專題114有理數(shù)章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（滬科版）

專題1.14有理數(shù)章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1數(shù)軸中的新定義問題】 1【題型2數(shù)軸中的動(dòng)點(diǎn)問題】 8【題型3絕對值中的最值問題】 14【題型4分類討論多絕對值問題】 19【題型5有理數(shù)中的規(guī)律探究】 22【題型6有理數(shù)中的對折問題】 29【題型7幻方的應(yīng)用】 34【題型8有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】 38【題型1數(shù)軸中的新定義問題】【例1】（2023春·浙江金華·七年級?？计谥校┒x：若A、B、C為數(shù)軸上三個(gè)不同的點(diǎn)，若點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離和點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離的2倍的和為10，我們就稱點(diǎn)C是A,B的美好點(diǎn)．例如：點(diǎn)M、N、P表示的數(shù)分別為-6、2、0，則點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離是6，到點(diǎn)N的距離是2，那么點(diǎn)P是M,N的美好點(diǎn)，而點(diǎn)P(1)若點(diǎn)M、N、P表示的數(shù)分別為3、6、7，則是[，]的美好點(diǎn)．（空格內(nèi)分別填入M、N、P）(2)若點(diǎn)M、P表示的數(shù)分別為-4、-2，且P是M,N的美好點(diǎn)，則點(diǎn)(3)如圖，數(shù)軸上A，B，C三點(diǎn)分別表示的數(shù)為-10、12、2，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)以每秒8個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它到達(dá)A點(diǎn)后立即以相同的速度返回往B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并持續(xù)在A，B兩點(diǎn)間往返運(yùn)動(dòng)．在Q點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度向右勻速運(yùn)動(dòng)，直到當(dāng)點(diǎn)P達(dá)到C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P，Q停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)C恰好為P【答案】(1)M，P，N(2)?6或2(3)119或97或359【分析】（1）先求出點(diǎn)M到點(diǎn)P和點(diǎn)N的距離，再根據(jù)美好點(diǎn)的定義，即可得到答案；（2）設(shè)點(diǎn)N表示的數(shù)為n，得到點(diǎn)P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離，再根據(jù)美好點(diǎn)的定義，即可得到答案；（3）分三種情況討論：①當(dāng)0<t<114時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q第一次從B點(diǎn)出發(fā)向左勻速運(yùn)動(dòng)；②當(dāng)114≤t<112時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q第一次到達(dá)A點(diǎn)這番折返出發(fā)向右勻速運(yùn)動(dòng)；③當(dāng)【詳解】（1）解：點(diǎn)M、N、P表示的數(shù)分別為3、6、7，∴點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離是4，到點(diǎn)N的距離是3，∵4+3×2=10，∴點(diǎn)M是P,故答案為：M，P，N;（2）解：設(shè)點(diǎn)N表示的數(shù)為n，∵點(diǎn)M、P表示的數(shù)分別為-4、-∴點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離是2，到點(diǎn)N的距離是n∵點(diǎn)P是M,∴2+2n∴n=-6或（3）解：①當(dāng)0<t<114時(shí)，此時(shí)點(diǎn)根據(jù)題意得：點(diǎn)P表示的數(shù)為-10+2t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為∵點(diǎn)C表示的數(shù)為2，∴CP=2--∵點(diǎn)C恰好為P,∴12-2t當(dāng)0<t<5解得：t=當(dāng)54≤t解得：t=②當(dāng)114≤t<11根據(jù)題意得：點(diǎn)P表示的數(shù)為-10+2t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為∵點(diǎn)C表示的數(shù)為2，∴CP=2--∵點(diǎn)C恰好為P,∴12-2t當(dāng)114<t解得：t=當(dāng)174≤t解得：t=③當(dāng)112≤t≤6時(shí)，此時(shí)點(diǎn)點(diǎn)P表示的數(shù)為-10+2t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為∴CP=2--∵點(diǎn)C恰好為P,∴12-2t解得：t=綜上可知，當(dāng)t值為119或97或359或337秒時(shí)，點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，動(dòng)點(diǎn)問題，正確理解美好點(diǎn)的定義，利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．