專題培優(yōu)課　高考中的圓錐曲線壓軸小題

專題培優(yōu)課高考中的圓錐曲線壓軸小題【考情分析】近幾年高考常常把圓錐曲線作為壓軸小題，難度較大，綜合考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力．關(guān)鍵能力·題型剖析題型一離心率范圍問題例1(1)過雙曲線x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，D為虛軸上的一個端點，且A．(1，2)B．(2，2+2C．(2，2)D．(2+2，＋∞(2)[2024·河北石家莊模擬]已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的焦距為2，過橢圓C的右焦點F且不與兩坐標(biāo)軸平行的直線交橢圓C于A，B兩點，若x軸上的點P滿足|PA|＝|PB|且|PF|>23恒題后師說求解圓錐曲線離心率范圍問題的策略鞏固訓(xùn)練1(1)已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，滿足MF1·MF2＝0的點M總在橢圓內(nèi)部，A．(0，12)B．(0，2C．(12，22)D．((2)已知雙曲線C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)，點B的坐標(biāo)為(0，b)，若C上的任意一點P都滿足|PB|≥A．(1，5+12]B．[5+12C．(1，2]D．[2，＋∞)題型二圓錐曲線中的二級結(jié)論的應(yīng)用角度一橢圓、雙曲線中二級結(jié)論的應(yīng)用例2(1)(多選)[2024·安徽黃山模擬]已知橢圓C：x23＋y2＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，A，B分別是橢圓的左、右頂點，點P是橢圓上的一個動點，則下列選項正確的是(A．存在點P，使得cos∠F1PF2＝－2B．若△PF1F2為直角三角形，則這樣的點P有4個C．直線PA與直線PB的斜率乘積為定值－1D.橢圓C內(nèi)接矩形的周長取值范圍是(4，8](2)已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的離心率為12，上頂點為A，過左焦點F1的直線l1與C交于D，E兩點，過右焦點F2的直線l2經(jīng)過A點，且l1⊥l2.若四邊形AEF2題后師說焦點三角形的面積公式：P為橢圓(或雙曲線)上異于長軸端點的一點，且∠F1PF2＝θ，則橢圓中S△PF1F2＝b2·tanθ2，雙曲線中S△PF1F2＝b2tanθ2.周角定理：已知A，B為橢圓(或雙曲線)上關(guān)于原點對稱的兩點，點P為橢圓(或雙曲線)上異于A，B的任一點，則橢圓中kPA鞏固訓(xùn)練2(1)設(shè)橢圓x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上、下頂點分別為A，B，直線AF2與該橢圓交于A，M兩點，若∠F1AF2＝A．13B．C．－1D．－1(2)[2024·安徽合肥模擬]已知M，N為雙曲線x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)上關(guān)于原點對稱的兩點，點M在第一象限且與點Q關(guān)于x軸對稱，ME＝43MQ，直線NE交雙曲線的右支于點P，角度二拋物線中的二級結(jié)論及應(yīng)用例3(1)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|＝()A．4B．9C．5D．6(2)(多選)[2024·山東德州模擬]已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，直線l與x軸交于點P，過點F的直線與拋物線C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，O為坐標(biāo)原點，則()A．若x1＋x2＝8，則|AB|＝12B．OA·OB＝－27C．1AF+D．△PAB面積的最小值為16題后師說拋物線焦點弦的有關(guān)性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)的重要部分，了解和掌握相關(guān)結(jié)論，在解題時可迅速打開思路，拋物線焦點弦的常見結(jié)論如下：設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1·x2＝p24，y1y2＝－p(2)若A在第一象限，B在第四象限，則|AF|＝p1-cosα，|BF|＝p1+cosα，弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin(3)1FA+1(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；(6)過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準(zhǔn)線上；(7)通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.