專題2411弧長(zhǎng)和扇形的面積（舉一反三）（滬科版）

專題24.11弧長(zhǎng)和扇形的面積【十四大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1求弧長(zhǎng)】 1【題型2利用弧長(zhǎng)及扇形面積公式求半徑】 5【題型3利用弧長(zhǎng)及扇形面積公式求圓心角】 8【題型4求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度】 11【題型5直接求扇形面積】 15【題型6求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積】 18【題型7求弓形面積】 24【題型8求其他不規(guī)則圖形的面積】 29【題型9求圓錐側(cè)面積】 34【題型10求圓錐底面半徑】 37【題型11求圓錐的高】 41【題型12求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角】 44【題型13圓錐的實(shí)際問題】 47【題型14圓錐側(cè)面上最短路徑問題】 51【知識(shí)點(diǎn)弧長(zhǎng)和扇形的面積】設(shè)⊙O的半徑為R，n°圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為弧長(zhǎng)公式：l=nπR扇形面積公式：S母線的概念：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周任意一點(diǎn)的線段。圓錐體表面積公式：S=πR【題型1求弧長(zhǎng)】【例1】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，如果⊙O的半徑為6，∠BCE=60°，那么BCD的長(zhǎng)為（

A．6π B．12π C．2π【答案】D【分析】連接OB、OD，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A=∠BCE=60°，由圓周角定理得出【詳解】解∶連接OB、OD，如圖所示∶

∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O∴∠A∴∠BOD∴BCD的長(zhǎng)=120故選∶D．【點(diǎn)睛】此題綜合考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式；熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．【變式11】（2023·四川成都·校考三模）“斐波那契螺旋線”（也稱“黃金螺旋”）是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，人類耳朵的形狀也符合這種螺旋形狀，這種形狀的構(gòu)造幫助人類可以更好地接收聲波，從而增強(qiáng)聽覺．現(xiàn)依次取邊長(zhǎng)為1，1，2，3，5……的正方形按如圖所示方式拼接，分別以每個(gè)正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，連接形成的螺旋曲線即為“斐波那契螺旋線”．那么前五個(gè)正方形內(nèi)形成的曲線ABCDEF的長(zhǎng)度是．

【答案】6【分析】觀察圖形可知，螺旋曲線的每一段都是以正方形的邊長(zhǎng)為半徑的14【詳解】解：由圖可知，正方形的邊長(zhǎng)依次為：1，1，2，3，5……，螺旋曲線的每一段都是以正方形的邊長(zhǎng)為半徑的14故前五個(gè)正方形內(nèi)形成的曲線ABCDEF的長(zhǎng)度是：14故答案為：6π【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是觀察圖形得出每一段圓弧對(duì)應(yīng)的正方形的邊長(zhǎng)．【變式12】（2023春·山西長(zhǎng)治·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，以AB為直徑的⊙O與AD相交于點(diǎn)E，與BD相交于點(diǎn)F，DF=BF，已知AB=2，∠C

A．π3 B．2π3 C．π【答案】D【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，等腰三角形三線合一性質(zhì)，圓周角定理，弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】如圖，連接AF,

∵AB為⊙O∴AF⊥∵DF=∴∠DAF∵平行四邊形ABCD，∠C∴∠DAF∴∠BOF∵AB=2∴OB=∴FB=故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，等腰三角形三線合一性質(zhì)，圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，熟練掌握弧長(zhǎng)公式，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【變式13】（2023·河南濮陽·統(tǒng)考一模）如圖，在扇形AOB中，圓心角∠AOB=60°，AO=2，分別以O(shè)A，OB的中點(diǎn)E，F(xiàn)

【答案】2【分析】如圖所示，連接CE，CF，證明四邊形OECF是菱形，得到∠OEC【詳解】解：如圖所示，連接CE，由題意得，OE=∴四邊形OECF是菱形，∴∠OEC∴CF=同理CE=∴圖中陰影部分的周長(zhǎng)為1+1+π故答案為：2π

