP=(8+x/3cos6?,^sin<9),

所以，AC-AP=48+6V3cos6?+6sin6?=12sinp+y^+48e[36,60].

故選：D.

30.A

【分析】

令/。4。=，，由邊長為I的正方形ABC3的頂點A、。分別在x軸、丫軸正半軸上，可得出5,C的坐標，由此

可以表示出兩個向量，算出它們的內(nèi)積即可.

【詳解】

解：令/。4D=e,由于AD=1,故。4=cos。，OD=sin0,

/RAx=^-0,AB=\,故Xp=cose+cos(]-e)=cos9+sin，，yB=sin^y-0^=cos0,

故OB=(cos0+sin9,cos6),

同理可求得C(sincos。+sin6),即OC=(sin6,cos6+sin6),

...OB^OC=(cos6^+sin<9,cos，)(sin。，cos〃+sin。)=l+sin2。，

麗?反=l+sin2。的最大值是2,

故選：A.

31.C

【分析】

首先根據(jù)已知條件，首先求出幾，人"的坐標表示，然后利用三點共線的向量表示即可求解.

【詳解】

由題意可知，幾=(2,y+3)，AC=(4,8)-

因為A(-2,-3)、8(0,y)、C(2,5)共線,

故油=2左，即(2,y+3)=(4482),

解得，A=y=l.

故選：C.

32.C

【分析】

建立適當?shù)淖鴺讼?，然后用向量?shù)量積公式得標.市,最后用線性規(guī)劃的知識求得最大值.

【詳解】

如圖，以A為坐標原點，而所在的方向為X軸正方向，建立直角坐標系，

3

所以，4(0,0),8(3,0),C(-,

2

—/l—\UUU

設P(x,y),貝!]AO=(2,g),AP=(x,y),

所以而至二？/。,

由直線AO：y=+x,直線8C：y=->/3x+3V3,

因為點尸在AABC邊上及其內(nèi)部運動，由線性規(guī)劃可得，

當點戶與C重合時，通.而取值最大為

33.D

【分析】

畫出圖形，建立坐標系，求出P的坐標，然后求解。的坐標，然后求解向量的數(shù)量積即可.

【詳解】

建立如下圖的坐標系，在矩形A8CQ中，A8=4,AD=6,又點P在CD上,DP=3PC>由已知得

P(3,G),8(4,0),A(0,0),

點。在8P上，過點。作QSAB于點￡又通.通=14,所以荏.通=14,即囤?網(wǎng)=14,

所以|祠=<,EB=；,NQ8A=g,所以QE=無，所以

2232

所以而.通=3xg+Gx￥=12.

故選：D.

【分析】

設小正方形邊長為1,則)=(3,1),丐=(1,2),由夾角公式可求得結(jié)果.

【詳解】

設小正方形邊長為1,由平面向量的坐標表示可得：=(3,1),石=(1,2),

八ab3xl+lx2V2_.

設兩向量夾角為凡則8$6=麗=而訪=3,又?WO,句，所以。=45.

故選：A.

35.D

【分析】

根據(jù)向量平行、模、夾角等知識確定說法不正確的選項.

【詳解】

A選項，若。〃),則-2x/=lxlnf=-g,A選項說法正確.

B選項，若|￡十年|々-石|,兩邊平方并化簡得7B=0，即-2+/=0=/=2,B選項說法正確.

C選項，\a+b\=|(-1,1+/)|=+1)2+1,當1=-1時，有最小值為1,C選項說法正確.

-2+r<07<2

ab<0

D選項，若￡與坂的夾角為鈍角，則=>S1n1D選項說法不正確.

-2xtw1x1t牛一t?！?/p>

22

故選：D

36.C

【分析】

不妨設之=(1,0)，岑，貝而=|，*|，坂=(-2,6)，進而由夾角公式可求得結(jié)果.

【詳解】

不妨設q=0,0),e?=,則a=2q+e2=,五=-3q+2e?=卜2,@,

所以“石=

設的夾角為。，則cos0=,又6e[0,句，所以9=120".

故選：C.

37.C

【分析】

利用向量數(shù)量積、模、夾角、投影等知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.

【詳解】

對選項A,￡+否=(3,—1),因為(3,—1〉(1,3)=3—3=0,

所以故A錯誤；

對選項B,a+2^=(5,-5),

所以歸+2*6+(-5)2=5&,故B錯誤；

對選項C,衣”)=麗=而而=-3，

所以向量坂的夾角為9371,故C正確；

4

對選項D,6在￡方向上的投影是陣。$,,與=2后*[_孝=-710,故D錯誤.

故選：C

38.A

【分析】

7TTT

根據(jù)而JUG可得4=/，再化簡acosB+Z?cosA=csinC可得C=7,進而得出8即可

62

【詳解】

由機_1_〃可得/%?〃=()，即GtanA—1=0,BPtanA=——,又A為△ABC的內(nèi)角，

3

所以角A=J,

6

因為acos3+力cosA=csin。，由正弦定理得

sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC=>sin(A4-S)=sin2C,又sin(A+B)=sinC。0,故sinC=1,C=—

所以B=〃_C_A=2

3

故選：A

【點睛】

(1)平面向量/M_L〃可得w=0;

(2)關于解三角形的化簡，常用正弦定理進行邊角互化，結(jié)合三角恒等變換與內(nèi)角和、誘導公式化簡

39.D

【分析】

由已知得了5>0且G與5不平行，根據(jù)向量的坐標運算可得選項.

【詳解】

因為a與5的夾角為銳角，所以不出>0且々與5不平行，即3xl+9x%>0且女工9,解得且憶片3,

所以實數(shù)&的取值范圍是(-；,3)U(3,+8),

故選：D.

40.D

【分析】

根據(jù)向量坐標運算的知識，對選項逐一分析即可.

【詳解】

因為向