第08節(jié) 不等式的性質(zhì)、一元二次不等式與基本不等式（解析版）

第8節(jié)不等式的性質(zhì)、一元二次不等式與基本不等式基礎(chǔ)知識要夯實1.實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)的關(guān)系(1)a>b?a－b>0；(2)a＝b?a－b＝0；(3)a<b?a－b<0.2.不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a>b，c<0?ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可開方：a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2).3.三個“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實根x1＝x2＝－沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??[微點提醒]1.有關(guān)分數(shù)的性質(zhì)(1)若a>b>0，m>0，則；(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b?.2.對于不等式ax2＋bx＋c>0，求解時不要忘記a＝0時的情形.3.當(dāng)Δ<0時，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集為R還是?，要注意區(qū)別.4.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.(3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).5.兩個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.(2)ab≤(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.6.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值是(簡記：和定積最大).[微點提醒]1.≥2(a，b同號)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.2.ab≤≤.3.(a>0，b>0).典型例題剖析考點一不等式的性質(zhì)角度1比較大小及不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用【例1－1】(1)已知實數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.c≥b>a B.a>c≥bC.c>b>a D.a>c>b(2)(一題多解)若＜0，給出下列不等式：①；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④lna2＞lnb2.其中正確的不等式是()A.①④ B.②③ C.①③ D.②④【答案】(1)A(2)C【解析】(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＝＋>0，∴b>a，∴c≥b>a.(2)法一因為＜0，故可取a＝－1，b＝－2.顯然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②錯誤；因為lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以④錯誤.綜上所述，可排除A，B，D.法二由＜0，可知b＜a＜0.①中，因為a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有，即①正確；②中，因為b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②錯誤；③中，因為b＜a＜0，又＜0，則－＞－＞0，所以a－＞b－，故③正確；④中，因為b＜a＜0，根據(jù)y＝x2在(－∞，0)上為減函數(shù)，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定義域(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以lnb2＞lna2，故④錯誤.由以上分析，知①③正確.角度2利用不等式變形求范圍【例1－2】(一題多解)設(shè)f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，則f(－2)的取值范圍是________.【答案】[5，10]【解析】法一設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法二由得∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法三由確定的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，當(dāng)f(－2)＝4a－2b過點A時，取得最小值4×－2×＝5，當(dāng)f(－2)＝4a－2b過點B(3，1)時，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.規(guī)律方法1.比較兩個數(shù)(式)大小的兩種方法2.與充要條件相結(jié)合問題，用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用.3.與命題真假判斷相結(jié)合問題.解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法.4.在求式子的范圍時，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等號不能同時取到，會導(dǎo)致范圍擴大.【訓(xùn)練1】(1)(2022·東北三省四市模擬)設(shè)a，b均為實數(shù)，則“a>|b|”是“a3>b3”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)(2022·天一測試)已知實數(shù)a∈(1，3)，b∈，則的取值范圍是________.【答案】(1)A(2)(4，24)【解析】(1)a>|b|能推出a>b，進而得a3>b3；當(dāng)a3>b3時，有a>b，但若b<a<0，則a>|b|不成立，所以“a>|b|”是“a3>b3”的充分不必要條件.(2)依題意可得4<<8，又1<a<3，所以4<<24.考點二一元二次不等式的解法【例2－1】(1)(2022·河南中原名校聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－2x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為________.