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文檔簡介
高一下學(xué)期期末答題33道
一、解答題
1.(2021?浙江一期末)已知向量〃=.
122J
⑴求與£平行的單位向量了;
⑵設(shè)*=。+(產(chǎn)+3)及亍=一公加+石,若存在畿。2],使得;成立,求人的取值范圍.
【解析】
【分析】
(1)待定系數(shù)法設(shè)坐標(biāo)后列方程組求解
(2)由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡,轉(zhuǎn)化為方程有解問題
(1)
尤2+9=1
設(shè)、(x,y),根據(jù)題意得廠■
yl3y+x=0,
_V3
二或4M
解得2或,
片一展
(2)
:a=(G,T),B=.B=0.
-.■x±y,:.-kt\afC+(t2+3)\b^=0.--\a\=2,\b[=],
.?/-4笈+3=0.問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于,的二次方程*_4笈+3=0在。2]內(nèi)有解.
令/⑺=/-4"+3,
①當(dāng)2鼠0,即鼠0時(shí),/⑴在。2]內(nèi)為增函數(shù),/(0)=3
方程?-4股+3=0在。2]內(nèi)無解.
②當(dāng)0<2鼠2,即0〈晨1時(shí),由A=16人二12..0,解得鼠一日或后若,;.等k?l.
③當(dāng)2左>2,即左>1時(shí),/⑺在[0,2]內(nèi)為減函數(shù),由八2),,0得4一8左+3,,0.解得為…。">1.
O
綜上,實(shí)數(shù)人的取值范圍為£~,+8.
2.(2014?浙江寧波?高一期末)已知工友工是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量,其中)=(1,2)
⑴若口=2若,且;求"的坐標(biāo);
(2)若心且,且£+25與垢-3垂直,求£與獨(dú)的夾角&
2
【答案】(1)"=(2,4)或"=(-2,-4)
(2)6="
【解析】
【分析】
(1)設(shè)c=(尤,y),由a//c和]=2j5,可得{22_,
Ix+y—2X)
解方程組可得答案;
(2)由(2+呀,而-可得2同+3心£-2時(shí)=0,求出
代入向量夾角公式可得答案.
(1)
設(shè)"=(尤,y),0|C|=2A/5,laJd+V=2g,
0x2+y2=200
l-X-2-y=Q
由allc和口=2百,可得
x2+y2=20'
x=2,,x=-2
解得,或
y=4y=-4
故c=(2,4)或c=(-2,-4).
⑵
回(a+2?_L(2a-B),團(tuán)(a+2后).(2°-日)=0,
即2,)2+3B.£-2e)2=0,
HI2x5+36.a—2x:=0,整理得5.a=-:,
回COS0=蕭=-l□又〃e[o,zr],回。=萬.
3.(2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)高一期末)在如圖所示的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,
UUUUUIU____.____>
BM=2MA,CN=2NA,求:
⑴設(shè)配=%麗+,兩,求1+y的值;
(2)若兩■〃西,且〈OM,ON〉e,求荒.泥的最小值及此時(shí)的夾角〈兩,兩〉.
【答案】⑴0
(2)弱泥的最小值為讓4〈兩,西〉為也
26
【解析】
【分析】
(1)由向量的減法公式團(tuán)=衣-麗,結(jié)合題意和平面向量共線定理,即可求得
BC=-3OM+3ON,進(jìn)而求出結(jié)果;
(2)記夕=〈兩",麗〉e,因?yàn)辂?〃函,所以NCVO=/MON=e,設(shè)及=x麗,
_63_
根據(jù)平面向量加法理和平面向量共線定可得荏=(3-2)麗7-3兩,進(jìn)而求得
通?/=[(3—2)兩一3兩)(一力兩),化簡整理可得荏?衣=川+(6cose-3);l,再根
據(jù)二次函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì),即可求出結(jié)果.
(1)
UULlUUIU____.___.
解:因?yàn)锽W=2MA,CN=2NA>
所以瑟=/一荏=3畫一3次=3麗=一3麗+3兩,所以x=-3,y=3,
即x+y=0.
(2)
解:記6=〈麗,麗〉e,
63_
因?yàn)閮?〃國,所以NCNO=NMON=6,
"&CA=AOM,則荏=恁+函=_幾兩+3(兩一兩)=(3-2)兩_3兩,
所以而.*=[(3叫兩-3兩](_;1訊)=_2(3叫詞,+3麗.兩
=(22-3Z)|OM|2+3|OM|-|O2v|cos6?
