第18講等腰三角形（講義）

第18講等腰三角形目錄TOC\o"13"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構考點一等腰三角形的性質與判定題型01等腰三角形的定義題型02根據(jù)等邊對等角求角度題型03利用等邊對等角證明題型04根據(jù)三線合一求解題型05根據(jù)三線合一證明題型06格點圖中畫等腰三角形題型07根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形題型08根據(jù)等角對等邊證明邊相等題型09根據(jù)等角對等邊求邊長題型10求與圖形中任意兩點構成等腰三角形的點題型11等腰三角形性質與判定綜合題型12等腰三角形有關的折疊問題題型13等腰三角形有關的規(guī)律探究問題題型14等腰三角形有關的新定義問題題型15等腰三角形有關的動點問題題型16探究等腰三角形中線段間存在的關系考點二等邊三角形的性質與判定題型01利用等邊三角形的性質求線段長題型02手拉手模型題型03等邊三角形的判定題型04等邊三角形與折疊問題題型05等邊三角形有關的規(guī)律探究問題題型06等邊三角形有關的新定義問題題型07利用等邊三角形的性質與判定解決多結論問題考點三線段垂直平分線的性質與判定定理題型01利用垂直平分線的性質求解題型02線段垂直平分線的判定題型03線段垂直平分線的實際應用考點要求新課標要求命題預測等腰三角形的性質與判定理解等腰三角形的概念.探索并證明等腰三角形的性質定理:等腰三角形的兩個底角相等;底邊上的高線、中線及頂角平分線重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有兩個角相等的三角形是等腰三角形.該板塊內容重在掌握基本知識的基礎上靈活運用，也是考查重點，年年都會考查，最為經(jīng)典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結的.而數(shù)學中考中，等腰三角形單獨出題的可能性還是比較大的，多以選擇填空題型出現(xiàn)，但是因為等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形結合其他考點出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點.等邊三角形的性質與判定探索等邊三角形的性質定理:等邊三角形的各角都等于60°.探索等邊三角形的判定定理:三個角都相等的三角形(或有一個角是60°的等腰三角形)是等邊三角形.線段垂直平分線的性質與判定定理理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質定理:線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等;反之，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.考點一等腰三角形的性質與判定等腰三角形的概念：有兩邊相等的三角形角等腰三角形．等腰三角形性質：1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）.2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡稱“三線合一”）.等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.1.1.等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底還是腰,角沒有明是頂角還是底角，需要分類討論.2.頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的兩個底角都為45°.3.等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸．4.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．5.等腰三角形的三邊關系：設腰長為a，底邊長為b，則b2<a6.等腰三角形的三角關系：設頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°2∠B，∠B=∠C=1807.底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個等腰三角形．（即頂角36°，底角72°）.8.等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據(jù)．題型01等腰三角形的定義【例1】（2023·山東濟南·統(tǒng)考三模）已知m，n，5分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長，且m，n分別是關于x的一元二次方程x2-6x+kA．3 B．5或9 C．5 D．9【答案】B【分析】當m=5或n=5時，即x=5，代入方程即可得到結論，當m【詳解】解：∵m，n，5分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長∴當m=5或n=5∴方程為5解得：k此時該方程為x解得：x1=5此時三角形的三邊為5，5，1，符合題意；當m=n即6解得：k此時該方程為x解得：x此時三角形的三邊為3，3，5，符合題意，綜上所述，k的值等于5或9故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解、等腰三角形的定義、三角形的三邊關系，正確的理解題意是解本題的關鍵．【變式11】（2023·內蒙古鄂爾多斯·三模）腰長為5，一邊上的高為4的等腰三角形的底邊長為（）A．6或45 B．6或45或25 C．45或25 D．6或25【答案】B【分析】根據(jù)不同邊上的高為4分類討論，即可得到本題的答案．【詳解】解：①如圖1，

當AB=AC=5則BD=故底邊長為6；②如圖2，△ABC

當AB=AC=5則AD=3∴BD=2∴BC=∴此時底邊長為25③如圖3，△ABC

當AB=AC=5則AD=3∴BD=8∴BC＝∴此時底邊長為45故底邊長為6或45或2故選：B．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質及勾股定理，解題的關鍵是分三種情況進行討論．【變式12】（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知等腰三角形的三邊x、y、z滿足x-42+yA．2 B．3 C．4 D．2或4【答案】C【分析】根據(jù)絕對值、二次根式、平方的非負性計算出x、y、z的值，然后根據(jù)等腰三角形的定義計算即可；【詳解】解：∵x-且x-42≥0，∴x-4=0，y-∴x=4，y=2，∵三角形為等腰三角形，∴a=4或a當a=2時，2+2=4∴a=4故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，以及絕對值、二次根式、平方的非負性、構成三角形的條件等知識點，絕對值、二次根式、平方的非負性的準確應用是解題關鍵．【變式13】（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）已知等腰△ABC的邊是方程x2-7A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15【答案】D【分析】利用因式分解法求方程的兩個根分別是2和5，結合三角形的三邊關系和等腰三角形的性質進行分類討論即可．【詳解】解：∵x∴x解得：x1=2，∵等腰△ABC的邊為：2和5∴當腰長為2，底邊為5時，不符合三角形的三邊關系定理，當腰長為5，底邊為2時，△ABC的周長為：5+5+2=12當邊長都為2時，△ABC的周長為：2+2+2=6當邊長都為5時，△ABC的周長為：5+5+5=15故選：D．【點睛】本題考查等腰三角形的性質和三角形的三邊關系及解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法和三角形的三邊關系是解題的關鍵．【變式14】（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考三模）已知△ABC是以AB為一腰的等腰三角形，AB=5，AC邊上的高為4，則△ABC【答案】25或45【分析】分三種情況：AB=AC，且是銳角三角形；AB=【詳解】解：①AB=∵BD⊥AC，且∴AD=∴CD=在Rt△BDC中，由勾股定理得：②AB=由勾股定理得AD=∴CD=在Rt△BDC中，由勾股定理得：③AB=∵BD⊥∴DC=在Rt△BDC中，由勾股定理得：∴AC=2綜上，底邊的長為25或45或【點睛】本題考查了等腰三角形的定義及性質，勾股定理，解題的關鍵是，數(shù)形結合，注意分類討論．題型02根據(jù)等邊對等角求角度【例2】（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預測）等腰三角形腰長為8，面積為16，則底角的度數(shù)為．【答案】75°或15°【分析】分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論即可．【詳解】解：當三角形為銳角三角形時，如圖，過點C作CD⊥AB交AB于點

則AB=AC=8∴12解得CD=4sinA∴∠A∴∠B當三角形為鈍角三角形時，如圖，過點C作CD⊥AB交AB的延長線于點

則AB=AC=8∴12解得CD=4sin∠∴∠CAD∴∠∴∠B即底角的度數(shù)為75°或15°，故答案為：75°或15°．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，解直角三角形，三角形內角和定理的應用，注意要分類討論．【變式21】（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB

A．∠1=50° B．∠1=40° C．∠1=35° D．∠1=20°【答案】D【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ADC=90°，根據(jù)【詳解】∵CD∴∠ADC∵AB=AC∴∠ABC∴∠1=90°-∠ABC故選：D【點睛】此題考查了等腰三角形的性質．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．【變式22】．（2023·遼寧丹東·校考二模）如圖，A，B兩點分別在直線l1，l2上，且l1∥l2，BA=

A．20° B．22° C．24° D．26°【答案】D【分析】先求解∠CAD=180°-∠1=64°，證明∠CEB=∠CAD【詳解】解：如圖，

∵∠1=116°，∴∠CAD∵l1∴∠CEB∵BC⊥∴∠BCA∵AB=∴∠BAC故選D【點睛】本題考查的是鄰補角的含義，平行線的性質，三角形的內角和定理的應用，等腰三角形的性質，熟練的運用以上知識解題是關鍵．【變式23】（2023·廣東河源·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CE平分△ABC【答案】55°/55度【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，角平分線定義；根據(jù)等腰三角形的性質結合三角形內角和定理求出∠ACB，可得∠【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B∴∠ACD∵CE平分△ABC的外角∠∴∠1=1故答案為：55°．【變式24】（2023·江西吉安·?？寄M預測）如圖，在△ABC中，AC=BC，AE⊥BC．垂足為E，點D在AE上，且CD平分∠ACB，若∠

