專題152等腰三角形的性質(zhì)與判定（舉一反三）（滬科版）

專題15.2等腰三角形的判定與性質(zhì)【十大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1根據(jù)等邊對等角求角度】 1【題型2根據(jù)等邊對等角證明】 6【題型3根據(jù)三線合一求解】 11【題型4根據(jù)三線合一證明】 16【題型5根據(jù)等腰三角形判定找出圖中的等腰三角形】 23【題型7根據(jù)等角對等邊證明邊相等】 35【題型8根據(jù)等角對等邊求邊長】 41【題型9求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的個數(shù)】 45【題型10等腰三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】 50【知識點(diǎn)等腰三角形】（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.【題型1根據(jù)等邊對等角求角度】【例1】（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心把△ABC按順時針方向旋轉(zhuǎn)40°得到△A'BC'，點(diǎn)A'恰好落在

A．110° B．105° C．100° D．95°【答案】A【分析】由旋轉(zhuǎn)知∠ABA'=∠CBC'=40°，BA=BA'，【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)知，∠ABA'=∠CB∴∠BAA'∴∠BAA'∵△ABC中，∴∠CAB∴∠ACB∴∠AC故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，由定理得到角之間數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2023春·廣東梅州·八年級校考期末）在△ABC中，AB=AC，BD是AC邊上的高，∠ABD=50°【答案】70°或20°【分析】①如圖，當(dāng)頂角為銳角三角形時：∠BAC=90°-∠ABD=40°，【詳解】解：①如圖，當(dāng)頂角為銳角三角形時：∠BAC

∵AB=∴∠ABC②如圖，當(dāng)頂角為鈍角三角形時：∵∠ABD=50°，∴∠BAC

∵AB=∴∠C故答案為：70°或20°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，注意分類討論是解本題的關(guān)鍵．【變式12】（2023春·四川達(dá)州·八年級?？计谥校┤鐖D，在第1個△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個△A

A．12n75° B．12n-【答案】C【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BA1C的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠DA2A1【詳解】解：∵在△CBA1中，∠∴∠B∵A1A2=A∴∠D同理可得∠EA3∴第n個三角形中以An為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是(故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出∠DA2A1【變式13】（2023春·海南海口·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠ABC=∠ACB，點(diǎn)D在BC所在的直線上，點(diǎn)E在射線AC上，且(1)如圖①，∠B=∠C=36°，(2)如圖②，若∠ABC=∠ACB=65°，(3)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動時（不與點(diǎn)B、C重合），試探究∠BAD與∠【答案】(1)36°(2)40°(3)2∠【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC（2）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠E（3）設(shè)∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)時，∠ADC【詳解】（1）解：∵∠B∴∠BAC∵∠BAD∴∠DAE∴∠ADE∴∠CDE（2）∵∠ACB=65°，∴∠E∴∠ADE∴∠ADC∵∠ABC∴∠BAD（3）設(shè)∠ABC=∠ACB=y°①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)時，∠ADC∴y°=解得，2α∴2α②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，∠ADC∴x°+∴2α∴2α③如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)時，∠ADC∴x°-解得，2α∴2α綜上所述，∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系是【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．【題型2根據(jù)等邊對等角證明】【例2】（2023春·湖南·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠A=45°，點(diǎn)D在AB邊上，BC=CD，DE⊥AC(1)求證△DCE(2)若AB=AC，求證【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）先證明∠FBC=∠DCE，再根據(jù)（2）過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BCH=∠DCH，BH【詳解】（1）證明：∵DE⊥AC∴∠DEC=∠CFB∵∠A∴∠ABF∵BC∴∠DBC∵∠DBC=∠ABF∴∠FBC在△DCE和△∠DEC∴△DCE（2）證明：過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)∵BC∴∠BCH=∠DCH∵AB∴∠ABC∵∠FBC∴∠BCD∴∠DCH=22.5°，∴∠ACD∴∠ACD∵DE⊥AC∴DE∴DE【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2023春·甘肅張掖·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延長線于點(diǎn)D，作AE∥BD，CE⊥AC【答案】見解析【分析】根據(jù)等邊對等角可得∠ABC=∠ACB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠【詳解】證明：∵AB=∴∠ABC∵AE∥∴∠EAC∴∠ABC∵AD⊥AB，∴∠BAD在△ABD和△∠ABC∴△ABD∴AD=【點(diǎn)睛】本題考查了等邊對等角，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．【變式22】（2023春·湖北荊州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點(diǎn)E在BD上，連接CE，若∠1=∠2，AB=【答案】見解析【分析】由平行線的性質(zhì)可得出∠ABD=∠BDC，結(jié)合題意可由“AAS”證明△ABD≌△【詳解】解：∵AB∴∠ABD在△ABD和△DEC中，∴△ABD∴BD∴∠DBC【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．【變式23】（2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，D為線段CB延長線上一點(diǎn)，連接AD，DE平分∠ADC交AC、AB于點(diǎn)(1)猜想∠DAC與∠(2)求證AD=【答案】(1)∠ACD(2)見解析【分析】（1）由等邊對等角得∠ABC（2）延長DC至點(diǎn)K，使CK=CE，易得【詳解】（1）∠ACD證明如下：∵AB∴∠ABC∵∠ADC∴∠ADC又∵∠ADC∴180°-∠ACD化簡，得：∠ACD（2）證明：延長DC至點(diǎn)K，使CK=∵CK∴∠K∴∠ACD又∵∠ACD∴∠DAC又∵DE平分∠∴∠ADE在△ADE與△∠ADE∴△ADE∴DA又∵DK∴AD=【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線使三角形全等是解題的關(guān)鍵．【題型3根據(jù)三線合一求解】【例3】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為CA延長線上一點(diǎn)，DH⊥BC于點(diǎn)H，點(diǎn)F為AB延長線上一點(diǎn)，連接DF交CB的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，若BH=2