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求弧長(zhǎng)，菱形的性質(zhì)與判定，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型2利用弧長(zhǎng)及扇形面積公式求半徑】【例2】（2023春·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，M是“不倒翁”與水平面的接觸點(diǎn)，PA，PB分別與AMB所在圓相切于點(diǎn)A，B．將“不倒翁”向右作無滑動(dòng)滾動(dòng)，使點(diǎn)B與水平面接觸，如圖3.若∠P=60°，水平面上點(diǎn)M與點(diǎn)B之間的距離為4π，則AMBA．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】如圖：過A、B作PA,PB的垂線交于點(diǎn)O，O即為圓心；再根據(jù)題意可得∠AOB【詳解】解：如圖：過A、B作PA,PB的垂線交于點(diǎn)設(shè)圓的半徑為r∵PA，PB分別與AMB所在圓相切于點(diǎn)A，B，∴O為圓心，∵∠P∴∠AOB∴∠MOB∵水平面上點(diǎn)M與點(diǎn)B之間的距離為4π∴MB∴120°×2πr解得：r=6故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長(zhǎng)的計(jì)算、切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是求出優(yōu)弧MB的圓心角．【變式21】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若弧長(zhǎng)為4πcm的扇形的面積為8πcm2【答案】4【分析】由一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是4πcm，扇形的面積為8πcm2，根據(jù)扇形的面積等于弧長(zhǎng)與半徑積的一半，即可求得答案．【詳解】設(shè)半徑是rcm，∵一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是4πcm，扇形的面積為8πcm2，∴8π=12×4π×r解得r=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題考查了扇形面積公式．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是熟記扇形的公式．【變式22】（2023春·湖北黃石·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC=60°，BC的長(zhǎng)是4π3，則⊙O的半徑是【答案】2【分析】連接OB、OC，利用弧長(zhǎng)公式轉(zhuǎn)化為方程求解即可；【詳解】連接OB、OC．∵∠BOC=2∠BAC=120°，BC的長(zhǎng)是4π∴120?π?r∴r=2．故答案為2．

．【點(diǎn)睛】考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長(zhǎng)公式．【變式23】（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓恰好與CD相切于點(diǎn)C，交AD于點(diǎn)E，若CE的長(zhǎng)為2π，則⊙A的半徑為．【答案】8【分析】連接AC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB∥CD，求出∠DAC=45°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出即可．【詳解】連接AC，∵CD切⊙A于C，∴AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠ACD=90°，∠DAC=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°=∠DAC，∵CE的長(zhǎng)為2π，∴45π×解得：AC=8，即⊙A的半徑是8，故答案為8．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，能求出∠DAC的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．【題型3利用弧長(zhǎng)及扇形面積公式求圓心角】【例3】（2023春·云南紅河·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將一個(gè)圓分割成三個(gè)扇形，它們的面積之比為2:3:4，則這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)為（

）A．80°、120°、C．50°、100°、【答案】A【分析】根據(jù)一個(gè)圓分割成三個(gè)扇形，它們的面積之比為2:3:4，可得這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)之比為2:3:4，可設(shè)這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)分別為2x,3x【詳解】解：∵一個(gè)圓分割成三個(gè)扇形，它們的面積之比為2:3:4，∴這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)之比為2:3:4，設(shè)這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)分別為2x2x解得：x=40°∴這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)分別為80°,120°,160°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形的圓心角，根據(jù)題意得到這三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)之比為2:3:4是解題的關(guān)鍵．【變式31】（2023·吉林·統(tǒng)考一模）圖1是等邊三角形鐵絲框ABC，按圖2方式變形成以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的扇形（圖形周長(zhǎng)保持不變），則所得扇形ABC的圓心角的度數(shù)是（

）A．45°． B．60°． C．90°π． D．180°【答案】D【分析】根據(jù)題意BC的長(zhǎng)就是邊BC的長(zhǎng)，由弧長(zhǎng)公式nπR180【詳解】解：設(shè)AB=∴C∴nπx解得：n=∴圓心角的度數(shù)為：180°故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，掌握公式和理解圖形變化前后對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式32】（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考二模）如圖1，點(diǎn)C是半圓AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C從點(diǎn)A開始向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，AC的弧長(zhǎng)l與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)至5秒時(shí)，∠AOC的度數(shù)為（