—A1—32+62cos^=22+(6cos,一3)丸
當(dāng)2=_6coy-3時(shí),無+(6cos。-3)4取最小值,即最小值為一(6c°s。-3)一,
24
_八TC7T[。,3省-3],所以一回7L
又67-,所以6cos6-3e
(6COS0-3)2J9V3-18-
即------------W------------,U,
42
所以器淺的最小值為巫巴此時(shí)〈兩兩〉為]
26
4.(2018?浙江紹興?高一期末)如圖,梯形ABCD,AB//CD,AD=DC=CB=^AB=2,
E,F分別是BCBO的中點(diǎn),AE與8。相交于G.
(1)以麗,而為基底,表示修,通;
(2)^AG=AAE,DG=juDB,求X+〃的值;
⑶求XS?麗.
___1__kk.3__.i__.
【答案】(1)而=5(而+而),AE=-AB+-AD
⑵:
【解析】
【分析】
(1)直接利用向量的線性運(yùn)算和基向量的線性表示即可求解;
(2)利用題中的比例關(guān)系建立關(guān)系式,進(jìn)一步利用基向量的對應(yīng)關(guān)系求出彳+〃的值;
-TT
(3)取線段A3中點(diǎn)//,可推出△曲為等邊三角形,即可求出入=再利用向量的
線性表示和向量的數(shù)量積即可求解.
(1)
在梯形A3CD中,AB//CD,AD=DC=CB=~AB=2,
2
E,尸分別是BC,8。的中點(diǎn),4E與8。相交于G,
EAF=-(AB+A5),FE=-DC^-AB,
224
_.__,___i____1__3____.1__?
^\AE=AF+FE=-(AB+AD)+-AB=-AB+-AD;
(2)
SFE=-DC=-AB,
24
—?—?4—?—.—?4—?
^]AG=4GE=-AEfBG=4GF=《BF,
^AG=AAE,
團(tuán)丸二二,
—?4—?
回尸分別是8。的中點(diǎn),BG=《BF,
SDF=-DB,FG=-FB,^FG^—DB,
2510
SDG=DF+FG=^+^DB=^DB,
SDG=juDB
37
ffl〃=1,即4+〃=1.
(3)
取線段AB中點(diǎn)貝l]8H=AH=2.
SAB//CD,CD=2,
SBH//CD,BH=CD,即四邊形為平行四邊形,
^DH=BC=2,
BAH=2fAD=2f
TT
回聞汨為等邊三角形,即
EIAB-A5=|AB||A5|COSZZ)AB=4X2X1=4
__,__.A__._______3__.1__.
^\AGAB=-AEAB,AE=-AB+-AD,
542
回運(yùn).而=常通+;呵.荏=|研+|彷麗=當(dāng)+|=三.
5.(2021?浙江紹興?高一期末)在AABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。,b,c,且
2c—a=2bcosA,〃=3.
(1)求B的大??;
(2)若a=6,求AABC的面積;
(3)求上的最大值.
a+c
【答案】(1)B=[;(2)|V3;(3)最大值為J
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)正弦定理,結(jié)合兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可;
(2)根據(jù)余弦定理,結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可;
(3)根據(jù)余弦定理,結(jié)合基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
(1)因?yàn)?c-a=2bcosA,=
sinAsinBsinC
所以2sinC-sinA=2sinBcosA,
所以2sin(A+3)—sinA=2sin3cosA,
所以2sinAcos5—sinA=0,
]7T
因?yàn)锳w(O,1),sinAwO,所以cos5=-,可得B.
23
(2)因?yàn)閆?2=/+02—&,所以,一超c-6=0,所以c=2百,
所以△ABC的面積為S=-acsinB=^^-.
22
(3)由〃2+°2一々°=9,得(。+。)2=9+3QC,
因?yàn)閍cW("+c)一,所以m+c)249+g(a+c)2,所以3<a+cW6(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時(shí)取等
44
號(hào)).
設(shè)r=a+c,則/?3,6],所以旦=匕2,
Q+C3t
、…/、產(chǎn)-91(9)
設(shè)/⑺=——=-t—,
3t3(t)
則/(?)在區(qū)間(3,6]上單調(diào)遞增,所以的最大值為/(6)=1,
所以,旦nr的最大值為:3.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛:利用基本不等式結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
6.(2021?浙江?高一期末)AABC中,角A、B、C的對邊分別為。、b、c,2asin£=5/3/2
(1)若44SC為銳角三角形,其面積為±8,c=2,求。的值;
2
(2)若(6-a)(Z>+a)=,求tanC的值.
