高一年級(jí)下冊期末答題33道（解析版）

高一下學(xué)期期末答題33道

一、解答題

1.(2021?浙江一期末)已知向量〃=.

122J

⑴求與￡平行的單位向量了；

⑵設(shè)*=。+(產(chǎn)+3)及亍=一公加+石，若存在畿。2],使得;成立，求人的取值范圍.

【解析】

【分析】

(1)待定系數(shù)法設(shè)坐標(biāo)后列方程組求解

(2)由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡，轉(zhuǎn)化為方程有解問題

(1)

尤2+9=1

設(shè)、(x,y),根據(jù)題意得廠■

yl3y+x=0,

_V3

二或4M

解得2或,

片一展

(2)

:a=(G,T),B=.B=0.

-.■x±y,:.-kt\afC+(t2+3)\b^=0.--\a\=2,\b[=],

.?/-4笈+3=0.問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的二次方程*_4笈+3=0在。2]內(nèi)有解.

令/⑺=/-4"+3,

①當(dāng)2鼠0,即鼠0時(shí),/⑴在。2］內(nèi)為增函數(shù),/(0)=3

方程?-4股+3=0在。2］內(nèi)無解.

②當(dāng)0<2鼠2,即0〈晨1時(shí)，由A=16人二12..0,解得鼠一日或后若,；.等k?l.

③當(dāng)2左>2,即左>1時(shí)，/⑺在［0,2］內(nèi)為減函數(shù)，由八2),,0得4一8左+3,,0.解得為…。">1.

O

綜上，實(shí)數(shù)人的取值范圍為￡~,+8.

2.(2014?浙江寧波?高一期末)已知工友工是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中)=(1,2)

⑴若口=2若，且；求"的坐標(biāo)；

(2)若心且，且￡+25與垢-3垂直，求￡與獨(dú)的夾角&

2

【答案】(1)"=(2,4)或"=(-2,-4)

(2)6="

【解析】

【分析】

(1)設(shè)c=(尤,y),由a//c和］=2j5,可得｛22_,

Ix+y—2X)

解方程組可得答案；

(2)由(2+呀,而-可得2同+3心￡-2時(shí)=0,求出

代入向量夾角公式可得答案.

(1)

設(shè)"=（尤,y）,0|C|=2A/5,laJd+V=2g,

0x2+y2=200

l-X-2-y=Q

由allc和口=2百,可得

x2+y2=20'

x=2,,x=-2

解得,或

y=4y=-4

故c=（2,4）或c=（-2,-4）.

⑵

回（a+2?_L（2a-B）,團(tuán)（a+2后）.（2°-日）=0,

即2,）2+3B.￡-2e）2=0,

HI2x5+36.a—2x：=0,整理得5.a=-：,

回COS0=蕭=-l□又〃e[o,zr],回。=萬.

3.（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)高一期末）在如圖所示的平面圖形中，已知OM=1,ON=2,

UUUUUIU____.____>

BM=2MA，CN=2NA，求：

⑴設(shè)配=%麗+,兩，求1+y的值;

（2）若兩■〃西，且〈OM,ON〉e,求荒.泥的最小值及此時(shí)的夾角〈兩，兩〉.

【答案】⑴0

（2）弱泥的最小值為讓4〈兩，西〉為也

26

【解析】

【分析】

（1）由向量的減法公式團(tuán)=衣-麗，結(jié)合題意和平面向量共線定理，即可求得

BC=-3OM+3ON，進(jìn)而求出結(jié)果；

（2）記夕=〈兩"，麗〉e，因?yàn)辂?〃函，所以NCVO=/MON=e,設(shè)及=x麗，

_63_

根據(jù)平面向量加法理和平面向量共線定可得荏=（3-2）麗7-3兩，進(jìn)而求得

通?/=［（3—2）兩一3兩）（一力兩），化簡整理可得荏?衣=川+（6cose-3）；l,再根

據(jù)二次函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.

（1）

UULlUUIU____.___.

解：因?yàn)锽W=2MA，CN=2NA>

所以瑟=/一荏=3畫一3次=3麗=一3麗+3兩，所以x=-3,y=3,

即x+y=0.

（2）

解：記6=〈麗，麗〉e，

63_

因?yàn)閮?〃國，所以NCNO=NMON=6,

"&CA=AOM,則荏=恁+函=_幾兩+3（兩一兩）=（3-2）兩_3兩,

所以而.*=［（3叫兩-3兩］（_；1訊）=_2（3叫詞,+3麗.兩

=（22-3Z）|OM|2+3|OM|-|O2v|cos6?