A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】C【分析】根據(jù)圖像可知半圓的周長(zhǎng)為10π進(jìn)而得到半圓的半徑為10，再根據(jù)題意得到弧長(zhǎng)l與時(shí)間t【詳解】解：設(shè)半圓的半徑為R，∠AOC根據(jù)圖像可知半圓的周長(zhǎng)為10π∴πR=10∴R=10設(shè)弧長(zhǎng)l與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式：l=∵圖像經(jīng)過20，∴k=∴弧長(zhǎng)l與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式為l=∴當(dāng)x=5秒時(shí)，l∴根據(jù)弧長(zhǎng)公式可知：nπ×10∴n=45°故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形關(guān)系，弧長(zhǎng)公式，一次函數(shù)圖像與性質(zhì)，掌握一次函數(shù)與幾何圖形關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式33】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）一個(gè)扇形的面積為10π，弧長(zhǎng)為10π3【答案】100°/100度【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)和扇形面積關(guān)系可得S=12lR【詳解】∵一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是10π3，面積是∴S=12lR，即∴S=10π=故答案為：100°．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算；弧長(zhǎng)的計(jì)算．熟記公式，理解公式間的關(guān)系是關(guān)鍵.【題型4求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度】【例4】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，OA⊥OB，C，D分別是射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，CD的長(zhǎng)始終為8，點(diǎn)E

【答案】2【分析】根據(jù)垂直的定義可知△AOB是直角三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知OE【詳解】解：連接OC，∵OA⊥∴∠AOB∴△AOB∵CD=8∴OE=∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為弧GD，∴弧GD的長(zhǎng)度：90°×π故答案為2π

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，直角三角形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式41】（2023春·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊AB重合（AB=6），其中量角器0刻度線的端點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，射線CP從CA處出發(fā)沿順時(shí)針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，CP與量角器的半圓弧交于點(diǎn)E，第20秒時(shí)點(diǎn)E在量角器上運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是

【答案】2【分析】首先連接OE，由∠ACB=90°，易得點(diǎn)E，A，B，C共圓，然后由圓周角定理，求得點(diǎn)【詳解】解：連接OE，

∵∠ACB∴A，B，C在以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓上，∴點(diǎn)E，A，B，C共圓，∵∠ACE∴∠AOE∴點(diǎn)E在量角器上運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)=120π·3故答案為：2π．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式42】（2023·河南信陽·校考三模）如圖，把一個(gè)含30°角的直角三角板ABC在桌面上沿著直線l無滑動(dòng)的翻滾一周，若BC=1，∠A=30°，則點(diǎn)A

【答案】8+3【分析】根據(jù)題意，可知點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑為AD和A'D，然后根據(jù)含30度角的直角三角形的特點(diǎn)求出【詳解】解：根據(jù)題意，可知點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑為AD和A'D，∠ACD在Rt△ABC∴AC=CD=∴點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為90180故答案為：8+33

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，確定出點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．【變式43】（2023春·四川廣元·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點(diǎn)E、F是以斜邊AB為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P是EF上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)【答案】23π【分析】令A(yù)B、AC、BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)O、G、H，連接OP、OC、OG、OH、【詳解】解：令A(yù)B、AC、BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)O、G、∵AB為⊙O直徑，點(diǎn)O為AB∴OA=∵∠ACB=90°，點(diǎn)O為∴OC=∴△COP∵點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，∴OM⊥PC，則∵點(diǎn)E、F是以斜邊AB為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑為以GH中點(diǎn)為圓心，以12GH為半徑，圓心角為∵點(diǎn)G、O、H、分別為AC、BC、∴GO∥BC，∵∠ACB∴四邊形GCHO為正方形，GH=∴OC=∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為60180故答案為：23【點(diǎn)睛】本題主要考查了求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及圓周角確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為以GH為直徑的半圓．【題型5直接求扇形面積】【例5】（2023·云南臨滄·統(tǒng)考三模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，其半徑為1，作OF⊥BC交⊙O于點(diǎn)

A．π3 B．2π5 C．3【答案】C【分析】連接OA、OB、OC，求出∠AOF【詳解】解：連接OA、OB、OC，∵正五邊形ABCDE，∴∠AOBOB=∵OF⊥∴∠BOF∴∠AOF∴S

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，掌握扇形面積公式和求出AC所對(duì)的圓心角度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式51】（2023·吉林·九年級(jí)校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△OAB是等邊三角形，AB=4，分別以點(diǎn)B，D為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫弧，與該矩形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留

【答案】8【分析】由矩形ABCD，△OAB是等邊三角形，AB=4，可得∠ABC=90°，∠ABO=60°，【詳解】解：∵矩形ABCD，△OAB是等邊三角形，AB∴∠ABC=90°，∠ABO∴∠OBC∴S陰影故答案為：83【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，扇形面積．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式52】（2023春·江蘇連云港·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知半徑為1的⊙O上有三點(diǎn)A、B、C，OC與AB交于點(diǎn)D，∠ADO=85°，∠CAB=20°

