專題01實(shí)數(shù)及其運(yùn)算（原卷版）

主題一數(shù)與式專題01實(shí)數(shù)及其運(yùn)算目錄一覽知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢(shì)，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）考點(diǎn)回歸（梳理基礎(chǔ)考點(diǎn)，清晰明了，便于識(shí)記）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一正負(fù)數(shù)與具有相反意義的量?考向二相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值?考向三有理數(shù)的加減運(yùn)算?考向四有理數(shù)的混合運(yùn)算?考向五科學(xué)記數(shù)法和有效數(shù)字?考向六平方根與立方根?考向七實(shí)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)與運(yùn)算最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）1．理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，會(huì)比較有理數(shù)的大?。?．借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對(duì)值的意義，會(huì)求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對(duì)值（絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)不含字母）．3．理解乘方的意義，掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算（以三步為主）．4．理解有理數(shù)的運(yùn)算律，并能運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算.5．能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．6．了解無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)．能求實(shí)數(shù)的相反數(shù)與絕對(duì)值．7．能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍．1.實(shí)數(shù)與運(yùn)算在歷年中考中以考查基礎(chǔ)為主，也是考查重點(diǎn)，年年考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為14~28分。2.預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)重視對(duì)正負(fù)數(shù)的意義、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)、數(shù)軸等實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及實(shí)數(shù)的分類的考查，也會(huì)對(duì)有理數(shù)的運(yùn)算、科學(xué)記數(shù)法、數(shù)的開方、零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式及運(yùn)算等進(jìn)行考查，且考查形式多樣，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握?；A(chǔ)概念定義有理數(shù)有理數(shù)是整數(shù)（正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的集合。整數(shù)也可看做是分母為一的分?jǐn)?shù)。不是有理數(shù)的實(shí)數(shù)稱為無(wú)理數(shù)，即無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分是無(wú)限不循環(huán)的數(shù)。正數(shù)大于零的數(shù)稱為正數(shù)，絕對(duì)值是它本身，相反數(shù)在它前面加“”。負(fù)數(shù)在正數(shù)前面加上“”就是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值就是把負(fù)號(hào)去掉，也就是她的相反數(shù)；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)00既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，0的相反數(shù)還是0，絕對(duì)值還是0絕對(duì)值絕對(duì)值是指一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，用“||”來(lái)表示。|ba|或|ab|表示數(shù)軸上表示a的點(diǎn)和表示b的點(diǎn)的距離。在數(shù)學(xué)中，絕對(duì)值或模數(shù)|x|的非負(fù)值，而不考慮其符號(hào)，即|x|=x表示正x，|x|=x表示負(fù)x（在這種情況下x為正），|0|=0。例如，3的絕對(duì)值為3，3的絕對(duì)值也為3。數(shù)字的絕對(duì)值可以被認(rèn)為是與零的距離。相反數(shù)相反數(shù)是一個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，指絕對(duì)值相等，正負(fù)號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。相反數(shù)的性質(zhì)是他們的絕對(duì)值相同。例如：2與+2互為相反數(shù)。用字母表示a與a是相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。這里a便是任意一個(gè)數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以是0。