專題1510軸對稱圖形與等腰三角形章末九大題型總結(jié)（拔尖篇）（滬科版）

專題15.10軸對稱圖形與等腰三角形章末九大題型總結(jié)（拔尖篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1設(shè)計軸對稱圖案】 1【題型2利用軸對稱性質(zhì)求最值】 4【題型3翻折變換】 12【題型4兩圓一線畫等腰】 21【題型5等邊三角形手拉手問題】 24【題型6分身等腰】 32【題型7一線分二腰】 35【題型8角平分線的綜合應(yīng)用】 43【題型9垂直平分線的綜合應(yīng)用】 53【題型1設(shè)計軸對稱圖案】【例1】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，點A、B、C都在方格紙的格點上，請你再找一個格點D，使點A、B、C、D組成一個軸對稱圖形，并畫出對稱軸．

【答案】見解析【分析】如圖1，以線段AB的垂直平分線為對稱軸，找出點C的對稱點D，然后順次連接即可；如圖2，以線段AB所在的直線為對稱軸，找出點C的對稱點D，然后順次連接即可；如圖3，以線段BC的垂直平分線為對稱軸，找出點A的對稱點D，然后順次連接即可；如圖4，以線段BC所在的直線為對稱軸，找出點A的對稱點D，然后順次連接即可．【詳解】解：如圖所示：

【點睛】此題考查利用軸對稱設(shè)計圖案，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，利用軸對稱的作圖方法作圖是解此題的關(guān)鍵．【變式11】（2023春·八年級單元測試）圖形設(shè)計：請將網(wǎng)格中的某些小方格涂黑，使它與已涂黑的小方格組成軸對稱圖形，并且有兩條對稱軸．（要求用兩種不同的方法）

【答案】見解析【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)來畫軸對稱圖形，先確定對稱軸，再找出陰影部分圖形關(guān)鍵點的對稱點，畫出圖形即可，圖形的兩部分沿對稱軸折疊后可完全重合【詳解】解：畫圖如下：

【點睛】此題主要考查了作圖軸對稱變換，關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的定義．【變式12】（2023春·吉林延邊·八年級階段練習）圖①、圖②都是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1，在每個網(wǎng)格中標注了5個格點，按下列要求畫圖．（1）在圖①中，以格點為頂點畫一個等腰三角形，使其內(nèi)部已標注的格點只有4個；（2）在圖②中，以格點為頂點，畫一個軸對稱圖形，使其內(nèi)部已標注的格點只有3個．【答案】見解析【詳解】試題分析：（1）根據(jù)要求畫圖即可．因為畫的是等腰三角形，因此至少要有兩條邊相等；（2）利用已知結(jié)合軸對稱圖形性質(zhì)畫出一個等腰三角形即可．解：（1）如圖①所示：（2）如圖②所示：．考點：利用軸對稱設(shè)計圖案．【變式13】（2023春·八年級單元測試）請你分別在下面的三個網(wǎng)格（兩相鄰格點的距離均為1個單位長度）中，各補畫一個小正方形，要求：①三個圖形形狀各不相同，②所設(shè)計的圖案是軸對稱圖形．【答案】詳見解析【分析】利用軸對稱圖形性質(zhì)分別得出圖案即可．【詳解】如圖所示：【點睛】本題考查了利用軸對稱性質(zhì)設(shè)計圖案，利用軸對稱圖形是沿某條直線折疊后能夠與直線的另一邊完全重合的圖形設(shè)計圖案是解題的關(guān)鍵．【題型2利用軸對稱性質(zhì)求最值】【例2】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，邊長為a的等邊△ABC中，BF是AC上的中線且BF=b，點D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長的最小值是

【答案】12a+b【分析】通過分析點E的運動軌跡，點E在射線CE上運動（∠ACE=30°），作點A關(guān)于直線CE的對稱點M，連接FM交CE于點E'【詳解】解：∵△ABC，△∴AB=∴∠BAD∴△BAD∴∠ABD∴AF=∴∠∴點E在射線CE上運動（∠ACE作點A關(guān)于直線CE的對稱點M，連接FM交CE于點E'，此時AE

