專題01勾股定理重難點復習（原卷版）

專題01勾股定理重難點復習思維導圖核心考點聚焦1.勾股樹(數(shù))問題2.勾股定理與面積問題3.勾股定理與網(wǎng)格問題4.勾股定理與折疊問題5.勾股定理的證明方法6.利用勾股定理逆定理說明三角形是直角三角形7.用勾股定理構造圖形解決問題8.用勾股定理求最短路徑問題一、勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關系.（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.二、勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.，所以.三、勾股數(shù)滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對解題會很有幫助：①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；④7，24，25；⑤9，40，41……如果是勾股數(shù)，當為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必是直角三角形．四、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.要點詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.1.勾股定理的證明：理解勾股定理的證明方法，能夠利用等積法證明勾股定理.2.勾股定理中與面積、折疊等相關的問題是難點問題，需要進行總結和練習.3.勾股定理的逆定理的作用是判斷某一個三角形是否是直角三角形.如何判定一個三角形是否是直角三角形的步驟：首先確定最大邊（如），然后驗證與是否具有相等關系.若，則△ABC是∠C為90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.延伸：當時，此三角形為鈍角三角形；當時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.考點剖析考點一、勾股樹(數(shù))問題例題1：下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，， B．4，5，6 C．1，2， D．8，15，17【答案】D【解析】A、1，，這一組數(shù)中的數(shù)不都是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；B、∵，∴這一組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意；C、1，2，這一組數(shù)中的數(shù)不都是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；D、∵，∴這一組數(shù)是勾股數(shù)，符合題意；故選D．考點二、勾股定理與面積問題例題2：在如圖的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，三個正方形A，B，C的面積分別用，，表示，則圖中，，，.請寫出、、之間的關系式:．【答案】16，9，，【解析】依題意，16，，∵在如圖的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，∴根據(jù)勾股定理，得正方形C的邊長為，∴，∵16，，，∴．故答案為：16，9，，．考點三、勾股定理與網(wǎng)格問題例題3：如圖，正方形網(wǎng)格中，每一小格的邊長為1，P，A，B均為格點．（1）；（2）點B到直線的距離是；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1），故答案為：；（2）如圖，延長到格點C，連接，由圖可得：，，，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴點B到直線的距離是線段的長，且，故答案為：；（3）由（2）知，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故答案為：．考點四、勾股定理與折疊問題例題4：如圖，把一張長方形紙片折疊起來，為折痕，使其對角頂點A與重合，與重合．若長方形的長為，寬為．（1）求的長；(2)求的長；(3)求陰影部分的面積．【解析】（1）由折疊可知．設，則．在中，，，解得，.（2）如圖，過點作于，則，在中，由勾股定理得，又，∴，．，，

，.（3）如圖，過點作于，，，，，，．考點五、勾股定理的證明方法例題5：《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學發(fā)展史的一個里程碑．在該書的第2卷“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結論．如圖，在中，，，，，以為直角邊在的右側作等腰直角，其中，∠ABD=90°，過點作，垂足為點．(1)求證：，；(2)請你用兩種不同的方法表示梯形的面積，并證明：；(3)若，，求中邊上的高．【解析】（1）證明：如圖，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵在中，，∴，∴．在和中，，∴，∴，．（2）證明：，，∴，∴，∴，∴.（3）∵，，，∴．∵為邊長，為正值，∴，∵，∴，∴．考點六、利用勾股定理的逆定理說明三角形是直角三角形例題6：如圖，在筆直的公路旁有一座山，從山另一邊的處到公路上的停靠站A的距離，到公路上另一停靠站的距離，停靠站之間的距離為，為方便運輸貨物，現(xiàn)要從公路上的處開鑿隧道修通一條公路到處，且．(1)請判斷的形狀，并說明理由；(2)求修建的公路的長．【解析】（1）是直角三角形．理由如下：，∴，是直角三角形.（2），，，即修建的公路的長為．考點七、用勾股定理構造圖形解決問題例題7：如圖，某自動感應門的正上方A處裝著一個感應器，離地的高度為米，當人體進入感應器的感應范圍內(nèi)時，感應門就會自動打開．一個身高米的學生正對門，緩慢走到離門米的地方時米），感應門自動打開，為多少米？【解析】如圖，過點作于點，米，米，米，（米）．在中，由勾股定理得到：．答：為1.5米．考點八、用勾股定理求最短路徑問題例題8：問題情境：如圖①，一只螞蟻在一個長為，寬為的長方形地毯上爬行，地毯上堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側棱平行且等于寬，木塊從正面看是一個邊長為的等邊三角形，求一只螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程．(1)數(shù)學抽象：將螞蟻爬行過的木塊的側面“拉直”“鋪平”，“化曲為直”，請在圖②中用虛線補全木塊的側面展開圖，并用實線連接；(2)線段的長即螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程，依據(jù)是_________；(3)問題解決：求出這只螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程．【解析】（1）如圖所示，AC即為所求.（2）線段的長即螞蟻從點A處到達點處需要走的最短路程，依據(jù)是兩點之間線段最短．故答案為：兩點之間線段最短.（3）根據(jù)題意可得：展開圖中的（），．在中，由勾股定理可得：（），即這只螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程為．過關檢測一、選擇題1．以下四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（