ab的相反數(shù)是ba；a+b的相反數(shù)是（a+b）；倒數(shù)倒數(shù)是指設(shè)一個(gè)數(shù)x與其相乘的積為1的數(shù)，記為，除了0以外的數(shù)都存在倒數(shù)，分子和分母相倒并且兩個(gè)乘積是1的數(shù)互為倒數(shù)，0沒有倒數(shù)。比較大小有理數(shù)比較大小有三種情況：①正數(shù)與正數(shù)比較大?。哼@一類是我們小學(xué)學(xué)過(guò)了，不在贅述；②正數(shù)與負(fù)數(shù)比較大?。喝我庖粋€(gè)正數(shù)大于任意一個(gè)負(fù)數(shù)；③負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)比較大?。贺?fù)數(shù)與負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小，絕對(duì)值小的反而大；例如：，這一類也是錯(cuò)誤較多類型；數(shù)軸用一條規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線來(lái)表示有理數(shù)，規(guī)定右邊為正方向。數(shù)軸上的數(shù)有以下幾個(gè)特點(diǎn)：①正數(shù)在原點(diǎn)右邊，負(fù)數(shù)在原點(diǎn)左側(cè)；②在數(shù)軸上任意兩個(gè)有理數(shù)，只要確定了位置，右邊數(shù)減去左邊的數(shù)一定大于零；左邊的數(shù)減去右邊的數(shù)小于零；【例】在數(shù)軸上點(diǎn)A代表a，點(diǎn)B代表b，那么①ab＜0；②ba＞0；③|ab|=ba；④|ba|=ba；相反意義的量具有相反意義的量必須滿足兩個(gè)條件：①：他們是同一屬性的量如上升9米與向東運(yùn)動(dòng)了7米,表示的運(yùn)動(dòng)方式不同,所以不是同一屬性.②：他們的意義相反如收入與支出,零上與零下,向東與向西,存入與支出,上升與下降,增加與減少,運(yùn)進(jìn)與運(yùn)出,盈利與虧損等都表示相反的意義.相反意義的量只要求是同一屬性的具有相反意義的量而對(duì)于量的大小不做要求,如上升9米與下降3米是相反意義的量,而上升9米與下降7米也是一對(duì)相反意義的量,也就是說(shuō),具有相反意義的量有無(wú)數(shù)多個(gè).科學(xué)記數(shù)法定義把一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，n是整數(shù)確定n①當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，n為正整數(shù)，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1或者原數(shù)變?yōu)閍時(shí)小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)的位數(shù)。②當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值在01之間時(shí)，n為負(fù)整數(shù)，n的絕對(duì)值等于原數(shù)左起第一個(gè)非零數(shù)前所有零的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前的零），或者原數(shù)變?yōu)閍時(shí)小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)的位數(shù)。小技巧熟記常用的計(jì)數(shù)單位：1千=；1萬(wàn)=；1億=；1mm=；1μm=；1nm=m有理數(shù)的計(jì)算有理數(shù)加法1、同號(hào)兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。2、異號(hào)兩數(shù)相加，若絕對(duì)值相等則互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0；若絕對(duì)值不相等，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。3、互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0。4、一個(gè)數(shù)同0相加仍得這個(gè)數(shù)。5、互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，可以先相加。6、符號(hào)相同的數(shù)可以先相加。7、分母相同的數(shù)可以先相加。8、幾個(gè)數(shù)相加能得整數(shù)的可以先相加。有理數(shù)減法減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即把有理數(shù)的減法利用數(shù)的相反數(shù)變成加法進(jìn)行運(yùn)算。有理數(shù)乘法乘法運(yùn)算1、同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。2、任何數(shù)與零相乘，都得零。3、幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正。4、幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為零，積就為零。5、幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘，首先確定積的符號(hào)，然后后把絕對(duì)值相乘。有理數(shù)除法1、除以一個(gè)不等于零的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。2、兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。零除以任意一個(gè)不等于零的數(shù)，都得零。注意：零不能做除數(shù)和分母。有理數(shù)的除法與乘法是互逆運(yùn)算。在做除法運(yùn)算時(shí)，根據(jù)同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)的法則先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相除。