∵CA∴△ACM∴AM=∵BF⊥∴FM=∴△AEF周長的最小值是AF故答案為：12a【點睛】本題考查軸對稱最短問題、等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明點E的運動軌跡，本題難度比較大，屬于中考填空題中的壓軸題．【變式21】（2023春·湖北武漢·八年級?？计谀┤鐖D，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為BC中點，AD=6，P為AB上一個動點，當【答案】6【分析】作出點C關(guān)于AB的對稱點F，連接FD，根據(jù)對稱性，得到BC=BF,∠CBA=∠ABF=45°【詳解】如圖，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴BD=作點C關(guān)于AB的對稱點F，連接FD，交AB于點E，當點P與點E重合時，PC+PD取得最小值，且最小值為根據(jù)對稱性，得到BC=∴FB=∴AC=∴Rt∴AD=∵AD=6∴FD=6∴PC+PD的最小值為故答案為：6．【點睛】本題考查了軸對稱性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式22】（2023春·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1，點A、B、C、M、N都在格點上．

(1)畫出△ABC關(guān)于直線MN對稱的△(2)在直線MN上找點P使PB+PC最小，在圖形上畫出點(3)在直線MN上找點Q使QB-QA最大，【答案】(1)見解析(2)見解析(3)作圖見解析；QB-QA【分析】（1）利用網(wǎng)格特點，先畫出A、B、C關(guān)于直線MN的對稱點A1、B1、（2）作點C關(guān)于MN的對稱點D，連接BD交MN于一點，該點即為點P；（3）由于QA=QA1，則|QB-QA=QB【詳解】（1）解：△A

（2）解：如圖，作點C關(guān)于MN的對稱點D，連接BD交MN于一點，該點即為所求作的點P；

∵點C與D關(guān)于MN的對稱，∴PC=∴PB+∵PB+PD≥BD，只有當點P、∴當點P、B、D三點共線時，PB+PD最小，即（3）解：先作出A關(guān)于直線MN的對稱點A1，連接BA1并延長交MN

∵QA=∴|QB根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得QB-QA1≤A1∴QB-QA的最大值為【點睛】本題主要考查了作圖—軸對稱變換、軸對稱的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，屬于?？碱}型，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．【變式23】（2023春·廣東深圳·八年級?？奸_學考試）【初步感知】(1)如圖1，已知ΔABC為等邊三角形，點D為邊BC上一動點（點D不與點B，點C重合）．以AD為邊向右側(cè)作等邊ΔADE，連接CE．求證：ΔABD≌

【類比探究】(2)如圖2，若點D在邊BC的延長線上，隨著動點D的運動位置不同，猜想并證明：

①AB與CE的位置關(guān)系為：；②線段EC、AC、CD之間的數(shù)量關(guān)系為：；【拓展應(yīng)用】(3)如圖3，在等邊ΔABC中，AB=3，點P是邊AC上一定點且AP=1，若點D為射線BC上動點，以DP為邊向右側(cè)作等邊ΔDPE，連接CE、BE．請問：

【答案】(1)見解析(2)平行EC(3)有最小值，5【分析】（1）由ΔABC和ΔADE是等邊三角形，推出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，又因為∠BAC=∠DAE（2）①由（1）得ΔABD≌ΔACE（SAS），得出∠B②因為CE=BD，AC=（3）在BC上取一點M，使得DM=PC，連接EM，可證ΔEPC≌ΔEDM（SAS），EC=EM，求得∠CEM=60°，得出ΔCEM是等邊三角形，則∠ECD＝60°【詳解】（1）證明：∵ΔABC和ΔADE是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC∵∠BAC∴∠即∠在ΔABD和ΔACE中，AB=AC∴ΔABD≌（2）平行，EC=由（1）得ΔABD≌∴∠B=∠ACE∴∠BAC∴AB∥∵CE=BD，∴CE=（3）有最小值，理由如下：如圖，在射線BC上取一點M，使得DM=PC，連接

