專題30新定義與閱讀理解創(chuàng)新型問(wèn)題（共12道）（教師版）（02期）-2023年中考數(shù)學(xué)真題分類訓(xùn)練

專題30新定義與閱讀理解創(chuàng)新型問(wèn)題(12道)一、單選題1．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題)從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示，(，n、m為正整數(shù))；例如：，，則(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)新定義分別進(jìn)行計(jì)算比較即可得解．【詳解】解：∵，∴，A選項(xiàng)，，B選項(xiàng)，，C選項(xiàng)，，D選項(xiàng)，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算以及求代數(shù)式的值．正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．2．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題)我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個(gè)結(jié)論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對(duì)的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】本題利用三角函數(shù)間的關(guān)系和面積相等進(jìn)行變形解題即可．【詳解】解：∵，，∴即，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等式利用等式的性質(zhì)解題化簡(jiǎn)，熟悉是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題)若干個(gè)同學(xué)參加課后社團(tuán)——舞蹈活動(dòng)，一次排練中，先到的n個(gè)同學(xué)均勻排成一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓圈(每個(gè)同學(xué)對(duì)應(yīng)圓周上一個(gè)點(diǎn))，又來(lái)了兩個(gè)同學(xué)，先到的同學(xué)都沿各自所在半徑往后移a米，再左右調(diào)整位置，使這個(gè)同學(xué)之間的距離與原來(lái)n個(gè)同學(xué)之間的距離(即在圓周上兩人之間的圓弧的長(zhǎng))相等．這個(gè)同學(xué)排成圓圈后，又有一個(gè)同學(xué)要加入隊(duì)伍，重復(fù)前面的操作，則每人須往后移米(請(qǐng)用關(guān)于a的代數(shù)式表示)，才能使得這個(gè)同學(xué)之間的距離與原來(lái)n個(gè)同學(xué)之間的距離相等．

【答案】【分析】由第一次操作可得：，則，設(shè)第二次操作時(shí)每位同學(xué)向后移動(dòng)了x米，可得，解得，再代入化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：由第一次操作可得：，∴，設(shè)第二次操作時(shí)每位同學(xué)向后移動(dòng)了x米，則，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，分式的化簡(jiǎn)，準(zhǔn)確的理解題意確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．4．(2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題)在初中數(shù)學(xué)文化節(jié)游園活動(dòng)中，被稱為“數(shù)學(xué)小王子”的王小明參加了“智取九宮格”游戲比賽，活動(dòng)規(guī)則是：在九宮格中，除了已經(jīng)填寫的三個(gè)數(shù)之外的每一個(gè)方格中，填入一個(gè)數(shù)，使每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和分別相等，且均為m．王小明抽取到的題目如圖所示，他運(yùn)用初中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，很快就完成了這個(gè)游戲，則．1674【答案】39【分析】設(shè)第一列中間的數(shù)為，則三個(gè)數(shù)之和為，再一次把表格的每一個(gè)數(shù)據(jù)填好，從而可得答案．【詳解】解：如圖，設(shè)第一列中間的數(shù)為，則三個(gè)數(shù)之和為，可得：1674∴，故答案為：39【點(diǎn)睛】本題考查的是列代數(shù)式，整式的加減運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意，設(shè)出合適的未知數(shù)是解本題的關(guān)鍵．5．(2023·湖南·統(tǒng)考中考真題)毛主席在《七律二首?送瘟神》中寫道“坐地日行八萬(wàn)里，巡天遙看一千河”，我們把地球赤道看成一個(gè)圓，這個(gè)圓的周長(zhǎng)大約為“八萬(wàn)里”．對(duì)宇宙千百年來(lái)的探索與追問(wèn)，是中華民族矢志不渝的航天夢(mèng)想．從古代詩(shī)人屈原發(fā)出的《天問(wèn)》，到如今我國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)被命名為“天問(wèn)一號(hào)”，太空探索無(wú)上境，偉大夢(mèng)想不止步．2021年5月15日，我國(guó)成功實(shí)現(xiàn)火星著陸．科學(xué)家已經(jīng)探明火星的半徑大約是地球半徑的，若把經(jīng)過(guò)火星球心的截面看成是圓形的，則該圓的周長(zhǎng)大約為萬(wàn)里．【答案】4【分析】先求出地球的半徑，再根據(jù)火星的半徑大約是地球半徑的，即可求出答案．【詳解】解：設(shè)地球的半徑為萬(wàn)里，則，解得，∴火星的半徑為萬(wàn)里，∴經(jīng)過(guò)火星球心的截面的圓的周長(zhǎng)大約為萬(wàn)里．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的周長(zhǎng)，熟練掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)公式是關(guān)鍵．三、多選題6．(2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題)發(fā)動(dòng)機(jī)的曲柄連桿將直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為圓周運(yùn)動(dòng)，圖①是發(fā)動(dòng)機(jī)的實(shí)物剖面圖，圖②是其示意圖．圖②中，點(diǎn)A在直線l上往復(fù)運(yùn)動(dòng)，推動(dòng)點(diǎn)B做圓周運(yùn)動(dòng)形成，與表示曲柄連桿的兩直桿，點(diǎn)C、D是直線l與的交點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到E時(shí)，點(diǎn)B到達(dá)C；當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到F時(shí)，點(diǎn)B到達(dá)D．若，，則下列結(jié)論正確的是(

