專題11平行線（全章知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（浙教版）

專題1.1平行線（全章知識梳理與考點分類講解）【知識點1】同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角角的名稱位置特征圖形結(jié)構(gòu)特征同位角既在截線的同側(cè)，又在兩條被截線的同側(cè)形如字母“F”（或倒置、反轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)）內(nèi)錯角既位于被截兩直線之間，又位于截線兩側(cè)，即被截線“錯開”形如字母“Z”（或倒置、反轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)）同旁內(nèi)角既位于接線的同側(cè)，又位于被截兩直線之間.形如字母“U”（或倒置、反轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)）【知識點2】平行線的定義在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號“//”表示.【知識點3】平行線的畫法一“落”：把三角尺一邊落在已知直線上；二“靠”：用直尺緊靠三角尺的另一邊；三“移”：沿直尺移動三角尺，使三角尺與已知直線重合的邊過已知點；四“畫”：沿三角尺過已知點的變化直線.【知識點4】平行公理1.平行公理：經(jīng)過直線過一點，有且只有一條只限于這條直線平行.2.平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.【知識點5】平行線的判定判定方法1判定方法2判定方法3兩條直線平行的判定兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行，即同位角相等，兩直線平行兩條直線被第三條直線所截，如果同位內(nèi)角相等，那么這兩條直線平行，即內(nèi)錯角相等，兩直線平行兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行，即同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行符號語言那么∠1=∠2那么AB//CD那么∠1=∠2那么AB//CD那么∠1+∠2=180°那么AB//CD【知識點6】平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，即兩直線平行，同位角相等.性質(zhì)2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，即兩直線平行，同位角相等.性質(zhì)3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).【知識點7】圖形的平移1.定義：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，圖形的這種移動，叫做平移，它是由移動的方向和距離決定的.2.平移中對應(yīng)的元素：平移后得到的新圖形與原圖形的形狀、大小完全相同，平移前后能重合的點，叫做對應(yīng)點，能重合的線段叫做對應(yīng)線段，能重合的角叫做對應(yīng)角.3.平移的性質(zhì)：平移不改變圖形的大小、形狀，只改變圖形的位置.（1）圖形上的每個點都平移了相同的距離，對應(yīng)點之間的距離就是平移的距離;（2）連接各組對應(yīng)點的線段平行（或在同一直線上）且相等;（3）平移前后兩個圖形中的對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，對應(yīng)角相等.4.作圖形平移的一般步驟：（1）確定平移的方向和平移的距離;（2）找到圖形的關(guān)鍵點.如三角形、四邊形等圖形的所有頂點，圓的圓心等;（3）過這些關(guān)鍵點作與平移方向平行的射線，在射線上截取與平移的距離相等的線段;得到關(guān)鍵點的對應(yīng)點（4）寫出結(jié)論.【考點一】同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角的判別【例1】（2020下·七年級統(tǒng)考課時練習(xí)）如圖所示，指出下列各組角是哪兩條直線被哪一條直線所截得的，并說出它們是什么角？和；和；和；和；和；和.【答案】答案見分析.【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的定義進(jìn)行解答即可.解：和是直線ED和直線BD被直線AB所截而產(chǎn)生的同位角；和是直線AB和直線AC被直線BD所截而產(chǎn)生的內(nèi)錯角；和是直線AB和直線BD被直線AC所截而產(chǎn)生的同位角；和是直線ED和直線CD被直線EC所截而產(chǎn)生的同旁內(nèi)角；和是直線ED和直線BC被直線EC所截而產(chǎn)生的內(nèi)錯角；和是直線BE和直線BC被直線EC所截而產(chǎn)生的同旁內(nèi)角.【點撥】本題考查的是同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的定義，熟知三線八角的定義是解題的關(guān)鍵.【舉一反三】【變式1】（2023上·河南南陽·七年級校考期末）如圖，下列判斷：①與是同位角；②與是同旁內(nèi)角；③與是內(nèi)錯角；④與是同位角．其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義，即兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方的角，這樣的兩個角稱為同位角；兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在被截兩條直線之間，并且在第三條直線的兩側(cè)，這樣的一對角叫做內(nèi)錯角；兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在被截兩條直線之間，并且在第三條直線的同側(cè)，這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角，進(jìn)行判斷即可．解：①由同位角的概念得出：與是同位角，正確；②由同旁內(nèi)角的概念得出：與是同旁內(nèi)角，正確；③由內(nèi)錯角的概念得出：與不是內(nèi)錯角，錯誤；④由內(nèi)錯角的概念得出：與是內(nèi)錯角，錯誤．故正確的有2個，是，故選：A．【點撥】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義，理解和掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的意義是正確判斷的前提．【變式2】（2022下·上海楊浦·七年級?？