【答案】126°/126度【分析】根據(jù)等邊對等角，結合三角形內角和定理，求得∠ACB=180°-∠B-∠BAC【詳解】解：∵AC=∴∠B∴∠ACB∵AE⊥∴∠AEC∵CD平分∠ACB∴∠DCE∵∠ADC是△∴∠ADC故答案為：126°．【點睛】本題考查三角形內角和定理，外角定義和性質；靈活運用三角形內角和定理，外角性質求解角度是解題的關鍵．【變式25】（2023·浙江金華·?？家荒＃┑妊鰽BC中，BD⊥AC，垂足為點D，且BD=1【答案】15°或45°或75°【分析】分點B是頂角頂點、點B是底角頂點、BD在△ABC外部和BD在△【詳解】解：①如圖1，當點B是頂角頂點時，

∵AB=BC∴AD∵BD∴BD在Rt△ABD中，②如圖2，當點B是底角頂點，且BD在△ABC

∵BD=1∴BD∴∠BCD∴∠ABC③如圖3，當點B是底角頂點，且BD在△ABC

∵BD=1∴BD∴∠C∴∠ABC故答案為：15°或45°或75°．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質、等腰三角形的性質，掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．題型03利用等邊對等角證明【例3】（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，P為BC的中點，D，E分別為AB，AC上的點，且

(1)求證：△BDP(2)若PD⊥AB，∠A【答案】(1)見解析(2)70°【分析】（1）根據(jù)AB=AC，P為BC的中點，得出∠B（2）根據(jù)等邊對等角得出∠B=∠C=35°，則【詳解】（1）證明：∵AB=AC，P為∴∠B在△BDP和△∠BDP∴△BDP（2）解：∵∠A=110°，∴∠B∵PD⊥∴∠DPB∵△BDP∴∠DPB∴∠EPD【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握等腰三角形等邊對等角，直角三角形兩直角邊互余，全等三角形對應角相等．【變式31】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD，連接AC，點M為線段AC上一點，連接BM，若AC

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)等邊對等角的性質，得出∠ABC=∠BMA，進而得到∠BCD=∠BMA，再利用平行線的性質，得到∠DAC=∠ACB，∠【詳解】證明：∵AC∴∠ABC∵AB∴∠BAM∴∠ABC∵∠ABC∴∠BCD∵AD∴∠DAC=∠ACB∵∠BMA∴∠D在△ADC和△∠D∴△ADC【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，平行線的性質，全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵．【變式32】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第十七中學校?？寄M預測）已知：?ABCD中，DE=BC

(1)求證：AF=(2)連接AE，當AE=AF時，在不添加任何輔助線和字母的情況下，請直接寫出圖中與【答案】(1)見解析；(2)∠ECD，∠DFA，∠BAD【分析】（1）由平行四邊形的性質證明AD=BC,AD∥BC，進而得到（2）根據(jù)平行四邊形性質和等腰三角形的性質，分別證明∠B+∠ECD=180°，∠B+∠BAD【詳解】（1）（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=∵DE=∴DE=∵BE=∴DF=∵AD∥∴∠ADF∴△ADF∴AF=（2）∠ECD，∠DFA，∠理由：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥∴∠B+∠由（1）可知，△ADF∴∠DFA=∠ECD∴∠DFA與∠∵AE=∴AE=∴∠B∵∠AEB∴∠B故與∠B互補的角有：∠ECD，∠DFA，∠【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的性質和判定、等腰三角形的性質，解答關鍵是根據(jù)題意找到全等三角形并進行證明．【變式33】（2023·江蘇無錫·?？级＃┤鐖D，△ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、AC

(1)求證：BE=(2)若AB=8，BC=5，當CD⊥【答案】(1)見解析(2)25【分析】（1）先證∠ABE（2）根據(jù)等邊三角形的性質和勾股定理求出AF=2312【詳解】（1）解：∵AB∴∠ABC∵∠EBC∴∠即∠ABE在△ABE與△∠A∴△ABE∴BE（2）過點A作AF⊥BC于點

∵AB=AC∴BF∴AF∵CD∴1即12解得：CD=∴BD由（1）得：△ABE∴CE【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定與性質和勾股定理．題型04根據(jù)三線合一求解【例4】（2023·遼寧·模擬預測）如圖，線段AB=8，點P在線段AB上，且AP=5，分別以點A和點B為圓心，AP的長為半徑作孤，兩弧相交于點C和點D，連接AC，BC，AD，BD，則點C到邊AD的距離是（

A．245 B．485 C．4 D【答案】A【分析】連接CD交AB于E，求出CE，可得CD的長，然后根據(jù)△ACD【詳解】解：連接CD交AB于E，

由作圖可得CD垂直平分AB，AC=∴AE=∴CE=∵AC=AD，∴CD=2設點C到邊AD的距離為h，∴S△∴h=故選：A．【點睛】本題考查了作線段垂直平分線，勾股定理，熟練掌握等面積法的應用是解題的關鍵．【變式41】（2023·陜西西安·校考模擬預測）圖1為紅斑鐘螺，殼型為圓錐形．多分布在菲律賓、以及我國臺灣墾丁等區(qū)域．現(xiàn)有一個“鐘螺”小擺件，可近似看成圓錐形，圖2為其主視圖，其中AB=13cm，擺件的高度為12cm．現(xiàn)要在AB上選取一個位置P安裝掛鉤，在該點與C之間布設導線，線路上安裝微型小彩燈，若掛鉤以及導線連接處等長度損耗忽略不計，則最短線路，即CP

A．10cm B．12013cm C．60【答案】B【分析】過點A作AH⊥BC于點H，過點C作CM⊥AB于點M，由題意可知，AB=AC=13cm，AH=12cm，BH=CH=12BC,由勾股定理得到BH=5【詳解】解：過點A作AH⊥BC于點H，過點C作CM⊥

由題意可知，AB=AC=13cm，∴BH=∴BC=2∴S△即12解得12∴CM=根據(jù)垂線段最短，則CP的最小值即為CM的長，即CP的最小值為12013故選：B【點睛】此題考查了等腰三角形判定和性質、勾股定理、垂線段最短等知識，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．【變式42】（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，邊BC在x軸上，且點B-1,0，點A

A．5 B．8 C．10 D．20【答案】C【分析】過點A作AD⊥BC于D，根據(jù)點A、B的坐標可得OB=1，BD=3，AD=4【詳解】解：如圖，過點A作AD⊥BC于

∵AB=∴BD=∵點B-1,0，點∴OB=1，BD=3，∴BC=2∴OC=∴S△故選：C．【點睛】本題考查了坐標與圖形性質，等腰三角形的性質，能夠根據(jù)點的坐標得出相關線段的長度是解題的關鍵．【變式43】（2023·陜西西安·校考二模）如圖，等腰△AOB在平面直角坐標系中，點B的坐標為6，0，OA=AB=5，點A在反比例函數(shù)y=kx（

【答案】12【分析】過點A作AC⊥OB于點C，利用等腰三角形的性質求得OC=BC=3，再利用勾股定理求得AC【詳解】解：過點A作AC⊥OB于點

∵OA=∴OC=∴AC=∴點A的坐標是3，∵點A在反比例函數(shù)y=kx（k∴k=3×4=12故答案為：12．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與等腰三角形的綜合，利用等腰三角形的性質求得反比例函數(shù)上點的坐標是解題關鍵．【變式44】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）如圖，點D,C,E在直線l上，點A,B在l的同側，AC⊥