)

A． B．C．當(dāng)與相切時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】AC【分析】如圖，由題意可得：，，，，從而可判斷A，B，如圖，當(dāng)與相切時(shí)，求解，可得，可判斷C；當(dāng)時(shí)，如圖，可得，，，可判斷D；從而可得答案．【詳解】解：如圖，由題意可得：

，，，，∴，故A符合題意；，故B不符合題意；如圖，當(dāng)與相切時(shí)，∴，

∴，∴，故C符合題意；當(dāng)時(shí)，如圖，

∴，∴，，∴，故D不符合題意；故選AC【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的和差運(yùn)算，圓的切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，理解題意熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．四、解答題7．(2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題)定義：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，若，，其中為常數(shù)，且，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的“級(jí)變換點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是點(diǎn)的“級(jí)變換點(diǎn)”．(1)函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)的“級(jí)變換點(diǎn)”?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由；(2)點(diǎn)與其“級(jí)變換點(diǎn)”分別在直線，上，在，上分別取點(diǎn)，．若，求證：；(3)關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象上恰有兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)的“1級(jí)變換點(diǎn)”都在直線上，求n的取值范圍．【答案】(1)存在，(2)見(jiàn)解析(3)n的取值范圍為且【分析】(1)根據(jù)“級(jí)變換點(diǎn)”定義求解即可；(2)求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，得到直線，的解析式分別為和，根據(jù)進(jìn)行證明．(3)由題意得，二次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的“1級(jí)變換點(diǎn)”都在函數(shù)的圖象上，得到函數(shù)的圖象與直線必有公共點(diǎn)．分當(dāng)時(shí)和當(dāng)，時(shí)分類討論即可．【詳解】(1)解：函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)的“級(jí)變換點(diǎn)”根據(jù)“級(jí)變換點(diǎn)”定義，點(diǎn)的“級(jí)變換點(diǎn)”為，把點(diǎn)代入中，得，解得．(2)證明：點(diǎn)為點(diǎn)的“級(jí)變換點(diǎn)”，點(diǎn)的坐標(biāo)為．直線，的解析式分別為和．當(dāng)時(shí)，．，．，．．(3)解：由題意得，二次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的“1級(jí)變換點(diǎn)”都在函數(shù)的圖象上．由，整理得．，函數(shù)的圖象與直線必有公共點(diǎn)．由得該公共點(diǎn)為．①當(dāng)時(shí)，由得．又得，且．②當(dāng)，時(shí)，兩圖象僅有一個(gè)公共點(diǎn)，不合題意，舍去．綜上，n的取值范圍為且．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式，根據(jù)題意理解新定義是解題的關(guān)鍵．8．(2023·陜西·統(tǒng)考中考真題)(1)如圖①，在中，，，．若的半徑為4，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接，求線段的最小值；(2)如圖②所示，五邊形是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會(huì)在點(diǎn)處，點(diǎn)處是該市的一個(gè)交通樞紐．已知：，，．根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)境及實(shí)際需求，現(xiàn)要在矩形區(qū)域內(nèi)(含邊界)修一個(gè)半徑為的圓型環(huán)道；過(guò)圓心，作，垂足為，與交于點(diǎn)．連接，點(diǎn)在上，連接．其中，線段、及是要修的三條道路，要在所修道路、之和最短的情況下，使所修道路最短，試求此時(shí)環(huán)道的圓心到的距離的長(zhǎng)．