计谥校┤鐖D：與成內(nèi)錯角的是；與成同旁內(nèi)角的是．【答案】、和、、和【分析】準(zhǔn)確識別內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的關(guān)鍵，是弄清哪兩條直線被哪一條線所截．也就是說，在辨別這些角之前，要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線．解：如圖，與成內(nèi)錯角的是、和，與成同旁內(nèi)角的是：、、和．故答案分別是：、和，、、和．【點撥】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角．在復(fù)雜的圖形中識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角時，應(yīng)當(dāng)沿著角的邊將圖形補(bǔ)全，或者把多余的線暫時略去，找到三線八角的基本圖形，進(jìn)而確定這兩個角的位置關(guān)系．【考點二】平行線公理的理解與認(rèn)識【例2】（2018下·七年級課時練習(xí)）如圖，P，Q分別是直線外兩點．（1）過點P畫直線，過點Q畫直線；（2）與有怎樣的位置關(guān)系？為什么？【答案】（1）作圖見分析；（2）．理由見分析．【分析】（1）根據(jù)作平行線的方法，利用直尺和三角板作出與已知直線平行的直線；（2）根據(jù)平行的公理可證．此題考查了作平行線以及平行線公理．（1）解：如圖，（2），理由∶因為，，所以．【舉一反三】【變式1】（2022上·全國·八年級專題練習(xí)）下列說法正確的是（）A．a(chǎn)、b、c是直線，若，則B．a(chǎn)、b、c是直線，若，則C．a(chǎn)、b、c是直線，若，則D．a(chǎn)、b、c是直線，若，則【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定逐個判斷即可．解：A．當(dāng)時，，故本選項錯誤，不符合題意；B．在同一平面內(nèi)，當(dāng)時，，故本選項錯誤，不符合題意；C．當(dāng)時，，故本選項錯誤，不符合題意；D．當(dāng)時，，故選項正確，符合題意；故選：D．【點撥】本題考查了平行公理和推論，平行線的性質(zhì)和判定等知識點，能靈活運用定理進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵，此題比較好，但是比較容易出錯．【變式2】（2022下·湖南永州·七年級統(tǒng)考期中）下列三種說法：①相等的角是對頂角．②若線段AB與線段CD沒有交點，則ABCD．③若a、b、c都是直線，且ab，bc，則a與c不相交．正確的是．【答案】③【分析】根據(jù)兩點間的距離、對頂角、線段和平行線的知識，對選項一一分析，即可求解．解：①相等的角不一定是對頂角，故①說法錯誤；②在同一平面內(nèi)，若直線AB與CD沒有交點，則ABCD，故②說法錯誤；③若直線ab，bc，則ac，a與c不相交，符合平行公理，故③正確．故答案為：③．【點撥】本題考查了兩點間的距離、對頂角、線段和平行線的知識，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【考點三】平行線的判定【例3】（2022下·河南信陽·七年級?？计谀┤鐖D，已知點O在直線AB上，射線OE平分∠AOC，過點O作OD⊥OE，G是射線OB上一點，連接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．（1）求證：∠AOE=∠ODG；（2）若∠ODG=∠C，試判斷CD與OE的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）證明見分析（2）CDOE，理由見分析【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可證明∠AOE=∠ODG；（2）證明∠EOC=∠C，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行，即可證明CDOE．解：（1）證明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；（2）解：CDOE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，∵射線OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CDOE．【點撥】本題考查了角平分線定義，垂直的定義，平行線的判定，等角的余角相等，正確識圖是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022下·廣東深圳·七年級校聯(lián)考期中）如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①；②；③如果，則有；④．其中正確的序號是（

）A．①②③④B．①②④ C．①②③ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)，，即可得；根據(jù)角之間關(guān)系即可得；根據(jù)角之間關(guān)系可得，無法判斷BC與AD平行；由題意得，，得；綜上，即可得．解：∵，，∴，故①正確；∵故②正確；∵，∴，，∴BC與AD不平行，故③錯誤；∵，即，又∵，∴,故④正確；綜上，①②④正確，故選：B．【點撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，余角和同角的余角，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點并認(rèn)真計算．【變式2】（2015下·江蘇鹽城·七年級階段練習(xí)）如圖，給出下列條件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判定∥的條件有（填寫所有正確的序號）．【答案】①③④【分析】根據(jù)平行線的判定方法對各小題判斷即可解答．解：①∵，∴∥（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），正確；②∵，∴∥，錯誤；③∵，∴∥（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），正確；④∵，∴∥（同位角相等，兩直線平行），正確；⑤不能證明∥，錯誤，故答案為：①③④．【點撥】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解答的關(guān)鍵．【考點四】平行線的性質(zhì)【例4】（2012上·廣西·七年級階段練習(xí)）看圖填空：已知：如圖，為上的點，為上的點，，求證：．證明：______，______________________________又__________________【答案】已知；對頂角相等；等量代換；；；兩直線平行，同位角相等；已知；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)已知條件及對頂角相等求得同位角，從而推知兩直線，所以同位角；然后由已知條件推知內(nèi)錯角，所以兩直線．