廣西南寧市馬山縣金倫中學、武鳴縣華僑中學等四校2025屆高二上數學期末質量檢測試題含解析

廣西南寧市馬山縣金倫中學、武鳴縣華僑中學等四校2025屆高二上數學期末質量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數的部分圖象與軸交于點，與軸的一個交點為，如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A. B.的最小正周期為6C.圖象關于直線對稱 D.在上單調遞減2．在等比數列中，，，則等于（）A.90 B.30C.70 D.403．德國數學家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進微積分概念．在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數的幾何意義．設是函數f（x）的導函數，若，對，且．總有，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.4．已知點分別為圓與圓的任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結論正確的是()A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則6．設平面的法向量為，平面的法向量為，若，則的值為（）A.-5 B.-3C.1 D.77．已知向量，，且，則實數等于（）A.1 B.2C. D.8．若函數既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.9．四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點E為棱PC的中點，若，則等于（）A.1 B.C. D.210．命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，11．若a>b，c>d，則下列不等式中一定正確的是（）A. B.C. D.12．若命題為“，”，則為（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數在點處的切線為直線l，則l與坐標軸圍成的三角形面積為___________.14．基礎建設對社會經濟效益產生巨大的作用．某市投入億元進行基礎建設，年后產生億元社會經濟效益．若該市投資基礎建設4年后產生的社會經濟效益是投資額的2倍，則再過______年．該項投資產生的社會經濟效益是投資額的8倍15．已知點在圓C：（）內，過點M的直線被圓C截得的弦長最小值為8，則______16．在正方體中，則直線與平面所成角的正弦值為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：，右焦點為F(，0)，且離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）設M，N是橢圓C上不同的兩點，且直線MN與圓O：相切，若T為弦MN的中點，求|OT||MN|的取值范圍18．（12分）（1）證明：；（2）已知：，，且，求證：.19．（12分）已知圓，直線（1）求證：直線與圓恒有兩個交點；（2）設直線與圓的兩個交點為、，求的取值范圍20．（12分）在平面直角坐標系中，已知點，，過點的動直線與過點的動直線的交點為P，，的斜率均存在且乘積為，設動點Р的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程;（2）若點M在曲線C上，過點M且垂直于OM的直線交C于另一點N，點M關于原點O的對稱點為Q.直線NQ交x軸于點T，求的最大值.21．（12分）已知函數（1）填寫函數的相關性質；定義域值域零點極值點單調性性質（2）通過（1）繪制出函數的圖像，并討論方程解的個數22．（10分）某品牌餐飲公司準備在10個規(guī)模相當的地區(qū)開設加盟店，為合理安排各地區(qū)加盟店的個數，先在其中5個地區(qū)試點，得到試點地區(qū)加盟店個數分別為1，2，3，4，5時，單店日平均營業(yè)額（萬元）的數據如下：加盟店個數（個）12345單店日平均營業(yè)額（萬元）10.910.297.871（參考數據及公式：，，線性回歸方程，其中，.）（1）求單店日平均營業(yè)額（萬元）與所在地區(qū)加盟店個數（個）的線性回歸方程；（2）根據試點調研結果，為保證規(guī)模和效益，在其他5個地區(qū)，該公司要求同一地區(qū)所有加盟店的日平均營業(yè)額預計值總和不低于35萬元，求一個地區(qū)開設加盟店個數的所有可能取值；（3）小趙與小王都準備加入該公司的加盟店，根據公司規(guī)定，他們只能分別從其他五個地區(qū)（加盟店都不少于2個）中隨機選一個地區(qū)加入，求他們選取的地區(qū)相同的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據函數的圖象求出，再利用函數的性質結合周期公式逆推即可求解.【詳解】因為函數的圖象與軸交于點，所以，又，所以，A正確；因為的圖象與軸的一個交點為，即，所以，又，解得，所以，所以，求得最小正周期為，B正確；，所以是的一條對稱軸，C正確；令，解得，所以函數在，上單調遞減，D錯誤故選：D.2、D【解析】根據等比數列的通項公式即可求出答案.【詳解】設該等比數列的公比為q，則，則.故選：D3、C【解析】由，得在上單調遞增，并且由的圖象是向上凸，進而判斷選項.【詳解】由，得在上單調遞增，因為，所以，故A不正確；對，，且，總有，可得函數的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數圖象上各點處的切線的斜率，由函數圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點與點連線的斜率，由圖可知，所以C正確，同理，由圖可知，故D不正確.