【變式11】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·七年級統(tǒng)考期中）材料一：對任意有理數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”，a?b=a+材料二：規(guī)定a表示不超過a的最大整數(shù)，如3.1=3，-2=-2(1)2?6=______，-ππ(2)求1?2?3?4…?2022?2023的值：(3)若有理數(shù)m，n滿足m=2n=3【答案】(1)-20072(2)2023(3)-【分析】（1）根據(jù)材料1新定義的運(yùn)算“?”的概念即可求出2?6的值，根據(jù)材料2中的定義即可求出-π（2）根據(jù)新定義函數(shù)把1?2?3?4…?2022?2023變形為加減運(yùn)算，再根據(jù)運(yùn)算順序即可求出1?2?3?4…?2022?2023的值；（3）根據(jù)m=2n=3n+1求出m的值和n【詳解】（1）解：∵a?∴2?6=∵-π∴-ππ故答案為：-20072，（2）依題意，1?2?3?4…?2022?2023=1+2+3+……+2023+2022×==2023；（3）∵n+1=n∴2n∴n=-3∴m=2×-3∴m+n∴m?m+【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．【變式12】（2023春·廣西南寧·七年級南寧市第四十七中學(xué)校考期中）對于數(shù)軸上的A，B，C三點(diǎn)，給出如下定義：若其中一個(gè)點(diǎn)與另外兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的“聯(lián)盟點(diǎn)”．例如：數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時(shí)點(diǎn)B是點(diǎn)A，C的“聯(lián)盟點(diǎn)”．(1)若點(diǎn)A表示數(shù)-3，點(diǎn)B表示數(shù)3，下列各數(shù)，-1，0，1所對應(yīng)的點(diǎn)分別是C1,C2,C3，其中是點(diǎn)A(2)點(diǎn)A表示數(shù)-10，點(diǎn)B表示數(shù)5，P①若點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，且點(diǎn)P是點(diǎn)A，B的“聯(lián)盟點(diǎn)”，求此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)；②若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P，A，B中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是另外兩個(gè)點(diǎn)的“聯(lián)盟點(diǎn)”，求此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)．【答案】(1)C1，(2)①-25；②20或35或【分析】（1）根據(jù)“聯(lián)盟點(diǎn)”的定義列出絕對值方程即可求解；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式以及新定義，分類討論，列出一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，且C點(diǎn)是點(diǎn)A，B的“聯(lián)盟點(diǎn)∴根據(jù)-1，0，1三個(gè)數(shù)在數(shù)A、B之間，可得CA=2CB∴x+3=2|x當(dāng)x+3=2|x-3|當(dāng)|x-3|=2x+3∴C1，C3是點(diǎn)A，故答案為：C1，C（2）①設(shè)P點(diǎn)表示的數(shù)是a，點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，∴PA＜PB，PA=-10-∵點(diǎn)P是點(diǎn)A，B的“聯(lián)盟點(diǎn)∴PB=2∴2-解得a=-25即P點(diǎn)表示的數(shù)是-25②設(shè)P點(diǎn)表示的數(shù)是b，點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，當(dāng)P是點(diǎn)A，B的“聯(lián)盟點(diǎn)”時(shí)，∴b+10=2解得b=20當(dāng)A是點(diǎn)P，B的“聯(lián)盟點(diǎn)”時(shí)，PA=2∴b+10=2×15解得b=20當(dāng)B是點(diǎn)P，A的“聯(lián)盟點(diǎn)”時(shí)，PB=2AB或∴b-5=2×15或解得b=35或b綜上所述：P點(diǎn)表示的數(shù)為20或35或12.5．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何新定義，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，絕對值的意義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式13】（2023春·安徽滁州·七年級校考期中）已知A、B、C為數(shù)軸上三點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離3倍時(shí)，則稱點(diǎn)C是A，B的三倍點(diǎn)，不是B，A的三倍點(diǎn)．