專題928正方形（分層練習(xí)）（提升練）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題9.28正方形（分層練習(xí)）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023下·重慶榮昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列命題：①對角線相等的菱形是正方形；②對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；③對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；④對角線互相垂直的矩形是正方形；其中是真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2．（2022下·湖北宜昌·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在正方形中，點(diǎn)F為上的一點(diǎn)，與交于點(diǎn)E．若，則等于（

）A． B． C． D．3．（2023上·廣東茂名·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是正方形的對角線，E是上的點(diǎn)，，將沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，則（

）A． B． C． D．4．（2021下·浙江衢州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC⊥BD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，若AC＝BD＝2，則EF的長是（）A．2 B． C． D．5．（2024上·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊長為8，E為邊上一點(diǎn)，連接，，取中點(diǎn)F，連接，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．66．（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知四邊形為正方形，，點(diǎn)為對角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作．交射線于點(diǎn)，以、為鄰邊作矩形，連接．則的值為（

）

A．4 B． C． D．不確定7．（2023下·湖南湘西·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如上圖所示，矩形，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是對角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值是（

）

A．6 B． C．12 D．8．（2021下·河北廊坊·八年級(jí)期中）如圖，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC上的一點(diǎn)且CE=3，連接DE，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位長度的速度沿ABBCCDDA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△ABM和△DCE全等時(shí)，t的值是（

）A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.59．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，，AF與相交于點(diǎn)O，連接，若，則與之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．10．（2021·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形如圖所示．過點(diǎn)作的垂線交小正方形對角線的延長線于點(diǎn)，連結(jié)，延長交于點(diǎn)．若，則的值為（

）A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023下·江蘇南京·八年級(jí)南京鐘英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，同一平面內(nèi)的四條平行直線、、、分別過正方形的四個(gè)頂點(diǎn)、、、，且每相鄰的兩條平行直線間的距離都為1，則該正方形的面積是．12．（2021上·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若正方形的對角線的長為4，則該正方形的面積為．13．（2022下·山東濟(jì)寧·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加條件，則四邊形AEDF是矩形；若添加條件，則四邊形AEDF是菱形；若添加條件，則四邊形AEDF是正方形．14．（2022下·山西朔州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線經(jīng)過正方形的頂點(diǎn)，分別過點(diǎn)、作于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，，則的長為．15．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)位于對角線AC下方的一點(diǎn)，∠1＝∠2，則∠BPC的度數(shù)為°．16．（2013·河南·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，當(dāng)為直角三角形時(shí)，BE的長為17．（2022上·廣東佛山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)有一等邊三角形BCE，直線DE交AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作直線GF⊥DH交BC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)F．以下結(jié)論：①∠CEG＝15°；②AF＝DF；③BH＝3AH；④BE＝HE+GE；正確的有．（填序號(hào)）18．（2021下·天津·八年級(jí)耀華中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是等邊三角形，M是正方形ABCD對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，，（點(diǎn)N在AB的左側(cè)），當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，正方形的邊長為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，為上一點(diǎn)，連接，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂足為，點(diǎn)在上，且．（1）求證：；（2）若，，求的長．20．（8分）（2022·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在巾，，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段OC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)O，C重合），將沿AD折疊得到，連接BE．（1）當(dāng)時(shí)，___________；（2）探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）設(shè)，的面積為x，以AD為邊長的正方形的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．21．（10分）（2022上·山東青島·九年級(jí)山東省青島第七中學(xué)校考期中）如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：（2）求證：四邊形是菱形（3）給三角形添加一個(gè)條件_________，使得四邊形是正方形，并證明你的結(jié)論．22．（10分）（2022·黑龍江綏化·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G是邊AC的三等分點(diǎn)．DF，EG的延長線相交于點(diǎn)H，連接AH，CH，BF，BG．（1）求證：四邊形FBGH是菱形；（2）判斷四邊形ABCH的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）若DF＝，求AB的長．23．（10分）（2022下·湖北襄陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知中，，點(diǎn)D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，四邊形是正方形，連接GC，正方形對角線AE交BC于點(diǎn)F，（1）判斷BD與CG的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）求證：；（3）若，求AE的值．24．（12分）（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形中，且，對角線和相交于點(diǎn)O，且，過點(diǎn)B作，交于點(diǎn)E，連結(jié)．（1）求證：；（2）試探究四邊形的形狀，并說明理由；（3）若，，，求四邊形的面積．參考答案：1．A【分析】利用正方形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．解：對角線相等的菱形是正方形，正確，是真命題，符合題意；對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，正確，是真命題，符合題意；對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，正確，是真命題，符合題意；對角線互相垂直的矩形是正方形，正確，是真命題，符合題意．真命題有個(gè)，故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義及定理，難度中等．2．A【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理；先證明，求出，再在中利用三角形內(nèi)角和定理可求度數(shù)．解：∵四邊形是正方形，∴，，，又∵，∴．∴，∴，故選：A．3．B【分析】本題考查了正方形的折疊問題及勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，在中，利用勾股定理求得x的值是解題的關(guān)鍵．解：設(shè)，四邊形是正方形，且是對角線，，，，是由沿折疊得到，且，，，，，在中，，，解得：或（舍去），，故選B．4．D【分析】分別取的中點(diǎn)為，連接，利用中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)可以推出，再根據(jù)，可以推導(dǎo)出四邊形是正方形即可求解．解：分別取的中點(diǎn)為，連接，分別是的中點(diǎn)，，又，，四邊形是正方形，，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)、正方形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出適當(dāng)?shù)妮o助線，利用題意證明出四邊形是正方形．5．C【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理，根據(jù)題意求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出，故可得答案．解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴∴；在中，，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴是斜邊上的中線，∴，故選：C．6．A【分析】如圖，作，于點(diǎn)M，N，則．點(diǎn)E是正方形對角線上的點(diǎn)，證明，得出，進(jìn)而證明，得出，根據(jù)即可求解；解：如圖，作，于點(diǎn)M，N，則．

