專題15直角三角形的邊角關系（全章直通中考）（基礎練）-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊全章復習與專題突破講與練（北師大版）

專題1.5直角三角形的邊角關系（全章直通中考）（基礎練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）計算的值為（

）A． B．0 C． D．2．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）中，、、的對邊分別為、、．已知，，，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2020·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，∠C＝90°，設∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB4．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）爬坡時坡角與水平面夾角為，則每爬1m耗能，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（參考數(shù)據(jù)：，）（

）

A．58J B．159J C．1025J D．1732J5．（2015·甘肅慶陽·中考真題）在△ABC中，若角A，B滿足，則∠C的大小是（）A．45° B．60° C．75° D．105°6．（2012·浙江寧波·中考真題）如圖，在中，，則的長為（

）A．4 B． C． D．7．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，小兵同學從處出發(fā)向正東方向走米到達處，再向正北方向走到處，已知，則，兩處相距（

）

A．米 B．米 C．米 D．米8．（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是（

）A． B． C． D．9．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，垂直地面，垂足為點D，，垂足為點C．設，下列關系式正確的是（

）A． B． C． D．10．（2023·內蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖是源于我國漢代數(shù)學家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，則的值為（

）

A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2011·湖北武漢·統(tǒng)考中考模擬）tan30°＝．12．（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為α，sinα＝，堤壩高BC＝30m，則迎水坡面AB的長度為m．13．（2019·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△中，，,.則邊的長為.14．（2017·遼寧撫順·中考真題）如圖，某城市的電視塔AB坐落在湖邊，數(shù)學老師帶領學生隔湖測量電視塔AB的高度，在點M處測得塔尖點A的仰角∠AMB為22.5°，沿射線MB方向前進200米到達湖邊點N處，測得塔尖點A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB為45°，則電視塔AB的高度為米（結果保留根號）．15．（2014·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=∠BAC，tan∠BPC=．16．（2013·四川成都·中考真題）如圖，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，則該山坡的高BC的長為米．17．（2015·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點O分斜邊AB為BO：OA=1：，將△BOC繞C點順時針方向旋轉到△AQC的位置，則∠AQC=．18．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，將的按下面的方式放置在一把刻度尺上：頂點O與尺下沿的端點重合，與尺下沿重合，與尺上沿的交點B在尺上的讀數(shù)恰為，若按相同的方式將的放置在該刻度尺上，則與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2021·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）（1）計算： （2）因式分解：．20．（8分）（2017·四川阿壩·中考真題）如圖，小明在A處測得風箏（C處）的仰角為30°，同時在A正對著風箏方向距A處30米的B處，小明測得風箏的仰角為60°，求風箏此時的高度．（結果保留根號）21．（10分）（2020·湖北襄陽·中考真題）襄陽東站的建成運營標志者我市正式進入高鐵時代，鄭萬高速鐵路襄陽至萬州段的建設也正在推進中．如圖，工程隊擬沿方向開山修路，為加快施工進度，需在小山的另一邊點E處同時施工，要使A，C，E三點在一條直線上，工程隊從上的一點B取，米，．那么點E與點D間的距離是多少米？（參考數(shù)據(jù)：，，）22．（10分）（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是我國第一個以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍源”．“蘭州龍源”的“龍”字主題雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢如虹，屹立在黃河北岸．某數(shù)學興趣小組開展了測量“龍”字雕塑CD高度的實踐活動．具體過程如下：如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測得、，．求“龍”字雕塑的高度．（B，C，D三點共線，．結果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

23．（10分）（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）24．（12分）（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）為弘揚革命傳統(tǒng)精神，清明期間，某校組織學生前往懷化市烈士陵園緬懷革命先烈．大家被革命烈士紀念碑的雄偉壯觀震撼，想知道紀念碑的通高（碑頂?shù)剿降孛娴木嚯x），于是師生組成綜合實踐小組進行測量．他們在地面的點用測角儀測得碑頂?shù)难鼋菫?，在點處測得碑頂?shù)难鼋菫?，已知，測角儀的高度是（、、在同一直線上），根據(jù)以上數(shù)據(jù)求烈士紀念碑的通高．（，結果保留一位小數(shù)）