【答案】(1)77;(2)B.
2
【解析】
【分析】
(1)結(jié)合已知條件和正弦定理先求解出A的值,再根據(jù)三角形的面積公式求解出力的值,
最后根據(jù)余弦定理求解出。的值;
(2)根據(jù)已知條件先用仇。表示出片,然后利用余弦定理表示出cosA,由此求解出”,b,c之
間的倍數(shù)關(guān)系,結(jié)合倍數(shù)關(guān)系即可計(jì)算出sinC=gcosC的值,即可求得tanC的值.
2
解:02osinB=>/3b>ffl2sinAsinB=A/3sinB=>sinA=—,A=60°或120°
2
(1)0S△A,o?Cr=—2Z?x2sinA=2,nb=3
a12=22+32-2x2x3cos60°,=〃=近
(2)(Z?-a)(Z7+?)=^c2,=>d:2=b2~~c2=b2+c2-2bccosA
=>2bcosA=—c,=>cosA=——>0,回A=60°,b=—c
24b2
EZ>=1c,sinB=sin(120°-C)=|sinC,nsinC=*cosC,tanC=^
7.(2021?浙江?高一期末)目前,中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò),無論是大山深處還是
廣袤平原,處處都能見到5G基站的身影.如圖,某同學(xué)在一條水平公路上觀測對面山項(xiàng)上的
一座5G基站已知基站高AB=50m,該同學(xué)眼高1.5m(眼睛到地面的距離),該同學(xué)
在初始位置C處(眼睛所在位置)測得基站底部8的仰角為37。,測得基站頂端N的仰角為
45°.
(1)求出山高(結(jié)果保留整數(shù));
(2)如圖,當(dāng)該同學(xué)面向基站N5前行時(shí)(保持在同一鉛垂面內(nèi)),記該同學(xué)所在位置M處
(眼睛所在位置)到基站所在直線的距離地>=加1,且記在〃處觀測基站底部2的仰
角為a,觀測基站頂端/的仰角為尸.試問當(dāng)x多大時(shí),觀測基站的視角最大?參考數(shù)
據(jù):sin8°?0.14,sin37°?0.6,sin45°?0.7,sinl27°?0.8.
【答案】(1)152m;(2)x=100&m.
【解析】
【分析】
(1)在AABC中,由正弦定理求出BC,即可求出進(jìn)而求出;
(2)根據(jù)題意得出tan/AMB=tan(£-a),列出關(guān)于x的式子,利用基本不等式可求出.
解:(1)由題知/ACB=8。,=45°,
ABBC即旦=上
在AABC中,由正弦定理得
sinZACBsinZBACsin8°sin45°
50x0.7
所以BC”=250
0.14
在RMBZX:中,sinZBCD=——,即sin37"=——,所以3£>=250x0.6=150,
BC250
所以山高BE=3D+止=150+1.5=151.5a152m.
(2)由題知=ZBMD=a,則在中,tana=——=—,
在HA4AZD中,tan[3=-----=------,由題知NAAe=/—
MDx
200150
tan/7-tanor
貝|tanZAMB=tan(6-a)=1%
1+tan6Ztan/3200150%2+30000
11T-------------
XX
50v5050_6
%?30000-30000-2006~12,
當(dāng)且僅當(dāng)了=迎效即丈=1006加時(shí),tanZACB取得最大值,即視角最大.
8.(2021?浙江?高一期末)已知日二(2sin%,cos2%),5=(石cos%,2),f[x)=a-b.
(1)求/(%)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間;
jr
(2)求函數(shù)在區(qū)間0,-上的最大值和最小值.
TT27r
【答案】(1)最小正周期為萬,單調(diào)減區(qū)間為-+k7r,—+k7r,keZ.(2)最大值為3,
O3_
最小值為0.
【解析】
【分析】
(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡,再利用整體的思想.
(2)根據(jù)(1)的結(jié)果及x的范圍求出2x+J的范圍,從而計(jì)算出函數(shù)的最值.
6
解:(V)a=(2sinx,cos2x),b=(A/3COSX,2),
由f(x)=d-b=2A/3sinxcosx+2cos2x
=^3sin2x+cos2x+l=2sin(2x+—)+1,
??J(x)的最小正周期T=t=%,
由2人〃■+工(2x+—<—+2^,^eZ,
262
TT2冗
得:—+kyi<x<------1-kn,k^Z,
63
-IT24
??J(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-+k7T,—+k7r,keZ;
(2)由xe0,3可得:2x+?e卷,?,
2JoLoo
當(dāng)2元+£=g時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值為2s位?+1=0,
666
當(dāng)2x+J=g時(shí),函數(shù)取得最大值為2s山1+1=3,
622
JT
故得函數(shù)“X)在區(qū)間0,-上的最大值為3,最小值為0.