若數(shù)軸上點(diǎn)A在原點(diǎn)的左邊，且到原點(diǎn)的距離為(1)直接寫出A、(2)若點(diǎn)C是A，B的三倍點(diǎn)，求點(diǎn)(3)若點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊，是否存在使得A、B、【答案】(1)點(diǎn)A表示的數(shù)為-1，點(diǎn)B表示的數(shù)為(2)點(diǎn)C表示的數(shù)為2或5(3)存在，-13或-73或【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)A在原點(diǎn)的左邊，且到原點(diǎn)的距離為1可得出點(diǎn)A表示的數(shù)，根據(jù)點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊，且到點(diǎn)A的距離為4可得出點(diǎn)B表示的數(shù)；（2）設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為a，根據(jù)題意可得a-（3）分四種情況：①若點(diǎn)A是C，B的三倍點(diǎn)；②若點(diǎn)A是B，C的三倍點(diǎn)；③若點(diǎn)B是C，A的三倍點(diǎn)；④若點(diǎn)B是A，【詳解】（1）解：∵數(shù)軸上點(diǎn)A在原點(diǎn)的左邊，且到原點(diǎn)的距離為1，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為-1∵點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊，且到點(diǎn)A的距離為4，∴點(diǎn)B表示的數(shù)為3；（2）解：設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為a，由題意可得a-a+1=±3解得a=2或a點(diǎn)C表示的數(shù)為2或5；（3）解：存在．假設(shè)存在點(diǎn)C為b，滿足題意，①若點(diǎn)A是C，由題意可得，-1-解得：b=-13點(diǎn)C為-13②若點(diǎn)A是B，由題意可得，3-解得：b=-點(diǎn)C為-7③若點(diǎn)B是C，由題意可得，3-b解得b=-9點(diǎn)C為-9④若點(diǎn)B是A，由題意可得，3--解得b=點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊，即b<-1因?yàn)?3所以不符合題意；⑤若C是B，由題意可得，3-b解得b=-3故點(diǎn)C表示的數(shù)為-13或-73或-9或【點(diǎn)睛】本題主要考查了用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，正確理解“三倍點(diǎn)”的定義，采用分類討論的思想解題，是解題的關(guān)鍵．【題型2數(shù)軸中的動(dòng)點(diǎn)問題】【例2】（2023春·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期中）閱讀：如圖，已知數(shù)軸上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，它們表示的數(shù)分別是-18，-8，8．A到C的距離可以用AC表示，計(jì)算方法：C表示的數(shù)8，A表示的數(shù)-18，8大于-18，用

(1)填空：AB=______，BC=(2)若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒4個(gè)單位長度和9個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，試探索：BC-AB的值是否隨著時(shí)間(3)現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P、Q都從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度向右移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)6秒時(shí)，點(diǎn)Q才從A點(diǎn)出發(fā)，并以每秒2個(gè)單位長度的速度向右移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒0≤t≤19，寫出P、Q兩點(diǎn)間的距離（用含【答案】(1)10，16(2)不會(huì)改變，見解析(3)t或-t+12【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意求出點(diǎn)A，B，C向右移動(dòng)后表示的數(shù)，然后根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式出表示AB，BC的值，最后再進(jìn)行計(jì)算即可；（3）分三種情況討論，點(diǎn)Q在點(diǎn)A處，點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右邊，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右邊．