【答案】8【分析】過點A作AM⊥CD于點M，BN⊥CE于點N，證明△ACM≌△CBN，得出AM=CN，BN【詳解】解：過點A作AM⊥CD于點M，BN⊥

則∠AMD∵AC⊥∴∠ACB∴∠ACM∴∠ACM∵AC=BC，∴△ACM∴AM=CN，∵AD=AC，∴DM=∴AM=∴CN=∵BC=BE，∴EN=∴CE=2故答案為：8．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，等腰三角形的性質，余角的性質，勾股定理，解題的關鍵是作出輔助線，證明△ACM題型05根據(jù)三線合一證明【例5】（2023·陜西榆林·?？寄M預測）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是邊BC的中點，一個圓過點A，交邊AB于點E，且與BC相切于點A．線段AE的垂直平分線與線段AC的垂直平分線的交點B．線段AB的垂直平分線與線段AC的垂直平分線的交點C．線段AE的垂直平分線與線段BC的垂直平分線的交點D．線段AB的垂直平分線與線段BC的垂直平分線的交點【答案】C【分析】如圖所示，連接AD，設該圓圓心為O，連接OE，OD，先由三線合一定理和切線的性質證明A、O、D三點共線，即AD是⊙O【詳解】解：如圖所示，連接AD，設該圓圓心為O，連接OE，∵AB=AC，D是邊∴AD⊥∵⊙O與BC相切于點D∴OD⊥∴A、O、D三點共線，即∴點O在線段BC的垂直平分線上，∵OA=∴點O在線段AE的垂直平分線，∴點O是線段AE的垂直平分線與線段BC的垂直平分線的交點，故選C．【點睛】本題主要考查了切線的性質，線段垂直平分線的性質，三線合一定理，證明AD是⊙O【變式51】（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點O，點E，F(xiàn)(1)求證：DE=(2)請從以下三個條件：①AC=2BD；②∠BAC=∠DAC；你選擇添加的條件是：______（填寫序號）；添加條件后，請證明四邊形DEBF為菱形．【答案】(1)見解析(2)②，證明見解析【分析】（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質得到AO=CO,OD=OB然后根據(jù)題意得到（2）選擇添加的條件是：②∠BAC=∠DAC，首先根據(jù)平行四邊形的性質得到∠DCA=∠【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AO∵點E，F(xiàn)分別是AO，∴OE∴四邊形DEBF是平行四邊形∴DE=（2）選擇添加的條件是：②．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥∴∠∵∠∴∠∴AD∵AO∴AC∵四邊形DEBF是平行四邊形∴平行四邊形DEBF是菱形．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質和判定，菱形的判定，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．【變式52】（2023·廣西河池·校考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是邊BC的中點．以BD為直徑作圓O，交邊AB于點P，連接PC，交AD(1)求證：AD是圓O的切線．(2)若PC是圓O的切線，BC=4，求PE【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定與性質得到AD⊥（2）連接OP，通過證明△DEC∽△POC，利用相似三角形的性質得到PC【詳解】（1）∵AB=AC，D∴AD⊥BC∵OD是⊙∴AD是圓O（2）連接OP，∵BC∴BD∵BD∴BO∵EP為⊙∴OP∵OC∴在Rt△OPC中，∴PC∵∠ECD＝∠∴△DEC∴ECOC∴EC3∴EC=∴PE=PC-EC=【點睛】本題考查切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質．如果已知切線，連半徑，得垂直；如果證明切線，則連半徑，證垂直．【變式53】（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考三模）（1）如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上一點C，連接OA,OB，從以下三個信息中選擇兩個作為條件，剩余的一個作為結論組成一個真命題，并寫出你的證明過程．①OA=OB；②CA=CB；③AB（2）在（1）的條件下，若∠AOB=90°，【答案】（1）①②，③（答案不唯一）；（2）16-4【分析】（1）選擇的條件是①②，結論是③；理由：連接OC，根據(jù)等腰三角形性質可得OC⊥（2）先求出OC，再陰影部分的面積等于三角形的面積減去扇形的面積，即可．【詳解】解：選擇的條件是①②，結論是③；理由如下：如圖，連接OC，∵OA=OB，∴OC⊥∵OC為⊙O∴AB是⊙O故答案為：①②，③（答案不唯一）；（2）∵∠AOB=90°，OA=4∴AB=∵OA=OB，∴OC⊥AB，∴陰影部分的面積為S△【點睛】本題考查命題與定理，切線的判定，扇形的面積、勾股定理、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．題型06格點圖中畫等腰三角形【例6】（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，每個小正方形的邊長為1，M、N分別是AB、BC上的格點．若點P是這個網(wǎng)格圖形中的格點，連接PM、PN，則滿足∠A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的兩個銳角等于45°，構造出一個P點，再畫出△P【詳解】解：如圖，在BC邊上取點P1，使BP1∴NB=∵∠MAN∴△MAN∴MN=NP∵∠ANM∴∠ANM∴△P∴∠M作△P1MN根據(jù)圓周角定理，得∠M故選：C．【點睛】本題考查全等三角形的判定，圓周角定理，等腰直角三角形的性質等，解答時需要一定的空間想象能力，模型意識．【變式61】（2023·廣西玉林·統(tǒng)考一模）如圖，在由邊長相同的7個正六邊形組成的網(wǎng)格中，點A，B在格點上．再選擇一個格點C，使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，符合點C條件的格點個數(shù)是()

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】確定AB的長度后即可確定點C的位置．【詳解】AB的長等于六邊形的邊長+最長對角線的長，據(jù)此可以確定共有2個點C，位置如圖，

故選：B．【點睛】本題考查了正多邊形和圓以及等腰三角形的判定，解題的關鍵是確定AB的長，難度不大．【變式62】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱德強學校?？寄M預測）圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1

(1)在圖1中畫一個腰長為5，面積為10的等腰三角形ABC，（點A、B、C在小正方形的頂點上）．(2)在圖2中畫出一個腰長為10的等腰三角形DEF（點D、E、F在小正方形的頂點上），并直接寫出等腰三角形DEF的底角的正切值為__________．【答案】(1)見解析(2)見解析，7【分析】（1）根據(jù)腰長和面積求出腰上的高，即可畫圖；（2）根據(jù)勾股定理求解可畫出三角形，過點E作EG⊥DF交DF于點G，由勾股定理求得DF=22，根據(jù)等腰三角形的性質可得【詳解】（1）解：該等腰三角形腰上的高為：10×2÷5=4，AB=

（2）如圖，DE=過點E作EG⊥DF交DF于點DF=22EG=∴tan∠故答案為：7．【點睛】本題考查了勾股定理，網(wǎng)格內作三角形，等腰三角形的性質和正切值的計算，結合勾股定理作出三角形是解題的關鍵．【變式63】（2023·浙江麗水·統(tǒng)考二模）如圖，是由邊長為1的小等邊三角形構成的網(wǎng)格，每個小等邊三角形的頂點叫作格點．線段AB的端點均在網(wǎng)格上，分別按要求作圖，每小題各畫出一個即可．

(1)在圖1中畫出以AB為邊的平行四邊形ABCD，且點C，D在格點上；(2)在圖2中畫出等腰三角形ABE，且點E在格點上；(3)在圖3中畫出直角三角形ABF，且點F在格點上．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）找到格點C,D，根據(jù)AD=BC=2（2）AB,（3）作菱形ABMN對角線AM,BN交于點F，則【詳解】（1）解：如圖所示，AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形，

（2）解：如圖所示，AB,∴AB=∴△ABE

（3）解：如圖所示，∵AB,∴四邊形ABMN是菱形，對角線AM,BN交于點F∴△ABF

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，等腰三角形的定義，菱形的性質與判定，熟練掌握菱形的性質與判定是解題的關鍵．題型07根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形【例7】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預測）如圖，D，E是△ABC邊上的點，ED∥BC，BE平分