—A1—32+62cos^=22+（6cos，一3）丸

當(dāng)2=_6coy-3時(shí),無+（6cos。-3）4取最小值，即最小值為一（6c°s。-3）一,

24

_八TC7T［。,3省-3］,所以一回7L

又67-,所以6cos6-3e

（6COS0-3）2J9V3-18-

即------------W------------,U,

42

所以器淺的最小值為巫巴此時(shí)〈兩兩〉為］

26

4.（2018?浙江紹興?高一期末）如圖，梯形ABCD,AB//CD,AD=DC=CB=^AB=2,

E,F分別是BCBO的中點(diǎn)，AE與8。相交于G.

（1）以麗，而為基底，表示修，通；

（2）^AG=AAE,DG=juDB,求X+〃的值;

⑶求XS?麗.

___1__kk.3__.i__.

【答案】（1）而=5（而+而），AE=-AB+-AD

⑵:

【解析】

【分析】

（1）直接利用向量的線性運(yùn)算和基向量的線性表示即可求解;

（2）利用題中的比例關(guān)系建立關(guān)系式，進(jìn)一步利用基向量的對應(yīng)關(guān)系求出彳+〃的值;

-TT

(3)取線段A3中點(diǎn)//,可推出△曲為等邊三角形，即可求出入=再利用向量的

線性表示和向量的數(shù)量積即可求解.

(1)

在梯形A3CD中，AB//CD,AD=DC=CB=~AB=2,

2

E,尸分別是BC,8。的中點(diǎn)，4E與8。相交于G,

EAF=-(AB+A5),FE=-DC^-AB,

224

_.__,___i____1__3____.1__?

^\AE=AF+FE=-(AB+AD)+-AB=-AB+-AD；

(2)

SFE=-DC=-AB,

24

—?—?4—?—.—?4—?

^]AG=4GE=-AEfBG=4GF=《BF,

^AG=AAE,

團(tuán)丸二二，

—?4—?

回尸分別是8。的中點(diǎn)，BG=《BF,

SDF=-DB,FG=-FB,^FG^—DB,

2510

SDG=DF+FG=^+^DB=^DB,

SDG=juDB

37

ffl〃=1,即4+〃=1.

(3)

取線段AB中點(diǎn)貝l]8H=AH=2.

SAB//CD,CD=2,

SBH//CD,BH=CD,即四邊形為平行四邊形,

^DH=BC=2,

BAH=2fAD=2f

TT

回聞汨為等邊三角形，即

EIAB-A5=|AB||A5|COSZZ)AB=4X2X1=4

__,__.A__._______3__.1__.

^\AGAB=-AEAB,AE=-AB+-AD,

542

回運(yùn).而=常通+；呵.荏=|研+|彷麗=當(dāng)+|=三.

5.(2021?浙江紹興?高一期末)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且

2c—a=2bcosA,〃=3.

（1）求B的大??；

（2）若a=6，求AABC的面積;

（3）求上的最大值.

a+c

【答案】（1）B=[；（2）|V3；（3）最大值為J

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可；

(3)根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

(1)因?yàn)?c-a=2bcosA,=

sinAsinBsinC

所以2sinC-sinA=2sinBcosA,

所以2sin(A+3)—sinA=2sin3cosA,

所以2sinAcos5—sinA=0,

]7T

因?yàn)锳w(O,1),sinAwO,所以cos5=-,可得B.

23

(2)因?yàn)閆?2=/+02—&,所以，一超c-6=0,所以c=2百，

所以△ABC的面積為S=-acsinB=^^-.

22

(3)由〃2+°2一々°=9,得(。+。)2=9+3QC,

因?yàn)閍cW("+c)一，所以m+c)249+g(a+c)2,所以3<a+cW6(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時(shí)取等

44

號(hào)).

設(shè)r=a+c,則/?3,6],所以旦=匕2,

Q+C3t

、…/、產(chǎn)-91(9)

設(shè)/⑺=——=-t—,

3t3(t)

則/(?)在區(qū)間(3,6]上單調(diào)遞增，所以的最大值為/(6)=1,

所以，旦nr的最大值為:3.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用基本不等式結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?浙江?高一期末）AABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,2asin￡=5/3/2

（1）若44SC為銳角三角形，其面積為±8,c=2,求。的值;

2

（2）若（6-a）（Z>+a）=，求tanC的值.