(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－<x<－}，則不等式x2－bx－a≥0的解集是________.【答案】(1)(－3，0)∪(3，＋∞)(2){x|x≥3或x≤2}【解析】(1)設(shè)x<0，則－x>0，因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x).又f(0)＝0.于是不等式f(x)>x等價于或解得x>3或－3<x<0.故不等式的解集為(－3，0)∪(3，＋∞).(2)由題意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的兩個根，且a<0，所以解得故不等式x2－bx－a≥0為x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.【例2－2】解關(guān)于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).【解析】原不等式可化為ax2＋(a－2)x－2≥0.①當(dāng)a＝0時，原不等式化為x＋1≤0，解得x≤－1.②當(dāng)a＞0時，原不等式化為(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1.③當(dāng)a＜0時，原不等式化為(x＋1)≤0.當(dāng)＞－1，即a＜－2時，解得－1≤x≤；當(dāng)＝－1，即a＝－2時，解得x＝－1滿足題意；當(dāng)＜－1，即－2<a<0時，解得≤x≤－1.綜上所述，當(dāng)a＝0時，不等式的解集為{x|x≤－1}；當(dāng)a＞0時，不等式的解集為；當(dāng)－2＜a＜0時，不等式的解集為；當(dāng)a＝－2時，不等式的解集為{－1}；當(dāng)a＜－2時，不等式的解集為.規(guī)律方法1.解一元二次不等式的一般方法和步驟(1)化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標準形式.(2)判：計算對應(yīng)方程的判別式，根據(jù)判別式判斷方程有沒有實根(無實根時，不等式解集為R或?).(3)求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根.(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集.2.含有參數(shù)的不等式的求解，首先需要對二次項系數(shù)討論，再比較(相應(yīng)方程)根的大小，注意分類討論思想的應(yīng)用.【訓(xùn)練2】(2022·清遠一模)關(guān)于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)C.(－1，3) D.(－∞，1)∪(3，＋∞)【答案】C【解析】關(guān)于x的不等式ax－b<0即ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化為(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，∴所求不等式的解集是(－1，3).考點三一元二次不等式恒成立問題角度1在實數(shù)R上恒成立【例3－1】(2018·大慶實驗中學(xué)期中)對于任意實數(shù)x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，2) B.(－∞，2]C.(－2，2) D.(－2，2]【答案】D【解析】當(dāng)a－2＝0，即a＝2時，－4<0恒成立；當(dāng)a－2≠0，即a≠2時，則有解得－2<a<2.綜上，實數(shù)a的取值范圍是(－2，2].角度2在給定區(qū)間上恒成立【例3－2】(一題多解)設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若對于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，則m的取值范圍是________.【答案】【解析】要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，故mx2－mx＋m－6＜0，則m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3].當(dāng)m＞0時，g(x)在[1，3]上是增函數(shù)，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.所以m＜，則0＜m＜.當(dāng)m＜0時，g(x)在[1，3]上是減函數(shù)，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.所以m＜6，所以m＜0.綜上所述，m的取值范圍是.角度3給定參數(shù)范圍的恒成立問題【例3－3】已知a∈[－1，1]時不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，則x的取值范圍為()A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)【答案】C【解析】把不等式的左端看成關(guān)于a的一次函數(shù)，記f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，則由f(a)＞0對于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式組得x＜1或x＞3.規(guī)律方法1.對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.2.解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).【訓(xùn)練3】(2022·河南豫西南五校聯(lián)考)已知關(guān)于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0對任意x∈R恒成立，則k的取值范圍是()A.[0，1] B.(0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)【答案】A【解析】當(dāng)k＝0時，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化為8≥0，其恒成立，當(dāng)k≠0時，要滿足關(guān)于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0對任意x∈R恒成立，只需解得0<k≤1.綜上，k的取值范圍是[0，1].[思維升華]1.比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù)，是不等式證明的主要方法之一，比較法之一作差法的主要步驟為作差——變形——判斷正負.2.