(1)求證：BD=(2)若BD:BC=2:3【答案】(1)見解析(2)2:1【分析】（1）由平行線的性質可得∠CBE=∠BED，由角平分線的定義可得∠（2）由已知條件可得DEBC=23，再說明△ADE～△ABC可得AEAC=DE【詳解】（1）證明：∵ED∥∴∠CBE∵BE平分∠ABC∴∠DBE∴∠∴BD=（2）解：∵BD:BC=2:3∴DEBC∵ED∥∴△∴AEAC=DE如圖：過D作DG∴S△∴S△

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定、相似三角形的判定與性質等知識點，掌握相似三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．【變式71】（2023·江蘇常州·統(tǒng)考二模）如圖，已知△ABC

(1)在圖中用直尺和圓規(guī)作△ABC的角平分線BD，作∠ADE，使得∠ADE=∠C，射線DE(2)在（1）的條件下，判斷△BDE【答案】(1)見解析(2)△BDE【分析】（1）作∠ABC的角平分線BD，作∠（2）利用平行線的性質與判定證明∠BDE=∠DBC，結合角平分線的定義可得△【詳解】（1）解：如圖所示，BD為△ABC的角平分線，∠

（2）解：△BDE∵∠ADE∴DE∥∴∠BDE又∵∠DBC∴∠BDE∴DE=∴△BDE【點睛】本題考查了用尺規(guī)作角平分線，用尺規(guī)作相等的角，平行線的性質與判定，等腰三角形的判定，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．【變式72】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測）如圖，AB是⊙O的直徑，D是AB上的一點，C是⊙O上的一點，過點D作AB的垂線，與過點C的切線相交于點P，PD與AC相交于點（1）求證：△PCE（2）連接BC，若AD=OD，AE=258【答案】（1）見解析；（2）65【分析】（1）根據(jù)垂直和切線的性質得到∠AED=∠PCA（2）作OF⊥AC于點F，PG⊥AC于點G，連接OE，根據(jù)三角形中位線的性質得到OF的長，在Rt△【詳解】（1）證明：∵PD⊥∴∠DAE∵PC是⊙O∴∠PCA∵OA=∴∠DAE∴∠AED∵∠AED∴∠PCA∴PC=PE，即（2）作OF⊥AC于點F，PG⊥AC于點可得OF=12∴EF=∴AF=4，AC∴AB=10，⊙O的半徑為∴CE=∵∠PCE=∠PEC又∵∠∴△∴PCCG∵CG∴PC=故答案為6516【點睛】本題考查了圓的切線性質，等腰三角形的性質，三角形中位線的性質，三角形相似的性質，是幾何部分的綜合題，第（2）問關鍵是證明兩個三角形相似．題型08根據(jù)等角對等邊證明邊相等【例8】（2023·陜西西安·交大附中分校?？寄M預測）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F則

A．2 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【分析】直接利用平行四邊形的性質結合角平分線的性質得出CD=AB=6，∠DAF=∠【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=6∴∠BAF∵∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F∴∠BAF∴∠DAF∴DF∴FC故選：B．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質以及等腰三角形的判定．利用平行線與角平分線得出∠DAF【變式81】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖銳角△ABC中，AB=4，BC

【答案】5【分析】過點A作∠BAC的平分線，交BC于點D，證明△【詳解】解：過點A作∠BAC的平分線，交BC于點D，則∠1=∠2=

∵∠BAC=2∠∴∠1=∠2=∠C∴AD=CD，∴∠3=∠BAC∵∠B∴△ABD∴ABCB∵AB=∴BD=∴CD=6-∴46∴AC=5故答案為：5．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的判定，三角形外角的性質，添加輔助線構造相似三角形是關鍵．【變式82】（2023·浙江·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，EB

(1)求證：BC=(2)若CE=AB，EA=【答案】(1)見解析(2)36°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠DEB=∠BEC（2）根據(jù)等腰三角形的性質得到∠C=∠A【詳解】（1）解：證明：∵BE平分∠∴∠DEB∴DE∴∠DEB∴∠BEC∴BC（2）∵BC=CE∴BC∴∠C設∠C∵EA∴∠ABE∴∠EBC∴2x∴∠C【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，三角形內角和定理，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．【變式83】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考二模）如圖，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC的平分線交AD于點E

(1)求證：DE=(2)若∠C=120°，直接寫出【答案】(1)見解析(2)150°【分析】（1）利用AD∥BC推出∠FED=∠FBC，AB∥CD推出∠2=∠F，用（2）根據(jù)AD∥BC，推出∠EDF=∠C=120°，再結合∠F【詳解】（1）證明：∵AD∥∴∠FED∵AB∥∴∠2=∠F∵BF平分∠ABC∴∠2=∠FBC∴∠F∴DE=（2）∠1=150°，求解過程如下：∵∠C=120°，∴∠EDF又∵∠F∴∠FED∴∠1=180°-∠FED【點睛】本題考查平行線的性質，角平分線的相關計算，等角對等邊，三角形內角和等知識，掌握平行線的性質是解題的關鍵．題型09根據(jù)等角對等邊求邊長【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中學?？寄M預測）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點F為對角線AC上一點，當∠CBF=22.5°時，則AF的長是（

A．22-2 B．116 C．【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質得出∠ABC=90°，∠ACD=∠ACB=1【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC=90°，∵∠CBF∴∠ABF∠AFB∴∠ABF∴AF=AB=2故選：C．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，三角形外角的性質，等腰三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握正方形的性質，得出∠ABF【變式91】（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，在△ABC中，∠B=45°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為點E.若

A．4 B．23 C．2 D．【答案】D【分析】過點D作DF⊥AB，根據(jù)角平分線的性質得出DF=【詳解】解：過點D作DF⊥

∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC∴DF=∵∠B∴∠BDF∴DF∴BD=故選：D．【點睛】題目主要考查角平分線的性質，等角對等邊及勾股定理解三角形，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關鍵．【變式92】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十中學?？级＃┤鐖D，在?ABCD中，AB=6，BC=8，以點C為圓心，適當長為半徑作弧，分別交BC，CD于M，N兩點，分別以M，N為圓心，以大于12MN的長為半徑作弧，兩弧在∠BCD的內部交于點P，射線CP交AD于點

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由題意可得：CP是∠BCD的平分線，然后可由角平分線的定義、平行四邊形的性質以及等角對等邊得出BF=【詳解】解：由題意可得：CP是∠BCD∴∠BCF∵?ABCD，AB∴AB∥∴∠F∴∠F∴BF=∴AF=故選：B.【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、角平分線的尺規(guī)作圖、等腰三角形的判定等知識，熟練掌握相關圖形的性質、得出BF=BC題型10求與圖形中任意兩點構成等腰三角形的點【例10】（2020·安徽淮北·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點E是AD的中點，點F在DC上，且CF=1,若在此矩形上存在一點P，使得△PEF是等腰三角形，則點

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分三種情況討論：①當EF為腰，E為頂角頂點時，②當EF為腰，F(xiàn)為頂角頂點時，③當EF為底，P為頂角頂點時，分別確定點P的位置，即可得到答案．【詳解】∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，∴EF∴△PEF①當EF為腰，E為頂角頂點時，根據(jù)矩形的軸對稱性，可知：在BC上存在兩個點P，在AB上存在一個點P，共3個，使△PEF②當EF為腰，F(xiàn)為頂角頂點時，∵∴在BC上存在一個點P，使△PEF③當EF為底，P為頂角頂點時，點P一定在EF的垂直平分線上，∴EF的垂直平分線與矩形的交點，即為點P，存在兩個點．綜上所述，滿足題意的點P的個數(shù)是6．故選D．【點睛】本題主要考查等腰三角形的定義，矩形的性質，熟練掌握等腰三角形的定義和矩形的性質，學會分類討論思想，是解題的關鍵．【變式101】（2018·江蘇常州·統(tǒng)考一模）已知直線y=-3x+3與坐標軸分別交于點A，B，點P在拋物線y=-x-3A．8個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】A【分析】分三種情況考慮：①以點B為圓心，AB長度為半徑作圓可找出兩個點P；②以點A為圓心，AB長度為半徑作圓可找出四個點P；③作線段AB的垂直平分線可找出兩個點P．綜上即可得出結論．【詳解】分三種情況考慮：如圖所示：①以點B為圓心，AB長度為半徑作圓，交拋物線于點P1②以點A為圓心，AB長度為半徑作圓，交拋物線于點P3③作線段AB的垂直平分線，交拋物線于點P7