TT
9.(2020?浙江紹興?圖一期末)在AABC中,CA=6,AB=S,ZBAC=~,。為邊BC中點(diǎn).
2
(1)求麗?麗的值;
(2)若點(diǎn)尸滿足加=彳百(%eR),求麗.玩的最小值;
(3)若點(diǎn)尸在ZB4C的角平分線上,且滿足西=加麗+"玩O/eR),若1W〃W2,求|西
的取值范圍.
【答案】(1)14;(2)-9;(3)[馬亞,8忘].
【解析】
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可;
(2)利用平面向量共線的坐標(biāo)表示公式,結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、配方法進(jìn)
行求解即可;
(3)根據(jù)角平分線的性質(zhì),結(jié)合平面向量共線的坐標(biāo)表示公式、加法的坐標(biāo)表示公式、平
面向量模的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.
以AC,AB所在的直線為尤,y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,
(1)因?yàn)辂?(3,4),而=(一6,8),所以麗?麗=3x(-6)+4x8=14;
(2)因?yàn)辄c(diǎn)P滿足方=,所以點(diǎn)尸在橫軸上,
設(shè)尸(x,0),貝lj而?定=(_尤,8)-(6-匕0)=-尤(6-無)=(尤-3)2-9,
所以而?定的最小值是-9
(3)因?yàn)辄c(diǎn)尸在za4c的角平分線上,所以設(shè)尸
因?yàn)槲?mPB+nPC可以表示為(-a,-a)=m{-a,8-a)+“(6-a,-a),
(—a=6n—am—an324〃
所以有:1n6〃=8mnm=—nna=--------,
—a=8m—am—an47n-4
網(wǎng)二碼《叫薩小0T2H4
n
11441112424
l<n<2^-<-<1^>2<-<4^3<7——<5^-<——-<-^—<——-<8,
2nnn5,435^4
nn
「24廠l]
所以I而I的取值范圍是y72,872.
10.(2021?浙江溫州?高一期末)如圖,在梯形ABCD中,AB=2DC,E,尸是DC的兩個(gè)
三等分點(diǎn),G,H是的兩個(gè)三等分點(diǎn),線段2C上一動(dòng)點(diǎn)尸滿足加=4而(04X41),AP
分別交EG,FH于M,N兩點(diǎn),記麗=£,AD^b.
DEC
(1)當(dāng)%=5時(shí),用a,b表小AP-
(2)^MN=iuAP,試寫出2和〃的關(guān)系,并求出〃的取值范圍.
—?3-1--3(2-2)31
【答案】⑴AP=la+2b⑵〃6)’"
lO'S
【解析】
【分析】
(1)利用向量的線性運(yùn)算即可求解,
1-1A,
(2)利用三點(diǎn)共線得到,AM=xAE+(l-x)AG=xb+
36)
2_J_
AN=yAF+(1-y)AH=yb+y\a,再利用BP=ABC,MN=^iAP,AN\\AM,得到
3-3
之間的關(guān)系,用4表示〃,然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解取值范圍即可
1—.1—.
解:(1)當(dāng)2=5時(shí),BP=-BC,則
AP=AB+BP=AB+-BC
2
=AB+^(BA+AD+DC)
>1?1?
=AB+-(-AB+AD+-AB)
22
1ABLAD
=4+2
3-1一
=-a+-b
42
—?3-1-
所以AP=—。+—6
42
(2)連接AE,A方,則
AE=A.D-\—DC=bT—x—a=—a+b,
3326
—?—?2—?一2
AF=AD+-DC=b+-
3323
因?yàn)橥進(jìn),G三點(diǎn)共線,三點(diǎn)共線,
所以AM=xAE+(1-x)AG=xb+
36J
AN=yAF+(l-y)AH=yb+14^r
21
------y
因?yàn)辂恷|赤,所以』=R—,得千=2元一》
%--x2
36
因?yàn)辂?彳就,所以通一衣=〃/一荏),
所以Q=麗=xB+(i_,而,
麗=麗_而=(y—x歷++
因?yàn)辂?〃麗,
y-x=A^u
y=2%一6〃+2
所以■1112〃,即
------y+—x=u-------%=辦一6〃+2
〔3362
所以(4_3)(2-6)/?+(32-6)〃=0,
-3(2-2)-3
因?yàn)椤╳。,所以解得“一(4-3)(4-6)4
(2-2)+--5
71—2
因?yàn)榱Α炅睢?4—2,則,£〔-2,-1],
44
因?yàn)閂=,+—在上單調(diào)遞減,所以丁=,+—£[-5,-4],
tt
所以〃力「3近工r,
-311
所以〃的取值范圍為—
11.(2021?浙江溫州?高一期末)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)4,z,對應(yīng)的點(diǎn)分別為。,-2),(-2,1).
