第14節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式（解析版）

第14節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式基礎(chǔ)知識(shí)要夯實(shí)1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：＝tan__α.2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限3.常用結(jié)論（1）同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.（2）誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.（3）在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào).核心素養(yǎng)要做實(shí)考點(diǎn)一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用【例1】(1)(2022·蘭州測(cè)試)若，則（）A． B．2C． D．－2【答案】B【解析】由，得，又，所以，即，從而，此時(shí)．所以．(2)(2022·平頂山聯(lián)考)如果，那么的值為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】，【方法技巧】1.利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化.2.應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.3.注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【跟蹤訓(xùn)練】1.若，則（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【解析】∵，故選D．2.已知是第二象限的角，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得．故選A考點(diǎn)二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【例2】(1)(2022·衡水中學(xué)調(diào)研)已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】．(2)若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，解得，原式．規(guī)律方法1.誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.(2)化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.2.含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.【訓(xùn)練2】(1)(2020·北京卷)在已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴．（2）化簡(jiǎn)．【答案】【解析】原式＝．考點(diǎn)三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的活用【例3】(1)(2020·菏澤聯(lián)考)已知，且是第四象限角，則．【答案】【解析】∵，∴，又為第四象限角，∴，∴．(2)(2020·福州調(diào)研)若，求的值．【解析】，設(shè)要求的式子為，則．【方法技巧】1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.2.(1)注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響，開方時(shí)先判斷三角函數(shù)值的符號(hào)；(2)熟記一些常見互補(bǔ)的角、互余的角，如eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α互余等.【跟蹤訓(xùn)練】1.(2022湖北七州市聯(lián)考)已知是方程的根，求的值．【解析】∵是方程的根，∴或，而，故，∴，故．∴原式．2.化簡(jiǎn)．【解析】原式．達(dá)標(biāo)檢測(cè)要扎實(shí)一、單選題1．已知是第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，故選：A2．若，且，則A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，，則，由于，則.故選A.3．已知角、、為的三個(gè)內(nèi)角，若，則一定是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形【答案】C【解析】由可得，，，即，故該三角形一定為等腰三角形.故選：C4．已知，則（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以.故選：D5．已知銳角終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，又，為銳角，∴

，故選：A.6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故選：D.7．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，因?yàn)椋?故選：C8．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，則.故選：C.9．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由誘導(dǎo)公式得，故選：B.10．化簡(jiǎn)的值為A． B． C． D．2【答案】B【解析】由正余弦的二倍角公式,結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得故選:B11．若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意得.故選：D.12．下列三角比的值中，與的值相同的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④；⑤A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】①中，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，不滿足題意；②中，，滿足題意；③中，，滿足題意；④中，，不滿足題意；⑤中，，滿足題意，綜上可得②③⑤滿足題意.故選：C.二、填空題13．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若，則___________.【答案】【解析】由題意，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得.又由，得，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，解得.故答案為：.14．若，則______．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴.故答案為：15．已知，若，則___________.【答案】【解析】令，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)?，即，所以，所?故答案為：16．在平面直角坐標(biāo)系中,角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱.若,則_____.【答案】【解析】因?yàn)榻桥c角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，所以，所以.三、解答題17．已知，且，求：（1）；（2）.【解析】（1）由，得．①將①式兩邊平方，得，故，又，，．．（2）18．已知.（1）化簡(jiǎn)；（2）若角是的內(nèi)角，且，求的值.【解析】（1）；（2）因?yàn)?，又角是的?nèi)角，則角為銳角，所以，，，因此，.19．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求的值；（2）求的值【解析】（1）由題意角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得.（2）由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得.20．已知，且，為方程的兩根．（1）求的值；（2）求的值．【解析】（1）由題意得，則，，，得．（2），，且，，則，，，則，故原式．21．在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊為軸的正半軸，終邊在第二象限與單位圓交于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.(1)求的值；(2)若將射線繞點(diǎn)