【答案】12【分析】過D作DN∥AF，交CE延長線于N，證明△DEN≌△FEBAAS，得到EN=BE=4，由此求出NH=10，再根據(jù)∠【詳解】過D作DN∥AF，交CE延長線于∴∠∵點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，∴DE∴△∴EN=∵BH=2，BE∴EN=∴NH=10∵AB=∴∠C∵DN∥∴∠ABC∴∠C∴DC又∵DH⊥∴CH=∴BC=故答案為：12．

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，正確引出輔助線結(jié)合各性質(zhì)進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．【變式31】（2023春·河北邢臺·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中線，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，連接BE，交AD于點(diǎn)F．若∠C

A．48° B．62° C．72° D．82°【答案】C【分析】由題意易得∠ABC=∠C=66°，AE=【詳解】解：∵AB=AC，AD是△ABC∴∠ABC=∠C=66°，∴∠BAC∵AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，∴AE=∴∠ABE∴∠EBC∴∠AFE故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式32】（2023春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ΔABC中，AB=BC,SΔABC=3cm2，邊BC的垂直平分線為l，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是l【答案】2或6【分析】連接BD，由于AB=BC，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，故BD⊥AC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AC×BD=6，再根據(jù)直線l是線段BC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B【詳解】解：連接BD，∵AB=BC，點(diǎn)D是∴BD⊥∴SΔABC解得AC×∵直線l是線段BC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，∴BD的長為CP+∴.ΔCDP的周長最短=(∴BD=-∴AC×(-解得AC=2或6故答案為：2或6．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式33】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)(1)若∠FCM=18°，則∠BGC(2)若點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，判斷CF與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)108°(2)CF=2DE，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，求出∠BCG=∠CAF=45°，進(jìn)而求出∠ACF得到∠CBG的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出答案；（2）證明△BCG≌△CAF(ASA)，推出BG=CF，再證△ADE≌△CGE(AAS)，推出DE=GE，即DG=2DE，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，∴∠BCG=∠CAF=45°，∵∠FCM∴∠ACF=∠ACM∠FCM=45°18°=27°，∴∠CBG=∠ACF=27°，∴∠BGC=180°∠BCG∠CBG=180°45°27°=108°，故答案為：108°；（2）CF=2DE，理由：連接AG，∵∠CBG=∠ACF，AC=BC，∠BCG=∠CAF，∴△BCG≌△CAF(ASA)，∴BG=CF，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CM⊥AB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∴∠D=∠EGC，∵∠AED=∠CEG，∠D=∠EGC，AE=CE，∴△ADE≌△CGE(AAS)，∴DE=GE，即DG=2DE，又∵點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，∴DG=BG，∴CF=2DE．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰直角三角形三線合一的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【題型4根據(jù)三線合一證明】【例4】（2023春·福建莆田·八年級?？计谥校┤鐖D，ΔABC中，AB=AC，AD是BC(1)求證：EB=ED．(2)求證：AE=DE．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)DE//AC，ED=12AC=12【詳解】（1）∵AB=AC，AD是∴AD平分∠BAC∴∠BAD∴BD=∵DE//∴ED=∴E是AB中點(diǎn)即EB=∴EB=（2）證明：∵AB=AC，AD是B∴AD平分∠BAC∴∠BAD∵DE∴∠BAD∴∠CAD∴AE=【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式41】（2023春·湖南益陽·八年級?？计谥校﹥山M鄰邊分別相等的四邊形我們稱它為箏形．如圖，在箏形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、