(1)求4-Z2的值;
(2)若與是關(guān)于x的方程Y+px+q=。的一個(gè)根,求實(shí)數(shù)〃,q的值.
【答案】(1)-4+3z.(2)。=一2,4=5.
【解析】
【分析】
(1)利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,結(jié)合共朝復(fù)數(shù)的定義,即可求解;
(2)根據(jù)已知條件,可得實(shí)系數(shù)的一元二次方程的兩虛根為共軌復(fù)數(shù),再結(jié)合韋達(dá)定理,
即可求解.
(1)???復(fù)數(shù)4,z?對應(yīng)的點(diǎn)分別為(1,-2),(-2,1),
Z]=1—2i,z?=-2+z,
z?——2—i,
Zj-^=(1-20(-2-0=-2-Z+4/+2;2=^+3z.
(2)?.,4是關(guān)于苫的方程/+°芯+4=。的一個(gè)根
易知[=(1,2)也為方程尤②+px+q=0的一個(gè)根,
「?4+Z]=2=_p,Z]?Z]=5=p,
P=-2,q=5.
12.(2021?浙江?高一期末)已知復(fù)數(shù)z滿足目=0,z2的虛部為2,
(1)求復(fù)數(shù)z;
(2)若復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限,且復(fù)數(shù)機(jī)滿足I〃LZ|=1,求M的最大
值和最小值.
【答案】(1)z=l+i或z=-L—i;(2)最大值0+1,最小值0-1.
【解析】
【分析】
(1)^z=a+bi[a,b^R),根據(jù)已知條件列出。涉的方程組,求解出。涉的值,則復(fù)數(shù)z可
求;
(2)根據(jù)已知條件先確定出z,然后根據(jù)|m-z|=1確定出復(fù)數(shù)加在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡
為圓,由此求解出帆|的最值.
⑴設(shè)z=a+砥a,6eR),因?yàn)閨z|=0,所以,^+廿=夜,
又因?yàn)閦?=(a+4丁=(〃_62)+2%,z?的虛部為2,所以2必=2,
{a2+b2=2fa=l[a——1
所以〃1,所以q[或匕r
[ab=l[b=l=
所以z=l+i或z=—1—i;
(2)因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限,所以z=l+i,
設(shè)加=4+、。,、€尺),因?yàn)閨m-z|=l,所以=],所以+(y_])2=],
所以復(fù)數(shù)加在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(1,1)為圓心,半徑為1的圓,
所以吊=7i2+i2+i=V2+i,|;77|=Vi2+i2-1=V2-1.
IImaxIImin
【點(diǎn)睛】
結(jié)論點(diǎn)睛:常見的復(fù)數(shù)與軌跡的結(jié)論:
(1)|z-zo|=r(r>O):表示以z0為圓心,半徑為r的圓;
(2)|z-z1|+|z-z2|=2a(<7>0J=L2a=|z1z2|):表示以4,z2為端點(diǎn)的線段;
(3)|z-z1|+|z-z2|=2<7(a>0J!L2a>|z1z2|):表示以4,均為焦點(diǎn)的橢圓;
(4)||z-z1|-|z-z2||=2<7(a>0J.0<2<7<|Z1Z2|):表示以4,z?為焦點(diǎn)的雙曲線.
2
13.(2021?浙江?高一期末)已知復(fù)數(shù)z=a+i(q>0,皿R),,為虛數(shù)單位,且復(fù)數(shù)z+—為實(shí)數(shù).
z
(1)求復(fù)數(shù)Z;
(2)在復(fù)平面內(nèi),若復(fù)數(shù)(〃?+z)2對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,求實(shí)數(shù)加的取值范圍.
【答案】(1)z=l+i;(2)(0,+x).
【解析】
【分析】
(1)利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的分類即求解.
(2)利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.
