專題19線段垂直平分線（知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（北師大版）

專題1.9線段垂直平分線（知識梳理與考點分類講解）【知識點一】線段垂直平分線性質(zhì)定理性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等.條件：點在線段的垂直平分線上.結(jié)論：在這個點到線段的兩個端點的距離相等.幾何語言：如圖∵AD⊥BC于D，BD=CD，∴AB=AC.線段垂直平分線的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系：兩者都可以直接得到兩條線段相等.區(qū)別：前者指的是點到點的距離，后者指的是點到直線的距離.特別提醒1.線段的垂直平分線的性質(zhì)中的“距離”是“該點與這條線段兩個端點的距離”2.用線段的垂直平分線的性質(zhì)可直接證明線段相等，不必再用三角形全等來證明，因此它為證明線段相等提供了新方法.【知識點二】線段垂直平分線的判定定理1.判定定理到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.條件：點到線段兩個端點距離相等.結(jié)論：點在線段的垂直平分線上.幾何語言∵AB=AC，∴點A在線段BC的垂直平分線上.特別提醒用定義法證明一個點在一條線段的垂直平分線上，思路有兩種：一是做垂直，證平分；二是取中點，證垂直.用判定定理證明線段的垂直平分線，必須證明兩個點在線段的垂直平分線上.【知識點三】三角形三條邊的垂直平分線的性質(zhì)定理

性質(zhì)定理三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.符號語言:∵直線MN，EF，PQ分別垂直平分BC,AB,AC,∴直線MN，EF，PQ相交于一點O，且OA=OB=OC.特別解讀因為三角形任意兩條邊的垂直平分線一定交于一點，所以要證明三角形三條邊的垂直平分線的性質(zhì)，只要證明這個交點在第三條邊的垂直平分線上即可.該性質(zhì)綜合了線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，是這兩個定理的升華，同時也給出了判定三線共點的一種特殊方法.‘’【知識點四】用尺規(guī)作已知直線（或線段）的垂線已知、求作作法已知：如圖，線段a，h求作：△ABC，使AB=AC,BC=a高AD=h（1）如圖，作線段BC=a做線段BC的垂直平分線l，交BC于點D.在l上作線段DA，使DA=h.鏈接AB,AC.△ABC為所求做的等腰三角形.已知：如圖，直線l和l上一點p.求作：直線l的垂線，使它過點P如圖，以點p為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交直線l于點A,B.做線段AB垂直平分線m，直線m為所求作的垂線.已知：如圖，直線l和l外的一點p.求作：直線l的垂線，使它過點p.如圖，以點p為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交直線l于點A,B.做線段AB的垂直平分線m，直線m為所求作的垂線.特別提醒作圖題的一般思路:1.假設(shè)所求做的圖形已作出，畫出草圖；2.在草圖上標(biāo)出已知的邊、角的對應(yīng)位置及規(guī)定的交點字母；3.從草圖中找出可作的基本圖形，確定作圖順序；4.按確定的順序作出所求做的圖形.【考點目錄】【線段垂直平分線的性質(zhì)】【考點1】利用線段垂直平分線的性質(zhì)求值；【考點2】利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明；【線段垂直平分線的判定】【考點3】利用線段垂直平分線的判定證明和求值；【線段垂直平分線的性質(zhì)與判定】【考點4】利用線段垂直平分線性質(zhì)與判定求值；【考點5】利用線段垂直平分線的性質(zhì)與判定證明；【用線段垂直平分線性質(zhì)與判定作圖】【考點6】利用用線段垂直平分線性質(zhì)與判定作圖.【線段垂直平分線的性質(zhì)】【線段垂直平分線的性質(zhì)】【考點1】利用線段垂直平分線的性質(zhì)求值；【例1】（2024上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，在中，，是的垂直平分線，交于N．（1）若，求的度數(shù)．（2）連接，若，的周長是．求的長．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，求得，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，利用三角形內(nèi)角和定理可求得；（2）根據(jù)的周長為即可求得．（1）解：∵，∴，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵的周長是．∴．【變式1】（2024上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，在中，，的垂直平分線交于點E，交于點D，且cm，則的長是（