綜上所述：能使△ABP為等腰三角形的點P的個數(shù)為8故選A．【點睛】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及等腰三角形的判定，依照題意畫出圖形，解題的關鍵是利用數(shù)形解決問題．【變式102】．（2023·廣東河源·統(tǒng)考一模）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知圖中A，B兩個格點，請在圖中再尋找另一個格點C，使△ABC成為等腰三角形，則滿足條件的點C有（

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)題意，分三種情況：當BA=BC時，當AB=【詳解】解：如圖所示：分三種情況：①當BA=BC時，以點B為圓心，以BA長為半徑作圓，交網(wǎng)格線的格點為C1②當AB=AC時，以點A為圓心，以AB長為半徑作圓，交網(wǎng)格線的格點為C3③當CA=CB時，作AB的垂直平分線，交網(wǎng)格線的格點為C5，C6，綜上所述：使△ABC成為等腰三角形，則滿足條件的點C有8故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，根據(jù)題意，分三種情況討論是解題的關鍵．題型11等腰三角形性質與判定綜合【例11】（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AD，BD分別是∠BAC，∠ABC的平分線，過點D作EF∥AB，分別交AC，BC于點E，F(xiàn)．若AE=4，BF

【答案】10【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD，∠ABD=∠CBD，根據(jù)平行線的性質可得∠BAD=∠ADE，∠ABD=∠【詳解】解：∵AD平分∠BAC，BD平分∠∴∠BAD=∠CAD∵EF∥∴∠BAD=∠ADE∴∠CAD=∠ADE∴DE=AE=4∴EF=故答案為：10．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，平行線的性質，角平分線的定義，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．【變式111】（2020·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知點A(2，m)，點P在y軸上，且△POA為等腰三角形，若符合條件的點P恰好有2個，則m=．【答案】0或±【分析】由于當OP=OA時，這樣的P點一定有2個，易得PO=PA不存在，AP=AO也不存在，這時才滿足符合條件的點P恰好有2個，從而得到m=0，當AP=OA時，可得n=2m，n為任何值均成立，然后將【詳解】設點P①當OP=OA時，這樣的P點一定有2個，∴PO=PA不存在，AP=AO也不存在，∴A點在x軸上，此時m=0．②當AP=OA可得n∵點P、O、A能夠成三角形∴n=2m，③當OP=PA可得4+∵符合條件的點P恰好有2個∴22+m∴將n=2m代入可得2解得m將n=2m代入可得4+解得m故答案為：0或±2【點睛】本題考查了等腰三角形的問題，掌握等腰三角形的性質以及判定、勾股定理、解一元二次方程是解題的關鍵．【變式112】（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB=63，點C在線段AB上，△ACD是底邊長為6的等腰三角形且∠ADC=120°，以CD為邊在CD的右側作矩形CDEF，連接DF，點M是DF的中點，連接MB【答案】9-2【分析】本題考查矩形的性質，等腰三角形的性質，線段的垂直平分線的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找點M的運動軌跡．連接EC，過點M作MJ⊥CD于J，交AB于T．證明MJ垂直平分線段CD，推出點M的運動軌跡是直線MJ，當BM⊥MJ時，【詳解】解：如圖，連接EC，過點M作MJ⊥CD于J，交AB于T，過點D作DH⊥∵四邊形EFCD是矩形，點M是DF的中點，∴點M在對角線DF，EC的交點，∴MD∵MJ∴DJ∴點M的運動軌跡是直線MJ，當BM⊥MJ時，∵DA=DC，∠∴∠A=∠DCA∴CD∴CJ∴CT∵AB=63∴BT∵∠CJT=90°，∴∠BTM∴BM∴BM的最小值為9-2故答案為：9-23【變式113】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，函數(shù)y=kxx>0

(1)求n和k的值；(2)點C是雙曲線上介于點A和點B之間的一個動點，若S△AOC=6(3)過C點作DE∥OA，交x軸于點D，交y軸于點E，第二象限內是否存在點F，使得△DEF是以DE為腰的等腰直角三角形?【答案】(1)n和k的值分別為4，8；(2)C(2,4)(3)點F(-9,6)或(-3,9)【分析】（1）將A、B兩點的坐標分別代入反比例函數(shù)解析式，解方程組得n、k的值；（2）設點C(m,8m)，過點C做CG⊥x軸于點G，交OA于點（3）先用待定系數(shù)法求得進而求出直線DE的解析式，再分兩種情況進行討論：①以DE為直角邊，D為直角頂點；②以DE為直角邊，E為直角頂點．再觀察圖形并利用點的移動特點寫出答案．【詳解】（1）解：∵函數(shù)y=kxx>∴2解得n=4故n和k的值分別為4，8；（2）解：∵n∴A設直線OA的解析式為：y=把A(4,2)代入y=mx，得2=4m，解得∴直線OA的解析式為：y=過點C作CG⊥x軸于點G，交直線OA于點

設C(∴H∴S∴1∴m=2或∴C（3）解：∵DE∥OA，直線OA∴設直線DE的解析式為：y=∵點C(2,4)在直線DE∴4=12×2+∴直線DE的解析式為：y=當x=0時，y∴E0,3，當y=0時，x∴D-6,0

根據(jù)題意，分兩種情況進行討論：①以DE為直角邊，D為直角頂點；如圖，過F1做FK⊥x軸于點K

∵∠F∴∠F又∵∠DEO∴∠F1DK∴△F∴F故點D到點F1的平移規(guī)律是：D向左移3個單位，向上移6個單位得點F∵D(-6,0)，且∴F1(-6-3,0+6)②以DE為直角邊，E為直角頂點；同①理得，將E點向左移3個單位，向上移6個單位得點F坐標，得F2綜上所述：點F(-9,6)或【點睛】此題考查關于一次函數(shù)、反比例函數(shù)與動態(tài)三角形的綜合題，熟練運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，準確完整地討論等腰直角三角形的各種可能的情況是解此題的關鍵．題型12等腰三角形有關的折疊問題【例12】（2023·遼寧·模擬預測）【問題初探】（1）在數(shù)學活動課上，李老師給出如下問題：如圖1，在△ACD中，∠D=2∠C，AB⊥

①如圖2，小鵬同學從結論的角度出發(fā)給出如下解題思路：在BC上截取BE=BD，連接AE，將線段BC與AD，BD之間的數(shù)量關系轉化為AD與

②如圖3，小亮同學從∠D=2∠C這個條件出發(fā)給出另一種解題思路：作AC的垂直平分線，分別與AC，CD交于F，E兩點，連接AE，將∠D=2∠

請你選擇一名同學的解題思路，寫出證明過程．【類此分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學都運用了轉化思想，將證明三條線段的關系轉化為證明兩條線段的關系；為了幫助學生更好地感悟轉化思想，李老師將圖1進行變換并提出了下面問題，請你解答．如圖4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，過點A作AD∥BC（點D與點C在

【學以致用】（3）如圖5，在四邊形ABCD中，AD=1003

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）1444【分析】（1）選擇小鵬同學的解題思路，利用垂直平分線的性質、三角形外角的性質，可得AE=AD=CE，進而可證BC=CE+BE=AD+BD；選擇小亮同學的解題思路，先證AE=（2）過點A作AE∥DB交CB的延長線于點E，證明四邊形AEBD是平行四邊形，推出AD=BE，AE=BD，∠ADB=∠E（3）延長AB交DC的延長線于點E，作AH⊥DE于點H，作BF⊥DE于點F，先通過導角證明∠D=∠E，∠BCE=2∠E，同（1）可得【詳解】解：（1）選擇小鵬同學的解題思路，證明如下：如圖，

