第22節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖和直觀圖（解析版）

第22節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖和直觀圖基礎(chǔ)知識(shí)要夯實(shí)1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?3.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底h臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR33．空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括主視圖、左視圖、俯視圖．[難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源]1．正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫作正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形．2．正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫作正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．反過來，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心．3．空間幾何體的數(shù)量關(guān)系也體現(xiàn)在三視圖中，主視圖和左視圖的“高平齊”，主視圖和俯視圖的“長對(duì)正”，左視圖和俯視圖的“寬相等”．其中，主視圖、左視圖的高就是空間幾何體的高，主視圖、俯視圖中的長就是空間幾何體的最大長度，左視圖、俯視圖中的寬就是空間幾何體的最大寬度．要盡量按照這個(gè)規(guī)則畫空間幾何體的三視圖．基本技能要落實(shí)考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】(1)給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3(2)給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；④棱臺(tái)的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn).其中正確命題的序號(hào)是________.【答案】(1)A(2)②③④【解析】(1)①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等.(2)①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；③正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個(gè)面都是直角三角形；④正確，由棱臺(tái)的概念可知.【方法技巧】1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一個(gè)反例.2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.3.既然棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略.【跟蹤訓(xùn)練】1.下列命題正確的是()A.兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)B.兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C.以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形【答案】C【解析】如圖所示，可排除A，B選項(xiàng).只有截面與圓柱的母線平行或垂直，則截得的截面為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分.考點(diǎn)二空間幾何體的直觀圖【例2】安徽省黃山市屯溪第一中學(xué)2020-2020學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理)試題】水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，，則繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為()A． B． C． D．【答案】B【解析】本題考查了平面圖形的直觀圖問題，也考查了旋轉(zhuǎn)體的表面積求法.根據(jù)“斜二測畫法”可得AO=BO=2，OC=2，∴AC=BC==4，如圖所示，∴△ABC是邊長為4的等邊三角形；△ABC繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體，它的表面積為S=2πrl=2π×2×4=16π．故答案為：B【方法技巧】1.畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規(guī)則可以用“斜”(兩坐標(biāo)軸成45°或135°)和“二測”(平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z軸的線段長度不變)來掌握.2.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝S原圖形.【跟蹤訓(xùn)練】如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()A.2＋ B. C. D.1＋【答案】A【解析】恢復(fù)后的原圖形為一直角梯形，所以S＝(1＋＋1)×2＝2＋.故選A.考點(diǎn)三空間幾何體的三視圖【例3】在一個(gè)幾何體的三視圖中，主視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的左視圖可以為 【答案】A【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖是一個(gè)物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直觀圖是 ()【答案】D達(dá)標(biāo)檢測要扎實(shí)一、單選題1．已知一個(gè)側(cè)棱均相等的三棱錐的三視圖(如圖)，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸(單位：)，可得這個(gè)三棱錐的體積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由三視圖可畫出三棱錐的直觀圖，如下在三棱錐中，，，，，平面，，，，中，所以.故選:C.2．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的棱長為A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)三視圖知，該幾何體是一個(gè)正四棱錐，畫出圖形如圖所示；則，，底面CDEB，結(jié)合圖形中的數(shù)據(jù)，求得，在中，由勾股定理得，同理求得，．故選A．3．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，且是正三角形，若點(diǎn)P是上底面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為（

）（注：以垂直于平面的方向?yàn)檎晥D方向）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】a，高為h，則三棱錐的正視圖是以底為，高為的三角形，其面積為，三棱錐的側(cè)視圖是以底為高為的三角形，其面積為，則所求面積比為，故選：D.4．若一個(gè)平面圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)邊長為2的正方形（如圖），則原圖的周長為（）A． B．16 C． D．【答案】B【解析】由題意，平面圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)邊長為2的正方形，所以原圖形是一個(gè)平行四邊形，斜二測畫法中平行于軸的邊長在原圖中長度為2，斜二測畫法中與軸垂直的邊長在原圖中的長度為，則原圖形的周長為2+2+6+6＝16．故選：B．5．某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為V，該幾何體所有棱的棱長之和為L，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在如圖所示的正方體中，P，E分別為的中點(diǎn)，該幾何體為四棱錐，且平面．由三視圖可知，則，則．故選：A.6．如圖，一個(gè)水平放置的圖形的直觀圖是一個(gè)等腰直角三角形，斜邊長，那么原平面圖形的面積是（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)斜二測畫法可得原圖形為如圖所示，因?yàn)槭堑妊苯侨切危鶕?jù)斜二測畫法可得為直角三角形，，，，所以原平面圖形的面積是.故選：B.7．某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)三視圖得該三棱柱的底面邊長為，高為，如圖，所以三棱柱的表面積為：.故選：C.8．水平放置的有一邊在水平線上，它的斜二測直觀圖是邊長為2的正，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，.且故故選：C二、多選題9．下列說法不正確的是（