【答案】(1)(2)【分析】(1)連接，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，由直角三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案；(2)分別在，上作，連接，、、、．證出四邊形是平行四邊形．由平行四邊形的性質(zhì)得出．當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，取得最小值．作，使圓心在上，半徑，作，垂足為，并與交于點(diǎn)．證明△△，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出的長(zhǎng)可得出答案．【詳解】解：(1)如圖①，連接，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

則．半徑為4，，．，，，，線段的最小值為；(2)如圖②，分別在，上作，

連接，、、、．，，，四邊形是平行四邊形．．，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，取得最小值．作，使圓心在上，半徑，作，垂足為，并與交于點(diǎn)．∴，△△，，在矩形區(qū)域內(nèi)(含邊界)，當(dāng)與相切時(shí)，最短，即．此時(shí)，也最短．，也最短．，，此時(shí)環(huán)道的圓心到的距離的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．(2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題)綜合與實(shí)踐如圖1，某興趣小組計(jì)劃開墾一個(gè)面積為的矩形地塊種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長(zhǎng)為．

【問(wèn)題提出】小組同學(xué)提出這樣一個(gè)問(wèn)題：若，能否圍出矩形地塊？【問(wèn)題探究】小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個(gè)問(wèn)題：設(shè)為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)；木欄總長(zhǎng)為，得到，滿足條件的可看成一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的就可以看成兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)．如圖2，反比例函數(shù)的圖象與直線：的交點(diǎn)坐標(biāo)為和_________，因此，木欄總長(zhǎng)為時(shí)，能圍出矩形地塊，分別為：，；或___________m，__________m．

(1)根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空．【類比探究】(2)若，能否圍出矩形地塊？請(qǐng)仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數(shù)圖象并說(shuō)明理由．【問(wèn)題延伸】當(dāng)木欄總長(zhǎng)為時(shí)，小穎建立了一次函數(shù)．發(fā)現(xiàn)直線可以看成是直線通過(guò)平移得到的，在平移過(guò)程中，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)．(3)請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出直線過(guò)點(diǎn)時(shí)的圖象，并求出的值．【拓展應(yīng)用】小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問(wèn)題”可以轉(zhuǎn)化為“與圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的存在問(wèn)題”．(4)若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長(zhǎng)均不小于，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．【答案】(1)；4；2(2)不能圍出，理由見(jiàn)解析(3)圖見(jiàn)解析，；(4)【分析】(1)聯(lián)立反比例函數(shù)和一次函數(shù)表達(dá)式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可解答；(2)根據(jù)得出，，在圖中畫出的圖象，觀察是否與反比例函數(shù)圖像有交點(diǎn)，若有交點(diǎn)，則能圍成，否則，不能圍成；(3)過(guò)點(diǎn)作的平行線，即可作出直線的圖象，將點(diǎn)代入，即可求出a的值；(4)根據(jù)存在交點(diǎn)，得出方程有實(shí)數(shù)根，根據(jù)根的判別式得出，再得出反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則當(dāng)與圖象在點(diǎn)左邊，點(diǎn)右邊存在交點(diǎn)時(shí)，滿足題意；根據(jù)圖象，即可寫出取值范圍．【詳解】解：(1)∵反比例函數(shù)，直線：，∴聯(lián)立得：，解得：，，∴反比例函與直線：的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，當(dāng)木欄總長(zhǎng)為時(shí)，能圍出矩形地塊，分別為：，；或，．故答案為：4；2．(2)不能圍出．∵木欄總長(zhǎng)為，∴，則，畫出直線的圖象，如圖中所示：∵與函數(shù)圖象沒(méi)有交點(diǎn)，∴不能圍出面積為的矩形；(3)如圖中直線所示，即為圖象，將點(diǎn)代入，得：，解得；

(4)根據(jù)題意可得∶若要圍出滿足條件的矩形地塊，與圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的存在問(wèn)題，即方程有實(shí)數(shù)根，整理得：，∴，解得：，把代入得：，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，把代入得：，解得：，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，令，，過(guò)點(diǎn)，分別作直線的平行線，由圖可知，當(dāng)與圖象在點(diǎn)A左邊，點(diǎn)B右邊存在交點(diǎn)時(shí)，滿足題意；