∵BE=BD，∴AB是線段DE的垂直平分線，∴AE=∴∠D∵∠D∴∠AED又∵∠AED∴∠C∴CE=∴CE=∴BC=選擇小亮同學的解題思路，證明如下：如圖，

∵EF是線段AC的垂直平分線，∴AE=∴∠C∴∠AED又∵∠D∴∠D∴AE=∴CE=∵AE=AD，∴BE=∴BC=（2）證明如下：如圖，過點A作AE∥DB交CB的延長線于點E，在BC上截取BF=

∵AE∥DB，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∴AD=BE，AE=∵∠ADB∴∠E∵∠ABC∴AB⊥又∵BE=BF∴AB是線段EF的垂直平分線，∴AE=∴∠E∵∠E∴∠AFE又∵∠AFE∴∠C∴CF=∴CF=∴BC=（3）如圖，延長AB交DC的延長線于點E，作AH⊥DE于點H，作BF⊥

∵∠BCD=∠BAD，∠∴∠BCE∵∠ABC∴∠ABC∵∠ABC∴3∠D∴∠D∴∠BCE又∵BF⊥同（1）可證EF=∵AD=1003，sin∴AH=∴HD=∵∠D∴AD=又∵AH⊥∴HE=∴DE=2∵CD=∴EC=設EF=x，則∵EF=∴BC=∴BF∵sinD=3∴tanE∴BF=∴34解得x1=32∴BF=∴四邊形ABCD的面積=S【點睛】本題考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性質，三角形外角的性質，平行四邊形的判定和性質，垂直平分線的性質，勾股定理等，第3問難度較大，解題的關鍵是正確作出輔助線，注意應用前兩問的結論．【變式121】（2023·福建南平·統(tǒng)考二模）在等腰三角形ABC中，AB=AC，△DEC是由△ABC繞點C按順時針方向旋轉α角0<α<180°得到，且點A的對應點(1)判斷直線CE與直線AB的位置關系，并證明；(2)當∠ADC=2∠BAC(3)如圖2，點F為線段AD的中點，點G在線段AB上且AG=AF，當點E在線段AD上時，求證：【答案】(1)CE∥(2)∠(3)證明見解析【分析】（1）由旋轉的性質和等邊對等角的性質，得到∠B=∠DCE，即可證明（2）設∠BAC=x，則∠ADC=2x，由旋轉的性質，得出AC（3）連接CF、CG，利用旋轉的性質，證明△AGC≌△AFCSAS，得CG=CF，∠AGC=∠【詳解】（1）解：CE∥證明：由旋轉的性質可得，∠DCE∵AB∴∠B∴∠B∴CE（2）解：設∠BAC=x由旋轉的性質可得，AC=∴∠CAD∴∠ACB∵AB∴∠B在△ABC中，∠∴x解得：x=20°，即∠（3）解：證明：如圖3，連接CF、CG，由旋轉的性質可知：∠BAC=∠D，CB∴∠CAD∴∠BAC∵AG=AF∴△AGC∴CG=CF∵CA=CD，點F∴CF∴∠AFC∴∠AGC∴∠BGC在Rt△BCG和CB=∴Rt∴BG∴AB【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的判定和性質，平行線的判定，三角形外角的性質，三角形內角和定理，全等三角形的判定和性質等知識．解題關鍵是作輔助線構造全等三角形．【變式122】（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）如圖1，已知三角形紙片ABC，AB=AC，∠A=50°，將其折疊，如圖2，使點A與點B重合，折痕為ED，點E，D分別在AB，AC上，那么

A．10° B．15° C．20° D．30°【答案】B【分析】依據(jù)三角形內角和定理，求出∠ABC的度數(shù)，再證明∠DBA=∠【詳解】解：∵AB=AC，∴∠ABC由折疊可得：DA=∴∠DBA∴∠DBC故選：B．【點睛】本題主要考查了翻折變換的性質，解題的關鍵是靈活運用等腰三角形的性質、三角形的內角和定理等幾何知識點．【變式123】（2023·河南南陽·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，E為AD邊的中點，連接BE，CE，點F，G分別是BE，BC邊上的兩個動點，連接FG，將△BFG沿FG折疊，使點B的對應點H恰好落在邊EC上，若△CGH是以GH為腰的等腰三角形，則

【答案】5011或【分析】當GH=CH時，如圖1所示，過點H作HM⊥BC于M，則CM=GM=12CG，設BG=GH=CH=x，則CG=12-x，CM=6-x2，利用勾股定理求出CE=5，證明【詳解】解：如圖1所示，當GH=CH時，過點H作HM⊥

∴CM=由折疊的性質可得BG=設BG=GH=∴CM=6-∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=12∵E是AD的中點，∴DE=6在Rt△CDE中，由勾股定理得∵AD∥∴∠DEC在Rt△CDE中，∴在Rt△CMH中，∴6-x解得：x=6011∴EH=如圖2所示，當GH=CG時，過點G作GM⊥

∴CH=2由折疊的性質可得BG=在Rt△CGM中，∴CH=2∴EH=故答案為：5011或14【點睛】本題主要考查了矩形與折疊，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性質，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．【變式124】（2023·甘肅張掖·統(tǒng)考二模）（1）如圖①，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在點B'處，B'C與AD交于點E

（2）點O是矩形紙片ABCD對角線的交點，將該紙片沿過點O的線段EF折疊，使點A的對應點為A'，點B與點D重合，連接BF，求證：四邊形FBED【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由折疊的性質得出∠ECA=∠ACB（2）連接BD，證明△DOF≌△BOE(AAS【詳解】解：（1）證明：∵將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到點B'∴∠ECA∵AD∴∠EAC∴∠EAC∴AE∴△ACE（2）證明：連接BD，

∵將該紙片沿過點O的線段EF折疊，使點A的對應點為A'，點B與點D∴OB=OD∵DF∴∠DFE∵∠DOF∴△DOF∴DF∴四邊形BEDF是平行四邊形，又BD⊥∴四邊形FBED是菱形．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質、矩形的性質、翻折變換、菱形的判定、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是準確尋找全等三角形解決問題．【變式125】（2023·河南洛陽·統(tǒng)考二模）綜合與實踐

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，諸葛小組將正方形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形內部的點M處，折痕為AE，再將紙片沿過點A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF，請寫出圖中的一個45°角：______．(2)【拓展探究】如圖2，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點C的對應點恰好落在折痕AE上的點N處，連接NF交AM于點P．①∠AEF=②若AB=3，求線段(3)【遷移應用】如圖3，在矩形ABCD，點E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，將矩形ABCD沿AE，AF折疊，點B落在點M處，點D落在點G處，點A，M，G恰好在同一直線上，若點F為CD的三等分點，AB=3，AD【答案】(1)∠EAF(2)①∠AEF=60°，見解析；(3)線段BE的長為97或2【分析】（1）根據(jù)折疊性質和正方形的性質可得∠EAF（2）①由折疊性質可得∠NFE=∠CFE，∠ENF=∠C=90°，∠AFD=∠AFM，結合∠EAF根據(jù)AN+（3）在AD上取一點J，使得AJ=AB，過點J作JT⊥BC，交AF于點K，連接EK，可得△AJK【詳解】（1）解：∠EAF∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C由折疊性質可得：∠BAE=∠MAE∴∠MAE+∠MAF即∠EAF（2）解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C由折疊性質可得：∠NFE=∠CFE，∠∴∠ANF由操作一得：∠EAF∴△ANF∴∠AFN∴∠AFD∴245°+∠∴∠NFE∴∠AEF②∵△ANF∴AN∵∠AMF=∠ANF∴∠NAP∴△ANP∴AP∵∠NFE=∠CFE∴∠NEF∴∠AEB∵∠B∴∠BAE∴BE∴AE設PN=∵∠ANP∴AN=3PN∵AN∴3a+∴AP∴PM（3）解：如圖，在AD上取一點J，使得AJ=AB，過點J作JT⊥BC，交AF于點K