(1)因?yàn)閦=a+i(a>0),
22
所以2H—=Q+,+--;
za+i
=a+i+^f^~
a2+l
由于復(fù)數(shù)z+42為實(shí)數(shù),所以1——J2=0,
za+1
因?yàn)椤?gt;0,解得。=1,因此,z=l+z.
(2)由題意(〃?+z)2=(加+1+力2
,一,,,,,__\m2+2m>0.
由于復(fù)數(shù)(加+zf對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,貝"“C,解得a>0.
+x>0
因此,實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是(0,+-).
14.(2021?浙江?高一期末)復(fù)數(shù)z=(l-y-3a+2+i(tzeR).
(1)若z為純虛數(shù)求實(shí)數(shù)。的值,及z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.
22
【答案】(1)a=~,(0,-1);(2)(§,”).
【解析】
(1)先化簡出z的代數(shù)形式,再根據(jù)題意求實(shí)數(shù)。的值和z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)先化簡出z的代數(shù)形式,再根據(jù)題意建立不等式求實(shí)數(shù)a的取值范圍即可.
解:因?yàn)閦=(l一i)2—3a+2+i,所以z=(l—i)2—3a+2+i=(2—3a)—i
2
(1)若z為純虛數(shù),則2-3。=0,解得:a=-,
此時(shí)z=T,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為:(0,-1),
2
所以z為純虛數(shù)時(shí)實(shí)數(shù)a=§,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為:(0,-1)
(2)若,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于三象限,
12—<02
則T<。,解得
2
所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限,則實(shí)數(shù)。的取值范圍:(,,+⑹.
【點(diǎn)睛】
本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、利用復(fù)數(shù)的幾何意義求對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)與求參數(shù)、利用復(fù)數(shù)的分
類求參數(shù)的范圍,是基礎(chǔ)題.
15.(2022?浙江省開化中學(xué)高一期末)某校對2021年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績(單位:
分)進(jìn)行分析,隨機(jī)抽取100名學(xué)生,將分?jǐn)?shù)按照[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),
[110,130),[130,150]分成6組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績的平均分;
⑵估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績的第80百分位數(shù);
⑶為了進(jìn)一步了解學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況,由頻率分布直方圖,成績在[50,70)和[70,90)的
兩組中,用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生,再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取
2.名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,求抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績在[50,70)內(nèi)的概率.
【答案】⑴93分:
(2)115分;
【解析】
【分析】
⑴先利用頻率之和為1,計(jì)算出。=0.01,進(jìn)而求出平均值即可;
(2)利用百分位數(shù)的運(yùn)算方法,求出成績的第80百分位數(shù);
⑶利用分層抽樣取樣方法,算出需在[50,70)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽2人,分別記為4,需在[70,90)
分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽3人,分別記為四,尾,鳥,寫出樣本空間和符合條件樣本點(diǎn)數(shù),即可求出相
應(yīng)概率.
(1)
解:由0.005x20+0.005x20+0.0075x20+0.02x20+ax20+0.0025x20=l,
得a=0.01.
數(shù)學(xué)成績在:
[30,50)頻率0.0050x20=0.1,
[50,70)頻率0.0050x20=0.1,
[70,90)頻率0.0075x20=0.15,
[90,110)頻率0.0200x20=0.4,
[110,130)頻率O.OlOOx20=0.2,
[130,150]頻率0.0025x20=0.05,
樣本平均值為:40x0.1+60x0.1+80x0.15+100x0.4+120x0.2+140x0.05=93,
可以估計(jì)樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績均值為93分,
據(jù)此可以估計(jì)該校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績估計(jì)93分.
(2)
解:由⑴知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績在110分以下所占比例為0.1+0.1+0.15+0.4=0.75,
在130分以下所占比例為0.75+0.2=0.95
nQ_n7S
因此,第80百分位數(shù)一定位于[110,130)內(nèi),由110+20x晨£=115,
可以估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為115分,
據(jù)此可以估計(jì)該校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績第80百分位數(shù)約為115分.
⑶
解:由題意可知,[50,70)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為100x0.1=10(人),
[70,90)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為100x0.15=15(人).
用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生,則需在[50,70)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽2人,分別記
為A,4,需在[70,90)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽3人,分別記為層,B,,
設(shè)“從樣本中任取2人,至少有1人在分?jǐn)?shù)段[50,70)內(nèi)”為事件A,
則樣本空間。={A4,44,4月,44,44,4男,4員,,4片,與片}共包含io個(gè)樣本點(diǎn)
而A的對立事件A={B}B2,4片,B2B3}包含3個(gè)樣本點(diǎn)
所以可可=小所以P(A)=1-即抽取的這2名學(xué)生至少有1人在[50,70)內(nèi)的
,7
概率為T5.