【詳解】（1）解：AB=-8--18（2）解：不變，因?yàn)椋航?jīng)過t秒后，A，B，C三點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)分別是-18-t，-8+4所以：BC=8+9t--所以：BC-所以BC-AB的值不會(huì)隨著時(shí)間（3）解：經(jīng)過t秒后，P，Q兩點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)分別是-18+t，當(dāng)點(diǎn)Q追上點(diǎn)P時(shí)，-18+解得：t=12①當(dāng)0<t≤6時(shí)，點(diǎn)Q在還點(diǎn)所以：PQ=②當(dāng)6<t≤12時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)所以：PQ=-18+③當(dāng)12<t≤19時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)所以：PQ=-18+2綜上所述，P、Q兩點(diǎn)間的距離為t或-t+12或【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，數(shù)軸，熟練掌握用數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離表示線段長是解題的關(guān)鍵，同時(shí)滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想．【變式21】（2023春·吉林·七年級校聯(lián)考期末）如圖，已知點(diǎn)A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為a，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為b，且a，b滿足a+20（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)a和b；（2）現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向右以每秒4個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.①若點(diǎn)P和點(diǎn)Q相遇于點(diǎn)C,求點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q相距15個(gè)單位長度時(shí)，直接寫出t的值.【答案】（1）a=-20，b=40；（2）①20；②t=7.5【分析】(1)由絕對值和偶次方的非負(fù)性即可求出a、b值；(2)①t秒后P點(diǎn)表示的數(shù)為：-20+4t，t秒后Q點(diǎn)表示的數(shù)為：40-2t，根據(jù)t秒后P點(diǎn)和Q②分當(dāng)P和Q未相遇時(shí)相距15個(gè)單位及當(dāng)P和Q相遇后相距15個(gè)單位列式子即可得出答案．【詳解】解：（1）由題意中絕對值和偶次方的非負(fù)性知，a+20=0且b解得a=-20，b=40故答案為：a=-20，b（2）①P點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)的路程為4tt秒后其表示的數(shù)為：-20+4Q點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)的路程為2tt秒后其表示的數(shù)為：40-2t由于P和Q在t秒后相遇，故t秒后其表示的是同一個(gè)數(shù)，∴-20+4t=40-2t解得∴此時(shí)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為：-20+4×10=20.故答案為：20.②情況一：當(dāng)P和Q未相遇時(shí)相距15個(gè)單位，設(shè)所用的時(shí)間為t故此時(shí)有：4解得t1情況二：當(dāng)P和Q相遇后相距15個(gè)單位，設(shè)所用的時(shí)間為t故此時(shí)有：4解得t2=12.5故答案為：t=7.5或12.5【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、兩點(diǎn)間的距離、數(shù)軸、絕對值以及偶次方的非負(fù)性，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離結(jié)合線段間的關(guān)系列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式22】（2023春·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期末）已知A，B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別用a，b表示，且點(diǎn)B距離原點(diǎn)10個(gè)單位長度，且位于原點(diǎn)左側(cè)，將點(diǎn)B先向右平移35個(gè)單位長度，再向左平移5個(gè)單位長度，得到點(diǎn)A，P是數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)在數(shù)軸上標(biāo)出A、B的位置，并求出A、B之間的距離；(2)已知線段OB上有點(diǎn)C且BC=6，當(dāng)數(shù)軸上有點(diǎn)P滿足PB=2PC(3)動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)開始第一次向左移動(dòng)1個(gè)單位長度，第二次向右移動(dòng)3個(gè)單位長度，第三次向左移動(dòng)5個(gè)單位長度，第四次向右移動(dòng)7個(gè)單位長度，…點(diǎn)P能移動(dòng)到與A或B重合的位置嗎?若不能，請說明理由．若能，第幾次移動(dòng)與哪一點(diǎn)重合?