故選：C4、B【解析】先判定兩圓的位置關系為相離的關系，然后利用幾何方法得到的取值范圍.【詳解】的圓心為,半徑，的圓心為,半徑，圓心距，∴兩圓相離，∴，故選：B.5、D【解析】根據空間里面直線與平面、平面與平面位置關系的相關定理逐項判斷即可.【詳解】A，若，則或異面，故該選項錯誤；B，若，則或相交，故該選項錯誤；C，若，則α，β不一定垂直，故該選項錯誤；D，若，則利用面面垂直的性質可得，故該選項正確.故選：D.6、C【解析】根據，可知向量建立方程求解即可.【詳解】由題意根據，可知向量，則有，解得.故選：C7、C【解析】利用空間向量垂直的坐標表示計算即可得解【詳解】因向量，，且，則，解得，所以實數等于.故選：C8、B【解析】函數既有極大值又有極小值轉化為導函數在定義域上有兩個不同的零點.【詳解】因為既有極大值又有極小值，且，所以有兩個不等的正實數解，所以，且，解得，且.故選:B.9、B【解析】運用向量的線性運用表示向量，對照系數，求得，代入可得選項.【詳解】因為，所以，所以，所以，解得，所以，故選：B.10、D【解析】根據特稱命題的否定為全稱命題，即可得到答案.【詳解】因為命題，，所以，.故選：D11、B【解析】根據不等式的性質及反例判斷各個選項.【詳解】因為c>d，所以，所以，所以B正確；時，不滿足選項A；時，，且，所以不滿足選項CD；故選：B12、B【解析】特稱命題的否定是全稱命題，把存在改為任意，把結論否定.【詳解】“，”的否命題為“，”，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出切線方程，分別得到直線與x、y軸交點，即可求出三角形的面積.【詳解】由函數可得：函數，所以，.所以切線l：，即.令，得到；令，得到；所以l與坐標軸圍成的三角形面積為.故答案為：.14、8【解析】由4年后產生的社會經濟效益是投資額的2倍，代入已知函數式求得參數，再求得社會經濟效益是投資額的8倍時的時間，即為所求結論【詳解】由條件得，∴，即．設投資年后，產生的社會經濟效益是投資額的8倍，則有，解得，所以再過年，該項投資產生社會經濟效益是投資額的8倍故答案為：815、【解析】根據點與圓的位置關系，可求得r的取值范圍，再利用過圓內一點最短的弦，結合弦長公式可得到關于r的方程，求解即可.【詳解】由點在圓C：內，且所以，又，解得過圓內一點最短的弦，應垂直于該定點與圓心的連線，即圓心到直線的距離為又，所以，解得故答案為：16、【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，設該正方體的棱長為1，所以，，，，因此，，，設平面的法向量為：，所以有：，令，所以，因此，設與的夾角為，直線與平面所成角為，所以有，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）[，3].【解析】（1）由題可得，即求；（2）當直線的斜率不存在或為0，易求，當直線MN斜率存在且不為0時，設直線MN的方程為：，利用直線與圓相切可得，再聯(lián)立橢圓方程并應用韋達定理求得，然后利用基本不等式即得.【小問1詳解】由題可得，∴??=2，??=∴橢圓C的方程為：；小問2詳解】當直線MN斜率為0時，不妨取直線MN為??=，則，此時，則；當直線MN斜率不存在，不妨取直線MN為x=，則，此時，則；當直線MN斜率存在且不為0時，設直線MN的方程為：，，因為直線MN與圓相切，所以，即，又因為直線MN與橢圓C交于M，N兩點：由，得，則，所以MN中點T坐標為，則，，所以又，當且僅當，即取等號，∴|OT||MN|；綜上所述：|OT|?|MN|的取值范圍為[，3].18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）利用分析法證明即可；（2）將與相乘，展開后利用基本不等式可證明所證不等式成立.【詳解】（1）要證成立，即證，即證，即證，而顯然成立，故成立；（2）已知，，且，則，當且僅當時，等號成立，故.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據直線的方程可得直線經過定點，而點到圓心的距離小于半徑，故點在圓的內部，由此即可證明結果（2）由圓的性質可知，當過圓心時，取最大值，當和過的直徑垂直時，取最小值，由此即可求出結果.【小問1詳解】證明：由于直線，即令，解得，所以恒過點，所以，所以點在圓內，所以直線與圓恒有兩個交點；【小問2詳解】解：當過圓心時，取最大值，即圓的直徑，由圓的半徑，所以的最大值為；當和過的直徑垂直時，取最小值，此時圓心到的距離，所以，故的最小值為綜上，的取值范圍.20、（1）（2）【解析】（1）設點坐標為，根據兩直線的斜率之積為得到方程，整理即可；（2）設，，，根據設、在橢圓上，則，再由，則，即可表示出直線、的方程，聯(lián)立兩直線方程，即可得到點的縱坐標，再根據弦長公式得到，令，則，最后利用基本不等式計算可得；【小問1詳解】解：設點坐標為，定點，，直線與直線的斜率之積為，，【小問2詳解】解：設，，，則，，所以又，所以，又即，則直線：，直線：，由，解得，即，所以令，則，所以因為，當且僅當即時取等號，所以的最大值為；21、（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）利用導數判斷函數的性質；（2）由函數性質繪制函數的圖象，并將方程轉化為，即轉化為與的交點個數.【小問1詳解】函數的定義域是，，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以當時，函數取得極大值，同時也是函數的最大值，，當時，，當時，，函數的值域是，，得，所以函數的零點是，定義域值域零點極值點單調性性質單調遞增區(qū)間，單調遞減區(qū)間【小問2詳解】函數的圖象如圖，，即，方程解的個數，即與的交點個數，當時，無交點，即方程無實數根；當或時，有一個交點，即方程有一個實數根；當時，有兩個交點，即方程有兩個實數根.22、（1）；（2）5，6，7；（3）.【解析】（1）先求得，，進而得到b，a求解；（2）根據題意，由