16.(2021?浙江湖州?高一期末)某市統(tǒng)計(jì)局就當(dāng)?shù)鼐用竦脑率杖胝{(diào)查了10000人,并根據(jù)
所得數(shù)據(jù)畫出如圖所示的樣本的頻率分布直方圖.
(1)求居民月收入在[3000,3500)內(nèi)的頻率;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);
(3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系,按月收入再從這10000人中用分層抽
樣方法抽出100人進(jìn)行分析,則月收入在[2500,3000)內(nèi)的應(yīng)抽多少人?
【答案】(1)0.15(2)2400(3)25
【解析】
【分析】
(1)利用頻率分布直方圖,小矩形的面積即為頻率,從而可得答案;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,先確定中位數(shù)的位置,再由公式計(jì)算出中位數(shù);
(3)利用頻率分布直方圖和分層抽樣的方法即可確定抽取人數(shù).
(1)由頻率分布直方圖可知,居民月收入在[2500,3500)頻率為0.0003x500=0.15;
(2)由頻率分布直方圖可知,
0.0002x500=0.1,0.0004x500=0.2,0.0005x500=0.25,
?,-0.1+0.2+0.25=0.55>0.5,
樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2000+0";藍(lán)。,2)=2400;
(3)居民月收入在[2500.3000)頻率為0.0005x500=0.25,
10000人中月收入在[2500,3000)的人數(shù)為10000x0.25=2500人,
再從10000人用分層抽樣方法抽出100人,
月收入在[2500,3000)的人數(shù)為100、7券=25人.
17.(2021?浙江?高一期末)某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以[160,180),
[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方
圖如圖.
(1)求直方圖中X的值;
(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分
層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶?
【答案】(1)0.0075;(2)230,224;(3)5.
【解析】
試題分析:(1)由直方圖的性質(zhì)可得(0.002+0.0095+0.011+0Q125+X+0.005+0Q025)x20=l,
解方程可得;(2)由直方圖中眾數(shù)為最高矩形上端的中點(diǎn)可得,可得中位數(shù)在[220,240)
內(nèi),設(shè)中位數(shù)為a,解方程(0.002+0.0095+0.011)x20+0.0125x(a-220)=0.5可得;(3)可
得各段的用戶分別為25,15,10,5,可得抽取比例,可得要抽取的戶數(shù)
試題解析:⑴由直方圖的性質(zhì)可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+X+0.005+0.0025)X20
—1得:
x=0.0075,所以直方圖中X的值是0.0075.--------3分
220+240
⑵月平均用電量的眾數(shù)是;=230.--------5分
H>J(0.002+0.0095+0,011)x20=0.45<0.5,所以月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi),
設(shè)中位數(shù)為a,
S(0.002+0.0095+0,011)x20+0.0125x(a-220)=0.5
得:a=224,所以月平均用電量的中位數(shù)是224.-------8分
⑶月平均用電量為[220,240)的用戶有0.0125x20x100=25戶,
月平均用電量為[240,260)的用戶有0.0075x20x100=15戶,
月平均用電量為[260,280)的用戶有0.005x20x100=10戶,
月平均用電量為[280,300]的用戶有0.0025x20x100=5戶,-------10分
抽取比例=?==1,所以月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取25xg=5
25+15+10+555
戶.-12分
考點(diǎn):頻率分布直方圖及分層抽樣
18.(2022?浙江省開化中學(xué)高一期末)已知甲、乙、丙三人獨(dú)自射擊,命中目標(biāo)的概率分別
是J、:、7,設(shè)各次射擊都相互獨(dú)立.
⑴若甲、乙、丙三人同時(shí)對同一目標(biāo)各射擊一次,求目標(biāo)被命中的概率;
⑵若甲、乙兩人各自對目標(biāo)射擊兩次,求四次射擊中恰有兩次命中目標(biāo)的概率.