）A．3，4，5 B．5，12，13 C．4，5，6 D．6，8，102．如圖，在長方形中，，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為，則△的面積為（

）A．6 B． C． D．123．如圖，陰影部分表示以的各邊為直徑的三個半圓所組成的兩個新月形，面積分別記作和．若，，則陰影部分的面積是（）A． B． C．14 D．244．如圖，由六個邊長為1的小正方形構成一個大長方形，連接小正方形的三個頂點，可得到，則中邊上的高是（

）A． B． C． D．5．《九章算術》是中國古代的數(shù)學著作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？其大意：如圖，推開雙門（大小相同），雙門間隙寸，點C、點D與門檻的距離尺（1尺寸），則的長是（

）A．26寸 B．寸 C．52寸 D．101寸二、填空題6．中，，．7．如圖，由兩個直角三角形和三個正方形組成的圖形，其中陰影部分的面積是．8．勾股定理在《九章算術》中的表述是：“勾股術曰：勾股各自乘，并而開方除之，即弦”．即（a為勾，b為股，c為弦），若“勾”為6，“股”為8，則“弦”是．9．如圖，點A是某景點所在的位置，游客可以在游客觀光車站或處乘車前往，且，因道路施工，點到點A段現(xiàn)暫時封閉，為方便出行，在這條路上的處修建了一個臨時車站，由處亦可直達A處，若，則路線的長為．10．如果三角形有一條邊上的中線長恰好等于這條邊的長，那么稱這個三角形是“美好三角形”，這條中線為“美好中線”．如圖，在中，，較短的一條直角邊，且是“美好三角形”，則的“美好中線”的長為．三、解答題11．在中，，若，且．(1)求的長；(2)過點C作于D，求的長．12．大豐施耐庵公園是許多青少年喜愛的場所．如圖是公園內(nèi)一個滑梯的示意圖，左邊是樓梯，中間是過道，右邊是滑道，已知滑道與的長度一樣，滑梯的高度米，米．(1)要想求的長度，我們可以設為米，則______米；(2)請求出滑梯的長度．13．港珠澳大橋是一座連接香港，廣東珠海和澳門的跨海大橋，總長．現(xiàn)有一艘游輪即將靠岸，當游輪到達B點后熄滅發(fā)動機，在離水面高度為的岸上，工作人員用繩子牽引靠岸，開始時繩子的長為．（假設繩子是直的，結果保留根號）(1)若工作人員以的速度收繩．后船移動到點D的位置，問此時游輪距離岸邊還有多少米；(2)若游輪熄滅發(fā)動機后保持的速度勻速靠岸，后船移動到E點，問工作人員手中的繩子被收上來多少米．14．如圖，一架長的梯子斜靠在豎直的墻壁上，這時梯子的底端B到墻壁的距離，當梯子的頂端A沿墻壁下滑到達點時，底端B沿水平地面向外滑動到點．當時，線段的長度與線段的長度相等嗎？你是怎樣知道的？15．如圖，有一架救火飛機沿東西方向，由點A飛向點，在直線的正下方有一