若在算式中帶有帶分?jǐn)?shù)，一般先化成假分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算。若不能整除，則除法運(yùn)算都轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算。實(shí)數(shù)按定義分類有理數(shù)：有理數(shù)是整數(shù)（正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的集合。整數(shù)正整數(shù)有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)零負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)無(wú)理數(shù)：也稱為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫作兩整數(shù)之比。若將它寫成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)限多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)。正無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)負(fù)無(wú)理數(shù)實(shí)數(shù)按性質(zhì)分類正實(shí)數(shù)正有理數(shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)正無(wú)理數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)無(wú)理數(shù)實(shí)數(shù)運(yùn)算實(shí)數(shù)和有理數(shù)一樣，可進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算；有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算律、運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用.?考向一正負(fù)數(shù)與具有相反意義的量1．（2023?南充）如果向東走10m記作+10m，那么向西走8m記作（）A．﹣10m B．+10m C．﹣8m D．+8m2．（2023?吉林）月球表面的白天平均溫度零上126℃記作+126℃，夜間平均溫度零下150℃應(yīng)記作（）A．+150℃ B．﹣150℃ C．+276℃ D．﹣276℃3．（2023?江西）下列各數(shù)中，正整數(shù)是（）A．3 B．2.1 C．0 D．﹣2?考向二相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值易錯(cuò)易混（1）數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度（重點(diǎn)）（2）任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。（3）數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)從左到右依次增大；原點(diǎn)左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，原點(diǎn)右邊的數(shù)是正數(shù).4．（2023?自貢）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是2023，OA＝OB，則點(diǎn)B表示的數(shù)是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣5．（2023?張家界）的相反數(shù)是（）A． B．﹣ C．2023 D．﹣20236．（2023?隨州）﹣2023的絕對(duì)值是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣7．（2023?臺(tái)灣）（新情境）業(yè)者販?zhǔn)酆Х纫蝻嬃蠒r(shí)通常會(huì)以紅、黃、綠三色來(lái)表示每杯飲料的咖啡因含量，各顏色的意義如表（一）所示．表（一）咖啡因含量標(biāo)示咖啡因含量紅色超過(guò)200毫克黃色超過(guò)100毫克，但不超過(guò)200毫克綠色不超過(guò)100毫克表（二）容量咖啡因含量標(biāo)示中杯360毫升黃色大杯480毫升紅色中國(guó)建議每位成人一日的咖啡因攝取量不超過(guò)300毫克，歐盟則建議一日不超過(guò)400毫克．表（二）為某商店美式咖啡的容量及咖啡因含量標(biāo)示，已知該店美式咖啡每毫升的咖啡因含量相同，判斷一位成人一日喝2杯該店中杯的美式咖啡，其中咖啡因攝取量是否符合我國(guó)或歐盟的建議（）A．符合中國(guó)也符合歐盟 B．不符合中國(guó)也不符合歐盟 C．符合中國(guó)，不符合歐盟 D．不符合中國(guó)，符合歐盟?考向三有理數(shù)的加減運(yùn)算解題技巧/易錯(cuò)易混規(guī)則：運(yùn)用減法法則將加減混合運(yùn)算統(tǒng)一為加法進(jìn)行運(yùn)算步驟：（1）減法化加法；（2）省略括號(hào)和加號(hào)；（3）運(yùn)用加法運(yùn)算律使計(jì)算簡(jiǎn)便；（4）運(yùn)用有理數(shù)加法法則進(jìn)行計(jì)算。注：運(yùn)用加法運(yùn)算律時(shí)，可按如下幾點(diǎn)進(jìn)行：（1）同號(hào)的先結(jié)合；（2）同分母的分?jǐn)?shù)或者比較容易通分的分?jǐn)?shù)相結(jié)合；（3）互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；（4）能湊成整數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；（5）帶分?jǐn)?shù)一般化為假分?jǐn)?shù)或者分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩部分，再分別相加8．（2023?溫州）如圖，比數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)大3的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．