）A．12cm B．6cm C．4cm D．【答案】B【分析】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．利用線段垂直平分線的性質(zhì)得，利用等腰三角形的性質(zhì)得到，再利用外角的性質(zhì)得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可得的值．掌握中垂線上的點到線段兩端點的距離相等，是解題的關(guān)鍵．解：∵邊的垂直平分線交于E，交于點D，∴（線段垂直平分線的性質(zhì)），∴（等腰三角形的性質(zhì)），∴（外角的性質(zhì)），∵，∴．故選：B．【變式2】（2024上·天津南開·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，于點E，于點F，且，.若，則.【答案】3【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，本題中求證是解題的關(guān)鍵．先證明，可得，再由線段垂直平分線的性質(zhì)即可解答；解：，，，在和中，，，，∵∴，故答案為：3【考點2】利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明；【例2】（2022上·天津和平·八年級?？计谥校┤鐖D，E為邊的中點，，交的外角的平分線于點D，于F，且．（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理即可求證；（2）過點作于點，由“”可判定，由全等三角形的性質(zhì)得，，再由直角三角形全等的判定方法“”可判定，由全等三角形的性質(zhì)得，由即可求證；掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，根據(jù)題意添加輔助線，構(gòu)建是解題的關(guān)鍵．解：（1）證明：為邊的中點，，；（2）證明：如圖，過點作于點，為角平分線，，，，，，在和中，，（），，，在和中，，（），，．【變式1】（2023上·黑龍江齊齊哈爾·八年級齊齊哈爾市第三中學(xué)校?？计谀┰谥?，，，的垂直平分線交于D，交邊于E，則與的數(shù)量關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)及含角的直角三角形的性質(zhì)；正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．要求與的關(guān)系，需連接，得到，由直角三角形中，的角所對的直角邊等于斜邊的一半及運用線段垂直平分線定理可得答案．解：連接．垂直平分，．．．．故選：B．【變式2】（2023上·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在等腰中，，平分，點C在的垂直平分線上.若的周長為，則的長為.【答案】8【分析】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形的周長得出，求出即可．解：∵，平分，∴，，在AE的垂直平分線上，，的周長是，，，．故答案為：8．【線段垂直平分線的判定】【考點3】利用線段垂直平分線的判定證明和求值；【例3】（2023上·河北廊坊·八年級?？茧A段練習(xí)）在中，，點在線段上（如圖位置），為的斜邊，于交于，連接相交于．（1）求證：．（2）求證：垂直平分．【答案】（1）見分析；（2）見分析【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法．（1）根據(jù)“”證明即可；（2）根據(jù)垂直平分線的判定進(jìn)行判斷即可．解：（1）證明：∵，∴，∵，，，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴點M、B在線段的垂直平分線上，∴垂直平分．【變式1】（2023上·江蘇無錫·八年級無錫市江南中學(xué)?？计谥校┘埰嫌幸稽cP，量得，則點P一定是（

）A．三條高的交點 B．三條角平分線的交點C．三條邊垂直平分線的交點 D．三條中線的交點【答案】C【分析】本題考查了垂直平分線的判定定理．熟練掌握到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直平分線的判定定理進(jìn)行判斷作答即可．解：∵，∴點在線段的垂直平分線上，∴點P一定是三條邊垂直平分線的交點，故選：C．【變式2】（2023上·廣東珠海·八年級?？计谥校?shù)學(xué)活動，用全等三角形研究筆形：如圖，在四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．如果箏形的兩條對角線長分別為，，則其面積．

【答案】/24平方厘米【分析】根據(jù)，，得出B、D在線段的垂直平分線上，說明垂直平分，根據(jù)求出結(jié)果即可．解：∵，，∴B、D在線段的垂直平分線上，∴垂直平分，∴．故答案為：．

【點撥】本題主要考查了垂直平分線的判定，三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線的判定得出垂直平分．【線段垂直平分線的性質(zhì)與判定】【考點4】利用線段垂直平分線性質(zhì)與判定求值；【例4】（2023上·山東濱州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，中，垂直平分，交于點，交于點，垂足為，且，連接．（1）求證：；（2）若的周長為，則的長為多少？【答案】（1）見分析；（2）【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定與性質(zhì)：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，等量代換證明結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的周長公式得到，根據(jù)，計算，得到答案．解：（1）證明：∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴；（2）∵的周長為,∴，∵,∴，∵，，∴，∵∴．【變式1】（2023上·湖南懷化·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，以下四個結(jié)論，正確的有（