3
【答案】口):
4
(2)H
36
【解析】
解:(1)設(shè)甲命中目標(biāo)為事件/,乙命中目標(biāo)為事件8,丙命中目標(biāo)為事件C
三人同時(shí)對同一目標(biāo)射擊,目標(biāo)被擊中為事件。
可知,三人同時(shí)對同一目標(biāo)射擊,目標(biāo)不被擊中為事件方
有尸(萬)=1-P(萬)
又由已知尸(方)=口-P(A)]-[1-P(B)]-[1-==
13
0P(D)=1——=-
44
3
團(tuán)三人同時(shí)對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊,目標(biāo)被擊中的概率為]
4
(2)設(shè)"四次射擊中恰有兩次擊中目標(biāo)”為事件E
貝IE=AA麗+九必8+與麗+ZAB萬+布麗+ZA麗
回四次射擊中恰有兩次擊中目標(biāo)的概率為土
36
19.(2021?浙江紹興?高一期末)用分層隨機(jī)抽樣從某校高一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)期末成績(滿分
為100分,成績都是整數(shù))中抽取一個(gè)樣本量為100的樣本,其中男生成績數(shù)據(jù)40個(gè),女
生成績數(shù)據(jù)60個(gè),再將40個(gè)男生成績樣本數(shù)據(jù)分為6組:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),
[80,90),[90,100],繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.
4頻率/組距
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
0405060708090100成績份
(1)估計(jì)男生成績樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù);
(2)在區(qū)間[40,50)和[90,100]內(nèi)的兩組男生成績樣本數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取兩個(gè)進(jìn)調(diào)查,求調(diào)
查對象來自不同分組的概率;
(3)已知男生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為71和187.75,女生成績樣本數(shù)據(jù)的平
均數(shù)和方差分別為73.5和119,求總樣本的平均數(shù)和方差.
Q
【答案】(1)84;(2)—;(3)平均數(shù)和方差分別為72.5和148.
【解析】
【分析】
⑴在[40,80)內(nèi)的成績占比為70%,在[40,90)內(nèi)的成績占比為95%,由80+10x;/;,
可得答案;
(2)得出在區(qū)間[40,50)和[90,100]內(nèi)的男生成績樣本數(shù)據(jù),并列出數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)的
樣本空間Q包含的樣本點(diǎn)和調(diào)查對象來自不同分組的樣本點(diǎn),由古典概型的概率計(jì)算公式
可得答案;.
(3)設(shè)男生成績樣本數(shù)據(jù)為4,X2,…,%,平均數(shù)為元=71,方差為《=187.75;
女生成績樣本數(shù)據(jù)為為,乃,…,為,平均數(shù)為9=73.5,方差為119;總樣本的平均
數(shù)為N,方差為52,由按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系,得
_40_60_21]量,
100100-100力'
1r404060,60-
--£(見一可一+之叵一彳)2+£(力一丁)一+£(歹一刃2可得答案.
1UU|_i=1i=ij=ij=i
(1)由頻率分布直方圖可知,在[40,80)內(nèi)的成績占比為70%,在[40,90)內(nèi)的成績占比為
95%,因此第80百分位數(shù)一定位于[80,90)內(nèi).
所以估計(jì)男生成績樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約是84;
(2)在區(qū)間[40,50)和[90,100]內(nèi)的男生成績樣本數(shù)據(jù)分別有4個(gè)和2個(gè),
分別用a,6,c,d和狐〃表示,則在這6個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)的樣本空間。包含的樣本點(diǎn)
有(a,6),,(d,m),(d,n),(m,n)
(b,c),(b,d),(b,m),(b,n)[c,d),(c,m),(c,〃),
個(gè)數(shù)為〃(Q)=15,
記事件A="調(diào)查對象來自不同分組",
則事件A包含的樣本點(diǎn)有(a,〃2),(a,〃),(b,m),(b,ri),(c,m),(c,n),(d,m),(d,ri),
個(gè)數(shù)為“(A)=4x2=8,
九(A)8
所以尸(A)=
n(Q)15;
(3)設(shè)男生成績樣本數(shù)據(jù)為4,X],…,x40,其平均數(shù)為元=71,方差為s;=187.75;
女生成績樣本數(shù)據(jù)為%,%,…,為。,其平均數(shù)為y=73.5,
方差為寸=119;總樣本的平均數(shù)為Z,方差為
由按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系,
=—x+—7=72.5.
100100
60
2
2
x,.-x+J-z)+^(y7-y+y-z
j=T
4040<40\
又〉22(毛一亍)(元一彳)二2(元一刃12(七一元)=2(元一彳)|±七一4(比|二0,
1=1Z=1IZ=1)
60
同理£2(匕-9)(y一刃=0,所以
j=l
1r40c4060960
s=前1一可2+6(丁一方+£(匕一7)+£(y-z)2
=*{4°"、(元一刃2卜60區(qū)
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