29．（2023?紹興）計(jì)算2﹣3的結(jié)果是（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．310．（2023?濱州）計(jì)算2﹣|﹣3|的結(jié)果為﹣1．?考向四有理數(shù)的混合運(yùn)算解題技巧多個(gè)有理數(shù)相乘的法則及規(guī)律：（1）幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)。確定符號(hào)后，把各個(gè)因數(shù)的絕對(duì)值相乘。（2）幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積為0；反之，如果積為0，那么至少有一個(gè)因數(shù)是0.注：帶分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘時(shí)，通常把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再與分?jǐn)?shù)相乘11．（2023?臺(tái)灣）有多少個(gè)正整數(shù)是18的倍數(shù)，同時(shí)也是216的因數(shù)（）A．2 B．6 C．10 D．1212．（2023?西藏）已知a，b都是實(shí)數(shù)，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，則（a+b）2023的值是（）A．﹣2023 B．﹣1 C．1 D．202313．（2023?營(yíng)口）有下列四個(gè)算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③（+）+（﹣）＝；④﹣3÷（﹣）＝9，其中，正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)14．（2023?廣西）計(jì)算：（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）．?考向五科學(xué)記數(shù)法和有效數(shù)字15．（2023?青島）中歐班列是共建“一帶一路”的旗艦項(xiàng)目和明星品牌，是亞歐各國(guó)深化務(wù)實(shí)合作的重要載體．中歐班列“青島號(hào)”自膠州開往哈薩克斯坦，全程7900公里．將7900用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.79×103 B．7.9×102 C．7.9×103 D．79×10216．（2023?泰州）溶度積是化學(xué)中沉淀的溶解平衡常數(shù)．常溫下CaCO3的溶度積約為0.0000000028，將數(shù)據(jù)0.0000000028用科學(xué)記數(shù)法表示為．17．（2023?東營(yíng)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之推算出π的近似值為，它與π的誤差小于用科學(xué)記數(shù)法表示為．?考向六平方根與立方根18．（2023?淄博）若實(shí)數(shù)m，n分別滿足下列條件：（1）2（m﹣1）2﹣7＝﹣5；（2）n﹣3＞0．試判斷點(diǎn)P（2m﹣3，）所在的象限．19．（2023?云南）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a，，，，，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A． B． C． D．20．（2023?大連）下列計(jì)算正確的是（）A．（）0＝ B．＝9 C．＝4 D．（﹣）＝3﹣?考向七實(shí)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)與運(yùn)算21．（2023?淮安）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＜﹣2 B．b＜2 C．a(chǎn)＞b D．﹣a＜b22．（2023?徐州）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A、B、C、D分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a、b、c、d，下列各式的值最小的是（）A．|a| B．|b| C．|c| D．|d|23．（2023?青海）寫出一個(gè)比﹣大且比小的整數(shù)．24．（2023?懷化）定義新運(yùn)算：（a，b）?（c，d）＝ac+bd，其中a，b，c，d為實(shí)數(shù)．例如：（1，2）?（3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3）?（3，﹣1）＝3，那么x＝．1．（2023?杭州）已知數(shù)軸上的點(diǎn)A，B分別表示數(shù)a，b，其中﹣1＜a＜0，0＜b＜1．若a×b＝c，數(shù)c在數(shù)軸上用點(diǎn)C表示，則點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上的位置可能是（）A． B． C． D．2．（2023?蘇州）有理數(shù)的相反數(shù)是（）A． B． C．﹣ D．±3．（2023?盤錦）|﹣3|的倒數(shù)是（）A．﹣3 B． C．3 D．4．（2023?湘潭）已知實(shí)數(shù)a，b滿足（a﹣2）2+|b+1|＝0，則ab＝．5．（2023?常德）下面算法正確的是（）A．（﹣5）+9＝﹣（9﹣5） B．7﹣（﹣10）＝7﹣10 C．（﹣5）×0＝﹣5 D．（﹣8）÷（﹣4）＝8÷46．（2023?隨州）計(jì)算：（﹣2）2+（﹣2）×2＝．7．（2023?天津）據(jù)2023年5月21日《天津日?qǐng)?bào)》報(bào)道，在天津舉辦的第七屆世界智能大會(huì)通過(guò)“百網(wǎng)同播、萬(wàn)人同屏、億人同觀”，全球網(wǎng)友得以共享高端思想盛宴，總瀏覽量達(dá)到935000000人次，將數(shù)據(jù)935000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．0.935×109 B．9.35×108 C．93.5×107 D．935×1068．（2023?煙臺(tái)）如圖，利用課本上的