點(diǎn)E是正方形對角線上的點(diǎn)，∴．∵，∴，∴，即．在和中，∴，∴．∵四邊形是矩形，∴矩形是正方形，∴．∵，∴．又∵，∴，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．7．B【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，即可得到的最小值為，再解直角三角形即可解答．解：作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖：

由對稱性可得，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且時(shí)，即點(diǎn)在點(diǎn)處，點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，的值最?。?，，，，，，，．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查矩形的性質(zhì)和線段和最小值問題，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于作出適當(dāng)?shù)妮o助線．8．D【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)題意得出BM=2t4=3和AM=162t=3即可求得．解：如圖，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，∵△ABM′和△DCE全等，∴BM=CE，由題意得：BM′=2t4=3，所以t=3.5（秒）；當(dāng)點(diǎn)M在AD上時(shí)，∵△ABM″和△CDE全等，∴AM″=CE，由題意得：AM″=162t=3，解得t=6.5（秒）．所以，當(dāng)t的值為3.5秒或6.5秒時(shí)．△ABM和△DCE全等．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)．9．A【分析】過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，先證明四邊形ABFE是正方形，得出，再利用勾股定理得出，即可得出答案．解：過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，，四邊形ABCD是矩形，，∴∠AEF=180°∠BAD=90°，，∴四邊形ABFE是矩形，又∵AB=AE，四邊形ABFE是正方形，，EF=BF，，，，EF=2CF，由勾股定理得，，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】如圖，設(shè)BH交CF于P，CG交DF于Q，根據(jù)題意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根據(jù)可得BE=PE=PC=PF=DF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可證明△FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得PH=FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可證明△CPH≌△GDQ，可得PH=QD，即可得出PH=BE，可得BH=，利用勾股定理可用BE表示長CH的長，即可表示出CG的長，進(jìn)而可得答案．解：如圖，設(shè)BH交CF于P，CG交DF于Q，∵由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形，∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，∵，∴BE=PE=PC=PF=DF，∵∠CFD=∠BPC，∴DF//EH，∴PH為△CFQ的中位線，∴PH=QF，CH=HQ，∵四邊形EPFN是正方形，∴∠EFN=45°，∵GD⊥DF，∴△FDG是等腰直角三角形，∴DG=FD=PC，∵∠GDQ=∠CPH=90°，∴DG//CF，∴∠DGQ=∠PCH，在△DGQ和△PCH中，，∴△DGQ≌△PCH，∴PH=DQ，CH=GQ，∴PH=DF=BE，CG=3CH，∴BH=BE+PE+PH=，在Rt△PCH中，CH==，∴CG=BE，∴．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．11．5【分析】過作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)合角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，再根據(jù)“角邊角”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可．解：過作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，，，四邊形是正方形，，，，又，，在和中，，，，，在中，，．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線之間距離、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次根式的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．12．8【分析】根據(jù)正方形的面積等于對角線乘積的一半列式計(jì)算即可得解．解：∵正方形的一條對角線的長為4，∴這個(gè)正方形的面積=×42=8．故答案為：8．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的面積的兩種求法是解題的關(guān)鍵．13．∠BAC＝90°AD平分∠BAC∠BAC＝90°且AD平分∠BAC（答案不唯一）【分析】先利用平行四邊形的判定方法得到四邊形AEDF為平行四邊形，然后根據(jù)矩形、菱形和正方形的判定方法添加條件．解：∵DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，∴四邊形AEDF為平行四邊形，∴當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，四邊形AEDF是矩形；當(dāng)AD平分∠BAC時(shí)，四邊形AEDF是菱形；∠BAC＝90°且AD平分∠BAC，四邊形AEDF是正方形．,∠BAC＝90°，故答案為∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∠BAC＝90°且AD平分∠BAC．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的判定：先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．也考查了菱形和矩形的判定，掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．14．9【分析】利用同角的余角相等，證得，根據(jù)垂直定義，得，結(jié)合已知，證得，進(jìn)而證得，，據(jù)此可求出，問題得解．解：∵四邊形是正方形，∴，，∴∵∴∴∵，∴在和中∵∴∴，∴故答案為：9【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，正確尋找全等三角形，學(xué)會(huì)利用同角的余角相等是解本題的關(guān)鍵．15．135【分析】由正方形的性質(zhì)可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形內(nèi)角和定理可求解．解：∵四邊形ABCD是正方形∴∠ACB＝∠BAC＝45°∴∠2+∠BCP＝45°∵∠1＝∠2∴∠1+∠BCP＝45°∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP∴∠BPC＝135°故答案為：135．