判斷不等式是否成立，主要有利用不等式的性質(zhì)和特殊值驗證兩種方法，特別是對于有一定條件限制的選擇題，用特殊值驗證的方法更簡單.[易錯防范]1.“三個二次”的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ)；一般可把a＜0的情況轉(zhuǎn)化為a＞0時的情形.2.含參數(shù)的不等式要注意選好分類標準，避免盲目討論.考點四利用基本不等式求最值多維探究角度1通過配湊法求最值【例4－1】(2022·樂山一中月考)設(shè)0<x<，則函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值為________.【答案】【解析】y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3－2x，即x＝時，等號成立.∵∈，∴函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值為.角度2通過常數(shù)代換法求最值【例4－2】(2019·濰坊調(diào)研)函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx＋ny－1＝0上，且m，n為正數(shù)，則的最小值為________.【答案】4【解析】∵曲線y＝a1－x恒過定點A，x＝1時，y＝1，∴A(1，1).將A點代入直線方程mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)，可得m＋n＝1，∴＝·(m＋n)＝2＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)且m＋n＝1(m>0，n>0)，即m＝n＝時，取得等號.【規(guī)律方法】在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，主要有兩種思路：(1)對條件使用基本不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解.常用的方法有：折項法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等.(2)條件變形，進行“1”的代換求目標函數(shù)最值.【訓(xùn)練4】(1)(2022·濟南聯(lián)考)若a>0，b>0且2a＋b＝4，則的最小值為()A.2 B. C.4 D.(2)已知x<，則f(x)＝4x－2＋的最大值為______.【答案】(1)B(2)1【解析】(1)因為a>0，b>0，故2a＋b≥2(當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b時取等號).又因為2a＋b＝4，∴2≤4?0<ab≤2，∴≥，故的最小值為(當(dāng)且僅當(dāng)a＝1，b＝2時等號成立).(2)因為x<，所以5－4x>0，則f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1.當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時，等號成立.故f(x)＝4x－2＋的最大值為1.考點五基本不等式在實際問題中的應(yīng)用【例5】運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/時).假設(shè)汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油升，司機的工資是每小時14元.(1)求這次行車總費用y關(guān)于x的表達式；(2)當(dāng)x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值.【解析】(1)設(shè)所用時間為t＝(h)，y＝×2×＋14×，x∈[50，100].所以，這次行車總費用y關(guān)于x的表達式是y＝，x∈[50，100](2)y＝≥26，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝18時等號成立.故當(dāng)x＝18千米/時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為26元.【規(guī)律方法】1.設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).2.根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.3.在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.【訓(xùn)練5】網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時期內(nèi)，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2019年1月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實體店體驗安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個月運營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數(shù)關(guān)系式x＝3－.已知網(wǎng)店每月固定的各種費用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是________萬元.【答案】37.5【解析】由題意知t＝－1(1<x<3)，設(shè)該公司的月利潤為y萬元，則y＝x－32x－3－t＝16x－－3＝16x－＋－3＝45.5－≤45.5－2＝37.5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時取等號，即最大月利潤為37.5萬元.考點六基本不等式的綜合應(yīng)用【例6】(1)(2019·河南八校測評)已知等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a9＝19，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則的最小值為________.(2)(一題多解)(2018·江蘇卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________.【答案】(1)3(2)9【解析】(1)∵a3＝7，a9＝19，∴d＝＝＝2，∴an＝a3＋(n－3)d＝7＋2(n－3)＝2n＋1，∴Sn＝＝n(n＋2)，因此＝＝≥＝3，當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時取等號.