【答案】（1）77；（2）B.

2

【解析】

【分析】

（1）結(jié)合已知條件和正弦定理先求解出A的值，再根據(jù)三角形的面積公式求解出力的值，

最后根據(jù)余弦定理求解出。的值；

（2）根據(jù)已知條件先用仇。表示出片,然后利用余弦定理表示出cosA,由此求解出”,b,c之

間的倍數(shù)關(guān)系，結(jié)合倍數(shù)關(guān)系即可計(jì)算出sinC=gcosC的值，即可求得tanC的值.

2

解：02osinB=>/3b>ffl2sinAsinB=A/3sinB=>sinA=—,A=60°或120°

2

(1)0S△A,o?Cr=—2Z?x2sinA=2,nb=3

a12=22+32-2x2x3cos60°,=〃=近

(2)(Z?-a)(Z7+?)=^c2,=>d:2=b2~~c2=b2+c2-2bccosA

=>2bcosA=—c,=>cosA=——>0,回A=60°,b=—c

24b2

EZ>=1c,sinB=sin（120°-C）=|sinC,nsinC=*cosC,tanC=^

7.（2021?浙江?高一期末）目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是

廣袤平原，處處都能見到5G基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測對面山項(xiàng)上的

一座5G基站已知基站高AB=50m,該同學(xué)眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學(xué)

在初始位置C處（眼睛所在位置）測得基站底部8的仰角為37。，測得基站頂端N的仰角為

45°.

（1）求出山高（結(jié)果保留整數(shù)）；

（2）如圖，當(dāng)該同學(xué)面向基站N5前行時(shí)（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置M處

（眼睛所在位置）到基站所在直線的距離地＞=加1,且記在〃處觀測基站底部2的仰

角為a,觀測基站頂端/的仰角為尸.試問當(dāng)x多大時(shí)，觀測基站的視角最大?參考數(shù)

據(jù)：sin8°?0.14,sin37°?0.6,sin45°?0.7,sinl27°?0.8.

【答案】（1）152m；（2）x=100&m.

【解析】

【分析】

（1）在AABC中，由正弦定理求出BC,即可求出進(jìn)而求出；

（2）根據(jù)題意得出tan/AMB=tan（￡-a）,列出關(guān)于x的式子，利用基本不等式可求出.

解：（1）由題知/ACB=8。,=45°,

ABBC即旦=上

在AABC中，由正弦定理得

sinZACBsinZBACsin8°sin45°

50x0.7

所以BC”=250

0.14

在RMBZX:中，sinZBCD=——，即sin37"=——，所以3￡>=250x0.6=150,

BC250

所以山高BE=3D+止=150+1.5=151.5a152m.

(2)由題知=ZBMD=a,則在中，tana=——=—,

在HA4AZD中，tan[3=-----=------,由題知NAAe=/—

MDx

200150

tan/7-tanor

貝|tanZAMB=tan(6-a)=1%

1+tan6Ztan/3200150%2+30000

11T-------------

XX

50v5050_6

%?30000-30000-2006~12，

當(dāng)且僅當(dāng)了=迎效即丈=1006加時(shí)，tanZACB取得最大值，即視角最大.

8.(2021?浙江?高一期末)已知日二(2sin%,cos2%),5=(石cos%,2),f[x)=a-b.

(1)求/(%)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；

jr

(2)求函數(shù)在區(qū)間0,-上的最大值和最小值.

TT27r

【答案】(1)最小正周期為萬，單調(diào)減區(qū)間為-+k7r,—+k7r,keZ.(2)最大值為3,

O3_

最小值為0.

【解析】

【分析】

(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡，再利用整體的思想.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果及x的范圍求出2x+J的范圍，從而計(jì)算出函數(shù)的最值.

6

解：(V)a=(2sinx,cos2x),b=(A/3COSX,2),

由f(x)=d-b=2A/3sinxcosx+2cos2x

=^3sin2x+cos2x+l=2sin(2x+—)+1,

??J(x)的最小正周期T=t=%,

由2人〃■+工(2x+—<—+2^,^eZ,

262

TT2冗

得：—+kyi<x<------1-kn,k^Z,

63

-IT24

??J(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-+k7T,—+k7r,keZ；

(2)由xe0,3可得：2x+?e卷,?,

2JoLoo

當(dāng)2元+￡=g時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值為2s位?+1=0,

666

當(dāng)2x+J=g時(shí)，函數(shù)取得最大值為2s山1+1=3,

622

JT

故得函數(shù)“X)在區(qū)間0,-上的最大值為3,最小值為0.