∵ΔABC和ΔDPE是等邊三角形，∴PE=ED，∠∴∠ACD∴∠ACD由三角形內(nèi)角和為180°，可知：∠PCE+∠CEP∴∠PCE又∵∠PCE∴∠EPC∵∠EDM∴∠EPC在ΔEPC和ΔEDM中，PE=EDΔEPC≌∴EC=EM，∵∠PEC∴∠CEM∴ΔCEM是等邊三角形，∴∠ECD=60°，即點E在∠ACD在射線CD上截取CP'=在ΔCEP和ΔCEPPC=PΔCEP≌∴PE=P則BE+由三角形三邊關(guān)系可知，BE+即當點E與點C重合，BE+P'E=∵BP∴BE+∴BE+PE最小值為

【點睛】本題考查三角形綜合，全等三角形的判定，正確添加輔助線、掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【題型3翻折變換】【例3】（2023春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，點D是AB邊上一點，將△

(1)如圖1，當點E落在BC上時，求∠BDE(2)當點E落在BC下方時，設(shè)DE與BC相交于點F．①如圖2，若DE⊥BC，試說明：②如圖3，連接BE，EG平分∠BED交CD的延長線于點G，交BC于點H．若BE∥CG【答案】(1)10°(2)①見解析；②4∠【分析】（1）根據(jù)翻折可得∠A=∠CED（2）①根據(jù)翻折可得∠A=∠CED=50°，再利用垂直可得②設(shè)∠G=x，根據(jù)角平分線和平行線可得∠G=∠DEG=∠BEG=【詳解】（1）∵∠ACB=90°，∴∠B∵將△ACD沿CD翻折后得到△∴∠A∴∠BDE（2）①根據(jù)翻折可得∠A=∠∵DE⊥∴∠ECF∴CE∥②4∠G設(shè)∠G∵BE∥∴∠G=∠∵EG平分∠BED∴∠G=∠DEG∴∠ACD∴∠BCD∴∠CFE∴∠CFE=4∠G【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理清角度之間的關(guān)系．【變式31】（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）在銳角△ABC中，AB=AC，將△ABC沿AC翻折得到△AB'C，直線AB與直線B'【答案】540°7或【分析】分三種情形：當B'A=B'E，點E在CB'和BA的延長線上，當【詳解】解：①如圖，當B'A=B'E，點

∵AB=∴∠B由折疊得：∠B=∠A設(shè)∠B=x，則∠AB在△AEC中，由三角形內(nèi)角和定理得：x∴x=即∠B∴∠BAC∵360°7∴此時△ABC②如圖，當AE=B'E，點E在