鞏固訓(xùn)練3(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F(4，0)，P為C上的一動點，A(5，1)，則下列結(jié)論正確的是()A．p＝4B．當(dāng)PF⊥x軸時，點P的縱坐標(biāo)為8C．|PF|的最小值為4D．|PA|＋|PF|的最小值為9題型三圓錐曲線與其他知識的綜合例4人教A版必修第一冊第92頁上“探究與發(fā)現(xiàn)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容是“探究函數(shù)y＝x＋1x的圖象與性質(zhì)”，經(jīng)探究它的圖象實際上是雙曲線．現(xiàn)將函數(shù)y＝3x＋1x的圖象繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到焦點位于x軸上的雙曲線C，則該雙曲線C的離心率是(A．3＋10B．20－610C．3+10D．題后師說高考對圓錐曲線的考查，經(jīng)常出現(xiàn)一些與其他知識交匯的題目，如與平面向量交匯、與三角函數(shù)交匯、與不等式交匯、與導(dǎo)數(shù)交匯等等，這些問題的實質(zhì)是圓錐曲線問題，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用性．鞏固訓(xùn)練4[2024·河北滄州模擬]若P為拋物線C：x2＝2py(p>0)在第二象限內(nèi)一點，拋物線C的焦點為F，直線PF的傾斜角為30°，拋物線在點P處的切線與y軸相交于點M.若|OM|＝12(O為坐標(biāo)原點)，則△MPF的面積為____________1．[2024·山西呂梁模擬]已知雙曲線C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y＝kx與C交于P，Q兩點，PF1·QF1＝0，且△PFA．3B．5C．2D．32．[2024·河南開封模擬]已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x24＋y2＝1的兩個焦點，點M在C上，則|MF1|·|MF2|(A．有最大值4B．有最大值3C．有最小值4D．有最小值33．[2024·人大附中模擬]已知拋物線y2＝4x的焦點為F，點A(3，2)，點P為該拋物線上一動點，則△PAF周長的最小值是()A．3＋22B．3C．4＋22D．2＋22＋234．已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，點P是C上任意一點，若圓O：x2＋y2＝b2上存在點M，N，使得∠MPN專題培優(yōu)課高考中的圓錐曲線壓軸小題關(guān)鍵能力·題型剖析例1解析：設(shè)雙曲線x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦點為F令x＝－c，得y＝±b2a，可設(shè)A(－c，b2a)，B(－c，由對稱性，不妨設(shè)D(0，b)，可得DA＝(－c，b2a－b)，DB＝(－c，－b2a由題意知A，D，B三點不共線，所以∠ADB為鈍角?DA·DB<0，即為c2－(b2a＋b)(b2a－將b2＝c2－a2代入化簡得c4－4a2c2＋2a4>0，由e＝ca，可得e4－4e2＋2>0又e>1，解得e2>2＋2，則e>2+2綜上，離心率的取值范圍為(2+2，＋∞)．故選解析：依題意，點F(1，0)，設(shè)直線AB：x＝ty＋1，t≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x=ty+1b2x2+a2y2=a2b2消去x得：(b2t2＋a2)y2＋2則y1＋y2＝－2b2tb2t2+a2，y1y2＝b2-因為|PA|＝|PB|，則有PM⊥AB，直線PM：y＋b2tb2t2+a令y＝0得點P(a2-b2b2t2+a2，0)，而a2－又|PF|>23，即1－1b2t2+a2>23，因此0<1b2t2依題意，b2t2＋a2>3恒成立，而恒有b2t2＋a2>a2，因此a2≥3?a≥3，離心率e＝1a所以橢圓C離心率e的取值范圍為0<e≤33答案：D(2)(0，33鞏固訓(xùn)練1解析：根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設(shè)焦點在橫軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，設(shè)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，設(shè)Mx0，y0，MF1·MF2＝0?