TT

9.(2020?浙江紹興?圖一期末)在AABC中，CA=6,AB=S,ZBAC=~,。為邊BC中點(diǎn).

2

(1)求麗?麗的值；

(2)若點(diǎn)尸滿足加=彳百(％eR),求麗.玩的最小值；

(3)若點(diǎn)尸在ZB4C的角平分線上，且滿足西=加麗+"玩O/eR),若1W〃W2,求|西

的取值范圍.

【答案】(1)14；(2)-9；(3)［馬亞,8忘］.

【解析】

【分析】

建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可；

（2）利用平面向量共線的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、配方法進(jìn)

行求解即可；

（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合平面向量共線的坐標(biāo)表示公式、加法的坐標(biāo)表示公式、平

面向量模的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.

以AC,AB所在的直線為尤,y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

(1)因?yàn)辂?(3,4),而=(一6,8),所以麗?麗=3x(-6)+4x8=14；

（2）因?yàn)辄c(diǎn)P滿足方=,所以點(diǎn)尸在橫軸上,

設(shè)尸（x,0）,貝lj而?定=（_尤,8）-（6-匕0）=-尤（6-無）=（尤-3）2-9,

所以而?定的最小值是-9

（3）因?yàn)辄c(diǎn)尸在za4c的角平分線上，所以設(shè)尸

因?yàn)槲?mPB+nPC可以表示為(-a,-a)=m{-a,8-a)+“(6-a,-a),

(—a=6n—am—an324〃

所以有：1n6〃=8mnm=—nna=--------,

—a=8m—am—an47n-4

網(wǎng)二碼《叫薩小0T2H4

n

11441112424

l<n<2^-<-<1^>2<-<4^3<7——<5^-<——-<-^—<——-<8,

2nnn5,435^4

nn

「24廠l]

所以I而I的取值范圍是y72,872.

10.（2021?浙江溫州?高一期末）如圖，在梯形ABCD中，AB=2DC,E,尸是DC的兩個(gè)

三等分點(diǎn)，G,H是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，線段2C上一動(dòng)點(diǎn)尸滿足加=4而（04X41）,AP

分別交EG,FH于M,N兩點(diǎn)，記麗=￡,AD^b.

DEC

(1)當(dāng)％=5時(shí)，用a，b表小AP-

(2)^MN=iuAP,試寫出2和〃的關(guān)系，并求出〃的取值范圍.

—?3-1--3(2-2)31

【答案】⑴AP=la+2b⑵〃6)’"

lO'S

【解析】

【分析】

（1）利用向量的線性運(yùn)算即可求解,

1-1A,

（2）利用三點(diǎn)共線得到，AM=xAE+（l-x）AG=xb+

36)

2_J_

AN=yAF+(1-y)AH=yb+y\a,再利用BP=ABC,MN=^iAP,AN\\AM,得到

3-3

之間的關(guān)系，用4表示〃，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解取值范圍即可

1—.1—.

解：(1)當(dāng)2=5時(shí)，BP=-BC,則

AP=AB+BP=AB+-BC

2

=AB+^(BA+AD+DC)

>1?1?

=AB+-(-AB+AD+-AB)

22

1ABLAD

=4+2

3-1一

=-a+-b

42

—?3-1-

所以AP=—。+—6

42

(2)連接AE,A方，則

AE=A.D-\—DC=bT—x—a=—a+b,

3326

—?—?2—?一2

AF=AD+-DC=b+-

3323

因?yàn)橥進(jìn),G三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線,

所以AM=xAE+(1-x)AG=xb+

36J

AN=yAF+(l-y)AH=yb+14^r

21

------y

因?yàn)辂恷|赤，所以』=R—，得千=2元一》

%--x2

36

因?yàn)辂?彳就，所以通一衣=〃/一荏),

所以Q=麗=xB+(i_,而，

麗=麗_而=(y—x歷++

因?yàn)辂?〃麗,

y-x=A^u

y=2%一6〃+2

所以■1112〃，即

------y+—x=u-------%=辦一6〃+2

〔3362

所以(4_3)(2-6)/?+(32-6)〃=0,

-3(2-2)-3

因?yàn)椤╳。，所以解得“一(4-3)(4-6)4

(2-2)+--5

71—2

因?yàn)榱Α炅睢?4—2,則，￡〔-2,-1],

44

因?yàn)閂=，+—在上單調(diào)遞減，所以丁=，+—￡[-5,-4],

tt

所以〃力「3近工r，

-311

所以〃的取值范圍為—

11.（2021?浙江溫州?高一期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4，z,對應(yīng)的點(diǎn)分別為。，-2）,（-2,1）.