∵AB=∴∠ABC由折疊得：∠ABC=∠A∵AE=∴∠A∴∠ABC∵∠ABC∴∠ABC∴∠BAC∵36°<72°<90°，∴此時△ABC綜上所述，滿足條件的∠BAC的度數(shù)為540°7或故答案為：540°7或36°【點睛】本題考查翻折變換，等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．【變式32】（2023春·江蘇·八年級期末）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，D為AC的中點，E為邊AB上一動點，連接DE，將△ADE沿DE翻折，點A落在AC上方點(1)判斷∠1與∠2是否相等并說明理由；(2)若△DEF與以點C，D，F(xiàn)為頂點的三角形全等，求出∠(3)翻折后，當△DEF和△ABC的重疊部分為等腰三角形時，直接寫出【答案】(1)∠1=∠2，理由見解析(2)70°(3)100°3或140°3【分析】（1）由△ADE沿DE翻折可知AD=DF=CD，∠FDE=∠（2）△DEF與△CDF全等，分兩種情況討論；①DF=DE=AD，∠A=∠DEA，∠ADE=180°-∠A-∠DEA，求∠ADE的值然后判斷此時△DEF與△CDF是否全等，若全等，則（3）分情況討論①由題意知（2）中∠ADE=70°時符合題意，②如圖3，重合部分的等腰三角形中，DE=DG，∠DEG=∠DGE，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理即∠FDE=∠ADE=∠1，∠【詳解】（1）解：∠1=∠2由△ADE沿DE翻折可知∵D為AC的中點∴AD∴△CDF∴∠∵∠∴180°-2∠2+∠1+∠1=180°∴∠1=∠2．（2）解：∵CD=DF，△CDF是等腰三角形，△∴①如圖1，當DF=DE=AD時，∴∠A=∠∵∠∴∠∴當DF=DE時，點F在又∵∠CDF=200°-180°=20°∴△DEF與△CDF不全等，②如圖2當DF=FE=AD時，∴∠A=∠∴EF∴四邊形AEFD、CDEF均是平行四邊形∴△EFD與△∴∠∴當DF=FE時，△EFD與△綜上所述，若△DEF與以點C，D，F(xiàn)（3）解：①由（2）中圖2可知當∠ADE=70°時，△DEF②如圖3，△DEG為△DEF與∴DE=DG∵∠FDE=∠∴∠∴∠1=∴∠ADE③如圖4，△DEG為△DEF與∴DE∵∠FDE=∠∴∠∴∠1=∴∠ADE綜上所述，當△DEF和△ABC的重疊部分為等腰三角形時，∠ADE的值為100°3或【點睛】本題考查了等腰三角形，幾何圖形折疊對稱，三角形全等，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角等知識．解題的關(guān)鍵在于正確的分析可能存在的情況．【變式33】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知D是等邊三角形ABC中AB邊上一點，將CB沿直線CD翻折得到CE，連接EA并延長交直線CD于點F．(1)如圖1，若∠BCD=40°，直接寫出(2)如圖1，若CF=10，AF(3)如圖2，連接BF，當點D在運動過程中，請?zhí)骄烤€段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)60°(2)2(3)AF+【分析】（1）根據(jù)等邊三角形及翻折的性質(zhì)可求出∠ACE的值以及∠CAE=∠E，在△ACE根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠（2）方法同（1）先求出∠CFE=60°，然后在CF上截取FH，使FH=EF，連接EH，BF，如圖1，可知△EFH是等邊三角形，根據(jù)∠ABF=180°-∠（3）由（2）可得AF+BF=【詳解】（1）解：由等邊三角形及翻折的性質(zhì)得BC=∴∠CAE=∠E∴∠ACE∴∠CAE∵∠CFE∴∠CFE的度數(shù)為60°（2）解：由（1）可得∠CFE∵∠E=180°-∠∴∠E∴∠CFE如圖1，在CF上截取FH，使FH=EF，連接由題意知BF=∴△EFH∵∠ABF=180°-∠CFB∴∠ABF在△ABF和△∵BF=∴△ABF∴CH=∴FH=∴AE=∴AE的長為2．（3）解：AF+證明如下：由（2）可得，點D在運動過程中，∠CFE如圖2，在CF上截取FH，使FH=EF，連接∴同理（2）可知△EFH∵∠ABF=180°-∠CFB∴∠ABF在△ABF和△∵BF=∴△ABF∴CH=∴CF=∴AF+【點睛】本題主要考查了等邊三角的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握知識并正確的作輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型4兩圓一線畫等腰】【例4】（2023春·廣西欽州·八年級校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直線AC上取一點P，使得A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理，分情況討論，正確作圖，即可得到結(jié)論．【詳解】解：如下圖，作AB垂直平分線與AC相交于點P，可得PA=以A為圓心，AB為半徑畫圓，交AC有P1、P以B為圓心，AB為半徑畫圓，交AC有P3一個交點，可得P故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作圖，分情況討論．【變式41】（2023春·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）如圖，直線l1、l2相交于點A，點B是直線外一點，在直線l1、l2上找一點C，使△ABC為一個等腰三角形．滿足條件的點C有（