【答案】（1）A、B位置見解析，A、B之間距離為30；（2）2或6；（3）第20次P與A重合；點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合．【分析】（1）點(diǎn)B距離原點(diǎn)10個(gè)單位長度，且位于原點(diǎn)左側(cè)，得到點(diǎn)B表示的數(shù)，再根據(jù)平移的過程得到點(diǎn)A表示的數(shù)，在數(shù)軸上表示出A、B的位置，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，求出A、B之間的距離即可；（2）設(shè)P點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為x，當(dāng)P點(diǎn)滿足PB=2PC時(shí)，得到方程，求解即可；（3）根據(jù)第一次點(diǎn)P表示1，第二次點(diǎn)P表示2，點(diǎn)P表示的數(shù)依次為3，4，5，6…，找出規(guī)律即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)B距離原點(diǎn)10個(gè)單位長度，且位于原點(diǎn)左側(cè)，∴點(diǎn)B表示的數(shù)為10，∵將點(diǎn)B先向右平移35個(gè)單位長度，再向左平移5個(gè)單位長度，得到點(diǎn)A，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為20，∴數(shù)軸上表示如下：

AB之間的距離為：20（10）=30；（2）∵線段OB上有點(diǎn)C且BC=6∴點(diǎn)C表示的數(shù)為4，∵PB=2設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，則x+10解得：x=2或6，∴點(diǎn)P表示的數(shù)為2或6；（3）由題意可知：點(diǎn)P第一次移動(dòng)后表示的數(shù)為：1，點(diǎn)P第二次移動(dòng)后表示的數(shù)為：1+3=2，點(diǎn)P第三次移動(dòng)后表示的數(shù)為：1+35=3，…，∴點(diǎn)P第n次移動(dòng)后表示的數(shù)為（1）n?n，∵點(diǎn)A表示20，點(diǎn)B表示10，當(dāng)n=20時(shí)，（1）n?n=20；當(dāng)n=10時(shí)，（1）n?n=10≠10，∴第20次P與A重合；點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸，絕對值，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的綜合應(yīng)用，正確分類是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意：數(shù)軸上各點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系．【變式23】（2023春·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中）伴隨著連淮揚(yáng)鎮(zhèn)鐵路淮鎮(zhèn)段的首發(fā)運(yùn)行，世界首座高速鐵路懸索橋——五峰山長江大橋正式開通運(yùn)營.如圖，點(diǎn)O為原點(diǎn)，向右為正方向.甲動(dòng)車位于AB處，向右行駛.乙動(dòng)車位于CD處，向左行駛.五峰山長江大橋主橋?yàn)锽C；甲、乙兩動(dòng)車長度相等，速度均為80米/秒.A、B、C、(1)b=______，BC間的距離是______米，AC間的距離是______(2)從此刻開始算起，甲動(dòng)車A處有個(gè)在座位上的乘客記為點(diǎn)M，求甲動(dòng)車行駛多少秒時(shí)，點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離等于100米？(3)從此刻開始算起，甲動(dòng)車A處有個(gè)在座位上的乘客記為點(diǎn)M，求甲動(dòng)車行駛多少秒時(shí)，點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離之和等于1700米？(4)兩車同時(shí)運(yùn)行，若甲動(dòng)車A處的乘客記為點(diǎn)M，向右走，速度為2米/秒、乙動(dòng)車處于中點(diǎn)位置的座位上的乘客記為點(diǎn)N，乘客M從車尾走到車頭的過程中是否存在一段時(shí)間t，恰好M、N同時(shí)在五峰山長江大橋上？如存在，請直接寫出t【答案】(1)100；1400；1600(2)754秒或85(3)58秒或175(4)2675【分析】（1）先求出a、（2）根據(jù)速度、路程、時(shí)間的關(guān)系，分兩種情況計(jì)算即可；（3）根據(jù)速度、路程、時(shí)間的關(guān)系，分兩種情況計(jì)算即可；（4）確定M、【詳解】（1）解：∵a∴a+100=0，c-∴a=-100，c=1500，∵甲、乙兩動(dòng)車長度相等∴b=-100+(1700-1500)=100BC=1500-100=1400（米）AC=1500-(-100)=1600故答案為：100，1400，1600；（2）解：1600-100=1500（米），1600+100=1700（米）1500÷80=751700÷80=85答：甲動(dòng)車行駛754秒或854秒時(shí)，，點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離等于（3）解：分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)；1700-1400=300（米）300÷2=150（米）200-150=50（米）50÷80=58當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)；1700-1400=300（米）300÷2=150（米）1600+150=1750（米）1750÷80=175答：甲動(dòng)車行駛58秒或1758秒時(shí)，點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離之和等于（4）解：存在；乘客M到達(dá)點(diǎn)B的時(shí)間為：200÷(80+2)=10041乘客M到達(dá)點(diǎn)C的時(shí)間為：1600÷(80+2)=800乘客N到達(dá)點(diǎn)C的時(shí)間為：(1600-1500)÷80=5乘客N到達(dá)點(diǎn)B的時(shí)間為：(1600-100)÷80=7510041>5754故t的值為：2675164【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、有理數(shù)的混合運(yùn)算；熟練根據(jù)數(shù)軸上的兩點(diǎn)求距離是解題的關(guān)鍵．