【答案】5π36【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠C=∠ADO【詳解】解：∵∠ADO=85°，∠∴∠C=∠∵OA=OC∴∠OAC=∠∴∠AOC=50°∴陰影部分的扇形OAC面積=50π故答案為：5π【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和求出∠AOC【變式53】（2023春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，以BC為直徑的半圓與AD邊只有一個(gè)交點(diǎn)，且AB=x，則陰影部分的面積為

【答案】π【分析】作OF⊥AD，則三角形BOP與三角形DEP全等，那么陰影部分的面積=扇形【詳解】解：作OF

∵∠∠∴△DFP≌∴根據(jù)扇形面積公式得：陰影部分面積=90故答案為：πx【點(diǎn)睛】本體考查了求不規(guī)則圖形的面積，解題的關(guān)鍵是看出陰影部分的面積是由哪幾部分組成的．然后根據(jù)面積公式計(jì)算．【題型6求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積】【例6】（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知A、D是⊙O上任意兩點(diǎn)，且AD=6，以AD為邊作正方形ABCD，若AD邊繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，則BC邊掃過的面積為

【答案】9【分析】如圖所示，連接OD、OC，過點(diǎn)O作OE⊥AD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)OE交BC于點(diǎn)F．則BC邊掃過的面積為以O(shè)C為外圓半徑、OF為內(nèi)圓半徑的圓環(huán)面積，利用垂徑定理即可得出DE=【詳解】解：如圖所示，連接OD、OC，過點(diǎn)O作OE⊥AD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)OE交

∵AD為弦，OE⊥∴由垂徑定理可得DE=∵四邊形ABCD為正方形，∴BC∥AD，∴∠CFO∴四邊形DEFC為矩形，CF=∵AD邊繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，則BC邊掃過的圖形為以O(shè)C為外圓半徑，OF為內(nèi)圓半徑的圓環(huán)，∴圓環(huán)面積為S=故答案為：9π【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理，平行線的性質(zhì)以及圓環(huán)的面積公式，結(jié)合AD邊的旋轉(zhuǎn)，找出BC邊旋轉(zhuǎn)過程中掃過的區(qū)域的形狀是解題的關(guān)鍵．【變式61】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，OA=1，將OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OA1，掃過的面積記為S1，A1A2⊥OA1交x軸于點(diǎn)A2；將OA2繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OA3，掃過的面積記為S2，A3A4⊥OA3交y【答案】2【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出扇形的半徑，寫出部分Sn的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律S【詳解】由題意△A1OA2、△∴OA2=2，OA4∴S1=45π×12360=18π∴Sn∴S2022故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及扇形的面積，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律Sn【變式62】（2023春·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的位置如圖所示．（每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1

(1)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△(2)將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△A2BC【答案】(1)見詳解(2)見詳解，13【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、（2）分別作出點(diǎn)A、C繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再順次連接可得【詳解】（1）解：如下圖，△A

（2）如圖，△A由圖可知，AB=則線段BA掃過的區(qū)域的面積為S=【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖﹣中心對(duì)稱變換和旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理以及扇形面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)中心對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．【變式63】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在平面內(nèi)，將小棒AB經(jīng)過適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，使它調(diào)轉(zhuǎn)方向(調(diào)轉(zhuǎn)前后的小棒不一定在同一條直線上)，那么小棒掃過區(qū)域的面積如何盡可能地小呢？已知小棒長(zhǎng)度為4，寬度不計(jì)．方案1：將小棒繞AB中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°到B'A'，設(shè)小棒掃過區(qū)域的面積為S1方案2：將小棒先繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AC，再繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到CB，最后繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到B'A'

