專題261反比例函數(shù)（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（人教版）

專題26.1反比例函數(shù)（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)一】反比例函數(shù)的概念（1）定義：形如的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，k叫做比例系數(shù)，自變量的取值范圍是非零的一切實(shí)數(shù)．（2）形式：反比例函數(shù)有以下三種基本形式①；②；③.【知識(shí)點(diǎn)二】反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝eq\f(k,x)(k為常數(shù)，)圖象[來(lái)om][來(lái)所在象限[來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]一、三（x，y同號(hào)）二、四（x，y異號(hào)）增減性在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大對(duì)稱性1.圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為原點(diǎn)；2.圖象是軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)稱軸分別是平面直角坐標(biāo)系一、三象限的角平分線和二、四象限的角平分線．【知識(shí)點(diǎn)三】反比例函數(shù)表達(dá)式的確定待定系數(shù)法步驟：（1）設(shè)：設(shè)函數(shù)表達(dá)式為；（2）代：將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式；（3）解：求出k的值，得到函數(shù)表達(dá)式．【知識(shí)點(diǎn)四】系數(shù)k的幾何意義（1）意義：從的圖象上任意一點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為.如圖①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq\f(1,2)|xy|＝eq\f(1,2)|k|.（2）常見(jiàn)的面積類型：易錯(cuò)警示：已知相關(guān)面積求反比例函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，若函數(shù)圖象在第二、四象限，則k＜0.(3)越大，雙曲線離原點(diǎn)越遠(yuǎn).（4）求k的常用方法①由面積關(guān)系求k值：用含k的代數(shù)式表示已知圖形的面積；②設(shè)點(diǎn)法列方程求k值：化斜為直，把相似轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系.【知識(shí)點(diǎn)五】反比例函數(shù)與一次函數(shù)（1）確定交點(diǎn)坐標(biāo)①正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象相交，若其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)中心對(duì)稱性，可得另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為.②一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象相交，可聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，利用方程思想求解.（2）確定函數(shù)解析式：利用待定系數(shù)法，先確定交點(diǎn)坐標(biāo)，再分別代入兩個(gè)函數(shù)解析式中求解.（3）在同一坐標(biāo)系中判斷函數(shù)圖象：充分利用函數(shù)圖象與各字母系數(shù)的關(guān)系，可采用假設(shè)法，分k＞0和k＜0兩種情況討論，看哪個(gè)選項(xiàng)符合要求即可，也可逐一選項(xiàng)判斷、排除.（4）比較函數(shù)值的大小：主要通過(guò)觀察圖象，圖象在上方的值大，圖象在下方的值小，結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)，確定出解集的范圍.【知識(shí)點(diǎn)六】反比例函數(shù)中的三個(gè)模型【考點(diǎn)目錄】【考點(diǎn)一】反比例函數(shù)???有關(guān)概念【考點(diǎn)二】反比例函數(shù)???求反比例函數(shù)的解析式【考點(diǎn)三】反比例函數(shù)???反比例函數(shù)系數(shù)K值的幾何意義【考點(diǎn)四】反比例函數(shù)???反比例函數(shù)系數(shù)與一次函數(shù)綜合【考點(diǎn)五】反比例函數(shù)???反比例函數(shù)與幾何綜合【考點(diǎn)六】反比例函數(shù)???反比例函數(shù)的應(yīng)用【考點(diǎn)一】反比例函數(shù)???有關(guān)概念【例1】（2023上·上海青浦·八年級(jí)校考期中）已知：，并且與x成正比例，與成反比例，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，求y與x之間的函數(shù)解析式．【答案】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，注意在本題中的正比例系數(shù)和反比例系數(shù)是兩個(gè)不同的值，用不同的字母區(qū)分．設(shè)，則，然后利用待定系數(shù)法即可求得；解：∵與x成正比例，與成反比例，∴設(shè)，，∴，∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，解得，∴y與x之間的函數(shù)解析式為．【舉一反三】【變式1】（2023上·廣東佛山·九年級(jí)?？计谥校┤绻瘮?shù)是反比例函數(shù)，那么m的值是（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)的定義．根據(jù)反比例函數(shù)的定義，即，只需令、，據(jù)此求解即可．解：∵是反比例函數(shù)，∴，解得：，故B正確．故選：B．【變式2】（2023上·陜西西安·九年級(jí)陜西師大附中?？计谥校┓幢壤瘮?shù)經(jīng)過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)，則b的值為．【答案】【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)的函數(shù)值，熟知反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)一定滿足其函數(shù)解析式，即反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)的乘積等于比例系數(shù)是解題的關(guān)鍵．解：∵反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)，∴，∴，故答案為：．【考點(diǎn)二】反比例函數(shù)???求反比例函數(shù)的解析式【例2】（2023上·安徽滁州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為．（1）求該反比例函數(shù)解析式；（2）請(qǐng)結(jié)合圖象，求出自變量x在什么取值范圍時(shí)．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，求反比例函數(shù)的解析式，解一元二次方程，（1）首先將代入求出，然后代入求出，進(jìn)而得到；（2）首先聯(lián)立反比例函數(shù)和一次函數(shù)得到，求出，，得到，然后利用圖象求解即可．解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)．解：（1）將代入得，∴將代入得，∴反比例函數(shù)；（2）聯(lián)立反比例函數(shù)和一次函數(shù)得，，即整理得，解得，將代入得，∴，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，．【舉一反三】【變式1】（2023上·山東泰安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則這個(gè)函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（）A． B． C． D．【答案】D解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：，A、由于，故反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)；B、由于，故反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)；C、由于，故反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)；D、由于，故反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)．故選：D．【變式2】（2023上·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的頂點(diǎn)在雙曲線上，頂點(diǎn)B在雙曲線（，且）上，邊在x軸上．