【題型3絕對值中的最值問題】【例3】（2023春·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期中）數(shù)軸上表示數(shù)-5的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離可記作|-5-0|=|-5|=5；表示數(shù)-5的點(diǎn)與表示數(shù)-2的點(diǎn)的距離可記作|-5-(-2)|=|-3|=3．也就是說，在數(shù)軸上，如果A點(diǎn)表示的數(shù)記為a，B點(diǎn)表示的數(shù)記為b回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示-3和2的兩點(diǎn)之間的距離是_____________，數(shù)軸上表示-2和3的兩點(diǎn)之間的距離是(2)數(shù)軸上表示x與-2的兩點(diǎn)A和B之間的距離為5，那么x為_____________(3)①找出所有使得|x+1|+|x②求|x【答案】(1)5，5(2)3，-(3)①-1，0，1，2．

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式直接代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式直接代入可得A，B之間的距離為x+2；當(dāng)AB=5時(shí)，即（3）①從數(shù)軸上可以看出只要x取-1和2之間的數(shù)（包括-1，2）就有|x②對x進(jìn)行討論，可得|x【詳解】（1）表示-3和2的兩點(diǎn)之間的距離是|-3-2|=5表示-2和3的兩點(diǎn)之間的距離是|-2-3|=5故答案為：5，5；（2）由題意可得，x+2∴x+2=5或x∴x=3或x故答案為：3，-7（3）①從數(shù)軸上可以看出只要x取-1和2之間的數(shù)（包括-1，就有|x+1|+|x②對x進(jìn)行討論：當(dāng)-3<x<1當(dāng)x≤-3時(shí)，|當(dāng)x≥1時(shí)，綜上，|x+3|+|x【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，絕對值的性質(zhì)等內(nèi)容，根據(jù)題意進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵．【變式31】（2023·浙江杭州·七年級期中）如圖，已知數(shù)軸的單位長度為1．（1）如果點(diǎn)A，B表示的數(shù)的絕對值相等，求點(diǎn)C表示的數(shù)．（2）如果點(diǎn)B，D表示的數(shù)是互為相反數(shù)，求點(diǎn)A表示的數(shù)．（3）若點(diǎn)A為原點(diǎn)，在數(shù)軸上有一點(diǎn)F，當(dāng)BF=3時(shí)，求點(diǎn)F（4）如果點(diǎn)A，B，C，D，E五個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)分別為a，b，c，d，e，記s=|a|+|【答案】（1）5；（2）0.5；（3）1或5；（4）13【分析】（1）先確定原點(diǎn)，再求點(diǎn)C表示的數(shù)；（2）先確定原點(diǎn)，再求點(diǎn)A表示的數(shù)；（3）根據(jù)題意得到點(diǎn)B表示的數(shù)，再分點(diǎn)F在點(diǎn)B左側(cè)和右側(cè)分別得出結(jié)果；（4）理解題意，將各個(gè)點(diǎn)作為原點(diǎn)分別求解，再比較即可．【詳解】解：（1）∵A、B表示的數(shù)的絕對值相等，且AB之間距離2個(gè)單位，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為1，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為5；（2）∵點(diǎn)B，D表示的數(shù)是互為相反數(shù)，且BD之間距離5個(gè)單位，∴點(diǎn)B表示的數(shù)為2.5，點(diǎn)D表示的數(shù)為2.5，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為0.5；（3）∵點(diǎn)A表示原點(diǎn)，∴點(diǎn)B表示的數(shù)為2，∵BF=3，∴點(diǎn)F表示的數(shù)為1或5；（4）由題意可得：在數(shù)軸上找一點(diǎn)作為原點(diǎn)，使得該點(diǎn)到A、B、C、D、E的距離之和最小，當(dāng)點(diǎn)A為原點(diǎn)時(shí)，a=0，b=2，c=6，d=3，e=2，s=|a當(dāng)點(diǎn)B為原點(diǎn)時(shí)，a=2，b=0，c=4，d=5，e=4，s=|a當(dāng)點(diǎn)C為原點(diǎn)時(shí)，a=6，b=4，c=0，d=9，e=8，s=|a當(dāng)點(diǎn)D為原點(diǎn)時(shí)，a=3，b=5，c=9，d=0，e=1，s=|a當(dāng)點(diǎn)E為原點(diǎn)時(shí)，a=2，b=4，c=8，d=1，e=0，s=|a綜上：s的最小值為13．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是熟記數(shù)軸的特點(diǎn)，理解數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離．【變式32】（2023春·浙江寧波·七年級余姚市梨洲中學(xué)?？计谥校?shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．