（1）求4-Z2的值；

（2）若與是關(guān)于x的方程Y+px+q=。的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)〃，q的值.

【答案】（1）-4+3z.（2）。=一2,4=5.

【解析】

【分析】

（1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合共朝復(fù)數(shù)的定義，即可求解；

（2）根據(jù)已知條件，可得實(shí)系數(shù)的一元二次方程的兩虛根為共軌復(fù)數(shù)，再結(jié)合韋達(dá)定理,

即可求解.

（1）???復(fù)數(shù)4，z?對應(yīng)的點(diǎn)分別為（1,-2）,（-2,1）,

Z]=1—2i,z?=-2+z,

z?——2—i,

Zj-^=(1-20(-2-0=-2-Z+4/+2;2=^+3z.

（2）?.,4是關(guān)于苫的方程/+°芯+4=。的一個(gè)根

易知[=(1,2)也為方程尤②+px+q=0的一個(gè)根,

「?4+Z]=2=_p,Z]?Z]=5=p,

P=-2,q=5.

12.（2021?浙江?高一期末）已知復(fù)數(shù)z滿足目=0,z2的虛部為2,

（1）求復(fù)數(shù)z；

（2）若復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且復(fù)數(shù)機(jī)滿足I〃LZ|=1,求M的最大

值和最小值.

【答案】（1）z=l+i或z=-L—i;（2）最大值0+1，最小值0-1.

【解析】

【分析】

（1）^z=a+bi[a,b^R）,根據(jù)已知條件列出。涉的方程組，求解出。涉的值，則復(fù)數(shù)z可

求；

（2）根據(jù)已知條件先確定出z,然后根據(jù)|m-z|=1確定出復(fù)數(shù)加在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡

為圓，由此求解出帆|的最值.

⑴設(shè)z=a+砥a,6eR）,因?yàn)閨z|=0,所以，^+廿=夜,

又因?yàn)閦?=（a+4丁=（〃_62）+2%,z?的虛部為2,所以2必=2,

{a2+b2=2fa=l[a——1

所以〃1,所以q[或匕r

[ab=l[b=l=

所以z=l+i或z=—1—i；

（2）因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，所以z=l+i,

設(shè)加=4+、。,、€尺），因?yàn)閨m-z|=l,所以=],所以+（y_]）2=],

所以復(fù)數(shù)加在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以（1,1）為圓心，半徑為1的圓，

所以吊=7i2+i2+i=V2+i,|；77|=Vi2+i2-1=V2-1.

IImaxIImin

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：常見的復(fù)數(shù)與軌跡的結(jié)論：

（1）|z-zo|=r（r>O）：表示以z0為圓心，半徑為r的圓；

（2）|z-z1|+|z-z2|=2a（<7>0J=L2a=|z1z2|）：表示以4,z2為端點(diǎn)的線段;

（3）|z-z1|+|z-z2|=2<7（a>0J!L2a>|z1z2|）：表示以4,均為焦點(diǎn)的橢圓;

（4）||z-z1|-|z-z2||=2<7（a>0J.0<2<7<|Z1Z2|）：表示以4,z?為焦點(diǎn)的雙曲線.

2

13.（2021?浙江?高一期末）已知復(fù)數(shù)z=a+i（q>0,皿R）,，為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z+—為實(shí)數(shù).

z

（1）求復(fù)數(shù)Z；

（2）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)（〃?+z）2對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】（1）z=l+i；（2）（0,+x）.

【解析】

【分析】

（1）利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的分類即求解.

（2）利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.

（1）因?yàn)閦=a+i（a>0）,

22

所以2H—=Q+，+--；

za+i

=a+i+^f^~

a2+l

由于復(fù)數(shù)z+42為實(shí)數(shù)，所以1——J2=0,

za+1

因?yàn)椤?gt;0,解得。=1,因此，z=l+z.

（2）由題意（〃?+z）2=（加+1+力2

,一，,,,,__\m2+2m>0.