①若，則的長(zhǎng)度為；②若的面積是7，則k的值是．【答案】3【分析】本題考查了反比例函數(shù)與平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)定義是解決本題的關(guān)鍵．①先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，則可求，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可；②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和點(diǎn)A的坐標(biāo)可求，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可求出k的值．解：①∵在上，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，又點(diǎn)B在上，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，∴，∴；②∵的面積是7，，∴，∴，∴，∴．故答案為：3，．【考點(diǎn)三】反比例函數(shù)???反比例函數(shù)系數(shù)K值的幾何意義【例3】（2023下·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

（1）求k的值．（2）若點(diǎn)B在x軸上，且，則的面積為_(kāi)_____．【答案】（1）；（2）【分析】（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入即可；（2）過(guò)A作與C，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，得到，根據(jù)得到，將的面積用m，n來(lái)表示即可．（1）解：把代入到，得，解得，；（2）如圖，過(guò)A作于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴∵，，∴，∴的面積為，故答案為：【點(diǎn)撥】本題主要考查了學(xué)生對(duì)于待定系數(shù)法，等腰三角形三線合一性質(zhì)的應(yīng)用和反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義的掌握情況．解得關(guān)鍵是用找到三角形面積與k之間的關(guān)系．【舉一反三】【變式1】（2023上·廣西南寧·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形在第一象限內(nèi)，邊與x軸平行，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為4，2，反比例函數(shù)

的圖象經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)．若菱形的面積為，則k的值為（

）A．4 B．6 C． D．【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，根據(jù)A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為4，2，可得出橫坐標(biāo)，即可求得，的長(zhǎng)，根據(jù)菱形的面積為，求得的長(zhǎng)，在中，即可得出k的值．解：過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵A，B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象，且縱坐標(biāo)分別為4，2，，則，，∵菱形的面積為，，即，，在中，，，．故選：C．【變式2】（2023上·安徽安慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)C，軸，軸，垂分別為點(diǎn)D，E，當(dāng)矩形與的面積相等時(shí)，k的值為．

【答案】【分析】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)中的幾何意義，的面積的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．解：一次函數(shù)的圖象與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，令，則，令，則，∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，∴的面積，又∵矩形的面積為k，∴，解得：（舍去）或，故答案為：．【考點(diǎn)四】反比例函數(shù)???反比例函數(shù)系數(shù)與一次函數(shù)綜合【例4】（2023上·湖南永州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為．

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求的面積（3）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的取值范圍．【答案】（1）反比例函數(shù)為，一次函數(shù)為；（2）；（3）或；【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，圖象法求不等式的解，（1）先由點(diǎn)坐標(biāo)求得反比例函數(shù)，再由反比例函數(shù)求得點(diǎn)坐標(biāo)，然后由，兩點(diǎn)求得一次函數(shù)即可；（2）先令求得一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，可得線段的長(zhǎng)，再由，兩點(diǎn)到軸的距離求即可；（3）在函數(shù)圖象上找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下邊的取值范圍即可；（1）解：將代入反比例函數(shù)可得，∴反比例函數(shù)為，將代入反比例函數(shù)可得，將，代入一次函數(shù)可得：，解得：，∴一次函數(shù)為；（2）解：設(shè)一次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，令可得，∴線段的長(zhǎng)為1，由坐標(biāo)的定義可知點(diǎn)到軸的距離為2，點(diǎn)到軸的距離為1，以為底邊，，兩點(diǎn)到軸的距離為高可得：；（3）解：由兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)可知當(dāng)或時(shí)，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的下邊，∴當(dāng)時(shí)，或；【舉一反三】【變式1】（2023·廣東揭陽(yáng)·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A作y軸的垂線，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，連接，則的面積為（）

A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】連接，根據(jù)圖象先證明與的面積相等，再根據(jù)題意分別計(jì)算出與的面積即可得的面積．解：連接，設(shè)與y軸交于點(diǎn)D，如圖，

∵反比例函數(shù)與函數(shù)的圖象為中心對(duì)稱圖形，∴O為的中點(diǎn)，∴，∵由題意得A點(diǎn)在上，B點(diǎn)在上，∴，；∴，∴．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題與三角形面積公式，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題與三角形面積運(yùn)算．【變式2】（2023上·安徽滁州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)B和點(diǎn)C都是第二象限內(nèi)的點(diǎn)，，，雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與交于點(diǎn)E．