當DF=2CF時，∵JK∴△AJK∴AJ∴JK∴JK由（1）可知，EK=設BE=x，則∵E∴(∴x當CF=2DF時，同理可得綜上所述，線段BE的長為97或2【點睛】此題考查了正方形的性質、翻折變換的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、解直角三角形等知識，熟練掌握正方形的性質和翻折變換的性質，證出∠EAF題型13等腰三角形有關的規(guī)律探究問題【例13】（2022·湖北荊門·?？寄M預測）如圖，直角坐標系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7…，是斜邊在x軸上，斜邊長分別為4，8，12【答案】（2，2022）【分析】先判斷點A2022【詳解】解：∵2022÷4=∴A2022是505個循環(huán)后的第二個點，即直角頂點∵各三角形都是等腰直角三角形，∴直角頂點的縱坐標的長度為斜邊的一半，∵A2(2,2)是第A6(2,6)是第A10(2,10)是第A14(2,14)是第…，∵2022=1011×2，∴A2022是第1011∴A2022在第一象限，橫坐標為2，縱坐標為2022∴點A2022的坐標為(2,2022)故答案為：(2,2022)．【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系內的坐標，規(guī)律問題，等腰直角三角形的性質等，得出縱坐標的變化規(guī)律是解題的關鍵．【變式131】（2022·四川成都·四川師范大學附屬中學?？寄M預測）如圖，在等腰RtΔABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC邊在直線a上．將ΔABC繞點A順時針旋轉到位置①可得到點P1，此時AP1=2；將位置①的三角形繞點P1順時針旋轉到位置②，可得到點P2，此時AP【答案】1348+6742/【分析】由等腰直角三角形的性質和已知條件得出AP1＝2，AP2＝1+2，AP3＝2+2，AP4＝2+22，AP5＝3+22，AP6＝4+22，每三個一組，進而找到規(guī)律即可．【詳解】解：觀察圖形的變化可知：AP1＝2；AP2＝1+2；AP3＝2+2；AP4＝2+22；AP5＝3+22；AP6＝4+22＝2（2+2）；…．發(fā)現(xiàn)規(guī)律：AP3n＝n（2+2）；AP3n+1＝n（2+2）+2；AP3n+2＝n（2+2）+2+1．∴AP2022＝AP674×3＝674（2+2）＝1348+6742．故答案為：1348+6742．【點睛】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等，根據(jù)題意得出規(guī)律是解題的關鍵．【變式132】（2022·山東濰坊·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，有一個等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角邊AO在x軸上，且AO=1．將Rt△AOB繞原點O順時針旋轉90°得到等腰直角三角形A1OB，且A1O=2AO，再將Rt△A1OB1，繞原點【答案】-【分析】根據(jù)題意得出B點坐標變化規(guī)律，進而得出點B2022【詳解】解：∵ΔAOB是等腰直角三角形，∴AB∴B將RtΔAOB繞原點O順時針旋轉90°得到等腰直角三角形A1再將Rt△A1OB1繞原點O順時針旋轉90°得到等腰三角形∴每4次循環(huán)一周，B1(2,-2)，B2(-4,-4)，∵2022÷4=505……2，∴點B2022與B∴點B2022(-2故答案為：(-22022，【點睛】此題主要考查了點的坐標變化規(guī)律及等腰直角三角形的性質，得出B點坐標變化規(guī)律是解題關鍵．【變式133】（2022·上?！ばＢ?lián)考模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在Rt△ABC內部作正方形D1E1F1G1，其中點D1，E1分別在AC，BC邊上，邊F1G1在BC上，它的面積記作S1；按同樣的方法在△CD1E1內部作正方形D2E2F2G2，它的面積記作S2，S2=，…，照此規(guī)律作下去，正方形DnEnFnGn的面積Sn=．【答案】834【分析】先說明AB=3G1F1、G1F1=3G2F2，再求出AB的長，然后分別求出第一個、第二個正方形的面積，然后尋找規(guī)律，最后再利用規(guī)律解答即可．【詳解】解：∵CA=CB，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°，∴AG1=D1G1,BF1=E1F1∵正方形D1E1F1G1，∴F1G1=D1G1=E1F1∴AB=3G1F1同理：G1F1=3G2F2，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2∴AB=2∴正方形D1E1F1G1的邊長為22×13，正方形D2E2F2∴S2=13222·132∴正方形DnEnFnGn的面積Sn=13n22×故答案為：834，【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質、正方形的性質等知識，運用所學知識發(fā)現(xiàn)規(guī)律、并靈活利用規(guī)律成為解答本題的關鍵．題型14等腰三角形有關的新定義問題【例14】（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）給出一個新定義：有兩個等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點互相重合且其中一個等腰三角形的一個底角頂點在另一個等腰三角形的底邊上，那么這兩個等腰三角形互為“友好三角形”．

(1)如圖①，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點D是BC邊上一點（異于B點），AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=m°，連接CE，則CE______BD（填“<”(2)如圖②，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點D是BC邊上一點，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，M、(3)如圖③，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點D是BC邊上一動點，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，BC=6，過D點作DF⊥AD，交直線【答案】(1)=，180-(2)MN(3)15【分析】（1）由∠BAC=∠DAE=m°，可得∠BAD=∠CAE，證明△（2）如圖②，連接AN，AM，由等邊三角形的性質可得AN⊥DE，AM⊥BC，∠DAN=30°，∠BAM=30°，則∠MAN=∠BAD，AN（3）由題意知，F(xiàn)在直線CE上運動，由（1）可知，∠BCE=180°-∠BAC=90°，即CE⊥BC，如圖③，過A作AO⊥BC于O，則O為BC的中點，當點D在B點時，F(xiàn)點與G點重合，由AB=AC，∠BAC=90°，BC=6，可得∠ABC=45°，AO=CO=3，則∠CBG=∠ABG-∠ABC=45°，CG=BC=6，當點D運動到O點時，F(xiàn)點與C點重合，當點D運動到D'點時，F(xiàn)點與F'點重合，則∠OAD'=∠【詳解】（1）解：∵∠BAC=∠BAD+∠DAC∴∠BAD在△BAD和△∵AB=∴△BAD∴BD=CE，∴∠BCE故答案為：=，180-m（2）解：MNCE如圖②，連接AN，

由題意知，△ABC和△∵M、N分別是底邊BC、DE的中點，∴AN⊥DE，AM⊥BC，∵∠DAN=∠DAM+∠MAN∴∠MAN∵ANAD=sin∴ANAD∴△MAN∴MNBD同（1）可證△BAD∴BD=∴MNCE（3）解：由題意知，F(xiàn)在直線CE上運動，由（1）可知，∠BCE=180°-∠BAC如圖③，過A作AO⊥BC于O，則O為BC的中點，當點D在B點時，F(xiàn)點與