由于復(fù)數(shù)（加+zf對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，貝"“C，解得a>0.

+x>0

因此，實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是（0,+-）.

14.（2021?浙江?高一期末）復(fù)數(shù)z=（l-y-3a+2+i（tzeR）.

（1）若z為純虛數(shù)求實(shí)數(shù)。的值，及z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

22

【答案】（1）a=~,（0,-1）；（2）（§，”）.

【解析】

（1）先化簡出z的代數(shù)形式，再根據(jù)題意求實(shí)數(shù)。的值和z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo);

（2）先化簡出z的代數(shù)形式，再根據(jù)題意建立不等式求實(shí)數(shù)a的取值范圍即可.

解：因?yàn)閦=（l一i）2—3a+2+i,所以z=（l—i）2—3a+2+i=（2—3a）—i

2

（1）若z為純虛數(shù)，則2-3。=0,解得：a=-,

此時(shí)z=T,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0,-1）,

2

所以z為純虛數(shù)時(shí)實(shí)數(shù)a=§,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0,-1）

（2）若，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于三象限,

12—<02

則T<。，解得

2

所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則實(shí)數(shù)。的取值范圍：(,，+⑹.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、利用復(fù)數(shù)的幾何意義求對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)與求參數(shù)、利用復(fù)數(shù)的分

類求參數(shù)的范圍，是基礎(chǔ)題.

15.(2022?浙江省開化中學(xué)高一期末)某校對2021年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績(單位：

分)進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),

[110,130),[130,150]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績的平均分；

⑵估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績的第80百分位數(shù)；

⑶為了進(jìn)一步了解學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，由頻率分布直方圖，成績在[50,70)和[70,90)的

兩組中，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取

2.名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績在[50,70)內(nèi)的概率.

【答案】⑴93分:

(2)115分；

【解析】

【分析】

⑴先利用頻率之和為1，計(jì)算出。=0.01,進(jìn)而求出平均值即可；

（2）利用百分位數(shù)的運(yùn)算方法，求出成績的第80百分位數(shù)；

⑶利用分層抽樣取樣方法，算出需在[50,70）分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽2人，分別記為4,需在[70,90）

分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽3人，分別記為四，尾，鳥，寫出樣本空間和符合條件樣本點(diǎn)數(shù)，即可求出相

應(yīng)概率.

（1）

解：由0.005x20+0.005x20+0.0075x20+0.02x20+ax20+0.0025x20=l,

得a=0.01.

數(shù)學(xué)成績在：

[30,50）頻率0.0050x20=0.1,

[50,70）頻率0.0050x20=0.1,

[70,90）頻率0.0075x20=0.15,

[90,110）頻率0.0200x20=0.4,

[110,130）頻率O.OlOOx20=0.2,

[130,150]頻率0.0025x20=0.05,

樣本平均值為：40x0.1+60x0.1+80x0.15+100x0.4+120x0.2+140x0.05=93,

可以估計(jì)樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績均值為93分，

據(jù)此可以估計(jì)該校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績估計(jì)93分.

（2）

解：由⑴知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績在110分以下所占比例為0.1+0.1+0.15+0.4=0.75,

在130分以下所占比例為0.75+0.2=0.95

nQ_n7S

因此，第80百分位數(shù)一定位于［110,130）內(nèi)，由110+20x晨￡=115,

可以估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為115分,

據(jù)此可以估計(jì)該校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績第80百分位數(shù)約為115分.

⑶

解：由題意可知，［50,70）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為100x0.1=10（人）,

［70,90）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為100x0.15=15（人）.

用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，則需在［50,70）分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽2人，分別記

為A，4,需在［70,90）分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽3人，分別記為層，B,,

設(shè)“從樣本中任取2人，至少有1人在分?jǐn)?shù)段［50,70）內(nèi)”為事件A,

則樣本空間。={A4，44，4月，44，44,4男,4員，，4片，與片}共包含io個(gè)樣本點(diǎn)

而A的對立事件A={B}B2,4片，B2B3}包含3個(gè)樣本點(diǎn)

所以可可=小所以P（A）=1-即抽取的這2名學(xué)生至少有1人在［50,70）內(nèi)的

,7

概率為T5.

16.（2021?浙江湖州?高一期末）某市統(tǒng)計(jì)局就當(dāng)?shù)鼐用竦脑率杖胝{(diào)查了10000人，并根據(jù)

所得數(shù)據(jù)畫出如圖所示的樣本的頻率分布直方圖.