故的最小值為3.(2)法一依題意畫出圖形，如圖所示.易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，即csin60°＋asin60°＝acsin120°，∴a＋c＝ac，∴＝1，∴4a＋c＝＝5＋≥9，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝，c＝3時取“＝”.【規(guī)律方法】基本不等式的應(yīng)用非常廣泛，它可以和數(shù)學(xué)的其他知識交匯考查，解決這類問題的策略是：1.先根據(jù)所交匯的知識進行變形，通過換元、配湊、巧換“1”等手段把最值問題轉(zhuǎn)化為用基本不等式求解，這是難點.2.要有利用基本不等式求最值的意識，善于把條件轉(zhuǎn)化為能利用基本不等式的形式.3.檢驗等號是否成立，完成后續(xù)問題.【訓(xùn)練6】(2022·廈門模擬)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，當(dāng)x∈R時，f(x)恒為正值，則k的取值范圍是()A.(－∞，－1) B.(－∞，2－1)C.(－1，2－1) D.(－2－1，2－1)【答案】B【解析】由f(x)>0得32x－(k＋1)3x＋2>0，解得k＋1<3x＋.又3x＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)3x＝，即x＝log3時，等號成立).所以k＋1<2，即k<2－1.[思維升華]1.基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點，選擇好利用基本不等式的切入點.2.對于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等，同時還要注意不等式成立的條件和等號成立的條件.3.對使用基本不等式時等號取不到的情況，可考慮使用函數(shù)y＝x＋(m>0)的單調(diào)性.[易錯防范]1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可.2.連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致.達標檢測要扎實一、單選題1．關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的解集是，，得，則不等式，即，解得：，所以不等式的解集是.故選：D2．若0<m<1，則不等式(x－m)<0的解集為（

）A． B．或C．或 D．【答案】D【解析】∵0<m<1，∴>1>m，故原不等式的解集為，故選：D．3．若不等式對一切實數(shù)都成立，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，對一切實數(shù)都成立，故符合題意；當(dāng)時，要使不等式對一切實數(shù)都成立，則，綜上：故選：B.4．下列不等式中成立的是（

）A．若則B．若則C．若則D．若則【答案】C【解析】對于A，若，則，所以，所以，所以，故A錯誤；對于B，若，則，，所以，故B錯誤；對于C，若，則，，所以，故C正確；對于D，若，則，故D錯誤.故選：C5．不等式的解集是A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，所以或，選C.6．已知關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍為（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【解析】由題意知：，解之得或，故選：C7．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A．(1,9) B．(9,1)C．[9,1] D．(∞,1)∪(9,+∞)【答案】B【解析】由題設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故選：B.8．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以，，所以，故.故選：D.9．已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.設(shè)，所以，解得：，，因為，，所以，因為單調(diào)遞增，所以.故選：C10．已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】一元二次不等式的解集為，所以，是方程的兩個根，所以，，即，，則，可知其解集為，故選：C．11．若，，且，，則，，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，因為，，所以或，而，，所以．所以．故選：A．12．不等式的解集為，那么不等式的解集為（

）A． B．或C． D．或【答案】C【解析】不等式的解集為，故可得并且則，將其代入不等式化為，解得，故選：．二、填空題13．已知a＞0，b＞0，則p＝﹣a與q＝b﹣的大小關(guān)系是_____．【答案】【解析】因為，，與，所以，時取等號，所以．故答案為：．14．若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則的取值范圍是________.【答案】或【解析】若，則原不等式等價為，此時不等式的解集為空集，所以不成立，即.若，要使不等式的解集不是空集，則①若，有，解得.②若，則滿足條件.綜上所述，滿足條件的的取值范圍是或.故答案為：或.15．若命題“，”為真命題，則實數(shù)m的取值范圍為________.【答案】【解析】由題意可知，不等式有解，，即，∴實數(shù)m的取值范圍為，故答案為：.16．某地每年銷售木材約20萬，每立方米的價格為2400元．為了減少木材消耗，決定按銷售收入的征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少萬，為了既減少了木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬元，則t的取值范圍是________．【答案】【解析】按銷售收入的征收木材稅時，稅金收入為y萬元，則．令，即，解得．故答案為：.三、解答題17．已知集合.（1）若中有兩個元素，求實數(shù)的取值范圍；（2）若中至多有一個元素，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由于中有兩個元素，∴關(guān)于的方程有兩個不等的實數(shù)根，∴，且，即，且.故實數(shù)的取值范圍是且.（2）當(dāng)時，方程為，，集合；當(dāng)時，若關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則中只有一個元素，此時，若關(guān)于的方程沒有實數(shù)根，則中沒有元