(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝0?x02-c2＋y02＝0?y02＝c2-x02，點M(x0，y0)在橢圓內(nèi)部，有x02a2＋y02b2<1?b2x02+a2c解析：設(shè)P(x，y)，|PB|≥b?x2+y-b2≥b?x2＋y2－2by≥0(*)，由x2a2-y2b2＝1?x2＝a2(1＋y2b2)，代入不等式*中，化簡，得c2b2y2－2by＋a2≥0恒成立，則有Δ＝4b2－4a2c2b2≤0?b4≤a2c2?b2≤ac?c2－a2≤ac?e2－e答案：B答案：A例2解析：設(shè)橢圓上任意一點為P(x，y)，F(xiàn)1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，則PF1＝-2-x，-y，PF2＝(2－x，－y)，|F1F2由余弦定理得cos∠F1PF2＝PF12＝232-2PF1∵|PF1|·|PF2|≤PF1+PF224＝a2，cos∠F1PF2≥2PF1+PF224－1＝2a2－1，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|時等號成立，此時P在橢圓的上下頂點處，cos對于A，當(dāng)P在橢圓的上下頂點時，cos∠F1PF2＝2a2－1＝－13>－22，故不存在點P，使得cos∠F1PF2＝－22，故A錯誤；對于B，當(dāng)P在橢圓的上下頂點時，cos∠F1PF2的最小值為cos∠F1PF2＝－13>0，此時∠F1PF2為鈍角，根據(jù)橢圓的對稱性可知：當(dāng)∠P為直角時，此時有4個滿足位置的點P，當(dāng)∠F1為直角時，滿足條件的P有2個，同理∠F2為直角時，也有2個滿足條件的P，故當(dāng)△PF1F2為直角三角形時，有8個滿足條件的P，故B錯誤；對于C，A(－3，0)，B(3，0)，所以kAPkBP＝y(tǒng)x+3·yx-3＝y(tǒng)2x2-3＝1-x23x2-3＝－13，故C正確；對于D，不妨設(shè)M(3sinα，cosα)是橢圓在第一象限的內(nèi)接矩形的一頂點，根據(jù)橢圓的對稱性可知橢圓的內(nèi)接矩形的四個頂點關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，故矩形的周長為4(3sinα＋cosα)＝8sin(α＋π6)，故當(dāng)α＝π3時，M(32，12)在橢圓上，此時周長最大為8，當(dāng)α＝0時，此時8sin(α解析：設(shè)橢圓C的半焦距為c(c>0)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，則ca＝12，橢圓C：x由題可知△AF1F2為等邊三角形，所以|AF2|＝|AF1|＝|F1F2|＝2c，因為過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點，所以kDE＝tan30°＝33.由線段垂直平分線的性質(zhì)可得|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2直線DE的方程為y＝33(x＋c)，與C的方程聯(lián)立化簡可得13x2＋8cx－32c2＝0由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝－8c13，x1x2＝－32c2|DE|＝k2+1|x1－x2|＝k2+1·x1+x所以SAEF2D＝12|AF2||DE|＝解得c＝1，則a＝2.故C的長軸長為2a＝4.答案：CD(2)4鞏固訓(xùn)練2解析：∵∠F1AF2＝90°，∴△F1AF2為等腰直角三角形，∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2，∴b2a2＝12，且∠AF∴kMA＝－1，又kMA·kMB＝－b2a2∴kMB＝12.