數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)：離散型隨機(jī)變量的方差

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精教學(xué)設(shè)計(jì)2．3。2離散型隨機(jī)變量的方差eq\o(\s\up7(）,\s\do5（整體設(shè)計(jì)））教材分析本課仍是一節(jié)概念新授課,方差與均值都是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要概念,是反映隨機(jī)變量取值分布的特征數(shù)．離散型隨機(jī)變量的均值與方差涉及的試題背景有:產(chǎn)品檢驗(yàn)問(wèn)題、射擊、投籃問(wèn)題、選題、選課、做題、考試問(wèn)題、試驗(yàn)、游戲、競(jìng)賽、研究性問(wèn)題、旅游、交通問(wèn)題、摸球問(wèn)題、取卡片、數(shù)字和入座問(wèn)題、信息、投資、路線(xiàn)等問(wèn)題．從近幾年高考試題看,離散型隨機(jī)變量的均值與方差問(wèn)題還綜合函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)、線(xiàn)性規(guī)劃等知識(shí)，主要考查能力．課時(shí)分配1課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能了解離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義,會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差．過(guò)程與方法了解方差公式“D（aX＋b）＝a2D(X）”，以及“若X～B（n，p)，則D(X）＝np(1－p)",并會(huì)應(yīng)用上述公式計(jì)算有關(guān)隨機(jī)變量的方差．情感、態(tài)度與價(jià)值觀承前啟后,感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文價(jià)值．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差．教學(xué)難點(diǎn):比較兩個(gè)隨機(jī)變量的均值與方差的大小，從而解決實(shí)際問(wèn)題．eq\o（\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過(guò)程））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(復(fù)習(xí)舊知））1．?dāng)?shù)學(xué)期望：一般地,若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為ξx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱(chēng)Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為ξ的數(shù)學(xué)期望．2．?dāng)?shù)學(xué)期望的一個(gè)性質(zhì)：E（aξ＋b)＝aEξ＋b。3．若ξ～B（n,p），則Eξ＝np.教師指出：數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，表示隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的平均值．但有時(shí)兩個(gè)隨機(jī)變量只用這一個(gè)特征量是無(wú)法區(qū)別它們的，還需要對(duì)隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度進(jìn)行刻畫(huà)．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(探究新知）)已知甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)ξ1、ξ2的分布列如下：ξ18910P0。20。60.2ξ28910P0。40.20.4試比較兩名射手的射擊水平高低．提出問(wèn)題：下面的分析你贊成嗎？為什么？∵Eξ1＝8×0。2＋9×0。6＋10×0.2＝9，Eξ2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0。4＝9，∴甲、乙兩射手的射擊平均水平相同．設(shè)計(jì)意圖:展示錯(cuò)解，引出課題活動(dòng)結(jié)果：不對(duì),顯然兩名選手的水平是不同的，要進(jìn)一步去分析成績(jī)的穩(wěn)定性．教師指出:初中我們也對(duì)一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況作過(guò)研究，即研究過(guò)一組數(shù)據(jù)的方差．在一組數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn中，S2＝eq\f(1，n）［（x1－eq\x\to(x））2＋（x2－eq\x\to（x))2＋…＋（xn－eq\x\to(x))2]叫做這組數(shù)據(jù)的方差．類(lèi)似于這個(gè)概念,我們可以定義離散型隨機(jī)變量的方差．