(1)△ABC(2)AC⊥【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】（1）分別利用SSS證△ABC（2）由△ABC≌△ADC得∠【詳解】（1）證明：在△ABC和△AB=∴△ABC≌△ADC

（2）證明：由（1）得△ABC∴∠ACB∵BC=∴AC⊥【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握全等三角形的判定定理．【變式42】（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F(1)如圖①，若點(diǎn)E、F分別在線段AB、AC上，DE與DF相等且(2)如圖②，若點(diǎn)E、F分別在線段AB、【答案】(1)DE=DF且(2)成立，見解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠DAC=∠B（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠DAC=∠B【詳解】（1）DE=DF且如圖①，連接AD，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠BAD∴AD=在△AED和△CFD∴△AED∴DE=DF，又∵∠CDF∴∠ADE∴∠EDF∴DE⊥（2）若點(diǎn)E、F分別在線段AB，CA的延長線上，（1）中的結(jié)論依然成立，如圖②，連接∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)∴∠BAD∴AD=在△AED和△CFD∴△AED∴DE=又∵∠CDF∴∠ADE∴∠EDF∴DE⊥【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．【變式43】（2023春·河北廊坊·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AC=BC,∠A=∠ABC=45°,D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一動點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、B），連接CE，點(diǎn)F

(1)點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動（如圖1），當(dāng)CG=AE時，求證：(2)若點(diǎn)E運(yùn)動到線段BD上（如圖2），當(dāng)CG=AE時，試猜想(3)過點(diǎn)A作AH⊥CE，垂足為點(diǎn)H，并交CD的延長線于點(diǎn)M（如圖3），求證：【答案】(1)見解析(2)不變，見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠BCG=45°，再證明△ACE（2）用和（1）同樣的方法證明△ACE（3）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出CD⊥AB，則∠2+∠3=90°，根據(jù)AH⊥CE，則∠3+∠M=90°，即可得出∠2=∠M【詳解】（1）證明：∵AC=∴∠ACB∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴∠BCG在△ACE和△AC=∴△ACE∴BG=（2）解：BG、證明：∵AC=∴∠ACB∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴∠BCG在△ACE和△AC=∴△ACE∴BG=（3）解：∵AC=∴∠ACB∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∴∠2+∠3=90°，∵AH⊥∴∠3+∠M∴∠2=∠M∵∠1+∠M∴∠1=∠3，∴∠3+∠BCG=∠1+∠BAC在△BCE和△∠2=∠M∴△BCE

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形那個的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形是判定方法，以及等腰三角形“三線合一”．【題型5根據(jù)等腰三角形判定找出圖中的等腰三角形】【例5】（2023春·上海浦東新·八年級校聯(lián)考期末）已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E分別在CA，BA的延長線上，且BE＝CD，連BD，CE．（1）求證：∠D＝∠E；（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，則圖中共有個等腰三角形．【答案】（1）見解析；（2）5【分析】（1）證明△EBC≌△DCB（SAS），可得結(jié)論．（2）根據(jù)等腰三角形的定義，判斷即可．【詳解】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△EBC和△DCB中，BE=∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BE＝CD．（2）圖中共有5個等腰三角形．∵∠BAC＝108°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝36°，∵∠D＝∠E＝36°，∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE，∴∠DAB＝∠EAC＝72°，∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°，∴DB＝DA，EA＝EC，∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的判定，等腰三角形不要漏找．【變式51】（2023春·廣西欽州·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直線AC上取一點(diǎn)P，使得A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理，分情況討論，正確作圖，即可得到結(jié)論．