）①；②；③平分；④四邊形的面積．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查中垂線的判定和性質(zhì)，根據(jù)，，得到垂直平分，分割法求面積，逐一進(jìn)行判斷即可．解：∵，，∴點，點在線段的垂直平分線上，∴垂直平分，∴，，故①②正確；無法得到平分，故③錯誤；四邊形的面積為；故④正確；故選C．【變式2】（2023上·湖北省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，在內(nèi)有一點P，，垂直于M，垂直于N，且，，連接，，則．

【答案】5【分析】連接，垂直平分，垂直平分，得到，再證明是等邊三角形，即可．解：連接，

∵垂直于M，垂直于N，且，，∴垂直平分，垂直平分，∴，，∵，∴，即：，∴是等邊三角形，∴；故答案為：5．【點撥】本題考查中垂線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握中垂線上的點到線段兩端點的距離相等，是解題的關(guān)鍵．【考點5】利用線段垂直平分線的性質(zhì)與判定證明；【例5】（2023上·北京西城·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．（1）求證：；（2）測量與、與，你有何猜想？證明你的猜想．【答案】（1）見分析；（2），理由見分析【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分的判定，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）測量得出、，故猜想：、，根據(jù)垂直平分線的判定和性質(zhì)即可得出證明．解：（1）證明：在和中，，∴，（2）猜想：、，證明如下：∵，∴在的垂直平分線上，∴，平分，∴，，∴，．【變式1】（2022上·遼寧盤錦·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知是等邊三角形，，是邊上的點，，與交于點．則下列結(jié)論正確的有（

）①連結(jié)，則垂直平分線段；②是等邊三角形：③若，，則；④若，則．A．①② B．①②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【分析】由等邊三角形的性質(zhì)以及即可判斷①；由得，，即可判斷②；求出，再由都是等邊三角形，，即可推出③；求出的度數(shù)即可判斷④．解：如圖，連接，是等邊三角形，，，，點，都在線段的垂直平分線上，垂直平分線段；故①正確；，，，是等邊三角形，故②正確；垂直平分，，，，，，，是等邊三角形，，，故③錯誤，，，，，，故④錯誤；故選：A．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022上·上海靜安·八年級上海市市北初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，為的中點，連接，延長交的延長線于點．若，則．

【答案】2【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)是的中點可求出，利用可得，可得，，結(jié)合已知可得是線段的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出即可證得，進(jìn)而即可求解．解：∵，∴，∵是的中點，∴，∵，∴，∴，，又∵，∴是線段的垂直平分線，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：2．【點撥】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定，熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【用線段垂直平分線性質(zhì)與判定作圖】【考點6】利用用線段垂直平分線性質(zhì)與判定作圖.【例6】（2024上·北京西城·八年級?？计谥校┬∶靼l(fā)現(xiàn)，任意一個直角三角形都可以分割成兩個等腰三角形．已知：在中，．求作：線段，使得線段將分割成兩個等腰三角形．下面是小明設(shè)計的尺規(guī)作圖的作法：①作直角邊的垂直平分線，與斜邊相交于點；②連接．則線段為所求．（1）請你按照小明設(shè)計的作法，使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：直線是線段的垂直平分線，點在直線上，．（）（填推理的依據(jù)）．，．．．．（）（填推理的依據(jù)）和都是等腰三角形．【答案】（1）見分析；（2）線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等；；；同一個三角形中，等角對等邊【分析】本題考查了作圖——尺規(guī)作圖、等腰三角形的判定、垂直平分線的性質(zhì)：（1）根據(jù)作法補全圖形即可求解；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得，再根據(jù)角的等量代換得，進(jìn)而可證得，由等腰三角形的判定即可求證結(jié)論；熟練掌握尺規(guī)作法作垂直平分線的方法及等腰三角形的判定的解題的關(guān)鍵．（1）解：作法：①以點為圓心，大于為半徑畫弧，以點為圓心，以相同長度為半徑畫弧，與前弧相交，②連接兩個交點得直線交于點，③連接，如圖所示，即為所求．（2）直線是線段的垂直平分線，點在直線上，．（線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等），．，．．．．（同一個三角形中，等角對等邊），和