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握正方形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．16．3或【分析】當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．連結(jié)AC，先利用勾股定理計(jì)算出AC=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AB′E=∠B=90°，而當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，只能得到∠EB′C=90°，所以點(diǎn)A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對角線AC上的點(diǎn)B′處，則EB=EB′，AB=AB′=3，可計(jì)算出CB′=2，設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4x，然后在Rt△CEB′中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x．②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)ABEB′為正方形．解：當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．連結(jié)AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∵∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，∴∠AB′E=∠B=90°，當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，只能得到∠EB′C=90°，∴點(diǎn)A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對角線AC上的點(diǎn)B′處，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=53=2，設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4x）2，解得，∴BE=；②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)ABEB′為正方形，∴BE=AB=3．綜上所述，BE的長為或3．故答案為：或3．【點(diǎn)撥】此題考查了折疊和矩形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊和矩形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，正方形的判定和性質(zhì)．17．①【分析】由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得，，可得，可求，故①正確；由““可證，可得，可證，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，故②錯(cuò)誤；設(shè)，由等邊三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理分別求出，的長，可判斷③，通過證明點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，可得，可證，由三角形三邊關(guān)系可判斷④，即可求解．解：四邊形是正方形，，，是等邊三角形，，，，，，，故①正確；如圖，連接，過點(diǎn)作直線于，交于，連接，，，又，，，，，，，，又，，，，故②錯(cuò)誤；設(shè)，，，四邊形是矩形，，，，是等邊三角形，，，，，，又，，，，故③錯(cuò)誤；如圖，連接，，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，，，，，，故④錯(cuò)誤；故答案為：①．【點(diǎn)撥】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題．18．【分析】首先通過SAS判定，得出，因?yàn)?,得出是等邊三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且為最小值，我們可以得出EC=，作輔助線，過點(diǎn)E作交CB的延長線于F，由題意求出，設(shè)正方形的邊長為x，在中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長為．解：∵為正三角形，∴，∴∵BD是正方形ABCD的對角線，∴∴．在和中，∴（SAS）∴在中，又∵，∴為等邊三角形，∴．∵AM+BM+CM最小值為．∴EN+MN+CM的最小值為即CE=．過點(diǎn)E作交CB的延長線于F，可得．設(shè)正方形的邊長為x，則BF=，．在，∵，∴解得（負(fù)值舍去）．∴正方形的邊長為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形和正方形邊相等的性質(zhì)，全等三角形的判定，靈活使用輔助線，掌握直角三角的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．19．（1）見詳解；（2）【分析】（1）先證明四邊形ADFM是矩形，得到AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，再利用MN⊥BE證得∠MBO=∠OMF，結(jié)合∠A=90°=∠NFM即可證明；（2）利用勾股定理求得BE=10=MN，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BO=OE=5，BM=ME，即有AM=ABBM=8ME，在Rt△AME中，，可得，解得：，即有，再在Rt△BMO中利用勾股定理即可求出MO，則NO可求．解：（1）在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，，，∵，∠A=∠D=90°，，∴四邊形ADFM是矩形，∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，∵M(jìn)N是BE的垂直平分線，∴MN⊥BE，∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，∴∠MBO=∠OMF，∵，∴△ABE≌△FMN；（2）連接ME，如圖，∵AB=8，AE=6，∴在Rt△ABE中，，∴根據(jù)（1）中全等的結(jié)論可知MN=BE=10，∵M(jìn)N是BE的垂直平分線，∴BO=OE==5，BM=ME，∴AM=ABBM=8ME，∴在Rt△AME中，，∴，解得：，∴，∴在Rt△BMO中，，∴，∴ON=MNMO=．即NO的長為：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．20．（1）；（2）；（3）【分析】（1）首先由折疊的性質(zhì)可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可求解；（2）首先由折疊的性質(zhì)可得，，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，，最后根據(jù)角度關(guān)系即可求解；（3）首先由等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求的長，由勾股定理可求的長，最后根據(jù)面積和差關(guān)系可求解．解：（1），，，，將沿折疊得到，，，∴△ABE是等邊三角形，，故答案為：60；（2），理由如下：將沿折疊得到，，，，，，，，；（3）如圖，連接，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，．