∵AB=AC，∠BAC∴∠ABC=45°，∵BG⊥∴∠CBG∴CG=當點D運動到O點時，F(xiàn)點與C點重合，當點D運動到D'點時，F(xiàn)點與F'點重合，則∵∠AO∴△OA∴CF'OD'∵-1<0∴當OD'=32當點D從D'點運動到C點，點F從F'回到∴F點運動的路徑長為GC+2∴點D從B點運動到C點，F(xiàn)點運動的路徑長為152【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，二次函數(shù)的性質，正弦，三角形內角和定理．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式141】（2022·廣東中山·統(tǒng)考三模）新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．(1)如圖1，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，點A為重合的頂角頂點．求證：(2)如圖2，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，點A為重合的頂角頂點，點D、E均在△ABC外，連接BD、CE交于點M，連接AM，求證：AM【答案】(1)證明過程見解析(2)證明過程見解析【分析】（1）根據(jù)“兄弟三角形”的定義得到∠BAC=∠DAE，進而得到∠CAE=∠BAD，再證明△BAD（2）過點A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，證明△BAD≌△CAE【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形∴∠BAC=∠DAE，AB∴∠BAC即∠CAE∴△BAD≌△CAE∴BD=（2）證明：如圖，過點A作AG⊥BM于G，AH⊥∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形∴∠BAC=∠DAE，AB∴∠BAC即∠CAE∴△BAD≌△CAE∴∠ABG∵AG⊥BM，∴∠AGB∴△BAG≌△CAH∴AG=∴AM平分∠BME【點睛】本題考查的是“兄弟三角形”的定義、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質，正確理解“兄弟三角形”的定義是解題的關鍵．【變式142】（2023·廣東陽江·統(tǒng)考三模）定義：△ABC中，∠A+2∠

(1)下列說法正確的是．①倍余三角形一定是鈍角三角形；②等腰三角形不可能是倍余三角形．(2)如圖1，△ABC內接于⊙O，點D在直徑BC上(不與B，C重合)，滿足AB=(3)在（2）的條件下，①如圖1，連接AO，若△AOD也為倍余三角形，求∠②如圖2，過點D作DE⊥BC交AC于點E，若△ABC面積為△ADE面積的【答案】(1)①(2)見解析(3)①36°或22.5°；②66或【分析】（1）由倍余三角形的定義及等腰三角形的性質可得出答案；（2）由圓周角定理的推論得出∠B+∠C（3）①若∠AOD為鈍角，設∠OAD=x，則∠DAC=x，∠C=2x，得出∠ADO=3x，即5x=90°，求出∠②如圖3，作AF⊥BC，不妨設DF=1，CD【詳解】（1）解：①∵△ABC∴∠A∴∠A∴∠C∴倍余三角形一定是鈍角三角形，故①正確，②等腰三角形可能是倍余三角形．如∠A=∠B=30°，故答案為①；（2）證明：∵BC是⊙∴∠BAC∴∠B∵AB∴∠ABD∴∠DAC∴△ACD（3）①如圖1，

∵∠AOD∴∠OAD+2∠ADO當2∠OAD+∠ADO又∵∠B∴∠OAC設∠OAD=x，則∠∴∠ADO即5x∴x即∠C如圖2，∵∠ADC

∴∠OAD+2∠AOD當2∠OAD+∠AOD∵∠OAD∴∠OAD設∠OAD=x，則∠即4x∴x即∠C綜合以上可得∠C為36°或22.5°②如圖3，作AF⊥BC，不妨設DF=1，CD=x，若△

∵S△∴xx解得x1=4，當x=4時，BC=6，AD=∴ADBC當x=12時，BC=2.5，∴ADBC綜合以上得出ADBC的值為66或【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，新定義倍余三角形的理解與運用，熟練掌握與三角形有關的性質定理是解題的關鍵．題型15等腰三角形有關的動點問題【例15】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考二模）如圖，等腰Rt△ABC中，D是AC上一動點，連接BD．將△BCD繞點B逆時針旋轉90°得到△BAE，連接ED．若BC=5，則

【答案】5+52/【分析】根據(jù)旋轉的性質和等腰直角三角形的判定和性質定理即可得到結論.【詳解】∵將△BCD繞點B逆時針旋轉90°得到△∴AE=∴AE+AD=∴當BD取最小值時，DE的值最小，則△AED周長的值最小，當BD⊥AC時,∴DE∵△ABC是等腰直角三角形,BC∴DE=5∴AC∴BD∴△AED周長最小值是故答案為：5+52【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握等腰直角三角形的性質是解題的關鍵.【變式151】（2022·湖北咸寧·?？寄M預測）正方形ABCD中，E為對角線AC上的動點（不于B、C重合），連接BE，DE，作EF⊥BE交CD或其延長線于F，下列結論：①BE=DE；②△DEF為等腰三角形；③AE

【答案】①②④【分析】證明△AED≌△AEB即可判斷①；進而根據(jù)四邊形內角和定理可得∠EBC+∠EFC=180°，根據(jù)鄰補角互補得出∠EFD+∠EFC=180°，即可得出∠EBC=∠EFD，進而可得∠EDF=∠EFD，根據(jù)等角對等邊即可判斷②；過點E作EH⊥CD于點H，交AB【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=∵E為對角線AC上的動點，∴∠DAE又∵AE∴△∴BE=DE，故∵∠∴△CED∴∠CDE∵EF⊥BE，∴∠EBC∵∠EFD∴∠EBC∴∠EDF∴EF=又BE=∴BE=EF，即△EBF如圖所示，過點E作EH⊥CD于點H，交AB于點

則△AGE是等腰直角三角形，四邊形AGHD∴AG=22∵ED∴DH∴DF設正方形的邊長為a，則CF∵E為動點，則CF與AE不一定相等；故③不正確；設AG=bb<∴EC=BF∴EC2∴E即CE<BF，故故答案為：①②④．【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，熟練掌握正方形的性質是解題的關鍵．【變式152】（2023·吉林長春·校聯(lián)考一模）（1）如圖，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90o，點C在OA上，點D在線段BO（2）如圖2，將圖1中的△COD繞點O順時針旋轉α（3）如圖3，若AB=8，點C是線段AB外一動點，AC=33，連接BC，若將CB繞點C逆時針旋轉90°得到CD，連接AD，則AD【答案】（1）AD=BC；（2）AD=BC仍然成立，證明見解析；（【分析】（1）證明△BOC≌△AOD（2）根據(jù)△AOB和△COD是等腰直角三角形得到OA=OB，OC=（3）過點A作AE⊥AB，取AE=AB，連接BE、DE，證明【詳解】解：（1）在△BOC和△BO=∴△BOC∴AD=故答案為：AD=（2）AD=∵△AOB和△∴OA=OB，OC=∴∠AOB+∠AOC∴△AOD∴AD=（3）過點A作AE⊥AB，使得AE=AB，連接由旋轉的性質可得CD=∴△BAE∴BEAB∵∠CBD=∠ABE∴∠ABC∴△ABC∴EDAC∴ED=3∵AD≤∴AD的最大值為8+36故答案為：8+36【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，三角形三邊之間的關系，構造相似三角形是解決問題的關鍵．【變式153】（2022·湖北武漢·?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點C2,2作x軸垂線，垂足為D，連BC．現(xiàn)有動點P、Q同時從A點出發(fā)，分別沿AB、AD向點B和點D運動（P、Q兩點中有一點到達目標點，兩者的運動隨即停止），若點P的運動速度為2cm/s，點

(1)求A、B兩點的坐標；(2)當CQ∥AB時，求(3)是否存在這樣的時刻t，使△CPQ為等腰三角形？若存在，求出t【答案】(1)A-2,0(2)1(3)存在這樣的時刻t，使△CPQ為等腰三角形，t的值是2s或5【分析】（1）把x=0，y（2）根據(jù)平行四邊形的性質得出BC=2=（3）根據(jù)勾股定理分別求出CP、PQ、CQ的平方，分為三種情況：當CP=CQ時，當PQ=【詳解】（1）解：∵直線y=x+2分別交x軸、y軸于A∴當x=0時，y當y=0時，x∴A(-2,0)，（2）解：∵B0,2，∴BC=2，∵CQ∴四邊形BCQA是平行四邊形，∴AQ∴t（3）解：存在，理由是：如圖1，過P作EF⊥AD，交AD于F，交直線CB于

∵∠AOB=90°，∴∠BAD∵PF∴∠PFA∴∠BAD∵AP∴AP∵AQ∴QF在Rt△PQF中，由勾股定理得：在Rt△DCQ中，由勾股定理得：∵BC∴∠BAD∵∠E∴∠EBP∴EP在Rt△PEC中，由勾股定理得：分為三種情況：①如圖2，當CQ=PQ時，