解：已知，，對頂角相等，等量代換，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，兩直線平行，同位角相等，已知，等量代換，內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)．解答此題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運用．【舉一反三】【變式1】（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，．若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行線，內(nèi)錯角相等，求出∠1=∠C=58°，再利用兩直線平行線，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求出∠CGE的大小，然后利用對頂角性質(zhì)即可求解．解：設(shè)CD與EF交于G，∵AB∥CD∴∠1=∠C=58°∵BC∥FE，∴∠C+∠CGE=180°，∴∠CGE=180°58°=122°，∴∠2=∠CGE=122°，故選：B．【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵【變式2】（2022下·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，把一張長方形紙條沿折疊，若，則°．【答案】65【分析】先根據(jù)已知條件和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得∠DEG=130°，再由折疊的性質(zhì)得到∠DEF=∠FEG=∠DEG，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEF=65°即可．解：∵∠AEG=50°，∴∠DEG=180°50°=130°，∵把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊，∴∠DEF=∠FEG=∠DEG=65°，∵四邊形ABCD是長方形，∴ADBC，∴∠DEF=65°．故答案為：65．【點撥】此題考查了折疊的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊與平行線的性質(zhì)，找到相等的角．【考點五】平行線的性質(zhì)與判定綜合【例5】（2015下·山東德州·七年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）證明見分析；（2）∠C=【分析】（1）先證明，可得FGB，再證明，從而可得答案；（2）由，可得，再把代入進(jìn)行計算即可.解：（1）證明：，∴，F(xiàn)GB，，，∴；（2）解：由（1）得，，，，∴=，．【點撥】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，方程思想的應(yīng)用，掌握“平行線的判定與性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵.【舉一反三】【變式1】（2018下·重慶·七年級階段練習(xí)）①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C=180°；②如圖2，ABCD，則∠E=∠A+∠C;③如圖3，ABCD，則∠A+∠E－∠1=180°；④如圖4，ABCD，則∠A=∠C+∠P．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①過點E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過點E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；③過點E作直線，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠E∠1=180°；④先過點P作直線，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等和同位角相等即可作出判斷．解：①過點E作直線，∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①錯誤；②過點E作直線，∵，∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正確；③過點E作直線，∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正確；④如圖，過點P作直線，∵，∴，∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，∴∠1＝∠C＋∠CPA，∵ABCD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正確．綜上所述，正確的小題有②③④．故選：C．【點撥】本題考查的是平行線的性質(zhì)及平行公理的推論，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】（2021下·江蘇蘇州·七年級階段練習(xí)）如圖，在中，，射線，點E從點A出發(fā)沿射線以的速度運動，當(dāng)點E先出發(fā)后，點F也從點B出發(fā)，沿射線以的速度運動，分別連接．設(shè)點E運動的時間為，其中，當(dāng)時，．【答案】或【分析】分類討論：當(dāng)點F在點C左側(cè)時，點F再點C的右側(cè)時，可得關(guān)于t的一元一次方程，根據(jù)解方程，可得答案．解：∵AG∥BC，∴A到BC的距離等于C到AG的距離，∴當(dāng)AE=CF時，S△ACE=S△AFC，分兩種情況討論：①點F在點C左側(cè)時，AE=CF，則2（t+1）=63.5t，解得t=，②當(dāng)點F在點C的右側(cè)時，AE=CF，則2（t+1）=3.5t6，解得t=，故答案為：或．【點撥】本題考查了平行線間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得到高相等，并且分類討論．【考點六】平移【例6】（2022下·北京·七年級校考期中）如圖，已知三角形，是的平分線，平移三角形，使點移動到點，點的對應(yīng)點是，點的對應(yīng)點是．（1）在圖中畫出平移后的三角形；（2）畫出點到線段的垂線段；（3）若，與相交于點，則___________°，___________°．【答案】（1）見分析；（2）見分析；（3）35°

110°【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；（2）根據(jù)三角形