參考答案：1．C【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質分別化簡得出答案．解：故選C．【點撥】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的性質等知識，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．2．C【分析】根據(jù)余弦的定義可直接進行求解．解：由題意得：；故選C．【點撥】本題主要考查余弦，熟練掌握求一個角的余弦值是解題的關鍵．3．B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義進行判斷，即可解決問題．解：∵中，，、、所對的邊分別為a、b、c∴，即，則A選項不成立，B選項成立，即，則C、D選項均不成立故選：B．【點撥】本題考查了三角函數(shù)的定義，熟記定義是解題關鍵．4．B【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值計算求解．解：故選：B．【點撥】本題考查特殊角三角函數(shù)值，掌握特殊角三角函數(shù)值是解題的關鍵．5．D解：由題意得，cosA=，tanB=1，則∠A=30°，∠B=45°，則∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故選D．考點：1．特殊角的三角函數(shù)值；2．非負數(shù)的性質：絕對值；3．非負數(shù)的性質：偶次方．6．A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得解.解：在中，．因為，所以．故選A7．B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)中余弦值的定義即可求出答案.解：小兵同學從處出發(fā)向正東方向走米到達處，再向正北方向走到處，，米.，米.故選：B.【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)中的余弦值，解題的關鍵在于熟練掌握余弦值的定義.余弦值就是在直角三角形中，銳角的鄰邊與斜邊之比.8．D【分析】根據(jù)俯角的定義可直接得出結果．解：根據(jù)俯角的定義，朝下看時，視線與水平面的夾角為俯角，∴∠DAC為對應的俯角，故選D．【點撥】題目主要考查對俯角定義的理解，深刻理解俯角的定義是解題關鍵．9．D【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可．解：∵BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵∠ABC=α，∴，故選：D．【點撥】本題考查了正弦三角函數(shù)的定義．在直角三角形中任意銳角∠A的對邊與斜邊之比叫做∠A的正弦，記作sin∠A．掌握正弦三角函數(shù)的定義是解答本題的關鍵．10．D【分析】首先根據(jù)兩個正方形的面積分別求出兩個正方形的邊長，然后結合題意進一步設直角三角形短的直角邊為，則較長的直角邊為，再接著利用勾股定理得到關于的方程，據(jù)此進一步求出直角三角形各個直角邊的邊長，最后求出的值即可.解：∵小正方形的面積為，大正方形的面積為25，∴小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為5，設直角三角形短的直角邊為，則較長的直角邊為，其中，∴，其中，解得：，，∴，故選：D.【點撥】本題主要考查了勾股定理與一元二次方程及三角函數(shù)的綜合運用，熟練掌握相關概念是解題關鍵.11．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接填空．解：tan30°故答案為：【點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．12．50【分析】直接利用坡角的定義結合銳角三角函數(shù)關系得出答案．解：根據(jù)題意得：∠ACB=90°，sinα＝，∴，∵BC＝30m，∴，解得：AB=50m，即迎水坡面AB的長度為50m．故答案為：50【點撥】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確掌握銳角三角函數(shù)關系是解題關鍵．13．【分析】過A作AD⊥BC于D點，根據(jù)，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解題解：過A作AD⊥BC于D點，∵，AC=2∴CD=在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=又∵∠B=30°∴AB=2AD=.【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理求線段長度，30°所對的直角邊是斜邊的一半，靈活聯(lián)合運用即可解題.14．．解：如圖，連接AN，由題意知，BM⊥AA'，BA=BA'，∴AN=A'N，∴∠ANB=∠A'NB=45°，∵∠AMB=22.5°，∴∠MAN=∠ANB﹣∠AMB=22.5°=∠AMN，∴AN=MN=200米，在Rt△ABN中，∠ANB=45°，∴AB=AN=（米），故答案為．【點撥】此題是解直角三角形的應用﹣﹣﹣仰角和俯角，主要考查了垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，解本題的關鍵是求出∠ANB=45°．15．解：如圖，過點A作AH⊥BC于點H，∵AB=AC，∴AH平分∠BAC，且BH=BC=4．又∵∠BPC=∠BAC，∴∠BAH=∠BPC．∴tan∠BPC=tan∠BAH．在Rt△ABH中，AB=5，BH=4，∴AH=3．∴tan∠BAH=．∴tan∠BPC=．16．100．解：由題意得，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=200米，∴BC=AB=100米．17．105°．【分析】連接OQ，由旋轉的性質可知：△AQC≌△BOC，從而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根據(jù)特殊直角三角形邊的關系，分別求出∠AQO與∠OQC的值，可求出結果．解：連接OQ，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠B=45°，由旋轉的性質可知：△AQC≌△BOC，∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，∴∠OQC=45°，∵BO：OA=1：，設BO=1，OA=，∴AQ=1，則tan∠AQO==，∴∠AQO=60°，∴∠AQC=105°．故答案為105°．18．【分析】根據(jù)平行線的性質得到，解直角三角形求出，再推出，進而得到，再求出的長即可得到答案．解：由題意得，，，，∴，∴

∵，∴，，∴，∴，∴，∴與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)為，故答案為：．【點撥】本題主要考查了解直角三角形，平行線的性質，等腰三角形的判定，正確求出的長是解題的關鍵．19．（1）；（2）【分析】（1）先計算乘方、特殊三角函數(shù)值、絕對值的運算，再利用四則運算法則計算即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．（1）解：原式（2）解：原式【點撥】本題考查的是實數(shù)的運算、因式分解，熟練運用乘方公式、特殊三角函數(shù)值、絕對值、正確提取公因式等是解題的關鍵．20．．試題分析：根據(jù)“等角對等邊”求出BC的長，然后在Rt△BCD中，利用三角函數(shù)求出CD的長．解：∵∠A=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=AB=30米，在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=30，∴sin∠CBD=，sin60°=，∴CD=米．答：風箏此時的高度米．21．點E與點D間的距離是358.4米．【分析】由，根據(jù)三角形外角的性質可得，故為直角三角形，根據(jù)的余弦值即可求解．解：∵，∴，∴，即，解得（米），答：點E與點D間的距離是358.4米．【點撥】本題考查解直角三角形的應用、三角形外角的性質等內容，解題的關鍵是得到為直角三角形．22．“龍”字雕塑的高度為．【分析】在和中，分別求得和的長，據(jù)此求解即可.解：在中，，，∴，在中，，，∴，∴,答：“龍”字雕塑的高度為．【點撥】本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．23