韶關(guān)市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

韶關(guān)市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（）①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；②曲線是一個(gè)橢圓；③曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.A.① B.①②C.③ D.①③2．在中，，則邊的長等于（）A. B.C. D.23．下列直線中，傾斜角最大的為（）A. B.C. D.4．如圖，P是橢圓第一象限上一點(diǎn)，A，B，C是橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過A作AN平行于直線BP交y軸于N，直線CP交x軸于M，直線BP交x軸于E.現(xiàn)有下列三個(gè)式子：①；②；③.其中為定值的所有編號是（）A.①③ B.②③C.①② D.①②③5．等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，且則的實(shí)軸長為A.1 B.2C.4 D.86．傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒和石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，若：三角形數(shù)、、、、，正方形數(shù)、、、、等等.如圖所示為正五邊形數(shù)，將五邊形數(shù)按從小到大的順序排列成數(shù)列，則此數(shù)列的第4項(xiàng)為（）A. B.C. D.7．設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過樣本點(diǎn)中心（，）C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg8．中國大運(yùn)河項(xiàng)目成功人選世界文化遺產(chǎn)名錄，成為中國第46個(gè)世界遺產(chǎn)項(xiàng)目，隨著對大運(yùn)河的保護(hù)與開發(fā)，大運(yùn)河已成為北京城市副中心的一張亮麗的名片，也成為眾多旅游者的游覽目的地．今有一旅游團(tuán)乘游船從奧體公園碼頭出發(fā)順流而下至漕運(yùn)碼頭，又立即逆水返回奧體公園碼頭，已知游船在順?biāo)械乃俣葹椋谀嫠械乃俣葹?，則游船此次行程的平均速度V與的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.9．若拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為A. B.C.8 D.410．2013年9月7日，總書記在哈薩克斯坦納扎爾巴耶夫大學(xué)發(fā)表演講在談到環(huán)境保護(hù)問題時(shí)提出“綠水青山就是金山銀山”這一科學(xué)論新．某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，從2021年開始每年投入資金比上一年增加10%，到2025屆底該市生態(tài)環(huán)境建設(shè)投資總額大約為（）（其中，，）A.2559萬元 B.2969萬元C.3005萬元 D.3040萬元11．已知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.12．已知直線，，，則m值為（）A. B.C.3 D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一條直線過點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)．若，則弦中點(diǎn)到直線的距離等于__________14．如圖，已知與所在平面垂直，且，，，點(diǎn)P、Q分別在線段BD、CD上，沿直線PQ將向上翻折，使D與A重合．則直線AP與平面ACQ所成角的正弦值為______15．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程為__________.（答案寫成標(biāo)準(zhǔn)方程），的最小值為___________.16．若動(dòng)直線分別與函數(shù)和的圖像交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱柱的底面為正方形，平面，，，點(diǎn)在上，且.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值.18．（12分）設(shè)四邊形為矩形，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，且平面，若，.（1）求與平面所成角的大??；（2）在邊上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；（3）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，在內(nèi)確定一點(diǎn)，使的值最小，并求此時(shí)的值.19．（12分）我們知道：當(dāng)是圓O：上一點(diǎn)，則圓O的過點(diǎn)的切線方程為；當(dāng)是圓O：外一點(diǎn)，過作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則方程表示直線AB的方程，即切點(diǎn)弦所在直線方程.請利用上述結(jié)論解決以下問題：已知圓C的圓心在x軸非負(fù)半軸上，半徑為3，且與直線相切，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為.（1）求圓C的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求線段AB的長；（3）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB長度的最小值.20．（12分）已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為16（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）設(shè)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為p，展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的和為q，求21．（12分）如圖，在三棱錐中，，，記二面角的平面角為（1）若，，求三棱錐的體積；（2）若M為BC的中點(diǎn)，求直線AD與EM所成角的取值范圍22．（10分）在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，滿足.（1）求A；（2）若，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】對于①在方程中換為，換為可判斷；對于②分析曲線的圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的可判斷；對于③在第一象限內(nèi)，分析橢圓的圖形與曲線圖形的位置關(guān)系可判斷.【詳解】在曲線的方程中，換為，換為，方程不變，故曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱所以①正確,當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)所以曲線圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.當(dāng)，時(shí)，設(shè)，設(shè)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號成立）所以在第一象限內(nèi)，橢圓的圖形在曲線的上方.根據(jù)曲線和橢圓的的對稱性可得橢圓的圖形在曲線的外部（四個(gè)頂點(diǎn)在曲線上）所以曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積，故③正確.故選：D2、A【解析】由余弦定理求解【詳解】由余弦定理，得，即，解得（負(fù)值舍去）故選：A3、D【解析】首先分別求直線的斜率，再結(jié)合直線傾斜角與斜率的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.直線的斜率；B.直線的斜率；C.直線的斜率；D.直線的斜率，因?yàn)椋Y(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，可知直線的傾斜角最大.故選：D4、D【解析】根據(jù)斜率的公式，可以得到的值是定值，然后結(jié)合已知逐一判斷即可.【詳解】設(shè)，所以有，，因此，所以有，，，，，，故，，.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用斜率公式得到之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.5、B【解析】設(shè)等軸雙曲線的方程為拋物線,拋物線準(zhǔn)線方程為設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線的兩個(gè)交點(diǎn),，則,將，代入，得等軸雙曲線的方程為的實(shí)軸長為故選6、D【解析】根據(jù)前三個(gè)五邊形數(shù)可推斷出第四個(gè)五邊形數(shù).