專題281銳角三角函數(shù)（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（人教版）

專題28.1銳角三角函數(shù)（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)一】銳角三角函數(shù)正弦：sinA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,斜邊)＝eq\f(a,c)余弦：cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)＝eq\f(b,c)正切：tanA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,∠A的鄰邊)＝eq\f(a,b).【知識(shí)點(diǎn)二】特殊三角函數(shù)度數(shù)三角函數(shù)30°45°60°1【知識(shí)點(diǎn)三】解直角三角形的常用關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系：；(2)銳角之間的關(guān)系：；(3)邊角之間的關(guān)系：，，.【知識(shí)點(diǎn)四】解直角三角形的應(yīng)用(1)仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角．(2)坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用表示，則有.(3)方向角：平面上，通過(guò)觀察點(diǎn)作一條水平線（向右為東向）和一條鉛垂線（向上為北向），則從點(diǎn)出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測(cè)的方向角.(4)解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟：a.弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；b.將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題；c.選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；d.得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問(wèn)題的解．【考點(diǎn)目錄】【考點(diǎn)1】銳角三角函數(shù)；【考點(diǎn)2】特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算；【考點(diǎn)3】解直角三角形；【考點(diǎn)4】銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識(shí)綜合【考點(diǎn)5】三角函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題【考點(diǎn)一】銳角三角函數(shù)【例1】如圖，在中，于，．（1）求證：．（2）若，，求的面積．【答案】（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的概念可知，，根據(jù)即可得結(jié)論；（2）由的余弦值和（1）的結(jié)論即可求得，利用勾股定理求得，即可求解．解：（1）證明：，，，，；（2）解：，，，，，，，，的面積=．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形中的有關(guān)問(wèn)題，主要考查了勾股定理，三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算，熟練掌握三角函數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】如圖，在正方形網(wǎng)格紙中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用網(wǎng)格特點(diǎn)得到∠ABC=90°，然后利用正切的定義求解．解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴tan∠BAC．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．合理使用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式2】如圖是釘板示意圖，每相鄰4個(gè)釘點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形頂點(diǎn)，釘點(diǎn)A，B的連線與釘點(diǎn)C，D的連線交于點(diǎn)，則（1）與是否垂直？（填“是”或“否”）．（2）．（3）．

【答案】是//【分析】（1）如圖，作于，的延長(zhǎng)線于，由題意知，，，由，，證明，則，則，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）由勾股定理得，，由，可得；（3）由題意知，，即，解得，，由勾股定理得，，計(jì)算求解即可．（1）解：如圖，作于，的延長(zhǎng)線于，

由題意知，，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：是；（2）解：由勾股定理得，，∵，∴，故答案為：；（3）解：由題意知，，即，解得，，由勾股定理得，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，余弦，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二】特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算【例2】計(jì)算：．【答案】7【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，將特殊角的三角函數(shù)值代入并結(jié)合零次冪的性質(zhì)計(jì)算即可．解：．【舉一反三】【變式1】若銳角滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)特殊角度的銳角三角函數(shù)值即可進(jìn)行解答．解：∵，∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了特殊角度的銳角三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各個(gè)特殊角度的正切值．【變式2】計(jì)算（﹣）﹣2﹣+2cos30°＝．【答案】2+．【分析】根據(jù)負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則、實(shí)數(shù)的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行化解即可求解．解：原式＝4﹣2+2×，＝4﹣2+，＝2+，故答案為：2+．【點(diǎn)撥】此題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值．【考點(diǎn)三】解直角三角形【例3】如圖，是的中線，

求：（1）的長(zhǎng)；（2）的正弦值．【答案】（1）6（2）【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）作于．在中，求出，在中，求出即可解決問(wèn)題；（2）在中，求出，即可解決問(wèn)題．（1）解：如圖，作于．

在中，，，，，在中，，，．（2），，，，在中，．的正弦值為．【舉一反三】【變式1】如圖，四邊形為矩形紙片，，現(xiàn)把矩形紙片折疊，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處（不與重合），點(diǎn)落在處，此時(shí)，交邊于點(diǎn)，設(shè)折痕為．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識(shí)，設(shè)，由矩形的性質(zhì)得，由折疊得，，則，因?yàn)?，所以，，可求得，由勾股定理得，求得符合題意的值為3，則，，所以，于是得到問(wèn)題的答案．正確地找到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊并且用代數(shù)式表示線段、、的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．解：設(shè)，四邊形是矩形，，，，由折疊得，，，，，，，且，，，，解得，（不符合題意，舍去），，，，故選：．【變式2】如圖，在矩形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿著折疊得到，連接，分別交和于點(diǎn)和，已知，，若與相似，則的長(zhǎng)是．