把代入得：，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意得出等量關(guān)系，掌握待定系數(shù)法，會(huì)根據(jù)函數(shù)圖形獲取數(shù)據(jù)．10．(2023·浙江·統(tǒng)考中考真題)根據(jù)以下素材，探究完成任務(wù)．如何把實(shí)心球擲得更遠(yuǎn)？素材1小林在練習(xí)投擲實(shí)心球，其示意圖如圖，第一次練習(xí)時(shí)，球從點(diǎn)A處被拋出，其路線是拋物線．點(diǎn)A距離地面，當(dāng)球到OA的水平距離為時(shí)，達(dá)到最大高度為．

素材2根據(jù)體育老師建議，第二次練習(xí)時(shí)，小林在正前方處(如圖)架起距離地面高為的橫線．球從點(diǎn)A處被拋出，恰好越過(guò)橫線，測(cè)得投擲距離．

問(wèn)題解決任務(wù)1計(jì)算投擲距離建立合適的直角坐標(biāo)系，求素材1中的投擲距離．任務(wù)2探求高度變化求素材2和素材1中球的最大高度的變化量任務(wù)3提出訓(xùn)練建議為了把球擲得更遠(yuǎn)，請(qǐng)給小林提出一條合理的訓(xùn)練建議．【答案】任務(wù)一：4m；任務(wù)二：；任務(wù)三：應(yīng)該盡量提高擲出點(diǎn)的高度、盡量提高擲出點(diǎn)的速度、選擇適當(dāng)?shù)臄S出仰角【分析】任務(wù)一：建立直角坐標(biāo)系，由題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，過(guò)點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出解析式，當(dāng)時(shí)求出x的值即可得到；任務(wù)二：建立直角坐標(biāo)系，求出任務(wù)二的拋物線解析式，得到頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，與任務(wù)一的縱坐標(biāo)相減即可；任務(wù)三：根據(jù)題意給出合理的建議即可．【詳解】任務(wù)一：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

由題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，得(舍去)，∴素材1中的投擲距離為4m；(2)建立直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)素材2中拋物線的解析式為，由題意得，過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，(m)，∴素材2和素材1中球的最大高度的變化量為；任務(wù)三：應(yīng)該盡量提高擲出點(diǎn)的高度、盡量提高擲出點(diǎn)的速度、選擇適當(dāng)?shù)臄S出仰角．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，求函數(shù)解析式，求拋物線與坐標(biāo)軸的距離，正確理解題意建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵．11．(2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題)規(guī)定：若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”，其公共點(diǎn)稱為“兄弟點(diǎn)”．(1)下列三個(gè)函數(shù)①；②；③，其中與二次函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”的是________(填寫序號(hào))；(2)若函數(shù)與互為“兄弟函數(shù)”，是其中一個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)．①求實(shí)數(shù)a的值；②直接寫出另外兩個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)是________、________；(3)若函數(shù)(m為常數(shù))與互為“兄弟函數(shù)”，三個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)分別為、、，且，求的取值范圍．【答案】(1)②(2)；、(3)【分析】(1)在平面直角坐標(biāo)系中作出；；；圖像，結(jié)合“兄弟函數(shù)”定義即可得到答案；(2)①根據(jù)“兄弟函數(shù)”定義，當(dāng)時(shí)，求出值，列方程求解即可得到答案；②聯(lián)立方程組求解即可得到答案；(3)根據(jù)“兄弟函數(shù)”定義，聯(lián)立方程組，分類討論，由，按照討論結(jié)果求解，即可得到答案．【詳解】(1)解：作出；；；圖像，如圖所示：

與圖像有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，根據(jù)“兄弟函數(shù)”定義，與二次函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”的是②，故答案為：②；(2)解：①函數(shù)與互為“兄弟函數(shù)”，是其中一個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，，則，解得；②聯(lián)立，即，是其中一個(gè)解，因式分解得，則，解得，另外兩個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)是、；(3)解：在平面直角坐標(biāo)系中作出(m為常數(shù))與圖像，如圖所示：

聯(lián)立，即，①當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，即，由①中，則，；由圖可知，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)只能在第二象限，從而，再根據(jù)三個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)分別為、、，且，，，，，由得到，即．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)綜合，涉及新定義函數(shù)，搞懂題意，按照“兄弟函數(shù)”、“兄弟點(diǎn)”定義數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．(2023·湖南·統(tǒng)考中考真題)我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)與同時(shí)滿足，則稱函數(shù)與函數(shù)互為“美美與共”函數(shù)．根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：(1)若關(guān)于x的二次函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)，求k，m，n的值；(2)對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)r，s，點(diǎn)與點(diǎn)始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)．①求函