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并能夠靈活運(yùn)用．21．（1）見分析；（2）見分析；（3），理由見分析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定解答即可；（2）證明四邊形是平行四邊形，再證明四邊形是平行四邊形，推出鄰邊相等即可證明；（3）當(dāng)，有是的中點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)，，即，根據(jù)正方形的判定解答即可．解：（1）證明：，，，，，；（2）證明：由（1），，，四邊形是平行四邊形，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，，，四邊形是平行四邊形．，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，平行四邊形是菱形；（3）解：當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形，理由：由（2）知四邊形是菱形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，即，菱形是正方形．故答案為：.【點(diǎn)撥】本題考查正方形的判定、菱形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定解答．22．（1）見分析；（2）四邊形ABCH是正方形，理由見分析；（3）AB=6．【分析】（1）由DF是△ABG的中位線，則DF∥BG，同理EG∥BF，得四邊形FBGH為平行四邊形，再利用SAS證明△ABF≌△CBG，得BF=BG，從而證明結(jié)論；（2）連接BH交AC于點(diǎn)O，由（1）知，四邊形ABCH是菱形，再根據(jù)AB=CB，可知四邊形ABCH是正方形；（3）由菱形的性質(zhì)可知FH=BG=2，則DH=DF+FH=+2=3，設(shè)AD=x，則AB=2x，利用勾股定理即可解決問題．解：（1）證明：∵點(diǎn)F、G是邊AC的三等分點(diǎn)，∴AF=FG=GC，又∵D為AB中點(diǎn)，∴DF是△ABG的中位線，∴DF∥BG，同理EG∥BF，∴四邊形FBGH為平行四邊形，∵∠ABC=90°，AB=BC，∴∠BAF=∠BCG=45°，在△ABF和△CBG中，∴△ABF≌△CBG（SAS），∴BF=BG，∴四邊形FBGH是菱形；（2）解：四邊形ABCH是正方形，理由如下：如圖，連接BH交AC于點(diǎn)O，∵四邊形FBGH是菱形，∴OF=OG，OB=OH，