通過研究數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律，比如：數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B表示的數(shù)為a，b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離AB=a-b，若(1)已知點(diǎn)P為數(shù)軸上任一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)記為m，若點(diǎn)P與表示有理數(shù)－2的點(diǎn)的距離是3個(gè)單位長度，則m的值為______；(2)已知點(diǎn)P為數(shù)軸上任一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)記為m，若數(shù)軸上點(diǎn)P位于表示﹣5的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間，則m-2(3)已知點(diǎn)A，B，C，D在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，c，d，四個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，若a-d=12，?(4)若b=a，c=【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54【分析】（1）由題意可知，a-（2）由點(diǎn)P位于表示﹣5的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間，得到m-2+m+5表示點(diǎn)P到2（3）由題意得到?a-c=AC（4）由題意可得b-1+2c+2+3d-3+4e+4+5【詳解】（1）解：∵點(diǎn)P與表示有理數(shù)﹣2的點(diǎn)的距離是3個(gè)單位長度，∴a-∴a+2=3或a解得a=1或a故答案為：1或﹣5；（2）∵點(diǎn)P位于表示﹣5的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間，∴m-2+m+5表示點(diǎn)P∵-5-2∴m-故答案為：7；（3）∵?a-c∴?b故答案為：4（4）∵b=∴b==a根據(jù)絕對值的幾何意義，相當(dāng)于找一點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到，1，﹣4，9，﹣16，25距離和最小，只能取a=1當(dāng)a=1時(shí)，a此時(shí)原式＝1-1＝54，故答案為：54．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征，兩點(diǎn)間距離的求法，絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．【變式33】（2023春·浙江·七年級期末）閱讀絕對值拓展材料：a表示數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離如：5表示5在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離而5=5-0，即5-0表示5、0在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，類似的，有：5+3=5--3表示5、-3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．一般地，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是（2）數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，如果A、B兩點(diǎn)之間的距離為2，那么x=（3）x+2可以理解為數(shù)軸上表示x和（4）x-2+x-3可以理解為數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示和這兩點(diǎn)的距離之和．x+2（5）x-2+x-3最小值是【答案】（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或3；（3）2；（4）2，3，2，1；（5）1，3【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)絕對值的意義可得；（4）根據(jù)絕對值的意義可得；（5）分別得出x-2+【詳解】解：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是3，數(shù)軸上表示1和3的兩點(diǎn)之間的距離是4；（2）數(shù)軸上表示x和1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是|x+1|，如果|AB|=2，即|x+1|=2，∴x=1或3；（3）|x+2|可以理解為數(shù)軸上表示x和2的兩點(diǎn)之間的距離；（4）|x2|+|x3|可以理解為數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示2和3這兩點(diǎn)的距離之和，|x+2|+|x1|可以理解為數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示2和1這兩點(diǎn)的距離之和；（5）由（4）可知：當(dāng)x在2和3之間時(shí)，|x2|+|x3|最小值是1，當(dāng)x在2和1之間時(shí)，|x+2|+|x1|的最小值是3．【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對值的問題，涉及到數(shù)軸應(yīng)用問題，只要理解絕對值含義和數(shù)軸上表示數(shù)值的關(guān)系（如：|x+2|表示x與2的距離），即可求解．【題型4分類討論多絕對值問題】【例4】（2023春·浙江金華·七年級校聯(lián)考期中）已知a,b表示兩個(gè)非零的實(shí)數(shù)，則aaA．2 B．–2 C．1 D．0【答案】C【詳解】∵當(dāng)a>0時(shí)，aa=aa當(dāng)b>0時(shí)，bb=bb∴