（給出定義）1．方差：對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xi，…xn，且取這些值的概率分別是p1，p2,…，pi,…pn，那么，D（X)＝（x1－E（X)）2·p1＋(x2－E（X））2·p2＋…＋（xi－E(X)）2·pi＋…＋（xn－E(X）)2·pn稱(chēng)為隨機(jī)變量X的方差，式中的E(X）是隨機(jī)變量X的均值．標(biāo)準(zhǔn)差：D（X)的算術(shù)平方根eq\r(DX)叫做隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記作σ(X）．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（理解新知)）（1）隨機(jī)變量X的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的;（2)隨機(jī)變量X的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量X的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；（3)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用更廣泛．對(duì)“探究”的再思考（1）如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在8環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？（2)如果其他對(duì)手的射擊成績(jī)都在9環(huán)左右，應(yīng)派哪一名選手參賽？解：∵Eξ1＝8×0.2＋9×0。6＋10×0.2＝9，Eξ2＝8×0。4＋9×0.2＋10×0.4＝9，∴甲、乙兩射手的射擊平均水平相同．又∵Dξ1＝0.4，Dξ2＝0。8,∴甲射擊水平更穩(wěn)定．若對(duì)手在8環(huán)左右,派甲參賽，易贏．若對(duì)手在9環(huán)左右,則派乙參賽，可能超常發(fā)揮．提出問(wèn)題:前面我們知道若一組數(shù)據(jù)xi（i＝1，2，…，n）的方差為s2，那么另一組數(shù)據(jù)axi＋b（a、b是常數(shù)且i＝1,2，…，n）的方差為a2s2。離散型隨機(jī)變量X的方差是否也有類(lèi)似性質(zhì)?活動(dòng)結(jié)果:同樣具有．2．方差的性質(zhì)：D(aX＋b）＝a2D(X)；其他：D(X)＝E（X2)－（E（X)）2（了解）；3．若X～B（n，p），則D（X）＝np(1－p）．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(運(yùn)用新知)）例1隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上一面的點(diǎn)數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差．解：拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)X的分布列為X123456Peq\f(1,6）eq\f（1，6）eq\f（1,6)eq\f(1，6）eq\f(1,6）eq\f(1，6)從而E(X）＝1×eq\f(1，6）＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f（1，6)＋4×eq\f（1，6）＋5×eq\f（1，6)＋6×eq\f(1,6）＝3。5;D（X）＝(1－3。5）2×eq\f(1,6)＋（2－3.5）2×eq\f（1，6）＋（3－3.5）2×eq\f（1,6)＋(4－3.5)2×eq\f(1，6）＋(5－3。5)2×eq\f（1,6)＋(6－3.5）2×eq\f（1，6)≈2。92,eq\r（D(X))≈1。71.例2有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：甲單位不同職位月工資X1/元1200140016001800獲得相應(yīng)職位的概率P10.40。30。20.1乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002200獲得相應(yīng)職位的概率P20。40.30.20.1根據(jù)工資待遇的差異情況,你愿意選擇哪家單位？解：根據(jù)月工資的分布列，利用計(jì)算器可算得E(X1)＝1200×0.4＋1400×0.3＋1600×0。2＋1800×0。1＝1400，D（X1）＝（1200－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1600－1400)2×0.2＋(1800－1400)2×0。1＝40000；E（X2)＝1000×0.4＋1400×0。3＋1800×0。2＋2200×0.1＝1400,D(X2)＝（1000－1400）2×0。4＋(1400－1400）2×0。3＋(1800－1400)2×0。2＋（2200－1400)2×0。1＝160000.因?yàn)镋（X1)＝E(X2)，D（X1）〈D(X2)，所以?xún)杉覇挝坏墓べY均值相等,但甲單位不同職位的工資相對(duì)集中，乙單位不同職位的工資相對(duì)分散．這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位．