(1)①S1=______，S2=______；②比較S1與S2的大?。?參考數(shù)據(jù)：π≈3.14，(2)方案2可優(yōu)化為方案3：首次旋轉(zhuǎn)后，將小棒先沿著小棒所在的直線平移再分別進(jìn)行第2、3次旋轉(zhuǎn)，三次旋轉(zhuǎn)掃過的面積會(huì)重疊更多，最終小棒掃過的區(qū)域是一個(gè)等邊三角形．①補(bǔ)全方案3的示意圖；②設(shè)方案3中小棒掃過區(qū)域的面積為S3，求S(3)設(shè)計(jì)方案4，使小棒掃過區(qū)域的面積S4小于S【答案】(1)①4π，8π-(2)①見解析；②S(3)見解析【分析】（1）①利用圓的面積公式計(jì)算S1，利用方案2掃過區(qū)域?yàn)槿齻€(gè)圓心角為60°且半徑為4的扇形面積減去兩倍△ABC的面積計(jì)算②利用參考數(shù)據(jù)計(jì)算近似值再比較即可；（2）①依題意補(bǔ)全方案3的示意圖即可；②利用等邊三角形的高是4，計(jì)算出底邊，再利用面積公式計(jì)算即可；（3）作等邊△ABC，首先讓點(diǎn)B在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A在CB的延長(zhǎng)線上，運(yùn)動(dòng)，使得AB的長(zhǎng)度保持不變，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，由此AB邊調(diào)轉(zhuǎn)到ACA'B'邊，接著兩次同樣的方式旋轉(zhuǎn)到BC【詳解】（1）解：①由依題意得：AB=2r∴r∴S又依題意得：方案2掃過區(qū)域?yàn)槿齻€(gè)圓心角為60°且半徑為4的扇形面積減去兩倍△ABC的面積．等邊三角形的面積公式：S=3∴S故答案是：4π，8②∵S1=4π≈4×3.14=12.56，∴S1（2）①依題意補(bǔ)全方案3的示意圖如下：

②連接EM，M為切點(diǎn)，則AA'

設(shè)AM=x，則由勾股定理得：AM2+解得：x=∴AA∴S3（3）設(shè)計(jì)方案4：如下圖，△ABC是等邊三角形，首先讓點(diǎn)B在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A在CB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，使得AB的長(zhǎng)度保持不變，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，由此AB邊調(diào)轉(zhuǎn)到ACA'B'

對(duì)于第一次旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)AB旋轉(zhuǎn)到DH時(shí)，此時(shí)DH⊥又作DE平行AB依題意得：陰影部分比等邊三角形ABC多三塊全等的圖形，記每塊面積為a，則有a<S△ADF，∵S△∴S△∴a<∴S4【題型7求弓形面積】【例7】（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，BD⊥CE于點(diǎn)D，(1)求證：直線CE是⊙O(2)若∠ABC=30°,⊙O【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）連接OC，根據(jù)OB=OC，以及BC平分∠ABD推導(dǎo)出∠OCB=∠DCB，即可得出（2）過點(diǎn)O作OF⊥CB于F，利用【詳解】（1）證明：連接OC，如圖，∵OB=∴∠OBC∵BC平分∠ABD∴∠OBC∴∠OCB∴BD∥∵BD⊥CE于點(diǎn)∴OC⊥∴直線CE是⊙O（2）過點(diǎn)O作OF⊥CB于∵∠ABC=30°，∴OF=1，BF∴BC=2∴S△∵∠BOF∴∠BOC∴S扇形∴S陰影【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問題，包括垂徑定理，圓的切線，扇形的面積公式等，熟練掌握以上性質(zhì)并正確作出輔助線是本題的關(guān)鍵．【變式71】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，若CD=23，CB＝2，則陰影部分的面積是【答案】2【分析】連接OC，設(shè)CD與AB的交點(diǎn)為E，利用垂徑定理、勾股定理判定△OBC是等邊三角形，運(yùn)用扇形的面積減去△OBC的面積即可．【詳解】連接OC，設(shè)CD與AB的交點(diǎn)為E，∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，CD=23，CB＝∴CE=3，∴∠ECB=30°，∠CBE=60°，∵CO=BO，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC=60°，OC=OB=2，∴S=2π故答案為：2π【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，扇形的面積公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式72】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將半徑為5cm的扇形OAB沿西北方向平移2cm，得到扇形O'A'B【答案】25【分析】設(shè)AB分別與O'A'、O'B'交于F、E，延長(zhǎng)【詳解】解：設(shè)AB分別與O'A'、O'B'交于F、由題意得O'E=∴S陰影故答案為：25π【點(diǎn)睛】本題主要考查了求不規(guī)則圖形的面積，平移的性質(zhì)，正確理解題意得到S陰影【變式73】（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，已知⊙O的半徑為1，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB=150°，則弓形ACB【答案】π【分析】在弦AB把⊙O分成的優(yōu)弧上取一點(diǎn)D，連接OA，OB，AD，BD，過點(diǎn)O作OE⊥AB于E．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理確定