第11節(jié) 利用導數(shù)解決函數(shù)的極值最值（解析版）

第11節(jié)利用導數(shù)解決函數(shù)的極值最值基礎(chǔ)知識要夯實1．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.①函數(shù)fx在x0處有極值的必要不充分條件是f′x0＝0，極值點是f′x＝0的根，但f′x＝0的根不都是極值點例如fx＝x3，f′0＝0，但x＝0不是極值點.②極值反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì).極值點是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的點，不會是端點.2．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．3常用結(jié)論1.對于可導函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.2.求最值時，應注意極值點和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值就是最值.3.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系.核心素養(yǎng)要做實考點一利用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題考法(一)利用導數(shù)求函數(shù)的極值或極值點【例1】(2020·天津高考改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差為d的等差數(shù)列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)若d＝3，求f(x)的極小值點及極大值．【解析】(1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1.因此曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切線方程為x＋y＝0.(2)由已知可得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3－9)x－＋9t2.故f′(x)＝3x2－6t2x＋3－9.令f′(x)＝0，解得x＝t2－或x＝t2＋.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，t2－)t2－(t2－，t2＋)t2＋(t2＋，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值所以函數(shù)f(x)的極小值點為x＝t2＋，極大值為f(t2－)＝(－)3－9×(－)＝6.【方法技巧】求函數(shù)的極值或極值點的步驟(1)求導數(shù)f′(x)，不要忘記函數(shù)f(x)的定義域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢查在方程的根的左右兩側(cè)f′(x)的符號，確定極值點或函數(shù)的極值．考法(二)已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的值或范圍【例2】(2020·北京高考節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，若f(x)在x＝1處取得極小值，求a的取值范圍．【解析】由f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.若a>1，則當x∈時，f′(x)<0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0.所以f(x)在x＝1處取得極小值．若a≤1，則當x∈(0,1)時，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0.所以1不是f(x)的極小值點．綜上可知，a的取值范圍是(1，＋∞)．【方法技巧】已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的2個要領(lǐng)列式根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解驗證因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性[題組訓練]1．設(shè)函數(shù)f(x)＝＋lnx，則()A．x＝為f(x)的極大值點B．x＝為f(x)的極小值點C．x＝2為f(x)的極大值點 D．x＝2為f(x)的極小值點【答案】D【解析】∵f(x)＝＋lnx(x>0)，∴f′(x)＝－＋，令f′(x)＝0，則x＝2.當0<x<2時，f′(x)<0；當x>2時，f′(x)>0.所以x＝2為f(x)的極小值點．2．(2020·廣州高中綜合測試)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處的極值為10，則數(shù)對(a，b)為()A．(－3,3) B．(－11,4)C．(4，－11) D．(－3,3)或(4，－11)【答案】C【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依題意可得即消去b可得a2－a－12＝0，解得a＝－3或a＝4，故或當時，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，這時f(x)無極值，不合題意，舍去，故選C.3．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0)．(1)當a＝1，且函數(shù)f(x)的圖象過點(0,1)時，求函數(shù)f(x)的極小值；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上無極值點，求a的取值范圍．【解析】f′(x)＝3ax2－4x＋1.(1)函數(shù)f(x)的圖象過點(0,1)時，有f(0)＝c＝1.當a＝1時，f(x)＝x3－2x2＋x＋1，f′(x)＝3x2－4x＋1，由f′(x)>0，解得x<或x>1；由f′(x)<0，解得<x<1.所以函數(shù)f(x)在和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)的極小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上無極值點，則f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，即f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax2－4x＋1≤0恒成立．因為a>0，所以f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，則有Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥.故a的取值范圍為.考點二利用導數(shù)解決函數(shù)的最值問題【例2】(2020·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝excosx－x.(1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值．【解析】(1)因為f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.又因為f(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝1.(2)設(shè)h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，則h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.當x∈時，h′(x)＜0，所以h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以對任意x∈，有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減．因此f(x)在區(qū)間上的最大值為f(0)＝1，最小值為f＝－.[解題技法]導數(shù)法求給定區(qū)間上函數(shù)的最值問題的一般步驟(1)求函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)；(2)求f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值；(3)求f(x)在給定區(qū)間上的端點值；(4)將f(x)的各極值與f(x)的端點值進行比較，確定f(x)的最大值與最小值；(5)反思回顧，查看關(guān)鍵點，易錯點和解題規(guī)范．【跟蹤訓練】1.(2020·珠海摸底)如圖，將一張16cm×10cm的長方形紙片剪下四個全等的小正方形，使得剩余部分經(jīng)過折疊能糊成一個無蓋的長方體紙盒，則這個紙盒的最大容積是________cm3.