第23節(jié) 空間幾何體的表面積與體積（解析版）

第23節(jié)空間幾何體的表面積與體積基礎知識要夯實名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側＋S底V＝S底h臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3基本技能要落實考點一空間幾何體的體積【例1】(2020·天津卷)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M－EFGH的體積為________.【答案】【解析】連接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因為E，H分別為AD1，CD1的中點，所以EH∥AC，EH＝AC.因為F，G分別為B1A，B1C的中點，所以FG∥AC，F(xiàn)G＝AC.所以EH∥FG，EH＝FG，所以四邊形EHGF為平行四邊形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四邊形EHGF為正方形.又點M到平面EHGF的距離為，所以四棱錐M－EFGH的體積為××＝.【例2】如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為()A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，取AD的中點O，連接GO，易得GO＝，∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，∴多面體的體積V＝V三棱錐E－ADG＋V三棱錐F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝2V三棱錐E－ADG＋V三棱柱AGD－BHC＝×××2＋×1＝.故選A.【方法技巧】1.(直接法)規(guī)則幾何體：對于規(guī)則幾何體，直接利用公式計算即可.若已知三視圖求體積，應注意三視圖中的垂直關系在幾何體中的位置，確定幾何體中的線面垂直等關系，進而利用公式求解.2.(割補法)不規(guī)則幾何體：當一個幾何體的形狀不規(guī)則時，常通過分割或者補形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€或幾個規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計算.經(jīng)?？紤]將三棱錐還原為三棱柱或長方體，將三棱柱還原為平行六面體，將臺體還原為錐體.3.(等積法)三棱錐：利用三棱錐的“等積性”可以把任一個面作為三棱錐的底面.(1)求體積時，可選擇“容易計算”的方式來計算；(2)利用“等積性”可求“點到面的距離”，關鍵是在面中選取三個點，與已知點構成三棱錐.【跟蹤訓練】1.如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側棱長為eq\r(3)，D為BC中點，則三棱錐A－B1DC1的體積為()A.3 B. C.1 D.【答案】C【解析】如題圖，在正△ABC中，D為BC中點，則有AD＝AB＝，又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD?平面ABC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD為三棱錐A－B1DC1的底面B1DC1上的高，∴VA－B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1.2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.8π－ B.4π－C.8π－4 D.4π＋【答案】A【解析】該幾何體為一個半圓柱中間挖去一個四面體，∴體積V＝π×22×4－××2×4×4＝8π－.考點二多面體與球的切、接問題【例2】在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是()A.4π B. C.6π D.【答案】B【解析】由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側面相切，設底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.則×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.2r＝4＞3，不合題意.球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑R最大.由2R＝3，即R＝.故球的最大體積V＝πR3＝【方法技巧】1.與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.2.若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.【跟蹤訓練】1.三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為()A.23π B.π C.64π D.π【答案】D【解析】如圖，設O′為正△PAC的中心，D為Rt△ABC斜邊的中點，H為AC中點.由平面PAC⊥平面ABC.則O′H⊥平面ABC.作O′O∥HD，OD∥O′H，則交點O為三棱錐外接球的球心，連接OP，又O′P＝PH＝××2＝，OO′＝DH＝AB＝2.∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝＋4＝.故幾何體外接球的表面積S＝4πR2＝π.達標檢測要扎實一、單選題1．由華裔建筑師貝聿銘設計的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個正四棱錐（底面是正方形，側棱長都相等的四棱錐），四個側面由673塊玻璃拼組而成，塔高21米，底寬34米，則該金字塔的體積為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖正四棱錐中，，，所以正四棱錐的體積為，故選：A2．已知一個圓錐的體積為，其側面積是底面積的2倍，則其底面半徑為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】設底面半徑為，高為，母線為，如圖所示：則圓錐的體積，所以，即，，則，又，所以，故．故選：C．3．已知圓錐的表面積為3π，它的側面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長為l，由，得，又，所以，解得；所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為．故選：C．4．魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國建筑的榫卯結構.這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結構）嚙合，十分巧妙.魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構造各不相同，一般都是易拆難裝.如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個棱長為的正方體截去了8個正三棱錐所余下來的幾何體，且被截去的正三棱錐的底面邊長為2，側棱長為，則該幾何體的表面積為.故選：A.5．已知中，，，其頂點都在表面積為的球O的表面上，且球心O到平面ABC的距離為2，則的面積為（