）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個【答案】D【詳解】以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交l1、l2于4個點；以B為圓心，AB長為半徑畫弧交l1、l2于2個點，再作AB的垂直平分線交l1、l2于2個點，共有8個點，故選：D.【變式42】（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知每個小方格的邊長為1，A、B兩點都在小方格的格點（頂點）上，請在圖中找一個格點C，使△ABC是等腰三角形，這樣的格點C有個。【答案】8【分析】分別以A、B點為圓心，AB為半徑作圓，找到格點即可（A、B、C共線除外）；此外加上在AB的垂直平分線上有兩個格點，即可得到答案.【詳解】解：以A點為圓心，AB為半徑作圓，找到格點即可，（A、B、C共線除外）；以B點為圓心，AB為半徑作圓，在⊙B上的格點為C點；在AB的垂直平分線上有兩個格點．故使△ABC是等腰三角形的格點C有8個．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題．【變式43】（2023春·廣東湛江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，動點P在斜邊AB所在的直線m上運動，連結(jié)PC，那點P在直線mA．6個 B．5個 C．4個 D．3個【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的定義利用作圖的方法找出符合條件的點即可．【詳解】解：如圖所示：以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交直線m于點P1，P3；以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交直線m于點P4，P2；以C為圓心，BC為半徑畫弧，交直線m于點P5與P1兩點重合．因此出現(xiàn)等腰三角形的點P的位置有4個．故選：C．【點睛】此題考查等腰三角形的定義和判定，利用作圖找等腰三角形是一種常見的方法．【題型5等邊三角形手拉手問題】【例5】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級?？计谥校┮讶鐖D，△ABC、△CDE均為等邊三角形，連接BE，AD交于點O，AC與BE交于點P求證：(1)BE＝AD(2)∠AOB的度數(shù)【答案】(1)證明見詳解(2)60°【分析】（1）利用“邊角邊”證明△ACD和△BCE全等，即可得出BE＝AD（2）由△BCE≌△ACD可得∠CAD＝∠CBE，根據(jù)“八字型”證明∠AOP＝∠PCB＝60°即可．【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ECD都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE即∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，AC=∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD（2）由（1）可得△BCE≌△ACD∴∠CAD＝∠CBE，∵∠APO＝∠BPC，∴∠AOP＝∠BCP＝60°，即∠AOB＝60°．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式51】（2023春·山東濟寧·八年級濟寧市第十五中學?？茧A段練習）閱讀與理解：圖1是邊長分別為a和ba>b的兩個等邊三角形紙片ABC和C'DE疊放在一起（操作與證明：(1)操作：固定△ABC，將△C'DE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)25°，連接AD，BE，如圖2；在圖(2)操作：若將圖1中的△C'DE，繞點C按順時針方向任意旋轉(zhuǎn)一個角度α0°≤α≤360°，連接AD，BE，如圖猜想與發(fā)現(xiàn)：(3)根據(jù)上面的操作過程，請你猜想當α為多少度時，線段AD的長度最大是多少？當α為多少度時，線段AD長度最小是多少？【答案】(1)BE=(2)BE=(3)當α=180°時，線段AD的長度最大為a+b，當α=0°或α【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，證明△BCE?△ACD（2）與（1）的思路方法一樣，證明△BCE?△ACD，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，可得到（3）根據(jù)前面的旋轉(zhuǎn)得到當點D旋轉(zhuǎn)到CA的反向延長線上時，此時線段AD的長度最大，等于a+b，則此時旋轉(zhuǎn)的角度為180°，當點D旋轉(zhuǎn)后重新回到AC邊上時，此時線段AD長度最小，等于a-b，旋轉(zhuǎn)的角度【詳解】（1）解：BE=∵△C'DE繞點C∴∠BCE∵△ABC與△∴CA在△BCE和△CA∴△BCE∴BE（2）BE=∵△C'DE繞點C∴∠BCE∵△ABC與△∴CA在△BCE和△CA∴△BCE∴BE（3）由題意可知：當點D旋轉(zhuǎn)到CA的反向延長線上時，此時線段AD的長度最大，等于a+b，所以α=180°，當點D旋轉(zhuǎn)后重新回到AC邊上時，此時線段AD的長度最小，最小值a-b【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全