【答案】1或3【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及銳角三角函數(shù)，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，分別進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．解：當(dāng)時(shí)，，

四邊形是矩形，，，，，，，；當(dāng)時(shí)，，

；綜上所述，的長(zhǎng)是1或3，故答案為：1或3．【考點(diǎn)四】銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識(shí)綜合【例4】如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)，，.（1）求的值；（2）點(diǎn)在上，且，過(guò)作，垂足為點(diǎn)，求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）5【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再由勾股定理確定，利用正弦函數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)題意及相似三角形的判定得出，再由其性質(zhì)得出，繼續(xù)利用勾股定理求解即可（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴．（2）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】題目主要考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】如圖，在矩形中，，點(diǎn)在直線上，若矩形的周長(zhǎng)為，點(diǎn)到直線的距離的長(zhǎng)為6，則點(diǎn)到直線的距離的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，同角的余角相等，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)．利用矩形性質(zhì)求出的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可求出最后結(jié)果，其中證明是解題關(guān)鍵．解：四邊形為矩形，，，，，且矩形的周長(zhǎng)為，，解得：，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，，，點(diǎn)到直線的距離的長(zhǎng)為，故選:．【變式2】如圖，菱形的一邊在x軸的負(fù)半軸上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，與交于點(diǎn)D，若的面積為30，則k的值等于．

【答案】【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)和解直角三角形，由題意得，，進(jìn)一步有，由得，，結(jié)合菱形面積求得x，可得點(diǎn)F的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)即可求得答案．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作過(guò)點(diǎn)C作，，設(shè)，

∵四邊形為菱形，∴，，∵，∴，同理，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，解得：，∴，，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∴代入點(diǎn)C得：，故答案為：．【考點(diǎn)五】三角函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題【例5】小明想利用建筑玻璃幕墻的反射作用來(lái)測(cè)建筑的高度．如圖所示，他先在建筑的底部A處用測(cè)角儀測(cè)得其頂部在建筑玻璃幕墻上的反射點(diǎn)的仰角為，然后他沿前進(jìn)了10米到達(dá)點(diǎn)處，再用測(cè)角儀測(cè)得建筑的頂部在建筑玻璃幕墻上的反射點(diǎn)的仰角為．已知，，測(cè)角儀置于水平高度米的、處．求建筑的高度．

【答案】【分析】延長(zhǎng)分別交的延長(zhǎng)線于，于相交于H，設(shè)，則，然后在和中解直角三角形可得、，由可得，進(jìn)而得到，據(jù)此列方程解得，最后代入即可解答.正確的作出輔助線、靈活應(yīng)用解直角三角形解實(shí)際問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．解：如圖：延長(zhǎng)分別交的延長(zhǎng)線于，于相交于H，設(shè),則,在中，；在中，，∵，∴，∴，∴，∴，解得：，∴．答：建筑的高度為．【舉一反三】【變式1】如圖，小華同學(xué)想測(cè)量學(xué)校逸夫樓的高度，他站在B點(diǎn)從A處仰望樓頂D，測(cè)得仰角為30°，再往逸夫樓的方向前進(jìn)14米從E處望樓頂，測(cè)得仰角為60°，已知小華同學(xué)身高（AB）為1.6米，則逸夫樓CD的高度的為（）（≈1.73）

A．12.1米 B．13.7米 C．11.5米 D．13.5米【答案】B【分析】設(shè)DF＝x米，在Rt△ADF中求出AF，在Rt△DEF中求出EF，再由AE＝14m，可求出x的值，即可得出CD的高度．解：如圖：

設(shè)DF＝x米，在Rt△ADF中，DF＝x米，∠DAF＝30°，則tan30°＝DF：AF＝x：AF，故AF＝x米，在Rt△DEF中，DF＝x米，∠DEF＝60°，則tan60°＝DF：EF＝x：EF，故EF＝x米，由題意得，AF﹣EF＝x﹣x＝14，解得：x≈12.1米則這棵樹的高度為12.1+1.6≈13.7米．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形的應(yīng)用.設(shè)DF＝x，能借助三角函數(shù)用含x的代數(shù)式表示AF和EF，從而根據(jù)AF﹣EF=14列出方程是解決此題的關(guān)鍵.【變