（1）求居民月收入在［3000,3500）內(nèi)的頻率；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（3）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，按月收入再從這10000人中用分層抽

樣方法抽出100人進(jìn)行分析，則月收入在［2500,3000）內(nèi)的應(yīng)抽多少人？

【答案】（1）0.15（2）2400（3）25

【解析】

【分析】

（1）利用頻率分布直方圖，小矩形的面積即為頻率，從而可得答案；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，先確定中位數(shù)的位置，再由公式計(jì)算出中位數(shù)；

（3）利用頻率分布直方圖和分層抽樣的方法即可確定抽取人數(shù).

（1）由頻率分布直方圖可知，居民月收入在［2500,3500）頻率為0.0003x500=0.15；

（2）由頻率分布直方圖可知，

0.0002x500=0.1,0.0004x500=0.2,0.0005x500=0.25,

?,-0.1+0.2+0.25=0.55>0.5,

樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2000+0"；藍(lán)。，2）=2400；

（3）居民月收入在［2500.3000）頻率為0.0005x500=0.25,

10000人中月收入在［2500,3000）的人數(shù)為10000x0.25=2500人，

再從10000人用分層抽樣方法抽出100人，

月收入在［2500,3000）的人數(shù)為100、7券=25人.

17.（2021?浙江?高一期末）某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以［160,180）,

［180,200）,［200,220）,［220,240）,［240,260）,［260,280）,［280,300］分組的頻率分布直方

圖如圖.

(1)求直方圖中X的值；

(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；

(3)在月平均用電量為［220,240),［240,260),［260,280),［280,300］的四組用戶中，用分

層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在［220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？

【答案】(1)0.0075；(2)230,224；(3)5.

【解析】

試題分析：(1)由直方圖的性質(zhì)可得(0.002+0.0095+0.011+0Q125+X+0.005+0Q025)x20=l,

解方程可得；(2)由直方圖中眾數(shù)為最高矩形上端的中點(diǎn)可得，可得中位數(shù)在［220,240)

內(nèi),設(shè)中位數(shù)為a,解方程(0.002+0.0095+0.011)x20+0.0125x(a-220)=0.5可得；(3)可

得各段的用戶分別為25,15,10,5,可得抽取比例，可得要抽取的戶數(shù)

試題解析：⑴由直方圖的性質(zhì)可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+X+0.005+0.0025)X20

—1得：

x=0.0075,所以直方圖中X的值是0.0075.--------3分

220+240

⑵月平均用電量的眾數(shù)是；=230.--------5分

H>J(0.002+0.0095+0,011)x20=0.45<0.5,所以月平均用電量的中位數(shù)在［220,240)內(nèi),

設(shè)中位數(shù)為a,

S(0.002+0.0095+0,011)x20+0.0125x(a-220)=0.5

得：a=224,所以月平均用電量的中位數(shù)是224.-------8分

⑶月平均用電量為［220,240)的用戶有0.0125x20x100=25戶,

月平均用電量為［240,260）的用戶有0.0075x20x100=15戶，

月平均用電量為［260,280）的用戶有0.005x20x100=10戶，

月平均用電量為［280,300］的用戶有0.0025x20x100=5戶，-------10分

抽取比例=?==1,所以月平均用電量在［220,240）的用戶中應(yīng)抽取25xg=5

25+15+10+555

戶.-12分

考點(diǎn)：頻率分布直方圖及分層抽樣

18.（2022?浙江省開化中學(xué)高一期末）已知甲、乙、丙三人獨(dú)自射擊，命中目標(biāo)的概率分別

是J、:、7,設(shè)各次射擊都相互獨(dú)立.

⑴若甲、乙、丙三人同時(shí)對同一目標(biāo)各射擊一次，求目標(biāo)被命中的概率；

⑵若甲、乙兩人各自對目標(biāo)射擊兩次，求四次射擊中恰有兩次命中目標(biāo)的概率.