（1）直線的表達(dá)式為；（2）若，，則．【答案】32【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識(shí)．掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過(guò)E作軸于F，判定是等腰直角三角形，可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求出反比例函數(shù)的解析式，設(shè)，表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，把C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求出，即可求解．解：（1）設(shè)，則，∵，，∴，都是等腰直角三角形，∴，∴，設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得，∴直線的表達(dá)式為；（2）過(guò)E作軸于F，

∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，，∴，，∴，把代入，得，解得，∴設(shè)，則，把代入，得，∴，∴，∴．故答案為：；32．

【考點(diǎn)五】反比例函數(shù)???反比例函數(shù)與幾何綜合【例5】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考三模）如圖，直線：與坐標(biāo)軸交于A、D兩點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作正方形，過(guò)C作軸于G點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)與直線交于E、F兩點(diǎn)．

（1）求證：；（2）求E、F兩點(diǎn)坐標(biāo)；（3）填空：不等式的取值范圍是______．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2），；（3）或【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得，，結(jié)合軸，得，則，證明；（2）根據(jù)直線：與坐標(biāo)軸交于A、D兩點(diǎn)，易得，，結(jié)合，得，，所以，即可作答；（3）結(jié)合（2）中的，，由圖象知，不等式的取值范圍是或．解：（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵軸，∴，∴，∴，在和中，，∴（2）解：依題意，直線：，令，則，∴，∴，令，則，∴，∴，∴，由（1）知，，∴，，∴，故將點(diǎn)C代入反比例函數(shù)中，得，∴反比例函數(shù)的解析式為，∵直線的解析式為，聯(lián)立①②得，解得或，∴，（3）解：由圖象知，結(jié)合（2）中的，，不等式的取值范圍是或．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形的應(yīng)用，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，涉及正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第十七中學(xué)?？计谥校┮阎谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線相交，交點(diǎn)為、，當(dāng)弦的長(zhǎng)等于時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，作，利用垂徑定理可得，由勾股定理易得，作軸交直線于點(diǎn)，由可得，設(shè)，則，易得，，因?yàn)辄c(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上，所以易得可得，易得點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，利用對(duì)稱性可得點(diǎn)的另一坐標(biāo)．解：當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，連接，作，

，而，．作軸交直線于點(diǎn)，∵∠,∴，，∴，設(shè)，則，，∵點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，（負(fù)值舍去），當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，由對(duì)稱性可知．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確作出恰當(dāng)?shù)妮o助線、利用勾股定理和垂徑定理解得是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)校考期中）如圖，點(diǎn)和在反比例函數(shù)的圖象上，其中．過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，若的面積為，則．

【答案】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)，得出，根據(jù)三角形面積公式，即可求出的面積；過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，根據(jù)，，得出，進(jìn)而得出，根據(jù)梯形面積公式，列出方程，化簡(jiǎn)得，令，則，求出x的值，根據(jù)，得出，即，即可解答．解：∵，∴，∴，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，

∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，整理得：，令，則，解得：，，∵，∴，即，∴，故答案為：2．

【考點(diǎn)六】反比例函數(shù)???反比例函數(shù)的應(yīng)用【例6】（2023上·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）智能飲水機(jī)接通電源后開(kāi)始自動(dòng)加熱，水溫每分鐘上升，加熱到時(shí)，飲水機(jī)自動(dòng)停止加熱，水溫開(kāi)始下降．在水溫開(kāi)始下降的過(guò)程中，水溫與通電時(shí)間成反比例關(guān)系．當(dāng)水溫降至室溫時(shí)，飲水機(jī)再次自動(dòng)加熱，重復(fù)上述過(guò)程．設(shè)某天水溫和室溫均為，接通電源后，水溫與通電時(shí)間之間的關(guān)系如圖所示．

（1）求當(dāng)時(shí)，與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）加熱一次，水溫不低于的時(shí)間有多長(zhǎng)？【答案】（1）函數(shù)的表達(dá)式為；（2）一個(gè)加熱周期內(nèi)水溫不低于的時(shí)間為【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是看懂圖像，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為：，將點(diǎn)（）代入反比例函數(shù)的表達(dá)式中即可求解；（2）先求時(shí)的函數(shù)解析式，再令代入解析式中，解得；在降溫過(guò)程中，水溫為時(shí)，，最后把兩個(gè)時(shí)間值相減即可．解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為：，將點(diǎn)（）代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：，故函數(shù)的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，則，即函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）設(shè)時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式為：，將點(diǎn)（）代入上式得：，解得：，即一次函數(shù)的表達(dá)式為：，令，將其代入中，解得：，在降溫過(guò)程中，水溫為時(shí)，，解得：，，一個(gè)加熱周期內(nèi)水溫不低于的時(shí)間為．【舉一反三】【變式1】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）遠(yuǎn)視眼鏡的鏡片是凸透鏡，鏡片的度數(shù)y