【變練演編】設(shè)ξ是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下表,試求Eξ、Dξ.ξ－101Peq\f（1，2)1－2qq2剖析：應(yīng)先按分布列的性質(zhì)，求出q的值后,再計(jì)算出Eξ、Dξ。解：因?yàn)殡S機(jī)變量的概率非負(fù)且隨機(jī)變量取遍所有可能值時(shí)相應(yīng)的概率之和等于1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）＋1－2q＋q2＝1，，0≤1－2p≤1，，q2≤1，)）解得q＝1－eq\f（\r（2)，2)。于是，ξ的分布列為ξ－101Peq\f（1，2)eq\r(2)－1eq\f（3，2）－eq\r(2）所以Eξ＝(－1)×eq\f（1,2）＋0×(eq\r(2)－1）＋1×（eq\f（3,2）－eq\r（2））＝1－eq\r（2)，Dξ＝[－1－（1－eq\r（2）)]2×eq\f(1，2）＋（1－eq\r（2）)2×（eq\r（2）－1)＋[1－(1－eq\r（2）)]2×（eq\f（3,2）－eq\r(2))＝eq\r（2)－1。教師點(diǎn)評(píng)：解答本題時(shí)，應(yīng)防止機(jī)械地套用均值和方差的計(jì)算公式,出現(xiàn)以下誤解：Eξ＝(－1）×eq\f(1,2)＋0×(1－2q）＋1×q2＝q2－eq\f(1，2).另外既要會(huì)由分布列求Eξ、Dξ，也要會(huì)由Eξ、Dξ求分布列，發(fā)展逆向思維．變式：若ξ是離散型隨機(jī)變量，P（ξ＝x1）＝eq\f(3,5),P（ξ＝x2)＝eq\f（2，5),且x1〈x2,又知Eξ＝eq\f(7，5)，Dξ＝eq\f(6，25)，求ξ的分布列．解:依題意ξ只取2個(gè)值x1與x2，于是有Eξ＝eq\f(3,5)x1＋eq\f（2，5）x2＝eq\f（7，5）,Dξ＝eq\f（3,5)xeq\o\al(2,1）＋eq\f（2,5)xeq\o\al(2，2）－Eξ2＝eq\f（6,25),從而得方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（3x1＋2x2＝7，，3x\o\al(2，1）＋2x\o\al（2,2）＝11.））解之得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x1＝1，，x2＝2，））或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x1＝\f(9，5），，x2＝\f（4，5）。))而x1〈x2，∴x1＝1,x2＝2?！唳蔚姆植剂袨椋害?2Peq\f(3,5)eq\f(2，5)【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ12…nPeq\f（1，n）eq\f（1,n)…eq\f(1,n）求Dξ.略解：Eξ＝eq\f（n＋1，2）,Dξ＝eq\f(n2－1,12)。2．有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其中次品數(shù)為ξ，求Eξ,Dξ.分析：涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對(duì)較少的產(chǎn)品抽查問(wèn)題．由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽樣時(shí)抽出次品與否對(duì)后面的抽樣的次品率影響很小,所以可以認(rèn)為各次抽查的結(jié)果是彼此獨(dú)立的．解答本題，關(guān)鍵是理解清楚：抽200件商品可以看作200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即ξ~B(200，1%),從而可用公式：Eξ＝np，Dξ＝npq（這里q＝1－p)直接進(jìn)行計(jì)算．解:因?yàn)樯唐窋?shù)量相當(dāng)大，抽200件商品可以看作200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),所以ξ～B(200,1%)．因?yàn)镋ξ＝np，Dξ＝npq,這里n＝200，p＝1%，q＝99%，所以，Eξ＝200×1%＝2，Dξ＝200×1%×99％＝1.98.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．求離散型隨機(jī)變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟：①理解ξ的意義，寫(xiě)出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個(gè)值的概率，寫(xiě)出分布列；③根據(jù)分布列，由均值的定義求出Eξ;④根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出Dξ、eq\r（Dξ）.若ξ～B(n，p）,則不必寫(xiě)出分布列，直接用公式計(jì)算即可．2．對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量ξ1和ξ2,在Eξ1和Eξ2相等或很接近時(shí)，比較Dξ1和Dξ2,可以確定哪個(gè)隨機(jī)變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實(shí)際，適合問(wèn)題的需要．