）A．2 B．4 C．8 D．10【答案】B【解析】設球O的半徑為，外接圓的半徑為，則，所以，又因球心O到平面ABC的距離為2，則，解得，因為，則是以邊為斜邊的直角三角形，則外接圓的圓心是的中點，則，又，所以，所以，所以.故選：B.6．在正方體中，三棱錐的表面積為，則正方體外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設正方體的棱長為，則，由于三棱錐的表面積為，所以所以所以正方體的外接球的半徑為，所以正方體的外接球的體積為故選：．7．四面體ABCD的四個頂點都在球的球面上，，，點E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AD的中點，則下列說法不正確的是（

）．A．過點E，F(xiàn)，G做四面體ABCD的截面，則該截面的面積為2B．四面體ABCD的體積為C．AC與BD的公垂線段的長為D．過作球的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為5：4【答案】B【解析】

圖1

圖2選項A中，如圖（1）所示，找的中點，過點E，F(xiàn)，G做四面體ABCD的截面即為面，則,，所以四邊形為平行四邊形，找的中點,連接，因為，所以平面，所以平面，平面，所以，所以，所以四邊形為矩形，，，所以截面的面積，故A正確；選項B中，中，由勾股定理得：，同理，過點作,則，所以由勾股定理得：，所以，由選項A可得：平面,所以，，故B錯誤；選項C中，AC與BD的公垂線段即為，長度為，故C正確；選項D中，可以將四面體放入如圖（2）所示的長方體中，由題可求得，，所以外接球的半徑，截面面積的最大值為；平面截得的面積為最小面積，半徑，截面積最小為，所以截面面積的最大值與最小值的比為5：4，故D正確故選：B8．已知正三棱錐和正四棱錐的所有棱長均為2，如圖將三棱錐的一個面和正四棱錐的一個側面重合在一起，得到一個新幾何體，則下列關于該新幾何體說法不正確的是（

）A． B．C．新幾何體為三棱柱 D．正四棱錐的內(nèi)切球半徑為【答案】D【解析】取的中點，的中點，連、、、，如圖：因為正三棱錐和正四棱錐的所有棱長都為，所以，，，又，所以平面，因為，所以，因為，所以平面，所以平面與平面重合，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，故A正確；因為，所以，故B正確；因為，，所以四邊形為平行四邊形，同理得四邊形也為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，同理得平面，因為，所以平面平面，又，根據(jù)棱柱的定義可得該新幾何體為三棱柱，故C正確；設正四棱錐的內(nèi)切球半徑為，因為正四棱錐的高為，由得，故D不正確.故選：D.二、多選題9．用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到上、下兩部分空間圖形且上、下兩部分的高之比為，則關于上、下兩空間圖形的說法正確的是（

）A．側面積之比為 B．側面積之比為C．體積之比為 D．體積之比為【答案】BD【解析】依題意知，上部分為小棱錐，下部分為棱臺，所以小棱錐與原棱錐的底面邊長之比為，高之比為，所以小棱錐與原棱錐的側面積之比為，體積之比為，即小棱錐與棱臺的側面積之比為，體積之比為.故選：BD.10．一棱長等于1且體積為1的長方體的頂點都在同一球的球面上，則該球的體積可能是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】設長方體未知的兩棱長分別為，則，，設外接球半徑為，則，球體積為，，當且僅當時等號成立，所以．故選：BCD．11．如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，點B是圓O上異于A，C的動點，，則下列結論正確的是（

）A．圓錐SO的側面積為B．三棱錐體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，E為線段AB上的動點，則的最小值為【答案】ABD【解析】在中，，則圓錐的母線長，半徑，對于選項A：圓錐的側面積為：，故選項A正確；對于選項B：當時，的面積最大，此時，則三棱錐體積的最大值為：，故選項B正確；對于選項C：當點與點重合時，為最小角，當點與點重合時，，達到最大值，又因為與不重合，則，又，可得，故選項C不正確；對于選項D：由，得，又，則為等邊三角形，則，將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到，則為等邊三角形，，如圖：則，因為，則，故選項D正確；故選：ABD.12．已知圖1中，、、、是正方形各邊的中點，分別沿著、、、把、、、向上折起，使得每個三角形所在的平面都與平面垂直，再順次連接，得到一個如圖2所示的多面體，則（