【答案】144【解析】設(shè)剪下的四個小正方形的邊長為xcm，則經(jīng)過折疊以后，糊成的長方體紙盒是一個底面是長為(16－2x)cm，寬為(10－2x)cm的長方形，其面積為(16－2x)(10－2x)cm2，長方體紙盒的高為xcm，則體積V＝(16－2x)(10－2x)×x＝4x3－52x2＋160x(0<x<5)cm3，所以V′＝12(x－2)·，由V′>0，得0<x<2，則函數(shù)V＝4x3－52x2＋160x(0<x<5)在(0,2)上單調(diào)遞增；由V′<0，得2<x<5，則函數(shù)V＝4x3－52x2＋160x(0<x<5)在(2,5)上單調(diào)遞減，所以當x＝2時，Vmax＝144(cm3)．2．已知函數(shù)f(x)＝lnx－.(1)若a>0，試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值為，求實數(shù)a的值．【解析】(1)由題意得f(x)的定義域是(0，＋∞)，且f′(x)＝，因為a>0，所以f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．(2由(1)可得f′(x)＝，因為x∈[1，e]，①若a≥－1，則x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(1)＝－a＝，所以a＝－(舍去)．②若a≤－e，則x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，所以f(x)min＝f(e)＝1－＝，所以a＝－(舍去)．③若－e<a<－1，令f′(x)＝0，得x＝－a，當1<x<－a時，f′(x)<0，所以f(x)在(1，－a)上單調(diào)遞減；當－a<x<e時，f′(x)>0，所以f(x)在(－a，e)上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，所以a＝－.綜上，a＝－.達標檢測要扎實一、單選題1．對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】原不等式可化為．令，則．令，則．∵函數(shù)在區(qū)間上遞增，∴，∴．，使得，即，，，遞減，，遞增，∴，∴，恒有，在區(qū)間上遞增，∴，∴．故選：C.2．已知函數(shù)，若不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為.則．所以，易知在R上單調(diào)遞增，所以有，對恒成立，即，設(shè)，則，則當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，則，所以有，即．故選：D3．若兩曲線與存在公切線，則正實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)公切線與曲線和的交點分別為，，其中，對于有，則上的切線方程為，即，對于有，則上的切線方程為，即，所以，有，即，令，，令，得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，故，即.故選：B.4．已知函數(shù)有兩個不同的極值點，，若不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)，且，由有兩個極值點，∴令，則在上有兩個不等的實根，，∴，，且，得.又，且，∴，，即，∴，令且，要使題設(shè)不等式恒成立，只需恒成立，∴，即遞增，故，∴.故選：B5．已知函數(shù)有極值，則c的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，若函數(shù)有極值，則，解得，故選：A．6．若函數(shù)的極大值點與極大值分別為a，b，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，或，，或，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，為極大值點，且，，，，故選：C.7．若對任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則，令若時，若時，所以可知函數(shù)在遞減，在遞增所以由對任意的實數(shù)恒成立所以故選：A8．已知函數(shù)，則（

）A．在上為增函數(shù) B．在上為減函數(shù)C．在上有極大值 D．在上有極小值【答案】A【解析】，，令，則，因此在上，，單減；在上，，單增；又，因此，即，故在及上，單增，無極值，故選：A9．設(shè)函數(shù)，若的極小值為，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由已知得：，令，有，且上遞減，上遞增，∴的極小值為，即，得.故選：B.10．已知若，則的最大值是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖作出的圖象，依題意，，注意到，且，因此，其中，設(shè)，當，時，當，時，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即的最大值為故選：C.11．已知函數(shù)有兩個不同的極值點，且不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因為函數(shù)有兩個不同的極值點，，所以方程有兩個不相等的正實數(shù)根，于是有，解得.因為不等式恒成立，所以恒成立.，設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，故，所以.因此實數(shù)t的取值范圍是.故選：A12．已知函數(shù)，則“”是“有極值”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，，．若，則恒成立，為增函數(shù)，無極值；若，即，則有兩個極值．所以“”是“有極值”的必要不充分條件．故選:B二、填空題13．已知，若存在極小值，則的取值范圍是_______________________．【答案】【解析】，若存在極小值，則存在極小值，所以方程有兩個不等的實根，所以，解得：，所以的取值范圍是，故答案為：14．，則的最大值為_____________.【答案】【解析】令，，則，又，即，故為半徑為的半圓面積，故；又是奇函數(shù)，根據(jù)定積分性質(zhì)，則.故.則，，故當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.故.故答案為：15．已知函數(shù)的定義域為，它的導函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的極值點有______個.【答案】2【解析】由導函數(shù)的圖像可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以為極大值點，為極小值點，所以函數(shù)的極值點有2個.故答案為：216．函數(shù)的最小值為______．【答案】0【解析】函數(shù)的定義域為．當時，，此時函數(shù)在上為減函數(shù)，當時，，則，所以在上單調(diào)遞增，在上是連續(xù)函數(shù)，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增．當時取得最小值為．故答案為：0．三、解答題17．已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間，并求當時，的最大值；（2）若對任意的，恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）的定義域為，，則，則當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.當時，.（2）由題得當時，恒成立，即在上恒成立.令，∵，當時取等號，∴，當時取等號，∴，當時等號成立，取到最小值.令，則，∴在上單調(diào)遞增，又∵，，∴，使得，∴.則，∴實數(shù)的取值范圍為.18．已知函數(shù)．（1）若存在極值，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，當時，恒成立，且有且只有一個實數(shù)解，證明：．【解析】（1）的定義域為，則，則，設(shè)，則在上有零點，且，所以，，解得，因此，實數(shù)的取值范圍為；（2）由題意可得，，令，解得．因為，所以，，所以在上有唯一零點．當時,，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減．所以．因為在上恒成立，且有且只有一個實數(shù)解，所以，即，消去并整理得．令，則，，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以．又，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．19．已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；（2）設(shè)a>0時，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．【解析】（1）[方法一]【最優(yōu)解】：等價于．設(shè)，則．當時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．故，所以，即，所以c的取值范圍是．[方法二]：切線放縮若，即，即當時恒成立，而在點處的切線為，從而有，當時恒成立，即，則．所以c的取值范圍為．[方法三]：利用最值求取值范圍函數(shù)的定義域為：，設(shè)，則有，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，即，要想不等式在上恒成立，只需；所以c的取值范圍