）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)B．圓柱的任意兩條母線互相平行C．四棱柱是平行六面體D．菱形的直觀圖是菱形【答案】ACD【解析】對(duì)于A中，由棱臺(tái)的定義，可得棱臺(tái)的所有側(cè)棱交于一點(diǎn)，所以有兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體不一定是棱臺(tái)，所以A不正確；對(duì)于B中，根據(jù)圓柱的定義可得棱柱的所有母線都相互平行，所以B正確；對(duì)于C中，底面為平行四邊形的棱柱才是平行六面體，所以C不正確；對(duì)于D中，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可得菱形的直觀圖為平行四邊形，不一定是菱形，所以D不正確.故選：ACD10．如圖所示的是水平放置的三角形直觀圖，是中邊上的一點(diǎn)，且，又軸，那么原的、、三條線段中（

）A．最長的是B．最長的是C．最短的是D．最短的是【答案】AD【解析】由題意得到原的平面圖為：其中，，，∴，∴的、、三條線段中最長的是，最短的是，故選：AD.11．利用斜二測畫法得到的下列結(jié)論中正確的是（

）A．三角形的直觀圖是三角形 B．正方形的直觀圖是正方形C．菱形的直觀圖是菱形 D．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形【答案】AD【解析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知，平行于坐標(biāo)軸的直線平行性不變，平行于軸的線段長度不變，平行于軸的線段長度減半.對(duì)于A中，三角形的直觀圖中，三角形的高于底邊的夾角為或，長度減少為原來的一半，依然是三角形，所以A正確；對(duì)于B中，正方形的直角，在直觀圖中變?yōu)榛?，不是正方形，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，菱形的對(duì)角線互相垂直平分，在直觀圖中對(duì)角線的夾角變?yōu)椋粤庑蔚闹庇^圖不是菱形，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，根據(jù)平行線不變，可知平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以D正確.故選：AD.12．三棱錐的三視圖如圖，圖中所示頂點(diǎn)為棱錐對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的投影，正視圖與側(cè)視圖是全等的等腰直角三角形，俯視圖是邊長為的正方形，則（）A．該棱錐各面都是直角三角形 B．直線與所成角為C．點(diǎn)到底面的距離為 D．該棱錐的外接球的表面積為【答案】CD【解析】由三視圖可知三棱錐的底面為直角邊長為1的等腰直角三角形，且，如圖，其中為等邊三角形，故A錯(cuò)誤；由側(cè)視圖可知直線與所成角為，故B錯(cuò)誤；由正視圖，側(cè)視圖可知點(diǎn)到底面的距離為，故C正確；由條件可知三棱錐外接球的直徑為，所以，故D正確.故選：CD三、填空題13．已知一三角形ABC用斜二測畫法畫出的直觀圖是面積為的正三角形(如圖)，則三角形ABC中邊長與正三角形的邊長相等的邊上的高為______．【答案】【解析】設(shè)正三角形的邊長為a，∵∴a=2，=∴故答案為：.14．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是_________．【答案】【解析】由幾何體的三視圖知，該幾何體由一個(gè)棱長為的正方體和一個(gè)底面邊長為，高為的正四棱錐組合而成，如圖所示．∴正四棱錐的斜高為，故該幾何體的表面積．故答案為：.15．如圖，是平面四邊形的直觀圖，若是邊長為2的正方形，則四邊形的周長為________.【答案】16【解析】，還原回原圖形后，，，,原圖形的面積周長為故答案為：16.16．已知某圓錐被一過該圓錐頂點(diǎn)的平面所截得到的幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周都在球的球面上，則球的表面積為_______________________．【答案】【解析】該幾何體如圖所示，由正視圖和側(cè)視圖可知，底面圓弧所在圓的半徑為，且，.，設(shè)球的半徑為，由球的性質(zhì)可知，，解得，故球的表面積為.故答案為：四、解答題17．已知一長方體的底面是邊長為3cm的正方形，高為4cm，試用斜二測畫法畫出此長方體的直觀圖．【解析】1.畫軸：畫出軸，軸，軸，三軸相交于點(diǎn)，使得；2.畫底面：以點(diǎn)為中點(diǎn)，在軸上畫，在軸上畫，分別過點(diǎn)作軸的平行線，過點(diǎn)作軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為，則四邊形即為該四棱柱的底面；3.畫側(cè)棱：過點(diǎn)分別作軸的平行線，并在這些平行線上分別截取長的線段，如圖（1）所示；4.成圖：連接，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到該棱柱的直觀圖，如圖（2）所示.圖（1）

圖（2）18．水平放置的平面圖形與直觀圖的面積間有何關(guān)系?【解析】若一個(gè)平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為,則根據(jù)斜二測畫法中方向長度變?yōu)樵瓉淼囊话?且與方向垂直的角度變?yōu)榭芍?或.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積.19．用斜二測畫法作水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，判斷下列命題的真假.（1）三角形的直觀圖還是三角形；（2）平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形；（3）正方形的直觀圖還是正方形；（4）菱形的直觀圖還是菱形.【解析】（1）三角形的直觀圖還是三角形，為真命題.（2）平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，為真命題.（3）正方形的直觀圖，邊長不全相等，不是正方形，所以命題為假命題.（4）菱形的直觀圖，邊長不全相等，不是菱形，所以命題為假命題.20．用斜二測畫法畫出如圖所示的五邊形的直觀圖.(不寫作法，保留作圖痕跡)【答案】答案見解析﹒【解析】①如圖(1)，將A點(diǎn)和原點(diǎn)O重合，AB和x