3

【答案】口）:

4

（2）H

36

【解析】

解：（1）設(shè)甲命中目標(biāo)為事件/,乙命中目標(biāo)為事件8,丙命中目標(biāo)為事件C

三人同時(shí)對同一目標(biāo)射擊，目標(biāo)被擊中為事件。

可知，三人同時(shí)對同一目標(biāo)射擊，目標(biāo)不被擊中為事件方

有尸（萬）=1-P（萬）

又由已知尸（方）=口-P（A）］-［1-P（B）］-［1-==

13

0P（D）=1——=-

44

3

團(tuán)三人同時(shí)對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，目標(biāo)被擊中的概率為］

4

（2）設(shè)"四次射擊中恰有兩次擊中目標(biāo)”為事件E

貝IE=AA麗+九必8+與麗+ZAB萬+布麗+ZA麗

回四次射擊中恰有兩次擊中目標(biāo)的概率為土

36

19.（2021?浙江紹興?高一期末）用分層隨機(jī)抽樣從某校高一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)期末成績（滿分

為100分，成績都是整數(shù)）中抽取一個(gè)樣本量為100的樣本，其中男生成績數(shù)據(jù)40個(gè)，女

生成績數(shù)據(jù)60個(gè)，再將40個(gè)男生成績樣本數(shù)據(jù)分為6組：[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,

[80,90）,[90,100],繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

4頻率/組距

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

0405060708090100成績份

（1）估計(jì)男生成績樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)；

（2）在區(qū)間[40,50）和[90,100]內(nèi)的兩組男生成績樣本數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取兩個(gè)進(jìn)調(diào)查，求調(diào)

查對象來自不同分組的概率；

（3）已知男生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為71和187.75,女生成績樣本數(shù)據(jù)的平

均數(shù)和方差分別為73.5和119,求總樣本的平均數(shù)和方差.

Q

【答案】（1）84；（2）—；（3）平均數(shù)和方差分別為72.5和148.

【解析】

【分析】

⑴在［40,80)內(nèi)的成績占比為70%,在［40,90)內(nèi)的成績占比為95%,由80+10x；/；,

可得答案；

(2)得出在區(qū)間［40,50)和［90,100］內(nèi)的男生成績樣本數(shù)據(jù)，并列出數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)的

樣本空間Q包含的樣本點(diǎn)和調(diào)查對象來自不同分組的樣本點(diǎn)，由古典概型的概率計(jì)算公式

可得答案；.

(3)設(shè)男生成績樣本數(shù)據(jù)為4，X2,…，%,平均數(shù)為元=71,方差為《=187.75；

女生成績樣本數(shù)據(jù)為為,乃，…，為，平均數(shù)為9=73.5,方差為119；總樣本的平均

數(shù)為N,方差為52,由按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，得

_40_60_21］量,

100100-100力'

1r404060,60-

--￡(見一可一+之叵一彳)2+￡(力一丁)一+￡(歹一刃2可得答案.

1UU|_i=1i=ij=ij=i

(1)由頻率分布直方圖可知，在［40,80)內(nèi)的成績占比為70%,在［40,90)內(nèi)的成績占比為

95%,因此第80百分位數(shù)一定位于［80,90)內(nèi).

所以估計(jì)男生成績樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約是84；

(2)在區(qū)間［40,50)和［90,100］內(nèi)的男生成績樣本數(shù)據(jù)分別有4個(gè)和2個(gè)，

分別用a,6,c,d和狐〃表示，則在這6個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)的樣本空間。包含的樣本點(diǎn)

有(a,6),,(d,m),(d,n),(m,n)

(b,c),(b,d),(b,m),(b,n)［c,d),(c,m),(c,〃),

個(gè)數(shù)為〃(Q)=15,

記事件A="調(diào)查對象來自不同分組"，

則事件A包含的樣本點(diǎn)有(a,〃2),(a,〃),(b,m),(b,ri),(c,m),(c,n),(d,m),(d,ri),

個(gè)數(shù)為“(A)=4x2=8,

九(A)8

所以尸（A）=

n(Q)15;

（3）設(shè)男生成績樣本數(shù)據(jù)為4，X],…,x40,其平均數(shù)為元=71,方差為s；=187.75;

女生成績樣本數(shù)據(jù)為%,%，…，為。，其平均數(shù)為y=73.5,

方差為寸=119；總樣本的平均數(shù)為Z,方差為

由按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系,

=—x+—7=72.5.

100100

60

2

2

x,.-x+J-z)+^(y7-y+y-z

j=T

4040<40\

又〉22（毛一亍）（元一彳）二2（元一刃12（七一元）=2（元一彳）|±七一4（比|二0,

1=1Z=1IZ=1）

60

同理￡2（匕-9）（y一刃=0,所以

j=l

1r40c4060960

s=前1一可2+6（丁一方+￡（匕一7）+￡（y-z）2

=*{4°"、（元一刃2卜60區(qū)