故選解析：設(shè)M(x1，y1)，P(x2，y2)，則N(－x1，－y1)，Q(x1，－y1)，由ME＝43MQ得E(x1，－53y從而有kMN＝y(tǒng)1x1，kPN＝kEN＝-y1+53y1-x1-又由x12a2－y12即kPMkPN＝b2a2，所以kPMkPN＝(－x1y1)·(－y13x1)＝13＝b答案：B(2)2例3解析：∵F(1，0)，根據(jù)題意設(shè)y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，k≠0，聯(lián)立y=kx-1，y2=4x，可得k2x2－(2k＋4)x∴x又|AF|＝2|BF|，∴1＋x1＝2(1＋x2)，∴x1＝1＋2x2，又x1x2＝1，∴x2＝12，x1＝2∴|AB|＝p＋x1＋x2＝2＋2＋12＝92，解析：拋物線C：y2＝8x的焦點為F(2，0)，準(zhǔn)線l：x＝－2，P(－2，0)，設(shè)直線AB為x＝my＋2，則y2=8x，x=my+2，即y2－8myΔ＝64m2＋64>0，故y1+y2=8m，y1y2=-16，y12y22對選項A：|AB|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4＝12，正確；對選項B：OA·OB＝x1x2＋y1y2＝4－16＝－12，錯誤；對選項C：1AF+1BF＝1x1+2+對選項D：S△PAB＝12×|PF|×|y2－y1|2y1+y22-4當(dāng)m＝0時等號成立，正確．故選ACD.答案：B答案：ACD鞏固訓(xùn)練3解析：對于A，由拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F(4，0)可知p2＝4?p＝8，故A對于B，當(dāng)PF⊥x軸時，則點P的橫坐標(biāo)為4，將其代入y2＝16x中得y＝±8，故B錯誤；對于C，設(shè)P(x0，y0)，則|PF|＝x0＋p2＝x0＋4，由于x0≥0，所以|PF|＝x0＋4≥4，故|PF|的最小值為4，故C對于D，過P作PM垂直于準(zhǔn)線于M，過A作AE垂直于準(zhǔn)線于E，則|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM|≥|AM|≥|AE|＝9，當(dāng)P，E，A三點共線時等號成立，故D正確．故選CD.答案：CD例4解析：由課本“探究與發(fā)現(xiàn)”可知y＝3x＋1x的兩條漸近線分別為y＝3x，x＝0所以該函數(shù)對應(yīng)的雙曲線的焦點在y＝3x與x＝0夾角(銳角)的角平分線l上，設(shè)l：y＝kx且k>3，若α，β分別是y＝kx，y＝3x的傾斜角，故tanα＝k，tanβ＝3，故α－β為雙曲線旋轉(zhuǎn)后其中一條漸近線的傾斜角，因為y＝kx是y＝3x與x＝0夾角(銳角)的角平分線，所以α－β＝π2－α由tan(α－β)＝tan(π2－α)＝1tanα即tan(α－β)＝tanα-tanβ1+整理得k2－6k－1＝0，可得k＝3±10，因為k>3，所以k＝3＋10，即tan(α－β)＝13+10＝10－設(shè)焦點位于x軸上的雙曲線方程：x2a2則雙曲線C一條漸近線斜率為ba所以ba＝10－3所以函數(shù)y＝3x＋1x的圖象繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到焦點位于x軸上的雙曲線Ce＝1+b2a2＝1+10答案：D鞏固訓(xùn)練4解析：依題意，F(xiàn)(0，p2)，直線PF的斜率為tan30°＝33，則直線PF的方程為y＝33x與拋物線C聯(lián)立y=整理得x2－233px－p2＝又P在第二象限內(nèi)，解得xP=-33p，yP=p6，拋物線x2＝2py(p所以y'|x=-33p＝-33pp＝－33，所以直線MP的斜率為－33，切線方程為y即y＝－33x－p6，則點M(0，－p6)，P(－3p3，p6)，根據(jù)兩點間的距離公式可得|PF|＝|MF|＝|MP|＝23p，|MF|＝23p，所以△MPF又|OM|＝12，所以p＝3因此△MPF為邊長是2的正三角形，則其面積為34×22＝3答案：3隨堂檢測1.解析：如圖，若P在第一象限，因為PF1·QF1＝0，所以PF1由圖形的對稱性知四邊形PF1QF2為矩形，因為△PF2Q的面積為4a2，所以|PF1|·|PF2|＝8a2，又因為|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，在Rt△PF1F2中，(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，解得e＝ca＝5故選B.答案：B2．解析：由橢圓x24＋y2＝1可得a2＝4，b2＝1，c2＝3，所以a＝2，b＝1，c因為點M在C上，所以|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，設(shè)|MF1|＝t，t∈[a－c，a＋c]，即t∈[2－3，2＋3]，則|MF