）A．是正三角形B．平面平面C．直線與平面所成角的正切值為D．當時，多面體的體積為【答案】AC【解析】取、的中點、，連接、，在圖1中，、、、是正方形各邊的中點，則，為的中點，，平面平面，平面平面，平面，平面，在圖1中，設正方形的邊長為，可得四邊形的邊長為，在圖1中，和均為等腰直角三角形，可得，，四邊形是邊長為的正方形，、分別為、的中點，則且，且，所以，四邊形為矩形，所以，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則、、、、、、、.對于A選項，由空間中兩點間的距離公式可得，所以，是正三角形，A選項正確；對于B選項，設平面的法向量為，，，由，取，則，，則，設平面的法向量為，，，由，取，可得，，則，，所以，平面與平面不垂直，B選項錯誤；對于C選項，，設直線與平面所成角為，則，，所以，，C選項正確；對于D選項，以為底面，以為高將幾何體補成長方體，則、、、分別為、、、的中點，因為，即，則，長方體的體積為，，因此，多面體的體積為，D選項錯誤.故選：AC.三、填空題13．詞語“塹堵”、“陽馬”、“鱉臑”等出現(xiàn)自中國數(shù)學名著《九章算術?商功》，是古代人對一些特殊錐體的稱呼．在《九章算術?商功》中，把四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．現(xiàn)有如圖所示的“鱉臑”四面體PABC，其中平面，，，則四面體PABC的外接球的表面積為______．【答案】【解析】由于平面，因此與底面上的直線都垂直，從而與不可能垂直，否則是銳角三角形，由于，因此有，而與是平面內(nèi)兩相交直線，則平面，平面，所以，所以的中點到四個點的距離相等，即為四面體PABC的外接球球心．，，所以所求表面積為．故答案為：．14．如圖，在棱長為1的正方體中，、、分別為線段、、的中點，下述四個結論：①直線、、共點；②直線、為異面直線；③四面體的體積為；④線段上存在一點使得直線平面．其中所有正確結論的序號為___________．【答案】①②【解析】對①，如圖，由條件可知，延長、交于點，由平面，平面，平面平面，故，故①正確；對②，平面，而和平面相交一點，且和不相交，故②正確；對③，到平面的距離為到平面的一半，所以，故③錯誤；對④，和相交故不存在使得直線平面，故④錯誤.故答案為：①②15．已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，為中點，，則球的體積為_______.【答案】【解析】如圖，由，是邊長為2的正三角形，可知三棱錐為正三棱錐，則頂點在底面的射影為底面三角形的中心，取的中點，連接并延長，交于，則，又，，平面，平面，可得平面，則，，分別是，的中點，，又，所以即，，平面，平面，所以平面，正三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，把三棱錐補形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球，其直徑，，所以，則球的體積為．故答案為：．16．早期的畢達哥拉斯學派學者注意到：用等邊三角形或正方形為表面可構成四種規(guī)則的立體圖形，即正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體，它們的各個面和多面角都全等．如圖，正二十面體是由20個等邊三角形組成的正多面體，共有12個頂點，30條棱，20個面，是五個柏拉圖多面體之一．如果把按計算，則該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于___________．【答案】【解析】由圖知正二十面體的外接球即為上方正五棱錐的外接球，設外接球半徑為R，正五邊形的外接圓半徑為r，正二十面體的棱長為，則，得，所以正五棱錐的頂點到底面的距離是，所以，即，解得．所以該正二十面體的外接球表面積為，而該正二十面體的表面積是，所以該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于．故答案為：.四、解答題17．有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度為）六角螺帽共重，已知該種規(guī)格的螺帽底面是正六邊形，邊長是，內(nèi)孔直徑為，高為，（1）求一個六角螺帽的體積；（精確到）（2）問這堆六角螺帽大約有多少個？（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）由題得（2）這堆螺帽的個數(shù)為：（個）每個螺帽的體積為，共有261個螺帽.18．如圖，某幾何體的下部分是長?寬均為8，高為3的長方體，上部分是側棱長都相等且高為3的四棱錐，求：（1）該幾何體的體積；（2）該幾何體的表面積.【解析】連接，交于點，取的中點，連接，，（1）∴（2）∵，∴19．養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的底面直徑為12m，高為4m．養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽．現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m（高不變）；二是高度增加4m（底面直徑不變）．(1)分別計算按這兩種方案所建