【詳解】第一個(gè)五邊形數(shù)為，第二個(gè)五邊形數(shù)為，第三個(gè)五邊形數(shù)為，故第四個(gè)五邊形數(shù)為.故選：D.7、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（），B正確；該大學(xué)某女生身高增加1cm，預(yù)測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學(xué)某女生身高為170cm，預(yù)測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯(cuò)誤故選D8、A【解析】求出平均速度V，進(jìn)而結(jié)合基本不等式求得答案.【詳解】易知，設(shè)奧運(yùn)公園碼頭到漕運(yùn)碼頭之間的距離為1，則游船順流而下的時(shí)間為，逆流而上的時(shí)間為，則平均速度，由基本不等式可得，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩個(gè)不等式都取得“=”，而根據(jù)題意，于是.故選：A.9、A【解析】先把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得的值.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)利用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求拋物線的方程的問題，涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于簡單題目.10、B【解析】前7年投入資金可看成首項(xiàng)為160，公差為20的等差數(shù)列，后4年投入資金可看成首項(xiàng)為260，公比為1.1的等比數(shù)列，分別求和，即可求出所求【詳解】2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，成等差數(shù)列，則2020年投入資金萬元，年共7年投資總額為，從2021年開始每年投入資金比上一年增加，則從2021年到2025屆投入資金成首項(xiàng)為，公比為1.1，項(xiàng)數(shù)為4的等比數(shù)列，故從2021年到2025屆投入總資金為，故到2025屆底該市生態(tài)環(huán)境建設(shè)投資總額大約為萬元故選：11、B【解析】將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出圖像，利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】由函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)的圖像與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，，求導(dǎo)，令，得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值；作出函數(shù)圖像，如圖所示，由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.12、C【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，解得；故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出弦的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離，進(jìn)一步得到弦的中點(diǎn)到直線的距離【詳解】解：如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，，弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則弦的中點(diǎn)到直線的距離等于故答案為：14、##【解析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)求出，再由空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，如圖以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，由，即，解得，所以，故，設(shè)為平面ACQ的一個(gè)法向量，因?yàn)椋?，由，即，所以，設(shè)直線AP與平面ACQ所成角為，則.故答案為：15、①.②.【解析】設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，然后用直接法可求；根據(jù)軌跡方程和數(shù)量積的坐標(biāo)表示對化簡，結(jié)合軌跡方程可得x的范圍，然后可解.【詳解】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則由，得，化簡得，即.因?yàn)椋砸驗(yàn)辄c(diǎn)P在圓上，故所以，故的最小值為.故答案為：，16、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出與平行的曲線的切線，再利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)曲線的切點(diǎn)為，由，所以曲線的切線的斜率為，直線的斜率為，當(dāng)切線與平行時(shí)，即，即切點(diǎn)為，當(dāng)直線過切點(diǎn)時(shí)，有最小值，即，此時(shí)，解方程組：，，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用曲線的切線性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）以為原點(diǎn)，所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量可得，即平面，再由線面垂直的性質(zhì)可得答案；（2）設(shè)直線與平面所成角的為，可得答案；（3）由二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令，則，所以，所以，所以平面，平面，所以.【小問2詳解】，所以，由（1）平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角的為，所以直線與平面所成角的正弦值.【小問3詳解】由已知為平面的一個(gè)法向量，且，由（1）平面的一個(gè)法向量為，所以，由圖可得平面與平面夾角的余弦值為.18、（1）（2）存在，距離為（3）位置答案見解析，【解析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面，然后由線面角的定義得到PC與平面PAD所成的角為，在中，由邊角關(guān)系求解即可.（2）假設(shè)BC邊上存在一點(diǎn)G滿足題設(shè)條件，不放設(shè)，則，再根據(jù)得，進(jìn)而得答案.（3）延長CB到C'，使得C'B=CB，連結(jié)C'E，過E作于E'，利用三點(diǎn)共線，兩線段和最小，得到，過H作于H'，連結(jié)HB，在中，求解HB即可.【小問1詳解】解：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)榈酌媸蔷匦危?，又平面，所以平面，故與平面所成的角為，因?yàn)?，，所以故直線PC與平面PAD所成角的大小為；【小問2詳解】解：假設(shè)BC邊上存在一點(diǎn)G滿足題設(shè)條件，不妨設(shè)，則因?yàn)槠矫?，到平面的距離為所以，即因?yàn)榇霐?shù)據(jù)解得，即，故存在點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，使得點(diǎn)D到平面PAG的距離為；【小問3詳解】解：延長CB到C'，使得C'B=CB，連結(jié)C'E，過E作于E'，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，故，過H作于H'，連結(jié)HB，在中，，，所以.19、（1）；（2）；（3）4.【解析】(1)根據(jù)圓圓心和半徑設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑即可求出a；(2)根據(jù)題意寫出AB的方程，根據(jù)垂徑定理即可求出弦長；(3)根據(jù)題意求出AB經(jīng)過的定點(diǎn)Q，當(dāng)CQ垂直于AB時(shí)，AB最短.【小問1詳解】由題，設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得.故圓C方程為；【小問2詳解】根據(jù)題意可知，直線的方程為，即，圓心C到直線的距離為，故弦長；【小問3詳解】設(shè)，則，又直線方程為：，故直線過定點(diǎn)Q，設(shè)圓心C到直線距離為，則，故當(dāng)最大時(shí)，最短，而，故與垂直時(shí)最大，此時(shí)，，∴線段長度的最小值4.20、（1）（2）【解析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)得出，再由性質(zhì)求出展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）由通項(xiàng)得出，利用賦值法得出，再求解【小問1詳解】由題