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(補(bǔ)充練習(xí))）【基礎(chǔ)練習(xí)】1．已知ξ～B(n，p），且Eξ＝7，Dξ＝6,則p等于(）A。eq\f（1,7）B.eq\f（1,6)C。eq\f(1，5）D.eq\f（1,4)解析：Eξ＝np＝7，Dξ＝np（1－p)＝6，所以p＝eq\f（1，7)。答案：A2．一牧場(chǎng)有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02.設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ，則Dξ等于（)A．0。2B．0。8C．0。196D．0.804解析：Dξ＝10×0。02×0.98＝0.196。答案：C3．有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙,包裝重量分別為隨機(jī)變量ξ1、ξ2,若Eξ1＝Eξ2，Dξ1＞Dξ2,則自動(dòng)包裝機(jī)________的質(zhì)量較好．解析:Eξ1＝Eξ2說(shuō)明甲、乙兩機(jī)包裝的重量的平均水平一樣．Dξ1>Dξ2說(shuō)明甲機(jī)包裝重量的差別大，不穩(wěn)定．∴乙機(jī)質(zhì)量好．答案：乙4．一次單元測(cè)試由50個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中恰有1個(gè)是正確答案．每題選擇正確得2分，不選或錯(cuò)選得0分，滿(mǎn)分是100分．學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0。8，求他在這次測(cè)試中成績(jī)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差．解:設(shè)學(xué)生甲答對(duì)題數(shù)為ξ,成績(jī)?yōu)棣?，則ξ~B（50,0.8)，η＝2ξ，故成績(jī)的均值為Eη＝E(2ξ)＝2Eξ＝2×50×0。8＝80；成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(Dη)＝eq\r(D（2ξ))＝eq\r(4Dξ）＝2eq\r(50×0。8×0。2）＝4eq\r（2）≈5。7.【拓展練習(xí)】若隨機(jī)變量A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p(0<p〈1），用隨機(jī)變量ξ表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)．(1）求方差Dξ的最大值；(2）求eq\f(2Dξ－1，Eξ）的最大值．剖析：要求Dξ、eq\f（2Dξ－1，Eξ)的最大值，需求Dξ、Eξ關(guān)于p的函數(shù)式,故需先求ξ的分布列．解：隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1,并且有P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0)＝1－p，從而Eξ＝0×(1－p）＋1×p＝p，Dξ＝（0－p)2×(1－p）＋(1－p）2×p＝p－p2。（1)Dξ＝p－p2＝－（p－eq\f（1，2))2＋eq\f（1，4)，∵0〈p<1，∴當(dāng)p＝eq\f(1，2)時(shí),Dξ取得最大值為eq\f(1,4)。(2）eq\f（2Dξ－1，Eξ)＝eq\f（2(p－p2）－1,p)＝2－(2p＋eq\f(1,p)），∵0〈p〈1,∴2p＋eq\f（1,p）≥2eq\r(2)。當(dāng)且僅當(dāng)2p＝eq\f（1，p)，即p＝eq\f(\r（2),2)時(shí),eq\f(2Dξ－1,Eξ)取得最大值2－2eq\r（2)。評(píng)述：在知識(shí)的交匯點(diǎn)處出題是高考的發(fā)展趨勢(shì)，應(yīng)引起重視．eq\o(\s\up7(），\s\do5(設(shè)計(jì)說(shuō)明))本節(jié)課從新課標(biāo)評(píng)價(jià)理念出發(fā)，以問(wèn)題作為教學(xué)的主線(xiàn),教師適時(shí)點(diǎn)撥為輔助手段，使學(xué)生在猜想、對(duì)比性問(wèn)題中展開(kāi)探索，在實(shí)踐應(yīng)用性問(wèn)題中感悟數(shù)學(xué)的思維與方法．教學(xué)中以課堂作為教學(xué)的輻射源，通過(guò)教師、學(xué)生、多媒體多點(diǎn)輻射,帶動(dòng)和提高所有學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與主動(dòng)性．eq\o（\s\up7(），\s\do5（備課資料）)備選例題：某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過(guò)第一和第二道工序加工而成,兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個(gè)等級(jí)．對(duì)每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品．（1)已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級(jí)的概率如